專題8-2立體幾何中平行的證明與應用模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】平行關系的判斷【題型2】構造平行四邊形得到平行關系【題型3】由中位線得出平行關系【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）【題型5】由面面平行得出線面平行【題型6】兩個平面交線相關的平行證明【題型7】證明線線平行【題型8】通過平行證明四點共面【題型9】平行關系的應用：等積變形求體積【題型10】平行的存在性問題（確定點的位置）【題型11】平行的存在性問題（確定動點軌跡）【題型12】截面問題（通過作平行線或延長線補全截面）模塊二模塊二核心題型·舉一反三平行關系思維導圖序號圖形展示符號語言文字語言1垂直于同一平面的兩個直線平行如果兩條直線分別與第三條直線平行則這兩條直線平行線段成比例兩直線平行（中位線）平行四邊形對面平行2平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行3一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行4一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別平行，那么這兩個平面平行5如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行6一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平面平行，則這兩個平面平行7兩個平面平行，則其中一個平面內的任意一條直線與另一個平面平行【題型1】平行關系的判斷常用結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥B．(4)若α∥β，m?α，則m∥β.【例1】（2024·山東淄博·二模）已知α，β，γ為三個不同的平面，a，b，l為三條不同的直線．若則下列說法正確的是（）A．a與l相交 B．b與l相交 C．a∥b D．a與β相交【答案】C【分析】根據空間中直線與平面的位置關系逐項判斷即可.【詳解】對于AB，平面，，則，同理可得，則AB錯誤；對于C，由AB知道，則C正確；對于D，由A知道平面，平面，則，故D錯誤.【例2】已知、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則；B．若，，則；C．若、是異面直線，，，，，則；D．平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則．【答案】C【分析】利用直觀想象判斷直線與平面的位置關系可判斷ABD；利用線面平行的性質定理與面面平行的判定定理可判斷C，從而得解.【詳解】因為、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面，，對于A，若，，則與可能相交，故A錯誤；對于B，若，，則可能在內，故B錯誤；對于C，因為，所以，又，所以由線面平行的性質定理可知在內存在，則，進而可得，因為是異面直線，，所以與相交，又，所以由面面平行的判定定理得，故C正確；對于D，平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則與可能相交，故D錯誤．【例3】（多選）已知平面，且，則下列結論正確的是（）A．與可能是異面直線 B．若，則C．若，則 D．若兩兩垂直，則l，m，n也兩兩垂直【答案】BCD【分析】利用異面直線的意義判斷A；利用線面平行的判定性質推理判斷B；利用平面的基本事實推理判斷C；利用面面垂直的性質、線面垂直的判定性質推理判斷D.【詳解】對于A，由，得，因此與不可能是異面直線，A錯誤；對于B，，，則，于是，又，，因此，B正確；對于C，由，得，由，得，則，又，因此，C正確；對于D，令，，在平面內取點（不與點重合），并在內作，而，則，又，于是，而，則，又，因此，則是二面角的平面角，由，得，即，因此l，m，n兩兩垂直，D正確.故選：BCD

【鞏固練習1】下列關于平面平行的命題，正確的是（

）A．若一個平面內的無數條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行B．若一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行C．若兩個平面與同一個平面垂直，則這兩個平面平行D．若兩個平面與同一條直線平行，則這兩個平面平行【答案】B【分析】對A，兩面相交，另一平面有無數條直線和交線平行也和該平面平行，故可判斷；對B，根據平面平行的判定定理即可判斷；對C，根據墻面三個角可判斷；對D，兩面相交一條直線，和直線平行的直線都平行兩平面，故可判斷.【詳解】對A，假設兩個面相交于一條直線，則其中一個平面內有無數條直線與交線平行也與另一個平面平行，故A不正確；對B，根據平面平行的判定定理，可知一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行，故B正確；對C，若兩個平面與同一個平面垂直，不一定得出兩平面平行，例如墻角的三個面，故C錯誤；對D，兩個平面與同一條直線平行，不一定能得出兩面平行，例如兩面相交與一條直線，存在與交線平行的直線平行于兩個面，故D錯誤.【鞏固練習2】設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】對于A，根據已知條件推出或，對于B，可以推出或異面，對于C，可以推出或，對于D，根據判定定理可以得到結論.【詳解】對于A，由，則或，故A錯誤；對于B，，則或與是異面直線，故B錯誤；對于C，，則或，故C錯誤；對于D，，則，故D正確.【鞏固練習3】已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，對于下列命題正確的是（

