學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精整合提升知識網絡知識回顧一、極坐標系1.極坐標與直角坐標的互化公式:2.極坐標與直角坐標的互化,常用方法有代入法、平方法等,還經常用到同乘以(或除以)ρ等技巧。3。建立極坐標系后,給定ρ(ρ≥0）和θ，就可以在平面內唯一確定點M.確定的方法是:（1）由θ定射線.根據θ角確定點M所在的射線OM;(2)由ρ取點.在射線OM上取|OM|=ρ,點M的位置即可確定.4.給定平面內任意一點M,也可以找到它的極坐標(ρ,θ）(ρ≥0)。特別注意:(1）一般地,極坐標（ρ，θ）與(ρ,θ+2kπ）(k∈Z）表示同一個點.和直角坐標不同,平面內一個點的極坐標有無數種表示。（2）如果規定ρ≥0，0≤θ<2π，那么除極點外,平面內的點可用唯一的極坐標（ρ，θ）表示;同時，極坐標（ρ,θ）表示的點也是唯一確定的。二、幾種特殊的極坐標方程1.過點（a，0)(a>0)且垂直于極軸的直線方程是ρcosθ=a.2。過點(a，π）（a>0)且垂直于極軸的直線方程是ρcosθ=—a，如圖(1）。3.過點(a,）（a>0)且平行于極軸的直線方程是ρsinθ=a,如圖(2）.4。過點（a，）（a〉0)且平行于極軸的直線方程是ρsinθ=-a,如圖（3）.5.過極點傾角為α的直線方程是θ=α（ρ∈R）.三、幾種特殊位置的圓的極坐標方程1.以極點為圓心且半徑為r的圓的極坐標方程ρ=r.2。過極點且圓心坐標為（a，0)(a>0）的圓的極坐標方程為ρ=2acosθ.3。過極點且圓心坐標為（a，π)(a>0）的圓的極坐標方程為ρ=—2acosθ。4。過極點且圓心坐標為(a,）（a〉0）的圓的極坐標方程為ρ=2asinθ.四、柱坐標系如圖,建立空間直角坐標系O-xyz，設P是空間任意一點，它在Oxy平面上的射影為Q，用（ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π）來表示點Q在平面Oxy上的極坐標.這時點P的位置可用有序數組(ρ，θ,z）(z∈R）表示.這樣，我們建立了空間的點與有序數組(ρ，θ，z）之間的一種對應關系，把建立上述對應關系的坐標系叫做柱坐標系，有序數組(ρ，θ,z）叫做點P的柱坐標，記作P（ρ，θ,z），其中ρ≥0,0≤θ〈2π，-∞〈z〈+∞。五、球坐標系如圖,建立空間直角坐標系O—xyz，設P是空間任意一點，連結OP，記｜OP｜=r,OP與Oz軸正向所夾的角為φ,設P在Oxy平面上的射影為Q,Ox軸按逆時針方向旋轉到OQ時所轉過的最小正角為θ.這樣點P的位置就可以用有序數組(r，θ,φ）表示.這樣，空間的點與有序數組（r，θ，φ)之間建立了一種對應關系，把建立上述對應關系的坐標系叫做球坐標系（或空間極坐標系），有序數組(r,φ，θ）叫做點P的球坐標，記作P（r，φ，θ），其中r≥0，0≤θ〈2π，0≤φ≤π.典例精講【例1】極坐標方程4ρsin2=5表示的曲線是（)A。圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線解析:直接由所給方程判斷較難,可把它化為直角坐標方程去判斷.4ρsin2=4ρ=2ρ—2ρcosθ=5。∴2=5+2x。∴y2=5x+，表示拋物線.答案：D【例2】極坐標ρ=cos(—θ）表示的曲線是…（)A。雙曲線B。橢圓C.拋物線D。圓解析：ρ=cosθ+sinθ，由于ρ不恒等于0，方程兩邊同乘以ρ，得ρ2=ρcosθ+ρsinθ。∴（x2+y2）=x+y,表示圓。答案：D溫馨提示注意對稱點的求法，掌握特殊的對稱情況。【例3】在極坐標系中,與圓ρ=4sinθ相切的一條直線方程為（)A.ρsinθ=2B。ρcosθ=2C.ρcosθ=4D.ρcosθ=—4解析：如右圖，⊙C的極坐標方程為ρ=4sinθ，CO⊥Ox，OA為直徑，｜OA|=4,l和圓相切，l交極軸于B（2,0)，點P（ρ,θ）為l上任意一點,則有cosθ==,得ρcosθ=2。答案：B溫馨提示求切線、求距離、求面積等問題要做到極坐標方程與普通方程的結合及靈活運用.【例4】如右圖,長方體OABC-D′A′B′C′中，｜OA|=3,|OC｜=5，|OD′｜=3,A′C′與B′D′相交于點P，分別寫出點C、B′、P的柱坐標.解:求點的柱坐標,需要找到空間任意一點P在Oxy平面上的射影及在平面Oxy上的極坐標(ρ，θ）(ρ≥0，0≤θ＜2π)。C點的ρ、θ為｜OC|及∠COA,B′點的ρ、θ分別為|OB｜=，θ=∠BOA,tan∠BOA==,∴∠BOA=arctan。P點的ρ、θ為OE、∠AOE,｜OE|=|OB｜，∠AOE=∠AOB。∴C點的柱坐標為(5，,0)，B′點的柱坐標為（，arctan，3)，P點的柱坐標為（,arctan,3）.類題演練1已知點M的極坐標為(-5，），下列所給出的四個坐標中不能表示點M的坐標的是()A。（5，—)B.(5，)C。(5,-）D。(—5,-）解析：注意ρ＜0時確定位置。答案：A變式提升1在極坐標系中點（ρ，θ）與（—ρ，π—θ）的位置是…()A.關于極軸所在直線對稱B.關于極點對稱C。重合D。關于直線θ=（ρ∈R）對稱解析:點（—ρ,π—θ）與(ρ,—θ)是同一個點，它與點（ρ，θ）關于極軸對稱.答案：A類題演練2點P0（ρ0,θ0）（ρ0≠0)關于θ=(ρ∈R)的對稱點的極坐標為（）A。（-ρ0，θ0）B.(ρ0，-θ0）C。(-ρ0,-θ0)D.(ρ0,)解析:P0(ρ0,θ0）(ρ0、-θ0）（—ρ0、-θ0）.答案:C變式提升2點P(-2，π）關于直線θ=(P∈R)的對稱點的坐標為______________.解析:點P（-2,π)即為P（2,）。點P、P′、O組成等腰三角形，且θ=為∠POP的平分線，故為(2,)。答案:(2，）類題演練3已知直線的極坐標方程ρsin(θ+）=,則極點到該直線的距離是_______________.解析:由ρsin(θ+)=，可得ρsinθ+ρcosθ=2，即得x+y—2=0.∴點O(0,0）到直線x+y—2=0的距離為d=。答案：變式提升3已知點A（3,)，B（—4，),O(0,θ),則△ABO的面積為_______________。解析:點B(—4，)B(4,