第2講隨機變量及其分布（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 10【考點一】分布列的性質及應用 10【考點二】隨機變量的分布列 14【考點三】正態分布 23【專題精練】 26考情分析：離散型隨機變量的分布列、均值、方差和概率的計算問題常常結合在一起進行考查，重點考查超幾何分布、二項分布及正態分布，以解答題為主，中等難度．真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.42．（2022·全國·高考真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大二、多選題3．（2023·全國·高考真題）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為D．當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率三、填空題4．（2022·全國·高考真題）已知隨機變量X服從正態分布，且，則．四、解答題5．（2024·全國·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？6．（2023·全國·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．7．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．8．（2022·全國·高考真題）在某地區進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；(2)估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間的概率；(3)已知該地區這種疾病的患病率為，該地區年齡位于區間的人口占該地區總人口的.從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001）.參考答案：題號123答案ADABD1．A【分析】先算出同時愛好兩項的概率,利用條件概率的知識求解.【詳解】同時愛好兩項的概率為，記“該同學愛好滑雪”為事件,記“該同學愛好滑冰”為事件，則，所以.故選:.2．D【分析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率.并對三者進行比較即可解決【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為，則此時連勝兩盤的概率為則；記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，則記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為則則即，，則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關.選項A判斷錯誤.故選：D3．ABD【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【詳解】對于A，依次發送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發送1接收1、發送0接收0、發送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為，A正確；對于B，三次傳輸，發送1，相當于依次發送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發送1接收1、發送1接收0、發送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為，B正確；對于C，三次傳輸，發送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為，C錯誤；對于D，由選項C知，三次傳輸，發送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關鍵.4．/．【分析】根據正態分布曲線的性質即可解出．【詳解】因為，所以，因此．故答案為：．5．(1)(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；【分析】（1）根據對立事件的求法和獨立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自計算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計算出各自期望，再次作差比較大小即可.【詳解】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績不少于5分的概率.（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為，，，，應該由甲參加第一階段比賽.(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，同理，因為，則，，則，應該由甲參加第一階段比賽.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是計算出相關概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關系，最后得到結論.6．(1)(2)(3)【分析】（1）根據全概率公式即可求出；（2）設，由題意可得，根據數列知識，構造等比數列即可解出；（3）先求出兩點分布的期望，再根據題中的結論以及等比數列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設，依題可知，，則，即，構造等比數列，設，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數列，即．（3）因為，，所以當時，，故．【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應用，后兩問的解題關鍵是根據題意找到遞推式，然后根據數列的基本知識求解．7．(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望．【詳解】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.8．(1)歲；(2)；(3)．【分析】（1）根據平均值等于各矩形的面積乘以對應區間的中點值的和即可求出；（2）設{一人患這種疾病的年齡在區間}，根據對立事件的概率公式即可解出；（3）根據條件概率公式即可求出．【詳解】（1）平均年齡

（歲）．（2）設{一人患這種疾病的年齡在區間}，所以．（3）設“任選一人年齡位于區間[40,50)”，“從該地區中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，此人患這種疾病的概率為．考點突破考點突破【考點一】分布列的性質及應用核心梳理：離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.(4)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.(5)若Y＝aX＋b，則E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預測）已知某隨機變量的分布列如圖表，則隨機變量X的方差（

）40A．120 B．160 C．200 D．2602．（2024·廣東·一模）已知隨機變量的分布列如下：12則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題3．（23-24高二上·江西·期末）設離散型隨機變量的分布列為：01230.40.30.2若離散型隨機變量滿足，則（

）A． B．C． D．4．（23-24高三下·江西·階段練習）已知隨機變量X、Y，且的分布列如下：X12345Pmn若，則（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2024·四川南充·一模）某一隨機變量X的分布列如下表，且，則.X0123P0.1m0.2n6．（2024·江西新余·模擬預測）設隨機變量的分布列如圖：01若的數學期望為，事件：或，事件：或，則；.參考答案：題號1234答案CAABDAC1．C【分析】根據概率和為，求得，再根據分布列求，再求即可.【詳解】由題可知：，解得，則；故.故選：C.2．A【分析】利用離散型隨機變量的分布列的性質、期望和方差公式，結合充分條件必要條件的定義即可求解.【詳解】由題意可知，若，則，得，故充分性滿足；若，則，解得或.當時，，此時，當時，，此時，則或，故必要性不滿足.故選：A.3．ABD【分析】利用分布列的性質求得，從而利用期望與方差公式與性質即可得解.【詳解】由分布列的性質知，則，故，故A正確；，故C錯誤；則，故B正確；所以，故D正確．故選：ABD．4．AC【分析】由分布列的性質和期望公式求出可判斷ABC；由方差公式可判斷D.【詳解】由可得：①，又因為，解得：，故C正確.所以，則②，所以由①②可得：，故A正確，B錯誤；,，故D錯誤.故選：AC.5．8【分析】根據題意可得，即可求得的值，進而結合期望公式可求得，進而得到.【詳解】由題意，得，解得，所以，所以.故答案為：8.6．【分析】先由離散型隨機變量的性質各取值概率和為1求出，再利用期望公式求解，然后由條件概率公式可得.【詳解】由解得，故，解得，所以.故答案為：；.規律方法：分布列性質的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1的性質可求參數的值及檢查分布列的正確性．(2)隨機變量X所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內的概率．【考點二】隨機變量的分布列核心梳理：1．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超幾何分布一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品，從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．E(X)＝n·eq\f(M,N).一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習）已知隨機變量，其中，若，則（

