圓錐曲線專題之直線與圓TOC\o"1-3"\h\u第一章立竿見影，直線方程 4§1直線的傾斜角和斜率 4§2直線的方程 7§3兩條直線的位置關系 14§4平面直角坐標系中的距離公式 194.1基礎知識篇 194.2構造距離 254.3主元轉換構造距離 304.4其他距離 31§5移形換影，對稱問題 315.1中心對稱 315.2軸對稱 325.3光線的入射與反射 365.4角平分線問題 41§6奇思妙想，話直線系 426.1直線系 426.2直線系過定點問題的處理 44§7到角當頭，秒解交角 45§8乾坤移位，將軍飲馬 47§9數形結合，曲線距離 55第二章拋磚迎玉，“圓”來如此 64§1圓與圓的方程 64§2點與圓的位置關系 71§3直線與圓的位置關系 723.1直線與圓位置關系判斷 723.2圓的弦長和垂徑定理 753.3點、直線、圓模型 803.4綜合題集 82§4筷子夾湯圓，切線問題 954.1圓的切線方程的求法 954.2圓的極點極線方程 994.3切線長公式 1014.4圓冪定理 1034.5圓的包絡線——圓的切線系方程 107§5五子登科，圓與圓的位置關系 1105.1圓與圓的位置關系的判斷方法 1105.2圓的公切線 1155.3相交兩圓的公共弦 1245.4圓系方程 126§6大動干戈，圓中最值 1286.1圓的最值問題 1286.2向圓心轉化 1366.3弦的外分點模型 1416.3張角最大問題——最大張角圓 1436.4視角最大問題——米勒定理 148§7呼朋喚友，圓的有機結合 1527.1向量和圓 1527.2函數定義 1597.3均值不等式 160§8圓中鬼魅，阿波羅尼斯圓 1618.1定義 1618.2調和點列vs阿波羅尼斯圓 1628.3角平分線vs阿波羅尼斯圓 1668.4阿波羅尼斯球 1728.5阿波羅尼斯圓的拓展 174§9圓的反演——阿波羅尼斯圓 1769.1圓的反演初步 1769.2圓的反演的常見性質 178§10百花齊放，圓的軌跡薈萃 18410.1定長對定角，軌跡為圓弧 18410.2線段的分點——構造分點位似圓 19610.3圓的弦中點軌跡 20010.4隱藏的圓 20110.5旋轉的圓 204§11綜合練習 210第一章立竿見影，直線方程§1直線的傾斜角和斜率1.直線的傾斜角=1\*GB2(1)

定義在直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角．注規定當直線和軸平行或重合時，其傾斜角為，所以直線的傾斜角的范圍是．(2)

直線和傾斜角的關系①任何一條直線都有唯一的傾斜角；②傾斜角相同的直線不是唯一的，它們是一組平行線；③不同的直線其傾斜角可能是相同的．2.直線的斜率=1\*GB2(1)

定義傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，常用字母表示．(2)

斜率和傾斜角之間的關系①斜率和傾斜角之間的關系是“數與形”的關系，斜率是個實數，傾斜角則是一個角；②斜率的實質是用來表示傾斜角不等于的直線對于軸的傾斜程度的；③每條直線都有唯一的傾斜角與之對應，但并不是每條直線都有斜率，因為當直線垂直于軸時，其斜率不存在的！這就決定了我們在研究直線的有關問題時，應考慮到斜率的存在與不存在這兩種情況，否則會產生漏解！(3)

斜率的表示方法①定義法，；②坐標法經過點和的直線的斜率；③向量法直線的方向向量為，則直線的斜率為；反之，若直線的斜率為，則直線的方向向量為．(4)

斜率的變化規律【斜率的值域：.】①利用正切函數在內的圖象，借助正切函數的單調性分析．如圖所示：在和這兩個區間斜率都是隨著傾斜角的增大而增大，但是在整個區間是不單調的，做題時要特別注意這個特殊之處！②互補的兩個傾斜角的斜率互為相反數！③數形結合時，斜率的變化和判斷技巧：是斜率的正無窮和負無窮的分界點，因此，直線旋轉掃過的區域，也可理解為直線簇，如果直線簇包含垂直于軸的直線，即斜率為的直線，則所求的斜率的范圍要分段書寫，一段包含正無窮，一段包含負無窮；否則是一段；若是求解傾斜角的取值范圍，則借助的圖象（如上圖）進行角度的轉換．【和分式函數值域的判斷類似！】3.三點共線問題的證明(1)

斜率法用斜率法證明三點共線問題，具體如下：(2)

線段長度法三點共線問題也可利用線段長度之間的關系來證明，即若，則可判定A、B、C三點共線．(3)

直線法先從三點中任取兩點，即可確定一條直線，再確定第三點在這條直線上即可.(4)

共線向量法利用平行向量的坐標運算，可避免斜率法中斜率不存在的情況！注①上面的四種方法中，常用的是斜率法和共線向量法，相比較而言，共線向量法沒有死角，在解答題中，可以避免斜率的討論！②三點共線的應用舉例：判斷給出的三點能否構成三角形的三個頂點？問題轉化為：三點是否在同一條直線上！例對于下列命題，其中正確命題的個數是()．①若是直線的傾斜角，則；②若是直線的斜率，則；③任一條直線都有傾斜角，但不一定都有斜率；④任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角．A．1 B．2 C．3 D．4答案選C．例(1)

已知直線的傾斜角是，直線，則直線的傾斜角為________．(2)

直線過原點，且傾斜角為，若將直線繞原點逆時針方向旋轉，得到直線，那么的傾斜角為________．(3)

設直線過坐標原點，它的傾斜角為，如果將直線繞坐標原點按逆時針方向旋轉，得到直線，那么的傾斜角為()．A．

B． C．

D．當時，傾斜角為；當時，傾斜角為．答案(1)；角度旋轉或者；(2)；(3)

選D．例(1)

已知直線經過點，，且斜率為12，求的值．(2)

當為何值時，過點，的直線的傾斜角是銳角？鈍角？直角？答案(1)

；(2)

銳角；鈍角；直角．例已知直線的傾斜角的取值范圍為，則其斜率的取值范圍是．答案含有，斜率分段，易得．?例已知兩點，，過點的直線與線段有公共點．(1)

求直線的斜率的取值范圍；(2)

求直線的傾斜角的取值范圍．答案(1)；(2)．解如圖，作出圖象，易得；注對于斜率k，也可以利用線性規劃求解！直線l的方程為，即，由于P、Q在直線l的兩邊，故，即．練習經過作直線，若直線與連接，的線段總有公共點，則直線的斜率和傾斜角的取值范圍分別為，．答案；；取不到！例(1)

求證：、、三點共線．(2)

已知三點，，在同一條直線上，求實數a的值．答案(1)

先證，又過同一點，故A、B、C三點共線．(2)

或．例下列三點能構成三角形的三個頂點的為()．A．

B．C．

D．答案選C；問題轉化為：三點是否在同一條直線上．§2直線的方程1.常用的直線方程一覽表【注意一些不常用的形式，也要熟悉其使用限制范圍！】名稱方程的形式常數的幾何意義適用范圍點斜式為斜率，是直線上一定點不垂直于軸斜截式為斜率，是直線在軸上的截距不垂直于軸兩點式和是直線上的兩個定點不垂直于軸和軸截距式為直線在軸上的非零截距，為直線在軸上的非零截距不垂直于軸和軸，且不過原點一般式A、B、C為系數任何位置的直線2.常用的直線方程的具體分析(1)

點斜式過已知點，且斜率為的直線方程：．注①當直線斜率不存在時，不能用點斜式表示，此時方程為；②表示：直線上除去點的圖形．(2)

