第七章平行線的證明7.5三角形的內角和定理第2課時教材分教材分析本節是北師大版教材八年級上冊第七章《平行線的證明》第五節的內容.通過上一節課的學習，學生對于平行線的判定定理和性質定理以及與平行線相關的簡單幾何證明是比較熟悉的，他們已經具有初步的幾何意識，形成了一定的邏輯思維能力和推理能力.本節課旨在利用平行線的相關知識來證明三角形的內角和定理以及靈活運用這個定理解決相關問題，使學生突破原有的形象思維限制，引入幾何證明中的重要方法——添加輔助線法，從而為下一節三角形外角的學習作好鋪墊，同時也為以后繼續學習幾何證明打下良好的基礎.因此，本節課的內容在教材編排上起著承上啟下的重要作用.教學目標教學目標掌握三角形外角的兩條性質；進一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧．經歷探索與證明的過程，培養學生探索、歸納的能力，一題多解的能力、轉化知識并解決問題的能力，發展學生的推理能力.通過在數學活動中進行教學使學生能自主地“做數學”，特別是培養有條理的想象和探索能力，從而做到強化基礎，激發學習興趣.教學重難點教學重難點【教學重點】1.了解并掌握三角形的外角的定義；(重點)2．掌握三角形內角和定理的兩個推論，利用這兩個推論進行簡單的證明和計算．(難點)【教學難點】掌握三角形內角和定理的兩個推論，利用這兩個推論進行簡單的證明和計算．(難點)課前準備課前準備教師準備課件，學生預習課本內容.教學過程教學過程復習回顧活動內容：三角形內角和定理：三角形三個內角和等于1800，△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°∠A+∠B+∠C=180°的幾種變形:∠A=180°–(∠B+∠C)∠B=180°–(∠A+∠C)∠C=180°–(∠A+∠B)∠A+∠B=180°–∠C∠B+∠C=180°–∠A∠A+∠C=180°–∠B這里的結論,以后可以直接運用.在證明三角形內角和定理時，用到了把△ABC的一邊BC延長得到∠ACD，這個角叫做什么角呢？下面我們就給這種角命名，并且來研究它的性質．活動目的：引出三角形外角的概念，并對其進行研究，激發學生學習興趣.注意事項：教師應在學生充分展示自己的意見之后，有意識地引導學生從三角形的外角的角度進行思考.合作交流，探究新知活動內容：1.三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角，結合圖形指明外角的特征有三：(1)頂點在三角形的一個頂點上.(2)一條邊是三角形的一邊.(3)另一條邊是三角形某條邊的延長線.2．兩個推論及其應用由學生探討三角形外角的性質：問題1：如圖，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一個外角，能由∠A、∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A、∠B有什么關系？問題2：任意一個△ABC的一個外角∠ACD與∠A、∠B的大小會有什么關系呢？

由學生歸納得出：推論1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.推論2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.運用新知活動內容：1.已知，如圖，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求證：AD∥BC分析：要證明AD∥BC,只需證明“同位角相等”,即需證明∠DAE=∠B.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）∠B=∠C（已知）BACDE∴∠B=BACDE∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAE=∠EAC（角平分線的定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行）想一想，還有沒有其他的證明方法呢？這個題還可以用“內錯角相等，兩直線平行”來證.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性質）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分線的定義）∴∠DAC=∠C（等量代換）∴AD∥BC（內錯角相等，兩直線平行）還可以用“同旁內角互補，兩直線平行”來證.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）∠B=∠C（已知）∴∠C=∠EAC（等式的性質）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC∴∠DAC=∠C（等量代換）∵∠B+∠BAC+∠C=180°∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°即：∠B+∠DAB=180°∴AD∥BC（同旁內角互補，兩直線平行）例2已知:如圖,P是△ABC內一點,鏈接PB，PC.求證:∠BPC＞∠A.ABCDE1F2例3已知：如圖，在三角形ABC中，∠1是它的一個外角，E為邊AC上一點，延長BC到D，連接ABCDE1F2證明：∵∠1是△ABC的一個外角（已知）∴∠1>∠ACB（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）∵∠ACB是△CDE的一個外角（已知）∴∠ACB>∠2（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）∴∠1>∠2（不等式的性質）四、鞏固新知1.已知：如圖所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°求：∠B和∠ACB的大小.2.如圖，求證：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.如果點D在線段BC的另一側，結論會怎樣？［分析］通過學生的探索活動，使學生進一步了解輔助線的作法及重要性，理解掌握三角形的內角和定理及推論.證法一：（1）連接AD，并延長AD，如圖，則∠1是△ABD的一個外角，∠2是△ACD的一個外角.∴∠1>∠3∠2>∠4（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性質）即：∠BDC>∠BAC（2）連結AD，并延長AD，如圖.則∠1是△ABD的一個外角，∠2是△ACD的一個外角.∴∠1=∠3+∠B∠2=∠4+∠C（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性質）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC證法二：（1）延長BD交AC于E（或延長CD交AB于E），如圖.則∠BDC是△CDE的一個外角.∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）∵∠DEC是△ABE的一個外角（已作）∴∠DEC>∠A（三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角）∴∠BDC>∠A（不等式的性質）（2）延長BD交AC于E，則∠BDC是△DCE的一個外角.∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）∵∠DEC是△ABE的一個外角∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代換）變式1如果點D在線段BC的另一側,結論會怎樣呢?變式2如圖：在△ABC中，P是∠B、∠C角平分線的交點，∠BPC與∠A有怎樣的大小關系？（兩內角角平分線）變式3如圖：在△ABC中，P是∠B、∠C外角的角平分線的交點，∠BPC與∠A有怎樣的大小關系？（兩外角角平分線）變式4如圖：在△ABC中，P是∠B的角平分線和∠C外角的角平分線的交點，∠BPC與∠A有怎樣的大小關系？（一內角角平分線和一外角角平分線）活動目的：讓學生接觸各種類型的幾何證明題，提高邏輯推理能力，培養學生的證明思路，特別是不等關系的證明題，因為學生接觸較少，因此更需要加強練習．注意事項：學生對于幾何圖形中的不等關系的證明比較陌生，因此有必要在證明第2小題中，要引導學生找到一個過渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等關系的傳遞性得出∠1>∠2.3.我們知道：“在三角形的每個頂點處各取一個外角，它們的和就是這個三角形的外角和”.（1）三角形的外角和是多少度？（2）如果將三角形三條邊都向兩邊延長，并且在每條線上任取兩點連接起來，那么在原三角形外又得到三個新三角形，如圖所示，猜想：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少？請用（1）的結論證明你的猜想.4.已知：國旗上的正五角星形如