）A． B． C． D．2．（2024·福建莆田·三模）已知數據，，…，的平均數為，方差為，數據，，，…，的平均數為，方差為，則（

）A．， B．，C．， D．，二、多選題3．（2024·云南貴州·二模）袋子中有2個黑球，1個白球，現從袋子中有放回地隨機取球4次，每次取一個球，取到白球記0分，黑球記1分，記4次取球的總分數為，則（

）A． B．C．的期望 D．的方差4．（2024·安徽黃山·二模）下列論述正確的有（

）A．若隨機變量滿足，則B．若隨機事件，滿足：，，，則事件與相互獨立C．基于小概率值的檢驗規則是：當時，我們就推斷不成立，即認為和不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據推斷不成立，可以認為和獨立D．若關于的經驗回歸方程為，則樣本點的殘差為三、填空題5．（2024·河北·模擬預測）在一次抽獎活動中，抽獎箱里有編號為到的個相同小球.每次抽獎從箱中隨機抽取一個球，記錄編號后放回.連續抽獎次，設抽到編號為的小球的次數為，已知服從二項分布.若展開式中的系數是的概率的倍，則的值為（結果用含的式子表示）6．（2023·廣東佛山·二模）某企業瓷磚生產線上生產的瓷磚某項指標，且，現從該生產線上隨機抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數，則．四、解答題7．（2024·四川成都·三模）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于之間，現對植物園部分該種觀賞花卉的高度進行測量，所得數據統計如下圖所示.(1)求的值;(2)若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機抽取3株，記高度在內的株數為，求的分布列及數學期望；(3)以頻率估計概率，若在所有花卉中隨機抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多1株高度低于的概率.8．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習）某班為了慶祝我國傳統節日中秋節，設計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學生從中一次隨機摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節目.(1)求一學生既分得月餅又要表演節目的概率；(2)求每位學生分得月餅數的概率分布和數學期望.9．（2024·山東青島·一模）為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動．開學后，學校統計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度比為3：2：1．(1)根據頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；(2)開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學生作為代表分兩周進行國旗下演講，假設第一周演講的3名學生日均閱讀時間處于[80，100）的人數記為，求隨機變量的分布列與數學期望．10．（2024·湖南·二模）猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應的獎勵基金.假設甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應的獎勵基金如下表：歌曲猜對的概率0.80.50.5獲得的獎勵基金金額/元100020003000(1)求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；(2)甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.參考答案：題號1234答案DCABCDBCD1．D【分析】由二項分布的概率公式可得，可求，進而可求.【詳解】由二項分布的知識得，得，又，所以，所以．故選：D．2．C【分析】根據平均數和方差的性質得到答案.【詳解】已知樣本數據的平均數為，方差為，記數據的平均數為，方差為，則，，由題意可得，.故選：C3．ABCD【分析】求出一次摸到黑球的概率，根據題意可得隨機變量服從二項分布，再根據二項分布列及期望公式、方差公式求解即可.【詳解】從袋子中有放回的取球4次，則每次取球互不影響，并且每次取到的黑球概率相等，又每次取一個球，取到白球記0分，黑球記1分，故4次取球的總分數相當于抽到黑球的總個數，又每次摸到黑球的概率為，因為是有放回地取4次球，所以，故A正確；，故B正確；根據二項分布期望公式得，故C正確；根據二項分布方差公式得，故D正確.故選：ABCD【點睛】結論點睛：隨機變量X服從二項分布，記作X～，，且有，.4．BCD【分析】根據隨機變量的方差性質可判定A；根據和事件與獨立事件的概率公式可判定B；根據獨立性檢驗的基本思想可判定C；根據殘差的定義可判定D.【詳解】對于A，由題意可知，故A錯誤；對于B，由題意可知，所以，所以事件A與B相互獨立，即B正確；對于C，由獨立性檢驗的基本思想可知其正確；對于D，將樣本點代入得預測值為，所以，故D正確.故選：BCD.5．【分析】分別使用二項分布的性質和二項式定理得到和展開式中的系數是，然后利用條件即可得到結果.【詳解】由于，故.再根據二項式定理，展開式中的系數是.所以根據條件有，得，即、.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于對不同類型知識的混合運用.6．1【分析】由正態分布性質可求，結合二項分布定義確定的二項分布，根據二項分布的均值公式求結論.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，由已知，所以.故答案為：1.7．(1)；(2)分布列見解析，；(3)【分析】（1）根據頻率和為1，即可求解；（2）首先確定高度在和的株數，再按照超幾何分布，即可求解；（3）根據獨立重復概率公式，以及條件概率公式，即可求解.【詳解】（1）依題意可得，解得；（2）由（1）可得高度在和的頻率分別為和，所以分層抽取的5株中，高度在和的株數分別為2和3，所以可取0，1，2.所以，，所以的分布列為：所以（3）從所有花卉中隨機抽取株，記至少有株高度在為事件，至多株高度低于為事件，則，，所以.8．(1)(2)分布列見解析，數學期望為【分析】（1）由題意分析可知有兩種可能：“2個紅球1個黃球”和“1個黑球，1個紅球，1個黃球”，進而結合組合數運算求解；（2）由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，結合超幾何分布求分布列和期望.【詳解】（1）記“一學生既分得月餅又要表演節目”為事件A，可知有兩種可能：“2個紅球1個黃球”和“1個黑球，1個紅球，1個黃球”，所以.（2）由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，則有：，，可得的分布列為0123所以.9．(1)67（分鐘）(2)分布列見解析；期望為1【分析】（1）根據平均數等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和求解；（2）依題意求出隨機變量的分布列，并利用數學期望公式求解.【詳解】（1）由題知：各組頻率分別為：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均閱讀時間的平均數為：（分鐘）（2）由題意，在[60，80），[80，100），[100，120]三組分別抽取3，2，1人的可能取值為：0，1，2則