斜截式若已知直線在軸上的截距為，斜率為，則直線方程：．【是縱截距！】①截距的概念直線在y軸、x軸上的截距指的是直線與y軸、x軸交點的縱坐標、橫坐標，也分別叫做縱截距和橫截距；截距可以大于0，可以小于0，可以等于0，截距與距離是完全不同的兩個概念．②求直線截距的方法在直線方程中令，解出y的值即為直線在y軸上的截距；在直線方程中令，求得x的值，即為直線在x軸上的截距．(3)

兩點式若已知直線經過和兩點，且，，則直線方程：．注①不能表示與軸和軸垂直的直線；②當兩點式方程寫成如下形式時，此時，直線方程可以適應于任何一條直線．③兩點式方程的拓展及應用，參看“拋物線之直線的兩點式方程”．(4)

截距式若已知直線在軸、軸上的截距分別是、且，，則直線方程：．注①不能表示與軸垂直的直線，也不能表示與軸垂直的直線，也不能表示過原點的直線；②用截距式解題要注意防止由于“零截距”造成丟解的情況，當出現“截距相等”“截距的絕對值相等”“截距互為相反數”時容易丟解．(5)

一般式任何一條直線方程均可寫成一般式：(A、B不同時為0或)；反之，任何一個有解的二元一次方程都表示一條直線．注①直線方程的特殊形式，都可以化為直線方程的一般式，但一般式不一定都能化為特殊形式，這要看系數A、B、C是否為0才能確定．②熟練地指出此時直線的方向向量：，，或單位向量；直線的法向量：(與直線垂直的向量)．【注意區分法向量和方向向量】(6)

參數式=1\*GB3①之標準式(為參數)；其中直線的方向向量為，的幾何意義為，斜率為，為傾斜角，且．參數式②之一般式(為參數)；其中直線的方向向量為，(方向向量的單位向量)；；；點對應的參數為，則．(7)

其他直線方程要會根據條件靈活設直線方程，尤其在直線和圓錐曲線相交的題型中，常用到(1)點斜式和(2)斜截式的變形設法，直線方程分別為：，．注當直線的傾斜角等于時，直線的斜率不存在，然而很多解析幾何大題的最值問題，偏偏是在直線的斜率不存在的時候取得，用上述的直線方程可以很好的解決了這個問題，既能避免分類討論又可以簡化計算．3.直線方程的其他相關說明(1)

點斜式體現的方程思想（點和斜率代表兩個未知量），一般式溝通點到直線的距離，截距式與均值不等式有聯系；因此，要結合題目，靈活選用直線的方程！(2)

用待定系數法求直線方程時，要注意所求直線應該是一條還是兩條（可通過幾何分析確認！），斜率不存在的直線最容易遺漏！直線與x軸垂直是特殊情形（因其斜率不存在），具體應用解題時，切莫忘記單獨考察！！例(1)

給出下列四個命題，其中正確命題的個數是()．①一條直線必是某個一次函數的圖象．②一次函數的圖象必是一條不過原點的直線．③若一條直線上所有點的坐標都是某個方程的解，則此方程叫做這條直線的方程．④以一個方程的解為坐標的點都在某條直線上，則這條直線叫做此方程的直線．A．0

B．1

C．2

D．3

(2)

下列命題中的真命題是()．A．過定點的直線都可用方程表示B．過定點

的直線都可用方程表示C．過任意兩個點、的直線都可用方程表示D．不過原點的直線都可用方程表示答案(1)

選A；(2)選C．解(1)

對于①，一次函數的圖象是一條直線，但任意一條直線不一定是某個一次函數的圖象，如直線

不是一次函數的圖象，故不正確；對于②，函數，當時，直線過原點，故不正確；對于③④，方程是直線的方程和直線是方程的直線應該滿足兩條：以一個方程的解為坐標的點都是這條直線上的點，反過來，這條直線上所有點的坐標都是方程的解，這兩個條件缺一不可，如第一、三象限角平分線上的點都是方程的解，但是此方程不是第一、三象限角平分線的方程，又如以方程的解為坐標的點都在直線上，但方程不是直線的方程，故不正確．?(2)

點斜式方程、斜截式方程不能表示斜率不存在的直線，故A、B錯，截距式方程除了不能表示過原點的直線之外，還不能表示與坐標軸平行的直線，故D錯．例根據下列條件，選擇恰當的方法，求出直線的方程，并化為一般式：(1)

斜率為，且過點；(2)

經過點，傾斜角為45°；(3)

斜率為，與x軸交點的橫坐標為；(4)過點，與x軸垂直；(5)

經過點且平行于x軸；(6)

過點且與x軸有相同斜率；(7)

斜率為，在y軸上的截距為7；(8)

在y軸上的截距為2，且與x軸平行．(9)

經過點和；(10)

過點和點；(11)

在x軸上的截距為，在y軸上的截距為2；(12)

求過原點，且平行于向量的直線方程．答案(1)

，即為；(2)

，即為；(3)

；(4)

；(5)

；(6)

；(7)

，即為；(8)

；(9)

，即為；(10)

，即為；(11)

，即為；(12)

法一設直線方程的斜率為k，則直線的方向向量為，而，故，故直線為．法二設為直線上任意一點，，由于，故，即．例若直線方程為，則它在y軸上的截距為_____．答案令，可得縱截距為．例(2)

過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直線方程．(1)

求過點，且在坐標軸上截距互為相反數的直線的方程．答案(1)

x－y＋1＝0或4x－3y＝0；(2)

；；．例設直線l的方程為，根據下列條件分別確定m的值：(1)

l在x軸上的截距是；(2)

l的斜率是．答案(1)

；(2)

．例已知三角形的頂點是、、，求AC邊所在直線的方程，以及該邊上的中線所在直線的方程．答案；．例(1)

直線l的斜率為，且和兩坐標軸圍成面積為2的三角形，求直線的方程．(2)

斜率為的直線l與兩坐標軸圍成的三角形的周長為9，求直線的方程．注解題時，要根據題目的條件，一定要選擇合適的直線方程！(1)(2)給出了斜率，顯然要用斜截式！！答案(1)；設直線l為，則；(2)；設直線l為，則．例過點作直線分別交軸，軸正半軸于A、B兩點，求的最小值．答案4．法一顯然，直線的斜率存在且小于0，設直線方程為，與軸、軸交點分別為，．故；．因此，，當且僅當時，取最小值4．法二設直線l與x軸的夾角為，，則，，故，當且僅當，即時取得等號．注此法實質是利用直線的參數方程：(t為參數)．例(2004全國卷Ⅱ理)已知平面上直線l的方向向量，點和在l上的射影分別是和，則，其中()．A． B． C．2 D．答案選D；易知，又．例(2010上海理)直線l的參數方程是，則l的方向向量可以是()．A． B． C． D．答案選C．例已知過定點的直線在軸正半軸與軸正半軸上的截距分別為a、b，則的最小值為()．A．8 B．32 C．45 D．72答案選B；解設直線為，則，因此，．例(1)

直線的圖象可能是()．

A

B

C

D(2)

已知兩直線的方程分別為，，它們在坐標系中的位置如圖所示，則()．A．B．C．D．答案(1)

選B；(2)

選C；，，．例已知兩直線和直線，試確定m、n的值，使(1)

和相交于點；(2)

且在軸上的截距為．答案(1)；(2)；此時直線的方程為：，令，得．4.直線在坐標系中的象限位置的判斷方法【利用直線的斜截式方程分析！】直線在坐標系中的位置可由直線的斜率以及直線在軸上的縱截距確定，若直線斜率為，在y軸上的截距為，那么①當時，直線經過第一、二、三象限；②當時，直線經過第一、三、四象限；③當時，直線經過第一、二、四象限；④當時，直線經過第二、三、四象限．例(1)

直線經過第一、二、四象限，則a、b、c應滿足()．A．，

B．， C．， D．，(2)

如果，且，那么直線不經過()．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案(1)

選A；(2)選C．解(1)直線經過第一、二、四象限，則直線的斜率小于零，縱截距大于零，所以

，．?(2)