）A．B．；C．D．.【答案】B【分析】根據面面平行的判定定理可判定A，根據面面平行的性質定理可判定B，根據線面平行的判定定理可判定C，根據線面平行的性質定理可判定D.【詳解】選項A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n不一定相交，故A錯誤；選項B：由面面平行的性質定理可知B正確；選項C：由線面平行的判定定理可知，m可能在內，故C錯誤；選項D：由線面平行的性質定理可知，m，n可能異面，故D錯誤【題型2】構造平行四邊形得到平行關系【方法技巧】構造平行四邊形找線線平行【例1】如圖，在棱長為1的正方體中，E、F及G分別為棱、和的中點.求證：平面DEG；

【解析】在正方體中，E，F，G分別為棱和的中點，，且，四邊形是平行四邊形，，平面平面DEG，平面DEG.【例2】（2024·江蘇南京·模擬預測）如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點，.若為的中點，證明：平面；【解析】證明：由已知得，取的中點T，連接，由N為的中點知，．又，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．【鞏固練習1】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點E為棱PC的中點，．證明：平面PAD；【解析】在PD上取中點G，連接AG，EG，如圖：∵G和E分別為PD和PC的中點，∴，且，又∵底面ABCD是直角梯形，，，∴且．即四邊形ABEG為平行四邊形，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD【鞏固練習2】（24-25高三上·青海西寧·期中）如圖，平面，，，，，點分別為的中點．求證：平面【分析】（1）連接，可證明四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定定理即可證得；【詳解】（1）連接，因為，，所以．又因為，所以四邊形為平行四邊形，又因為點分別為的中點，所以且，因為，，所以且，又因為點分別為的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面．【鞏固練習3】如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點，，的邊長為2．求證：：平面；【解析】證明：取的中點，連接，，根據題意可得，且，，由三棱柱得性質知，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，因為面，面，所以面．【題型3】由中位線得出平行關系涉及中點條件時考慮利用三角形中位線找線線平行.【例1】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是棱PB，PC的中點，是棱PA上一點，且，求證:平面MCD【解析】取PA的中點S，連接SM，SD，SC，因為為PB的中點，所以，又，所以，故S，M，C，D四點共面，由題意知Q，N分別為PS，PC的中點，故，又平面平面MCD，因此平面MCD【鞏固練習1】（24-25高三上·廣東深圳·階段練習）如圖所示，四棱錐中，四邊形是矩形，平面平面，，點是線段的中點，點在線段上，且.求證：平面【分析】（1）連接交于，則是的中點，連接，由中位線性質知，根據線面平行的判定可證平面；【詳解】（1）連接交于，則是的中點，連接，因為是線段的中點，所以是的中位線，則，又因為平面，平面，所以平面.【鞏固練習2】（2024·浙江金華·一模）如圖，三棱錐中，平面，，為中點，為中點，為中點.

求證：平面；【分析】連，利用三角形中位線性質，線面平行的判定推理即得.【詳解】連，由為中點，為中點，得，又平面，平面，所以平面.【鞏固練習3】已知在正四棱柱中，，，點是的中點，求證：平面【分析】根據中位線的性質可得，由線面平行的判定定理即可證明；【詳解】連接，交于點，則為的中點，又因為為的中點，連接，則，平面，平面，平面【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）解析：模型鋪墊：AB∥平面βAB∥DE【例1】如圖，在三棱柱中，側面為菱形，側面為正方形．點為的中點，點為AB的中點．

證明：平面【簡析】找一點和MN構成平面，該平面與平面有2個位置確定的交點，圖中去掉MN和平面中的點后滿足條件的點只有A點了，AM與平面交于點C1，AN與平面交于點B，故MN∥BC1，找出了平面中和MN平行的那條線【詳解】連接，如圖所示：

因為為菱形，點為的中點，所以，又點為的中點，點為中點，所以，而平面，平面，所以平面.【例2】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點在棱上（不與端點重合），E，F分別是PD，AC的中點.證明：平面.【解析】連接,因為底面是正方形，所以是的中點，又因為是的中點，所以是的中位線，所以，因為平面，平面，所以平面【例3】（2024·浙江·一模）如圖，在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，平面，點是的中點，點在線段上且，為三角形的重心.求證：平面【分析】（1）根據重心性質以及線段比可知是的重心，再利用線段比例關系以及線面平行判定定理可得結論；【詳解】（1）連接交于點，由重心性質可得是的中點，又點是的中點，點在線段上且，可知是的重心；連接，可知點在上，如下圖所示：由重心性質可得，，所以；又平面，平面，所以平面法二：連接CG交AB于H，易證FG∥EH【鞏固練習1】（2024·山東濟南·三模）如圖所示，為矩形，為梯形，平面平面，.若點為的中點，證明:平面；【解析】連接PC，交DE于，連接MN為矩形為的中點在中，M，N分別為PA，PC的中點,因為平面平面,所以平面.【鞏固練習2】在直三棱柱中，已知D為的中點.求證：平面.