所以的分布列為：01210．(1)0.4(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的順序猜歌名，理由見解析.【分析】（1）根據互斥事件和獨立重復試驗的概率公式即可求解.（2）先根據題意寫出甲決定按“”的順序猜歌名獲得獎金數的所有可能取值，根據獨立重復試驗的概率公式求得每一個取值對應的概率，由數學期望的計算方法得出；再同理得出甲決定按“”順序猜歌名的數學期望；最后可通過計算、比較方差得出答案或者分析獲得0元的概率得出答案.【詳解】（1）由題意可知甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名分兩種情況：猜對；猜對，這兩種情況不會同時發生.設“甲按‘A，B，C’的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件E，由甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立可得.（2）甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎金數記為，則的所有可能取值為，所以；甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎金數記為，則的所有可能取值為，所以.參考答案一：由于，由于，所以應該按照“”的順序猜歌名.參考答案二：甲按“C，B，A”的順序猜歌名時，獲得0元的概率為0.5，大于按照“A，B，C”的順序猜歌名時獲得0元的概率0.2，所以應該按照“A，B，C”的順序猜歌名.其他合理答案均給分規律方法：求隨機變量X的均值與方差的方法及步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能的全部取值；(2)求X取每個值時對應的概率，寫出隨機變量X的分布列；(3)由均值和方差的計算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若隨機變量X的分布列為特殊分布列(如：兩點分布、二項分布、超幾何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解．【考點三】正態分布核心梳理：解決正態分布問題的三個關鍵點(1)對稱軸x＝μ.(2)樣本標準差σ.(3)分布區間：利用3σ原則求概率時，要注意利用μ，σ分布區間的特征把所求的范圍轉化為3σ的特殊區間．一、單選題1．（23-24高三下·全國·階段練習）一般來說，輸出信號功率用高斯函數來描述，定義為，其中為輸出信號功率最大值（單位：），為頻率（單位：），為輸出信號功率的數學期望，為輸出信號的方差，帶寬是光通信中一個常用的指標，是指當輸出信號功率下降至最大值一半時，信號的頻率范圍，即對應函數圖象的寬度。現已知輸出信號功率為（如圖所示），則其帶寬為（