特殊值法秒之；因為AC＜0，BC＜0，所以AB＞0，顯然B≠0．將一般式Ax＋By＋C＝0化為斜截式y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)，所以k＝－eq\f(A,B)＜0，b＝－eq\f(C,B)＞0．所以直線不經過第三象限．例已知直線．(1)

求證：不論為何值，直線總經過第一象限；(2)

為使直線不經過第二象限，求的取值范圍．答案(1)直線橫過定點，此點在第一象限；(2)要使不經過第二象限，需它在軸上的截距不大于零，即令．例若直線不過第二象限，求的取值范圍．答案直線方程化為，由于該直線不過第二象限，故．例(2011安徽理壓軸)在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，就稱點為整點，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）．①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點；②如果k與b都是無理數，則直線不經過任何整點；③直線l經過無窮多個整點，當且僅當l經過兩個不同的整點；④直線經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數；⑤存在恰經過一個整點的直線．答案①③⑤；§3兩條直線的位置關系1.兩條直線的四種位置關系及判斷方法根據直線方程形式的不同，分為如下兩種情況．(1)

斜截式設直線，，=1\*GB3①且；=2\*GB3②；=3\*GB3③與重合且；=4\*GB3④與相交.(2)

一般式設直線，，

=1\*GB3①；即，且(或)；

=2\*GB3②；即；

=3\*GB3③與重合；即且(或)；=4\*GB3④與相交；即；注對于一般式，要使用后面的整式形式，因為整式才是真正的充要條件，上面給出的分式形式的作用只是便于記憶，實質是不等價的！！(3)

其他相關注意事項①對于一般式，也可以利用直線的法向量進行輔助記憶．【注意區分法向量和方向向量】．例如，對于平行和重合，即它們的法向量平行，即；對于垂直，即它們的法向量垂直，即．②若兩直線的斜率都不存在，則兩直線平行；若一條直線的斜率不存在，另一直線的斜率為0，則兩直線垂直．③對于來說，無論直線的斜率存在與否，該式都成立．因此，此公式使用起來更方便，可以避免討論斜率的存在性！故解題之時，可以先將直線方程化為一般式，再利用此公式求解即可！④當兩條直線的斜率相等時，兩直線平行(重合)；但當兩條直線平行(重合)時，斜率不一定相等！！因為斜率有可能不存在．【注意理解后半句的內涵！】例已知直線，，求適合下列條件的的取值范圍．(1)

與相交；(2)

與平行；(3)

與重合；⑷

與垂直．答案(1)；(2)；(3)

；(4)

．練習已知兩條直線，．當且僅當為何值時，與有以下關系？(1)相交；(2)平行；(3)

重合；(4)

垂直．答案直線，直線．(1)且；(2)；(3)

；(4)

．例(1)

直線和的位置關系是()．A．平行

B．重合

C．相交

D．不確定(2)

已知，，且，則的值為()．A．2 B．1 C．0 D．不存在答案(1)

選C；(2)選C；不可套用公式！解(1)

；兩直線的斜率分別為和，因為方程無解，所以兩直線相交．例(2005北京文理)“”是“直線與直線相互垂直”的()．A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案即，例求過兩直線和的交點且與直線平行的直線方程．答案．法一常規方法，就是求交點，具體過程略；法二利用相交直線系，設直線方程為，即為，則，解得，可得：．例(1)

設直線的方程為，將直線繞其與軸交點按逆時針方向旋轉得到直線，則的方程為．(2)

將直線繞原點逆時針旋轉，再向右平移1個單位，所得到的直線方程為．(3)

若原點在直線上的射影為，則的方程為_________________．答案(1)

；與軸的交點為且，所以直線經過點，斜率為2，則直線的直線方程為：．(2)

旋轉：，再向右平移1個單位：，即為．(3)

．例(2008四川文理)直線繞原點逆時針旋轉，再向右平移1個單位，所得到的直線為()．A． B． C． D．答案選A．解直線繞原點逆時針旋轉的直線為，將向右平移1個單位得，即．例已知的垂心，且，，求點C的坐標．答案．解結合圖形可知，只需要求出直線AC、BC的方程即可．由于、，易求得直線AC為，直線BC為，因此，點C的坐標為．例已知兩直線，，求分別滿足下列條件的a、b的值．=1\*GB2(1)直線過點，并且直線與直線垂直；=2\*GB2(2)直線與直線平行，并且坐標原點到、的距離相等．答案(1)

；(2)

或．解=1\*GB2(1)

，又點在上，所以，解得，．=2\*GB2(2)

坐標原點到、的距離相等”等價于“、關于原點中心對稱”．法一取特殊點；上一點必定對應上的一點，代入有，再利用平行關系之斜率相等，解即可！法二同一法；先求出關于原點對稱的方程，則這兩條直線重合，系數對應成比例即可！法三直譯法；化簡后可得，解得或．例(2011安徽文)設直線，，其中實數滿足．(1)

證明：與相交；(2)

證明：與的交點在橢圓上．證明(1)

利用反證法，假設與不相交，則與平行，故，進而，顯然，這與為實數相矛盾，故必有，即與相交．(2)

由，代入，整理可得：，故與的交點在橢圓上．例(1)

已知四邊形ABCD的頂點為，，，，求證：四邊形ABCD為矩形．(2)

判斷以，，，為頂點的四邊形的形狀，并說明理由．答案(1)略

；(2)正方形．解(1)

由已知得邊所在的直線的斜率，邊所在的直線的斜率，邊所在的直線的斜率，邊所在的直線的斜率．∵，∴；同理，，，因此四邊形為矩形．(2)

，，，．又直線的斜率，直線的斜率．因為，所以．因此，四邊形是正方形．例設平面內直線上的點的集合為，直線上的點的集合為，試用集合的運算表示、的位置關系．答案由平面內直線上點的集合為，直線上點的集合為，有如下三種情況：①若直線，相交于一點，則；②若兩條直線平行，則這兩條直線沒有公共點，；③若兩條直線重合，則這兩條直線有無數公共點，．2.兩直線的交點坐標設兩直線的方程分別為：或；當或時，它們相交，交點坐標就是方程組或的解．反之，①當方程組只有一組解時，兩直線相交；②當方程組無解時，兩直線平行；③當方程組有無數組解時，兩直線重合．例已知直線與直線的交點為，則過點，的直線方程是．答案．注此為同一法求直線的方程；后面的切點弦證明也會用到，一定要熟練！！例(2016上海文理)設，．若關于x、y的方程組無解，則的取值范圍是.答案．解方程無解等價于直線和直線平行且不能重合，故且，故，即的取值范圍是．例(2014上海文壓軸、理)已知與是直線（k為常數）上兩個不同的點，則關于x和y的方程組的解的情況是()．A．無論、、如何，總是無解 B．無論、、如何，總有唯一解C．存在、、，使之恰有兩解 D．存在、、，使之有無窮多解答案選；3.三條直線共點的處理任取其中兩條直線，所得的交點必在第三條直線上！4.三條直線能否圍成一個三角形？正難則反，利用其反面！如果三條直線不能圍成三角形，則有：①三條直線共點；②在三條直線中，其中有兩條直線平行，總共有種情況！例若三條直線，和不能構成三角形，則的值為．分析三條不同的直線不能構成三角形時，三條直線中必有兩條直線平行，再利用兩直線平行的性質求出即可！答案或2或．例給出三條直線，，，(1)

為何值時，三線共點；(2)

時，三條直線能圍成一個三角形嗎？(3)

求當三條直線圍成三角形時，的取值范圍．答案(1)

或；(2)

能；(3)

．解(1)

與的交點為，將點坐標代入直線的方程，可求出或；(2)

時，可得與交點為，易判斷點不在直線上，且三條直線兩兩均不平行，故時，三條直線能圍成一個三角形；(3)