【分析】連接交于點，連接，利用中位線的性質可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立.【詳解】證明：連接交于點，連接，如下圖所示：

在三棱柱中，且，則四邊形為平行四邊形，因為，則為的中點，又因為為的中點，所以，，因為平面，平面，因此，平面.【鞏固練習3】（24-25高三上·福建泉州·期中）如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點，是的延長線與CB的延長線的交點．(1)求證：平面；(2)若點在線段AP上，且點E為靠近點A的三等分點，求直線與平面所成的角的正弦值．【分析】利用全等思想來證明中點，從而得證線線平行，即可證明線面平行；【詳解】連接交于點，連接MD，如下所示：因為是直三棱柱，故可得是矩形，故為的中點，又是的中點，所以，又，，，，即是的中點，故在中，M，D分別為，的中點，故可得，又平面，平面，故面．【鞏固練習4】如圖，三棱柱中，E，P分別是和CC1的中點，點F在棱上，且，證明：平面EFC．【答案】證明：連結PB1，交CE于點D，連結DF，EP，CB1，因為E，P分別為B1C1，CC1的中點，故EP∥CB1且EP＝CB1，

故，又B1F＝2，A1B1＝3，故，

所以FD∥A1P，又FD?平面EFC，A1P?平面EFC，

故A1P∥平面EFC；【題型5】由面面平行得出線面平行本法原理：已知平面平面，則平面里的任意直線均與平面平行思路比較簡單不過書寫步驟會繁瑣一些，一般不做第一選擇【例1】如圖，已知三棱柱為直三棱柱，為AC的中點.證明：平面【簡證】取中點【例2】（2024·貴州貴陽·二模）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺中，分別為的中點，，側面與底面所成角為.

求證：平面；【解析】連接、，由分別為的中點，則，又平面，平面，故平面，正四棱臺中，且，則四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面，又，且平面，平面，故平面平面，又平面，故平面；【鞏固練習1】（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校?？奸_學考試）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，．（1）求證：平面；【解析】（1）證明：因為四邊形是矩形，所以，，因為平面，平面，所以平面，

因為，平面，平面，所以平面，

因為，、平面，則平面平面，因為平面，所以，平面．【鞏固練習2】（2024·四川達州·二模）如圖，在直角梯形中，，，，把梯形繞旋轉至，，分別為，中點．證明：平面；【解析】證明：設中點為，連接，為中位線，，又平面，平面，平面，為梯形中位線，，又平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，平面，平面．【鞏固練習3】（2024·江蘇南京·二模）如圖，，，點、在平面的同側，，，，平面平面，.求證：平面；