）A． B． C． D．2．（2024·河南·三模）已知0.9973.某體育器材廠生產一批籃球，單個籃球的質量（單位：克）服從正態分布，從這一批籃球中隨機抽檢300個，則被抽檢的籃球的質量不小于596克的個數約為（

）A．286 B．293 C．252 D．246二、多選題3．（2024·江蘇宿遷·一模）設隨機變量，其中，下列說法正確的是（

）A．變量的方差為1，均值為0 B．C．函數在上是單調增函數 D．4．（23-24高三下·重慶·階段練習）隨機變量X，Y分別服從正態分布和二項分布，即，，則（

）A． B． C． D．三、填空題5．（2021·全國·模擬預測）對一個物理量做次測量，并以測量結果的平均值作為該物理量的最后結果．已知最后結果的誤差，為使誤差在的概率不小于0.9545，至少要測量次（若，則）．6．（2024·廣東·一模）隨機變量，若且，則隨機變量的第80百分位數是.參考答案：題號1234答案DBACDABC1．D【分析】根據給定信息，列出方程并求解即可作答.【詳解】依題意，由，，得，即，則有，解得，，所以帶寬為.故選：D2．B【分析】根據正態分布的對稱性求出的概率，即可得解.【詳解】由題意得，，，所以被抽檢的籃球的質量不小于596克的個數約為293.故選：B.3．ACD【分析】由正態分布的表示可判斷A；由正態曲線及可判斷B，根據正態曲線的性質可判斷C，根據正態曲線的對稱性可判斷D.【詳解】隨機變量，則A正確；，則B錯誤；隨機變量，結合正態曲線易得函數在上是單調增函數，則C正確；正態分布的曲線關于對稱，，則D正確，故選：ACD．4．ABC【分析】A選項，根據正態分布對稱性得到A正確；BC選項，根據正態分布和二項分布求期望和方差公式求出答案；D選項，利用二項分布求概率公式進行求解.【詳解】A選項，根據正態分布的定義得，故A正確；B選項，，，故，故B正確；C選項，，，故，故C正確；D選項，，故D錯誤.故選：ABC．5．32【解析】因為，得到，，要使誤差在的概率不小于0.9545，則，得到不等式計算即可.【詳解】根據正態曲線的對稱性知：要使誤差在的概率不小于0.9545，則且，，所以.故答案為：32.【點睛】本題是對正態分布的考查，關鍵點在于能從讀出所需信息.6．88【分析】根據給定條件，利用正態分布的對稱性求出，再求出時的即可.【詳解】隨機變量，又，則，因此，則，所以隨機變量的第80百分位數是88.故答案為：88規律方法：利用正態曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1，注意下面三個結論的靈活運用：(1)對任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)．(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·四川成都·模擬預測）若隨機變量的可能取值為，且（），則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·吉林長春·階段練習）2024年“與輝同行”直播間開播，董宇輝領銜7位主播從“心”出發，其中男性5人，女性3人，現需排班晚8：00黃金檔，隨機抽取兩人，則男生人數的期望為（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則（

）A．4 B．5 C．6 D．74．（2024·湖南·模擬預測）有一枚質地均勻點數為1到4的特制骰子，投擲時得到每種點數的概率均等，現在進行三次獨立投擲，記X為得到最大點數與最小點數之差，則X的數學期望（

）A． B． C． D．5．（2024·廣東廣州·二模）設，隨機變量取值的概率均為0.2，隨機變量取值的概率也均為0.2，若記分別為的方差，則（

）A．B．C．D．與的大小關系與的取值有關6．（2024·河南信陽·一模）對A，B兩地國企員工上班遲到情況進行統計，可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態分布，其中A地員工的上班遲到時間為X（單位：min），，對應的曲線為，B地員工的上班遲到時間為Y（單位：min），，對應的曲線為，則下列圖象正確的是（

）A． B．C． D．7．（2024·安徽合肥·三模）為弘揚我國優秀的傳統文化，某市教育局對全市所有中小學生進行了言語表達測試，經過大數據分析，發現本次言語表達測試成績服從，據此估計測試成績不小于94的學生所占的百分比為（

）參考數據：A． B． C． D．8．（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習）每袋食鹽的標準質量為500克，現采用自動流水線包裝食鹽，抽取一袋食鹽檢測，它的實際質量與標準質量存在一定的誤差，誤差值為實際質量減去標準質量．隨機抽取100袋食鹽，檢測發現誤差X（單位：克）近似服從正態分布，，則X介于~2的食鹽袋數大約為（

）A．4 B．48 C．50 D．96二、多選題9．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）已知隨機變量X，Y，其中，已知隨機變量X的分布列如下表X12345pmn若，則（