若，有；若，有；而不成立，三條直線不能圍成一個三角形時，三線共點或出現其中兩條互相平行．綜上可知，三條直線圍成三角形的條件是．§4平面直角坐標系中的距離公式4.1基礎知識篇1.兩點間的距離=1\*GB2(1)

已知、，則；特別地，原點與任意一點的距離為：．=2\*GB2(2)

若在直線上，則．2.點到直線的距離【證明方法：最簡單是借助法向量，類似立體幾何的距離求法！】=1\*GB2(1)

點到直線的距離：．=2\*GB2(2)

點到直線的距離為；點到直線的距離為．證明如圖所示，作PH⊥l于點H，則，設為直線l上任一點，則．由于直線PH的方向向量，亦為直線l的法向量，故 ．注如果把距離公式中絕對值去掉，即，此時的d有正有負，一般稱之為“有向距離”，顯然，在直線兩側的點到直線的有向距離的正負是相反的！3.兩條平行直線之間的距離【利用公式之前，須保證的系數相等！！】直線和直線的距離是：．例(1)

已知點，，在x軸上求一點P，使，并求的值．(2)

已知點，和直線，求一點使，且點到的距離等于2．解(1)

；直譯即可！或者利用直線的垂直平分線．(2)

或；點必在線段的垂直平分線上！設，利用點到直線的距離公式，解出即可！或者利用點必在與平行且距離為2的直線上，求出兩條平行線，然后分別和垂直平分線聯立，求出交點即可！例求兩平行線和間的距離．解；法一：從其中一條直線上任取一點，再利用點到直線的距離公式即可；法二：利用兩條平行線之間的距離公式；須先把系數統一同等！！例(1)

若直線被兩條平行直線與所截得的線段長為，則直線的傾斜角等于．(2)

若直線被兩條平行直線與所截得的線段長為，則直線的傾斜角等于．解(1)

；直線與兩條平行線垂直！(2)

或；直線與兩平行直線的夾角為．例若動點A、B分別在直線和上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()．A． B． C． D．解選A；依題意知的中點的集合為與直線和距離都相等的直線；設點所在直線的方程為，根據平行線間的距離公式得，即；顯然，根據數據的特殊性，也可直接口算得到！例(1)

已知是分別經過、兩點的兩條平行直線，當間的距離最大時，直線的方程是________．(2)

直線分別過點，，它們分別繞P、Q旋轉，但始終保持平行，則之間的距離d的取值范圍為()．A． B． C． D．解(1)

；當與垂直時成立！(2)

選B．例設兩條直線的方程分別為和，已知a、b是關于x的方程的兩個實數根，且，則這兩條直線之間距離的最大值和最小值分別為()．A．， B．， C．， D．，解選D；兩平行線間距離為，易知，，故，結合，可得，即．例如果點(1，b)在兩條平行直線和之間，則b應取的整數值為_____．解令x＝1，代入6x－8y＋1＝0，解得y＝；代入3x－4y＋5＝0，解得y＝2.由題意得＜b＜2，又b為整數，∴b＝1．例(1)

求過直線與直線的交點，且到點的距離為2的直線方程．(2)

已知直線經過點，并且點和到該直線的距離相等，求直線的方程．(3)

已知直線經過點，，兩點到直線的距離之比為，求直線的方程．解(1)

易得交點為，易知所求直線斜率存在，設直線方程為，則，解得或，直線方程或．當然，此題也可以利用相交直線的交點曲線系：，但是，要注意討論單獨驗證，避免漏解．(2)

和；法一直譯法，利用點到直線的距離公式！但是要注意直線的設法，以及對應的解題步驟；如果是點斜式，需要討論斜率的存在與否！計算量適中、是常規解法！！如果是一般式，則可避免分類討論！！但是，一般式的計算量會稍大，鮮用！！！法二分析轉化！經過分析可得到：滿足題目條件的直線或者與直線平行，或者經過線段的中點．(3)

或．例用解析法證明如下兩個結論：(1)

平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和．【(1)(2)的本質是一樣一樣的！！】(2)

若是中邊的中線，則有：．【三角形的中線長定理！】 答案如圖所示，建立恰當的坐標系即可，具體的求解過程略．例(1)

已知點，，點P在直線上，求取得最小值時P點的坐標．(2)

已知，，點P為直線上一動點，求的最小值．解(1)

設，則，當時，取得最小值，故所求P點的坐標為．(2)

當時，取得最小值．注這兩小題也可以利用上題中的中線定理進行求解．比如以第(2)小題為例，，的最小值就是原點O到直線的距離．例已知為拋物線上任一點，則到直線距離的最小值為________．解設，則到已知直線的距離為，易知時，取得最小值．例已知動直線恒過點，且到動直線的最短距離為3，則的最小值為()．A． B． C．1 D．0解選B；由于直線恒過定點P，故Q到動直線的最短距離為，解得，因此，，故，當且僅當取得等號．例(1)

在坐標平面內，與點和點的距離均為5的直線共有()．A．1條 B．2條 C．3條 D．4條(2)

在坐標平面內，與點的距離為1，且與點的距離為的直線共有4條，則的取值范圍是()．A． B． C． D．以上結果都不對解(1)

選C；，其中有2條在線段的兩側，且都和線段平行，另一條是線段的中垂線．(2)

選A；，有2條；有3條！注此類題實質是考察圓和圓的位置關系，具體可參看后面相應章節的專題總結．例在平面直角坐標系內，設、為不同的兩點，直線l的方程為，對于，有下列四個說法：①存在實數，使點N在直線l上；②若，則過M、N兩點的直線與直線l平行；③若，則直線l經過線段MN的中點；④若，則點M、N在直線l的同側，且直線l與線段MN的延長線相交．上述說法中，所有正確說法的序號是．解若點N在直線l上，即滿足，故不存在這樣的實數，所以①不正確；若，即，即，即，即，故過M、N兩點的直線與直線l平行成立所以②正確；若，即把線段MN的中點代入直線l即可得，所以③正確；若，，所以與的值同正或同負，即點M、N在直線l的同側，又因為，點N離直線l更近，所以直線l與線段MN的延長線相交，所以④正確．因此，正確說法的序號是②③④．例(2017上海壓軸)如圖，用35個單位正方形拼成一個矩形，點、、、以及四個標記為“▲”的點在正方形的頂點處．設集合，點．過P作直線，使得不在上的“▲”的點分布在的兩側．用和分別表示一側和另一側的“▲”的點到的距離之和．若過P的直線中有且僅有一條滿足，則中所有這樣的P為．解、、；如圖建立直角坐標系，設，，，，四個“▲”的坐標分別為、、、．設直線為：，先不考慮唯一性，欲使得，則必有四個“▲”對應的點到直線的“有向距離”的和為0，即，其中表示四個“▲”的坐標，代入坐標，可解得．因此，直線過定點，再結合唯一性，易知、、是符合題意的點．例(2003北京文理)有三個新興城鎮分別位于A、B、C三點處，且，，今計劃合建一個中心醫院，為同時方便三鎮，準備建在BC的垂直平分線上的P點處（建立坐標系如圖）．(1)

若希望點P到三鎮距離的平方和最小，則P應位于何處？(2)

若希望點P到三鎮的最遠距離為最小，則P應位于何處？解(1)

依題設有，設點，則點P到三鎮距離的平方和為： ，因此，當時，函數取得最小值，即點P的坐標為．(2)

記，P至三鎮的最遠距離為，由解得，記，于是，當，即時，因為在上是增函數，而在上是減函數，因此，當時，函數取得最小值.點P的坐標是．當，即時，因為在上是增函數，當時，函數取得最小值b，而在上是減函數，且，所以當時，函數取得最小值．綜上所述，當時，點P為；當時，點P為，其中．4.2構造距離例(1)

已知直線，且在直線上，求的最小值．(2)

若，求函數的最小值．(3)

求的最小值．解(1)

a?12+b+12表示直線l上的動點Pa,b與1,?1的距離d，當d為1,?1到l的距離時，有最小值．∴d(2)