【解析】因為，平面，所以平面，同理平面，又，平面，，所以平面平面，平面，所以平面【題型6】兩個平面交線相關的平行證明兩個平面交線相關的平行證明可以考慮補全圖形得到交線，也可以先找一個線面平行，得出線線平行來代換交線，原理是由線面平行得出線線平行【例1】如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，且PD⊥面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．證明：l∥CB【證明】證明：因為ABCD為正方形，∴BC∥AD，又∵BC平面PAD，AD平面PAD．∴BC∥平面PAD又∵BC平面PCB，平面PAD∩平面PCB＝l，∴l∥CD．【例2】（2025高三·全國·專題練習）如圖，且，，且，且，平面，,設平面與平面的交線為，求證：；【分析】由線面平行的判定定理和性質定理證明即可；【詳解】因為，，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.【鞏固練習1】在圓柱中，是圓的一條直徑，是圓柱的母線，其中點與不重合，是線段的兩個三等分點，且．若平面和平面的交線為，證明：平面.【答案】證明見解析【分析】利用三等分點得中位線可得線線平行，再應用線面平行判定與性質定理證明即可；【詳解】由知為中點，又為中點，所以，平面，平面，所以平面，又平面，由平面平面，且，故由線面平行的性質定理可得，由點與不重合，可知平面，故平面，又平面，所以平面.【鞏固練習2】（2025高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，，側面為矩形.記平面與平面交線為，證明：；【答案】證明見解析【分析】根據平面，進而根據線面平行的性質即可求解.【詳解】因為在三棱柱中，，由于平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以【鞏固練習3】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，設平面與平面的交線為m，分別為的中點.(1)求證：平面；(2)求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取的中點，利用中位線的性質先證明四邊形為平行四邊形，由線線平行證線面平行即可；（2）利用線線平行先證線面平行，再由線面平行的性質證線線平行即可.【詳解】（1）取的中點，連接，因為分別為的中點，底面為平行四邊形，則，且，所以四邊形為平行四邊形，即，顯然平面，平面，則平面；（2）易知，平面，平面，所以平面，又平面，平面與平面的交線為m，所以.【題型7】證明線線平行利用線面平行和面面平行證明線線平行【例1】如圖，平面ABCD,平面ADE，．求證：．【解析】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．∵平面ADE，，平面BCF，∴平面平面．又平面平面，平面平面，∴．【例2】如圖，直四棱柱被平面所截，截面為CDEF，且，，，平面與平面所成角的正切值為．證明：.【解析】在直四棱柱中，平面平面，平面，平面，則，而且，又，因此且，則四邊形是平行四邊形，所以，又，，所以．【鞏固練習1】如圖所示，圓臺的上?下底面圓半徑分別為和為圓臺的兩條不同的母線.分別為圓臺的上?下底面圓的圓心，且為等邊三角形.求證：.

【解析】證明：圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.母線與母線的延長線必交于一點，四點共面.圓面圓面，且平面圓面，平面圓面..【鞏固練習2】（2024·甘肅·一模）如圖，空間六面體中,,，平面平面為正方形，平面平面.求證：；【解析】平面平面，平面.為正方形，，同理可得平面.平面平面，平面平面.平面平面平面平面，.【題型8】通過平行證明四點共面通過線線平行得出四點共面【例1】如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，，的中點(1)求證：平面；(2)求證：、、、四點共面；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先證四點共面，再證明，由線線平行得到線面平行.（2）連接，結合條件可證，從而證明.【詳解】（1）如圖：連接，因為分別為的中點，所以在三棱柱中，.所以四點共面.因為分別為的中點，所以，.所以四邊形為平行四邊形.所以.因為平面平面，所以平面.（2）如圖：連接，因為為直三棱柱，且分別為的中點，所以，又，所以，所以、、、四點共面.【鞏固練習1】（2024·內蒙古包頭·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，點在棱上，，點，是棱上的三等分點，點是棱的中點．，．證明：∥平面，且，，，四點共面；【分析】由中位線得，結合線面平行的判定定理即可證得∥平面，要證，，，四點共面，只需，只需，連接，結合條件證明四邊形是平行四邊形即可；【詳解】（1）因為F，G分別為的中點，所以，又平面CFG，平面，所以平面．連接HE，在中，，所以，且，因為，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形．所以，又，所以，故C，E，F，G四點共面．【鞏固練習2】如圖，多面體ABCGDEF中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，判斷點B，C，F，G是否共面，并說明理由．【詳解】取DG中點P，連接PA，PF，如圖示：