）A． B． C． D．10．（2024·吉林·模擬預測）從含有2件次品的100件產品中，任意抽出3件，則（

）A．抽出的產品中恰好有1件是次品的抽法有種B．抽出的產品中至多有1件是次品的概率為C．抽出的產品中至少有件是次品的概率為D．抽出的產品中次品數的數學期望為11．（2023·浙江溫州·三模）近年來，網絡消費新業態?新應用不斷涌現，消費場景也隨之加速拓展，某報社開展了網絡交易消費者滿意度調查，某縣人口約為萬人，從該縣隨機選取人進行問卷調查，根據滿意度得分分成以下組：、、、，統計結果如圖所示.由頻率分布直方圖可認為滿意度得分（單位：分）近似地服從正態分布，且，，，其中近似為樣本平均數，近似為樣本的標準差，并已求得.則（

）A．由直方圖可估計樣本的平均數約為B．由直方圖可估計樣本的中位數約為C．由正態分布可估計全縣的人數約為萬人D．由正態分布可估計全縣的人數約為萬人三、填空題12．（2024·天津和平·一模）為深入學習貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學習強國”學習平臺，某單位組織“學習強國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機抽取3道讓參賽者回答，規定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽到能答對題目數X的數學期望為；黨員甲能通過初試的概率為.13．（2024·天津·二模）盒子里有大小和形狀完全相同的4個黑球和6個紅球，每次從中隨機取一個球，取后不放回．在第一次取到黑球的條件下，第二次取到黑球的概率是；若連續取2次球，設隨機變量表示取到的黑球個數，則．14．（2024·江蘇南通·三模）已知隨機變量．若，則，若，則的方差為．四、解答題15．（2024·河北滄州·一模）某商場舉辦摸球贏購物券活動．現有完全相同的甲?乙兩個小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個小球，其中甲盒中有8個黑球和2個白球，乙盒中有3個黑球和7個白球．參加活動者首次摸球，可從這兩個盒子中隨機選擇一個盒子，再從選中的盒子中隨機摸出一個球，若摸出黑球，則結束摸球，得300元購物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來盒子中，再進行第二次摸球．第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來盒子中隨機摸出一個球；方案二，從另外一個盒子中隨機摸出一個球．若第二次摸出黑球，則結束摸球，得200元購物券；若摸出的是白球，也結束摸球，得100元購物券．用X表示一位參加活動者所得購物券的金額．(1)在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率．(2)①在第一次摸出白球的條件下，通過計算，說明選擇哪個方案第二次摸到黑球的概率更大；②依據以上分析，求隨機變量的數學期望的最大值.16．（2024·吉林白山·一模）俗話說：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺．張老師準備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規則如下：將一枚骰子連續投擲兩次，兩次的點數之和為3的倍數，則稱為“完美投擲”，出現“完美投擲”，則記；若擲出的點數之和不是3的倍數，則稱為“不完美投擲”，出現“不完美投擲”，則記；若，則當天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．(1)求出隨機變量的分布列，并求出期望及方差；(2)求張老師當天穿西裝的概率．參考答案：題號12345678910答案ACBDCBADACACD題號11答案ABD1．A【分析】先根據概率之和等于1得到方程，求出，計算出期望，進而計算出方差.【詳解】由題意得，解得，故，.故選：A2．C【分析】首先將男生人數設為隨機變量，再求得概率，代入期望公式，即可求解.【詳解】設男生人數為，且，，，,則.故選：C3．B【分析】由題意，服從二項分布，，代入公式可得結果．【詳解】每下落一層向左或向右落下等可能，概率均為，每一層均要乘以，共做10次選擇，故服從二項分布，，又，令最大，則，即,解得，又因為，所以,所以，，且．故選：B．4．D【分析】由題意得的所有可能取值為，用古典概型算出相應的概率，進而即可求解.【詳解】的所有可能取值為，記三次得到的數組成數組，滿足的數組有：，共4個，所以，滿足的數組有：，，共18個，所以，滿足的數組有：，，，，共24個，所以，滿足的數組有：，，，，，，共18個，所以，所以X的數學期望.故選：D.5．C【分析】根據期望的公式推出，再根據方差的計算公式可得的表達式，結合基本不等式，即可判斷的大小，即得答案.【詳解】由題意得，，故，記則同理因為，則，，，故，即得，與的大小關系與的取值無關，故選：C6．B【分析】由兩個正態曲線的對稱軸位置和集中分散程度判斷結果.【詳解】由，故曲線的對稱軸在曲線的左側，排除