由題u=x2+y2?2x+4y=x?12(3)

，前者表示點到點的距離，后者表示點到點的距離，代數式的幾何意義為軸上的點到點和點的距離之和，結合圖象可知代數式的最小值為兩點之間距離，即．例已知，則的最小值為．法一注意到點、分別在函數、上，因此，可以轉化為求直線與曲線之間的距離d的最小值．利用平行切線，令，則，進而所求的最小值為4．或者利用曲線的對稱軸為，求出交點即可．法二利用重要不等式：，實際上也就是柯西或權方和不等式．，當且僅當，取得等號．注對于此類題目，熟練了，優先使用法二進行求解！例求函數的最小值．法一將u看成動點和動點之間距離的平方．點A的參數方程為：，即點A的軌跡方程為：，即點A在一段圓弧上．類似可得點B的軌跡方程為：，即點B在反比例函數的一支上．畫出圖形，易知對稱軸與兩個函數的圖象的交點之間的距離即為最小值，此時，，故，即u的最小值為8．法二，當且僅當、，即取得等號．例已知且，，則的最小值是()．A． B．8 C． D．解選D；，當且僅當，，或，時取得等號．例若對于任意，恒有，求實數的取值范圍．解設直線l:y=x，則可知該直線上的任意一點x,x到點A?3?2sinθcosθ,?asinθ?acosθ∣?3?2也就是asinθ+cosθ?2sinθcosθ?3≥12．設m=若am?n?3≥12，則a≥n+3+12m=m考慮到m∈1,2，故a≤232=例求證：．解等價于點到線段之間的距離．例對于實數a、b，定義運算“”：．已知實數滿足： ，則y的最小值為．解，等價于上的點與上的點之間距離的最小值，也就等價于圓心與上的點連線長度的最小值減1．故，當且僅當時取等，即．例(2017陜西高中預賽)設，若存在實數a、b滿足，，且 ，則的最大值為()．A． B． C． D．1解依題意，構造如圖的矩形，△CPQ為正三角形．設，則，因此，，即選A．例(2007四川文壓軸、理)如圖，l1、l2、l3是同一平面內的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，正三角形ABC的三頂點分別在l1、l2、l3上，則△ABC的邊長是()．A． B． C． D．法一利用定比分點取模公式＋算兩次面積設AC與直線的交點為D，則，故，平方取模得：（設正△ABC的邊長為a），又，即，即．法二設角參數轉化如圖所示，過點B作EF垂直于于l1、l2、l3，交l1于點E，交l3于點F，則，，設正三角形ABC的邊長為a，設，則．在中，在中，，故，解得，進而，，即選D．法二借助平幾知識如圖所示，過A、C分別作AE、CF垂直于l2于點E、F，將繞著點B逆時針旋轉60°至處，延長DA交l2于點G，因此，，．在中，，因此，在中，，進而，，故．練習如圖，在△AOB中，，，，等邊△EFG三個頂點分別在△AOB的三邊上運動，則△EFG面積的最小值為()．A． B． C． D．答案選D；作GH⊥AO于點H，設，等邊△EFG的邊長為a，則 ，即．例若存在實數x，使得關于x的不等式，則實數a的取值集合為()．A． B． C． D．解選C；由于，故，當且僅當且時取得等號．4.3主元轉換構造距離例已知，關于x的方程有實根，則的最小值為．法一主元轉換構造距離＋均值不等式等價于“已知關于t的方程有實根，求的最小值”，即求原點O到直線距離的最小值的平方，故 ，即，當且僅當，即時取得等號．注上述也可以利用換元處理：，其中．法二利用配方法，這是此方程的一個變形套路易知，故方程兩邊同時除以：，配方變形可得： ，故，即．法三巧妙變形＋權方和不等式設方程的實根為r，則有，故．提醒提醒粗心的同學，“距離”和“距離的平方”，兩者不要馬虎大意．．練習(1)

已知函數在區間上至少有一個零點，則的最小值為．(2)

已知函數，若存在非零常數t，使得成立，則的最小值為．答案(1)

；(2)

．4.4其他距離例若實數x、y滿足，則的最小值是．解①若，則，即，不可能成立，故舍去．②若，則，即，又，因此，，即，即，即．同時，注意到等號成立條件為：，結合，畫出圖象，是一列孤立的點，易得的最小值即為點到點距離的平方，即為2．當然，也可以利用消元法，，結合對稱軸，易知當時，取得最小值為2．例已知函數，若存在使得成立，則實數a的值是．解，其中當且僅當“和”時取等號，解得．§5移形換影，對稱問題5.1中心對稱1.點關于點的對稱解題時，注意分清哪個點是對稱中心，然后再利用中點坐標公式求解即可；譬如，點關于中心的對稱點為．2.直線關于點的對稱仍為直線，且這兩條直線平行！【重點掌握法一，其他發散了解！】法一利用相關點代入法，也即是轉化為點與點的對稱，再回代即可！例如，直線關于中心的對稱直線為：．法二在已知直線上取兩點，利用中點公式求出它們關于已知點對稱的兩點的坐標，再由兩點式求出直線方程．法三求出一個對稱點，再利用由點斜式得出直線方程．法四利用點到直線的距離相等，求出直線方程．例(1)

求點關于點的對稱點的坐標；(2)

求與直線關于點對稱的直線的方程．解(1)

；(2)

；例已知矩形ABCD相鄰兩個頂點，若矩形對角線的交點在x軸上，求另兩個頂點C和D的坐標．解設矩形對角線的交點為Mx，0．因為MA=MB，則x+12+33=x+22+42，解得x=?5，所以M?5，0．設Cx1，例平行四邊形ABCD的兩邊AB、AD所在的直線方程分別為、，其對角線的交點坐標為求另兩邊BC、CD所在的直線方程．解CD：x+y?11=0；BC：3x?y?16=0．5.2軸對稱1.點關于直線對稱法一點與對稱點的中點在已知直線上，點與對稱點連線斜率是已知直線斜率的負倒數．例如，設點關于直線的對稱點為：①當時，則有 ；【書寫套路】②當時，點關于直線的對稱點為．法二求出過該點與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點，在利用中點坐標公式求解．法三在平面直角坐標系中，設點關于直線的對稱點為，則點的坐標公式為：（亦適用）．注(1)

記憶口訣中間，中減！中間的是減號，不是加號！！(2)

特殊地，①點關于直線的對稱點分別為、．②點關于直線、的對稱點分別為、．【求誰就把誰單獨寫到一邊，然后取另一邊即可．】(3)

其他的應用參考后續的專題總結．2.直線關于直線對稱求直線關于直線對稱直線．法一利用直線的兩點式方程=1\*romani）如果兩條直線相交，可以先求出交點，再求出上的任意一個點關于的對稱點，最后由兩點式求出直線的方程．顯然，如果兩條直線平行，只須求出一個對稱點即可！=2\*romanii）或者直接求出上兩個點A、B關于的對稱點，再由兩點式求出直線的方程.法二利用相關點代入法【思路清晰，但是計算量大了很多！！】設為所求直線上的任意一點，則關于直線的對稱點的坐標適合的方程．法三若相交，則到的角等于到的角；若，則，且與的距離相等．例(1)

求點關于直線的對稱點的坐標．(2)

求直線關于直線對稱的直線的方程．解(1)

；(2)

法一易得交點坐標為，在直線上任取一點，求出點關于直線的對稱點為，利用兩點式可得直線的方程為．法二代入法；設直線上的動點關于直線的對稱點為，列出中點和斜率兩個方程，可得，又在直線上，代入化簡即可！例(1)

求點關于直線的對稱點B的坐標．(2)

已知直線與直線關于直線對稱，求直線的方程．解這兩小題利用上面的總結的規律即可輕松解決．(1)

；(2)