在梯形EFGD中，FP∥DE且FP＝DE．

又AB∥DE且AB＝DE，∴AB∥PF且AB＝PF

∴四邊形ABFP為平行四邊形，∴AP∥BF

在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，

∴B，C，F，G四點共面．【鞏固練習3】如圖，在長方體中，點分別在棱上，2DE＝ED1，BF＝2FB1，證明：點在平面內．【解答】證明：在EQAA\S\DO(1)上取點M，使得EQA\S\DO(1)M＝2AM，連接EQEM,B\S\DO(1)M,EC\S\DO(1),FC\S\DO(1),在長方體EQABCD－A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)中，有EQDD\S\DO(1)∥AA\S\DO(1)∥BB\S\DO(1),且EQDD\S\DO(1)＝EQAA\S\DO(1)＝EQBB\S\DO(1)．又2DE＝EQED\S\DO(1),A\S\DO(1)M＝2AM，BF＝EQ2FB\S\DO(1),∴DE＝AM＝EQFB\S\DO(1)．∴四邊形EQB\S\DO(1)FAM和四邊形EDAM都是平行四邊形．∴EQAF∥MB\S\DO(1),且AF＝EQMB\S\DO(1),AD∥ME,且AD＝ME．又在長方體EQABCD－A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)中，有EQAD∥B\S\DO(1)C\S\DO(1),且AD＝EQB\S\DO(1)C\S\DO(1),∴EQB\S\DO(1)C\S\DO(1)∥ME且EQB\S\DO(1)C\S\DO(1)＝ME，則四邊形EQB\S\DO(1)C\S\DO(1)EM為平行四邊形，∴EQEC\S\DO(1)∥MB\S\DO(1),且EQEC\S\DO(1)＝EQMB\S\DO(1),又EQAF∥MB\S\DO(1),且AF＝EQMB\S\DO(1),∴EQAF∥EC\S\DO(1),且AF＝EQEC\S\DO(1),則四邊形EQAFC\S\DO(1)E為平行四邊形，∴點EQC\S\DO(1)在平面AEF內【題型9】平行關系的應用：等積變形求體積等積變形求體積，即形狀改變但體積不變。通過計算變形前后的體積相等【例1】已知正方體的棱長為是線段上的一個動點，則三棱錐的體積是否為定值？請說明理由【答案】是定值【詳解】

根據正方體的性質可知，，且，所以，四邊形為平行四邊形，則.因為平面，平面，所以，平面.又，所以點到平面的距離為定值.又的面積確定，，所以，三棱錐的體積為定值.【例2】如圖，在棱長為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點，則三棱錐的體積為________【答案】【詳解】易得，因為平面MNB，平面MNB，所以平面MNB，所以【例3】（多選）如圖,在正方體中,,為線段上的動點,則下列說法正確的是（

）A．B．平面C．三棱錐的體積為定值D．的最小值為【答案】ABD【分析】對于A,由線面垂直的判定定理證明平面即可;對于B,根據面面平行的判定定理證明平面平面即可;對于C,根據線面平行將點到平面的距離等于點到平面的距離,再利用等體積法求解即可;對于D,將平面和平面沿直線展開為一個平面,利用余弦定理求解即可判斷.【詳解】對于A,連接,如圖:

平面,平面,,又平面,平面,平面,平面,,連接,同理可得,平面,平面,平面,平面,,故A正確;對于B,連接,如圖:

,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面,同理四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面,,平面,平面,平面平面,平面,平面,故B正確;對于C,如圖:

由B知,平面,平面,平面,點到平面的距離等于點到平面的距離, 【鞏固練習1】在正方體中，為的中點，點滿足，，則三棱錐的體積與的值是否有關？請說明理由.【答案】無關【詳解】因為在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，因此，又平面，平面，所以平面，因此棱上的所有點到平面的距離都相等，又是棱上的動點，所以三棱錐的體積始終為定值【鞏固練習2】如圖，在棱長為2的正方體中，點E，F分別為棱，的中點，三棱錐的體積為________【答案】【詳解】正方體中有，平面，平面，平面，，即三棱錐的體積為【鞏固練習3】如圖，在棱長為2的正方體中，點在平面內，則三棱錐的體積為________.

【答案】【分析】可證得面面，則點到面的距離相等，三棱錐的體積為【詳解】∵，面，面，∴面，∵，面，面，∴面，又∵，面，∴面面，點在平面內，則點到面的距離相等，三棱錐的體積為