．例將一張坐標紙折疊，使得點與點重合，且點與點重合，則的值為．解；點與點重合，可知折痕所在的直線為，因此，點關于直線的對稱點為，故．例過點作直線l，且夾在兩條已知直線和之間的線段AB恰好被點M平分，求直線l的方程．解；法一：直譯法，硬算！設出直線l，不過，需對l的斜率k是否存在分類討論！法二：分析法，巧算！利用點是AB的中點，設得到點A的坐標，再利用點A在直線上，解得a的值，進而確定點B、A的坐標，求得直線的方程．練過點作一直線，使它被兩直線和所截的線段以為中點，求此直線的方程．【】例(1)

已知的兩條高所在直線的方程為和，且它的一個頂點是，求邊BC所在直線的方程．(2)

已知的兩條中線所在直線的方程為和，且它的一個頂點是，求邊BC所在直線的方程．(3)

已知的兩條角平分線所在直線的方程為和，且它的一個頂點是，求邊BC所在直線的方程．解(1)

由于點A不在給出的兩條高上，故AB、AC所在直線的方程分別為y?2=?32x?1和y?2=x?1，即3x+2y?7=0由3x+2y?7=0，x+y=0，得B7，?7．由因此，邊BC所在直線的方程為2x+3y+7=0．(2)

點A不在給出的兩條中線上，不妨設在中線上，則AB的中點在另一條中線上，故，解得，同理可得，因此，邊BC所在的直線方程為．(3)

點A不在給出的兩條角平分線上，同時，結合角平分線的性質可知，點A關于∠B、∠C的平分線的對稱點都在直線BC上，因此，只需要求出點即可．易知頂點關于角平分線、的對稱點分別為、，因此，邊BC所在的直線方程為．例(1)

已知的頂點的坐標為，邊上的中線所在直線方程為，的角平分線所在直線方程為，求直線的方程．(2)

已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求直線的方程．(3)

已知△ABC中頂點，AB邊上的高線所在直線方程為，∠B的角平分線所在直線方程為，求BC邊所在直線的方程．解(1)

設，則，解得，接下來有兩種方法：法一求出點關于的平分線的對稱點，則點在直線上，易得直線的方程為．法二利用到角公式！易得斜率．根據，所以直線的方程為．(2)

易知直線的方程為，解方程組，可得．設，則，解得，于是直線BC的方程為．(3)

易得直線AB的方程為，故聯立，解得；又點A關于角平分線對稱點為，在直線BC上，故BC邊所在直線的方程為．例(2005廣東壓軸)在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點落在線段DC上．(1)

若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；(2)

求折痕的長的最大值．解(1)①

當時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程；②當時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為，所以A與G關于折痕所在的直線對稱，有，即，即，故，從而折痕所在的直線與OG的交點坐標（線段OG的中點）為．因此，折痕所在的直線方程，即．綜上所述，可得折痕所在的直線方程為：當時，；當時，．(2)

當時，折痕的長為2；當時，折痕所在的直線與坐標軸的交點坐標為，，因此，，則，令，解得，故．綜上所述，折痕的長度的最大值2．5.3光線的入射與反射根據平面幾何知識和光學知識，入射光線和反射光線所在的直線關于法線對稱軸對稱，一般利用點的對稱關系求解．例從點發出的光線經直線反射，若反射線恰經過點，求光線所在直線的方程和反射光線的方程．解求關于直線的對稱點為，故光線所在直線的方程為；同理，要求反射光線的方程，可以先求點關于直線的對稱點，再求直線的方程：，即為反射光線的方程．練習光線通過點，經直線反射，若反射光線通過點．求入射光線和反射光線所在直線的方程．解入射光線為，反射光線為．例(2013湖南理壓軸)在等腰直角三角形ABC中，，點P是邊AB上異于A、B的一點，光線從點P出發，經BC、CA發射后又回到點P（如圖）．若光線QR經過△ABC的重心，則AP等()．A．2 B．1 C． D．解以點A為原點建立直角坐標系，則，，，△ABC的重心為．直線BC的方程為，設，則點P關于直線BC的對稱點為，即為，點P關于直線AC的對稱點為．因此，直線的方程為：，代入點G，解得，即，故選D．練習如圖，已知，，從點射出的光線經直線反射后再射到直線上，最后經直線反射又回到點，則光線所經過的最短路程是()．A． B．6 C． D．答案選A．例已知，，，，，一束光線從F點出發射到BC上的D點經BC反射后，再經AC反射，落到線段AE上（不含端點），則FD斜率的取值范圍是．解設落到線段AE上的反射點為，則M關于直線AC：的對稱點為，關于直線AB：的對稱點為，故FD斜率為： ．例已知直線，一光線從點處射向軸上一點，又從點反射到上一點，最后又從點反射回點．(1)

試判斷由此得到的是有限個還是無限個？(2)

依你的判斷，認為是無限個時，求出所有這樣的面積中的最小值；認為是有限個時，求出這樣的線段的方程．解設Bm，0，點A關于x軸的對稱點為A'1，?2，點B關于直線x?y+3=0根據光學性質，點C在直線A'B上，點C又在直線B'A上．可得A'B的直線方程為B?A的直線方程為y?2=?m?14x?1．由y?2=?m而當m=?3時，點B在直線x?y+3=0上，不能構成三角形，故這樣的△ABC只有一個．例(1)(2003全國卷文)已知長方形的四個頂點、、、，一質點從AB的中點沿與AB的夾角的方向射到BC上的點后，依次反射到CD、DA和AB上的點、和（入射角等于反射角），若與重合，則()．A． B． C． D．1(2)(2003全國卷理)已知長方形的四個頂點、、、，一質點從AB的中點沿與AB的夾角的方向射到BC上的點后，依次反射到CD、DA和AB上的點、和（入射角等于反射角），設的坐標為，若，則的取值范圍是()．A． B． C． D．解(1)C；(2)C；這兩小題，處理方法一樣，下面以第(2)小題為例進行說明．利用對稱，最終將、、、和這五個點對稱到一條直線上，如圖所示，由于，易知對稱后的到的水平距離，故．例(1)(2012大綱卷文壓軸)正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，，動點P從E發沿直線向F動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當點P第一次碰到E，P與正方形的邊碰撞的次數為()．A．8 B．6 C．4 D．3解(1)法一在正方形內，利用平行關系，依次作出各條邊上的反射點將正方形的邊長取為3，結合點E、F的位置，可知入射角的正切值為2，利用，作出點G，再利用平行關系，作GH∥EF，HI∥GF，…，依次作出其他的反射點，如圖所示，易得當點P一次碰到E，P與正方形的邊碰撞的次數為6．法二方格網法由于反射點可以對稱到一條直線上，因此，不妨畫出精確的方格網，延長EF，觀察直線EF和水平網格線的交點，判斷該交點是否和點E的位置是一致的！如圖，根據題目的選項，最多是8次，畫出8個交點，顯然，第8次為，是不成立的！對于，將這段路徑還原到正方形中，易知也不成立，因此，只能在處成立，由于直線和方格網有6個交點，因此，當點P一次碰到E，P與正方形的邊碰撞的次數為6．(2)(2012大綱卷理壓軸)正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，，動點P從E發沿直線向F動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當點P第一次碰到E，P與正方形的邊碰撞的次數為()．A．16 B．14 C．12 D．10(2)法三正面推導如圖所示，假設點為臨界點，延長交方格網于點，則，且E、之間間隔了x個方格，F、間隔了y個方格，同時，注意AB的位置，易知x、y必定都是偶數．因此，由于，則，即，即，易知滿足條件的最小x、y分別為，，因此，當點P一次碰到E，P與正方形的邊碰撞的次數為．法四將點E平移到原點，則直線第一次遇到格點，且x、y都是偶數，即為所求．一般化當（且兩者互質）時，則當點P一次碰到E，P與正方形的邊碰撞的次數為．練習已知單位正方形的四個頂點、、和，從A點向邊CD上的點發出一束光線，這束光線被正方形各邊反射（入射角等于反射角），光線經過正方形某個頂點后射出，則這束光線在正方形內經過的路程長度為 ．解直線AP的方程為：，取整數解，即為（如果是回到A，則是兩倍），因此，如圖所示，這束光線經過5次反射后從某個頂點射出，光線在正方形內經過的路程為圖中AQ的長，因此，．5.4角平分線問題例若的頂點，，，求的角平分線所在的直線的方程．法一利用角平分線的方向向量，直接求出斜率！由于，，，，因此，的角平分線的方向向量為，又直線的方向向量為，故直線AT的斜率為．法二利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等易求得直線、的方程分別為：、．設的角平分線上任一點為，則，即，即或（外角平分線，舍去，可畫出草圖判斷）．法三利用到角公式，求出斜率，或者夾角公式（須舍去一個），具體過程略．法四利用角平分線定理，結合定比分點，求出角平分線和對邊的交點！易得，，設為直線與直線的交點，所以，設，則，解得，進而可得的方程為．法一：利用點關于直線的對稱，求出角平分線上的一個點！例在中，點，邊上的高所在的直線方程為，的平分線所在的直線方程為，求．解解x?2y+1=0，y=0，得A?1，0，所以AB：設Cx0，y0，因為BC與BC邊上的高線垂直，并且C關于直線y=0（∠A的平分線）的對稱點C?在直線AB上，所以，k所以，y0?2x0?1=?2，x例(2006重慶理)與向量、的夾角相等，且模為1的向量是()．A． B．或C． D．或法一設所求向量的平行向量為，則，故選B．法二設所求向量的平行向量為，，，利用夾角相等：，即．例(2005天津理)在直角坐標系xOy中，已知點和點，若點C在∠AOB的平分線上且，則．解；．§6奇思妙想，話直線系6.1直線系1.平行直線系與直線平行的直線系方程為．2.垂直直線系與直線垂直的直線系方程為3.過兩交點的直線系過兩相交直線和交點的直線系方程為，此直線系不包括．注推廣到過曲線與的交點的方程為：.例已知點，和直線．(1)

求過點與直線平行的直線的方程；(2)

求過的中點與垂直的直線的方程．解(1)

設的方程為：，將點的坐標代入得，所以的方程為．(2)

設的方程為，將的中點代入得，所以的方程為．例已知直線，試求與直線的距離為的直線的方程；解設所求直線方程為，根據題意，解得或，所以，所求直線方程為或．例求經過直線和的交點，且平行于直線的直線方程．解設所在直線的為，整理得．因為所求直線平行于直線，所以，解得，故所求直線方程為．例求經過直線與直線的交點，且滿足下列條件的直線的方程：(1)

與直線平行；(1)

與直線垂直．【適時的選用直線系！】解(1)

和的交點為．依題意，所求直線斜率，故所求直線方程為．(2)

依題意，所求直線斜率，故所求直線方程為，即．例(2008江蘇)如圖，設的頂點分別為，，，點在線段AO上的一點（異于端點），這里a、b、c、p均為非零實數，設直線BP、CP分別與邊AC、AB交于點E、F，某同學已正確求得直線OE的方程為．請你完成直線OF的方程：()．解；由截距式可得直線AB：，直線CP：，點F是直線AB、CP的交點，利用過交點的直線系方程，可得，代入原點O，解得，可得直線OF的方程是．6.2直線系過定點問題的處理例已知a、b滿足，則直線必過定點()．A． B． C． D．法一消元利用恒等式；將代入直線方程整理得，令，解得，故選D．法二利用比例式，即，故選D．例已知直線方程為．(1)

求證：不論取何實數值，此直線必過定點；(2)

過這定點引一直線，使它夾在兩坐標軸間的線段被這點平分，求這條直線的方程．解(1)

把直線整理為，令，解得，即點，因此，此直線必過定點．(2)

設經過點的直線與兩坐標軸分別交于，．由中點坐標公式：，解得，故所求直線的方程為，即．§7到角當頭，秒解交角1.到的角把直線依逆時針方向旋轉到與重合時所轉的角；它是有向角，范圍是．注①到的角與到的角是不一樣的；②旋轉的方向是逆時針方向；③繞“定點”是指兩直線的交點．2.直線與的夾角是指由與相交所成的四個角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范圍是．3.到角公式和夾角公式設兩直線方程分別為或；(1)

若為到的角，或；【逆時針＋后減去前！】(2)

若為和的夾角，則或；(3)

當或時，．注①上述與有關的公式中，其前提是兩直線斜率都存在，而且兩直線互不垂直；當有一條直線斜率不存在時，用數形結合法處理！②直線到的角與和的夾角的關系：或．③到角公式在證明四點共圓時，是一個很常用的方法，具體參考后面圓錐曲線的四點共圓專題．例(2009全國卷Ⅰ文壓軸)若直線m被兩平行線與所截得的線段的長為，則m的傾斜角可以是：①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正確答案的序號是___________.(寫出所有正確答案的序號)解①⑤；由于兩條平行線之間的距離為，結合圖形，易知直線m和平行線的夾角為30°，進而可知①⑤正確．例已知直線，直線，，兩平行直線間距離為，而過點的直線l被、截得的線段長為，求直線l的方程．解由于，故，結合，可得．又與間距離為，則，解得或(舍)．故點A坐標為．設l與的夾角為，l的斜率為k，的斜率為，根據題意，易得，即，故 ，解得或．因此，直線l的方程為或．例已知，角A為直角頂點，若AC、AB邊上的中線分別落在直線和上，斜邊長為10，則三角形的面積為．解此題若是按照題目的條件常規做，會比較繁瑣一些，下面給出一種“模型剝離法”．由于角A為直角頂點，因此，不妨把A移到原點，同時讓點B在x軸，C在y軸，如圖，注意到平移過程的中線的夾角是不變的，因此，兩條中線的夾角仍為．結合圖形可知：，，易得．【不能利用平移前的斜率倍數關系！！】因此，，解得，即，即，即三角形的面積為25．例(2008全國卷Ⅱ理)等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為()．A．3 B．2 C． D．解選A；令，，，，設底邊為，由題意，到所成的角等于到所成的角，于是有，即．§8乾坤移位，將軍飲馬將軍飲馬，也就是“距離最短”問題，一般是利用三角形的邊長關系，即“三角形的兩邊之和(差)大于(小于)第三邊”，以及“兩點之間，線段最短”進行解決．例(2013四川文壓軸)在平面直角坐標系內，到點，，，的距離之和最小的點的坐標是_______．解；畫出圖形，分析易知，四邊形ABCD的對角線交點即為所求．類型一A、B兩點在直線l的異側(1)

如左圖，在直線l上找一點P，使得最小？方法連結AB與直線l的交點，即為所求的點P．(2)

如右圖，在直線l上找一點P，使得最小？方法作點B關于直線l的對稱點，連結與直線l的交點，即為所求的點P． 類型二A、B兩點在直線l的同側(1)

如左圖，在直線l上找一點P，使得最小？方法作點A關于直線l的對稱點，連結與直線l的交點，即為所求的點P．(2)

如右圖，在直線l上找一點P，使得最小？方法連結AB與直線l的交點，即為所求的點P．例(1)

已知兩點，，直線，在直線l上求一點P，使得最小；(2)

已知兩點，，直線，在直線l上求一點P，使得最小；(3)

已知兩點，，直線，在直線l上求一點P，使得最大；(4)

已知兩點，，直線，在直線l上求一點P，使得最大．答案(1)

；(2)

；(3)

；(4)

．例已知x、y滿足，求函數的最小值．解此函數的最小值轉化為“求直線動點與兩定點、的距離之和的最小值”．易求得點關于直線的對稱點為，連接交直線l于點P，則的最小值即為．例(1)

求函數的最小值；(2)

求函數的最大值和最小值，并寫出取得最大值和最小值時的x值．解(1)

由于，因此，此函數的最小值轉化為“求x軸上的動點與兩定點、的距離之和的最小值”．畫出圖形，具體過程略，易求得最小值為．(2)

由于，因此，的最值可以轉化為“求x軸上的動點與兩定點、的距離之差的絕對值的最值”．畫出圖形，具體過程略，易求得在處取得最大值為，在處取得最小值為0．注對于形如或的無理函數的最值，一般可以嘗試通過上述的方法進行求解，轉化為動點與兩定點距離和（差）的最值．例已知兩定點和，動點在直線上移動，橢圓C以A、B為焦點且經過點P，則橢圓的離心率的最大值為．法一；由于，故求出a的最小值即可．又，只須求出的最小值即可，則問題轉化為：在直線上找一點P使得最小．易知點關于直線的對稱點為，因此，點A關于l的對稱點為，則，即橢圓的離心率的最大值為．法二設橢圓方程為：，當橢圓和直線l相切時，a最小，離心率最大，利用等效判別式：，即．練習點，，點M是圓上的動點，點N是圓上的動點，則的最大值是()．A． B．2 C．3 D．答案選B；點P在直線上，先將最值轉化到圓心上，設圓心、圓心，則的最大值為，只須求出的最大值，此時即為將軍飲馬問題了．例(2016年全國高中數學聯賽浙江賽區預賽)已知向量，且．若，則的最小值為()．A． B．26 C． D．24解選B；如圖，設，，則，此時問題轉化為將軍飲馬問題：即在線段AB上求一點P，使得的值最小，設點O關于AB的對稱點為C，則最小值為．例在平面直角坐標系中有兩點、，以原點為圓心，以為半徑作圓，與射線交于點M，與x軸正半軸交于點N，則當r變化時，的最小值為．解設，，則 ，問題等價于點、與x軸上的點連線段長的和最短，即為將軍飲馬問題！因此，作，則，當且僅當時，取得最小值．例在平面直角坐標系xOy中，點P在直線上，從點P向圓、分別引切線，切線長分別記為，則的最小值為．略解；設，結合切線長公式，整理易得： ．類型三造橋選址問題 (1)

如左圖，A、B分別在兩條平行線m、n的兩側，MN是與平行線垂直且夾在平行線間的定長線段，當MN在運動到何處時，的值最小？方法將點A向下平移MN的長度得到點，連結交直線n于點N，再作NM⊥m于點M即可．注這個就是所謂的“單橋問題”，類似的，也可以推廣到“雙橋問題”，如中間圖所示．(2)

如右圖，點A、B在直線l的同側，MN是在直線l滑動的定長線段，當MN在運動到何處時，最小？方法將點A向右平移MN的長度得到點，作關于直線l的對稱點，連結交直線l于點N，再將N向左平移MN的長度即可得到點M．例如圖，已知，，，，問a為何值時，四邊形APQB的周長最小？答案當時，四邊形APQB的周長取得最小值為．類型四雙對稱問題(1)

如左圖，點A在∠MON內，在射線OM、ON上分別找一點B、C，使得△ABC的周長最小？方法作點A分別作關于射線OM、ON的對稱點、，連結與射線OM、ON的交點，即為所求的點B、C．(2)

如中間圖，點A、B在∠MON內，在射線OM、ON上分別找一點D、C，使得四邊形ABCD的周長最小？方法作點A、B分別作關于射線OM、ON的對稱點、，連結與射線OM、ON的交點，即為所求的點D、C．(3)

如右圖，點A、B分別為邊OM、ON上的的定點，在邊OM、ON上分別求點D、C，使得最小？方法作點A、B分別作關于射線OM、ON的對稱點、，連結與射線OM、ON的交點，即為所求的點D、C．例在四邊形ABCD中，，，則△ACD周長的最小值為．解；如是所示，分別作D關于直線BA、BC的對稱點，則，，故△ACD周長的最小值為．例如圖，，點C在∠AOB內，且．以C為圓心，1為半徑作圓，點X、Y分別是射線OB、OA上異于O的動點，點P在圓C上運動，若圓C和∠AOB兩邊都沒有交點，則的最小值為．解做P關于射線OA、OB的對稱點，則，且，顯然，只有當共線時，有最小，同時，欲使得最小，只須最小即可，顯然，的最小值為2，故的最小值為．練習已知點A是圓上的動點，點B、C分別是y軸于直線上的動點，則△ABC周長的最小值為．解設點A關于y軸于直線上的對稱點分別為、，則，，顯然，只有當共線時，△ABC的周長取得最小值為．例已知是大小為的二面角，C為二面角內一定點，且到半平面、的距離分別為、6，A、B分別是半平面、內的動點，則△ABC周長的最小值為()．A． B． C．15 D．解選D；如圖，設點C關于半平面、的對稱點分別為、，則 ．情形五垂線段最短(1)

如左圖，點A在∠MON外部，在射線OM上找一點P，使得PA與點P到射線ON的距離之和最小？方法過點A作AB⊥ON于點B，則AB與射線OM的交點P即為所求．(2)

如右圖，點A在∠MON內部，在射線OM上找一點P，使得PA與點P到射線ON的距離之和最小？法一作點A關于射線OM的對稱點，過點作⊥ON于點B，則與射線OM的交點P即為所求．法二作射線OB關于射線OM的對稱射線，過點A作AB⊥于點B，則AB與射線OM的交點P即為所求．例已知正實數x、y滿足，則的最小值為()．A． B． C．2 D．法一通法先行，利用判別式！令，并將代入，整理可得：，令，解得，當且僅當、時取得等號，故選A．法二利用幾何意義，數形結合！設是線段上一點，則x為點P到y軸的距離，且．易求得原點O關于直線的對稱點為，則 ．法三利用柯西不等式：，當且僅當，即時取得等號．注柯西不等式配的系數，一般都是特殊的數，熟練了，可以直接目測嘗試；當然，試不出來，可以利用待定系數法得到：，令，解得．法四對于含有“”的結構，可以嘗試利用極坐標代換；設，則即為，又，即等價于求的最小值．令，即為，令，解得．例已知有向線段PQ的起點P和終點Q的坐標分別是、，若直線與線段PQ的延長線相交，則實數m的取值范圍是．解；§9數形結合，曲線距離距離最小模型已知定點和動點，當取得最小值時，點的坐標滿足關系式：．注(1)

這個模型的證明，可以利用，借助導數證得，不過并不嚴密，是有bug的，因此，此模型在大題中是不能直接使用的，切記切記！！(2)

如果從圖像上理解這個模型，相當于是以定點P為圓心的圓，即為，此圓的半徑r不斷增大，直至和的圖象相切時，r剛剛好取得最小值，亦即的最小值．例函數，因其圖象像“囧”字，被稱為“囧函數”．我們把函數的圖象與y軸的交點關于原點對稱的點稱為函數的“囧點”；以函數的“囧點”為圓心，與函數的圖象有公共點的圓，皆稱為函數的“囧圓”．當時，有下列命題：①對任意，都有成立；②存在，使得成立；③函數的“囧點”與函數圖象上的點的最短距離是；④函數的所有“囧圓”中，其周長的最小值為．其中的正確命題有．（寫出所有正確命題的序號）【②③④】解是偶函數，故只需要作出的圖象，再對稱到y軸左邊就可以了；分式函數的作圖方法，只要漸近線畫出來，圖象基本也就定了，易知的漸近線為x軸和，如圖所示，為囧點．①當時，顯然，故①錯誤．②易知，而當時，，故②正確．③法一構造圓，利用切線垂直法【通法】利用以囧點J為圓心的圓和相切時臨界，設此時的切點為，由于，即，，由于單調遞增，觀察可知，只能取．法二寫出距離的表達式，然后求導或者利用不等式放縮，令，利用導數求解即可，求解也比較簡單，故具體過程略．法三聯想到的反函數求點到距離的最小值，由于也過點，且和互為反函數，顯然，最小距離即為點到