【題型10】平行的存在性問題（確定點的位置）平行存在性問題：過定點構造出平行平面（過相關點作2次平行）通過面面平行的性質來得到線面平行【例1】如圖1，是邊長為3的等邊三角形，點分別在線段上，且，沿將翻折到的位置，使得，如圖2.在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】在平面中，過點E作，交于，在平面中，過點作，交于，連接，如圖所示，因為，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因為，平面，所以平面平面，平面，所以平面，即為所求的點，在中，，即，如圖所示，所以，在中，，所以，即此時.【例2】（2024·四川樂山·三模）在三棱柱中，點在棱上，滿足，點在棱上，且，點在直線上，若平面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】如圖所示：因為，所以，所以所以，所以，則，設三棱柱的側棱長為6，則，，又為的中點，取的中點，連接，則。過作，且，連接，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以，所以，所以，則【例3】在棱長為1的正方體中，分別為的中點，則點為正方形內一點，當平面時，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取的中點，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性質定理可得平面，所以點在線段上，當點為的交點時，可得答案.【詳解】如圖，分別取的中點，連接，則，所以，易知四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因為平面，故平面，又點為正方形內一點，平面平面，所以點在線段上，又,當即點即為的中點，也即點為的交點時，此時最短，因為的中點分別是，所以，，所以.【例4】如圖，在正方體中，點為線段上的動點，，分別為棱，的中點，若平面，則．【解答】解：如圖所示，取A1D1，D1C1的中點E，F，則有平面DEF∥平面，則平面DEF與D1B的交線即為點P，取EF中點M，則DM交于P，易知△D1MP∽△BDP，故,故【鞏固練習1】在三棱柱中，點、分別是、上的點，且平面平面，試求的值.【解析】連接交于點，連接，如下圖所示：由棱柱的性質可知，四邊形為平行四邊形，所以，為的中點，因為平面平面，平面平面，平面平面，，則為的中點，則，平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因為，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因此，.【鞏固練習2】在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為線段AD上靠近A的三等分點，F為線段上一點，當平面時，（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】根據線面平行性質定理得出線線平行，再根據平行得出比例關系即可.【詳解】如圖，連接交于點，連接因為平面平面，平面平面所以，所以，因為為AD的三等分點，則即.【鞏固練習3】在三棱柱中，點在棱上，且，點為的中點，點在棱上，若平面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據已知條件及線面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性質定理，結合平行四邊形的性質即可得結論.【詳解】依題意，作出圖形如圖所示設為的中點，因為為的中點，所以，又平面，平面，所以平面，連接，又因為平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又，所以，所以，所以.【鞏固練習4】如圖，已知等腰梯形中，是的中點，，將沿著翻折成，使平面平面.(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，.【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形是菱形，，得到，證明出平面，再證明出四邊形是平行四邊形，故，所以平面；（2）假設線段上存在點，使得平面，作出輔助線，得到四點共面，四邊形為平行四邊形，所以，所以是的中點，求出.【詳解】（1）如圖，在梯形ABCD中，連接DE，因為E是BC的中點，所以，又，所以，又因為，所以四邊形是平行四邊形，因為，所以四邊形是菱形，從而，沿著AE翻折成后，有又平面，所以平面，由題意，易知，所以四邊形是平行四邊形，故，所以平面.（2）假設線段上存在點，使得平面，過點作交于，連接，如圖所示：所以，所以四點共面，又因為平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以是的中點，故在線段上存在點，使得平面，且.【題型11】平行的存在性問題（確定動點軌跡）動點軌跡即為兩個平面的交線【例1】如圖，在邊長為的正方體中，點在底面正方形內運動，若平面，則動點的軌跡長度為________【答案】2【詳解】過點A1作平面的平行平面，即點在底面的軌跡為線段，故點的軌跡長度為【例2】如圖，在長方體中，，E，F分別為BC，的中點，點P在矩形內運動（包括邊界），若平面AEF，則動點P的軌跡長度為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用面面平行得到軌跡的長度求解即可.【詳解】取的中點，的中點，連接，，，根據正方體的結構特征，易得，，因為平面，平面，故平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，又平面，且面，所以平面，即點在平面與平面的交線上，由題知，所以動點的軌跡長度為.故選：B.【例3】（23-24高三上·北京朝陽·期末）如圖，在正方體中，點是平面內一點，且平面，則的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】點是平面內一點，且平面，先考慮平面平面，從而得在直線上，取最大值時取最小值，此時，求解即可.【詳解】正方體中，連接，交于點，再連接和由于，且，∴四邊形是平行四邊形，所以，又平面，且平面，，所以平面，同理證明平面，因為平面，平面，平面，平面，且，所以平面平面，且平面平面，從而得，若平面，點是平面內一點，且平面，則，即在直線上時，都滿足平面，因為平面，所以，顯然，當最大時，即取最小值時，此時點滿足，連接，可設正方體的棱長為，所以．【鞏固練習1】如圖，在三棱錐中，點D，E分別為棱PB，BC的中點.若點F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】連接CD，交PE于點G，連接FG，由線面平行性質證明，再利用重心性質求解即可.【詳解】如圖，連接CD，交PE于點G，連接FG，

因為平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，因為點D，E分別為棱PB，BC的中點，所以G是的重心，所以.【鞏固練習2】（2023高三·全國·專題練習）如圖，正三棱柱的底面邊長是2，側棱長是，為的中點，是側面上一點，且平面，則線段的最大值為（）A． B． C． D．4【答案】A【分析】先根據題中幾何體特征，找到平面平面，然后可確定點位置在線段，即可求線段的最大值即.【詳解】如圖，取的中點，取的中點，連接，，，因為，，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以在線段上，則線段的最大值即，在正三棱柱中，為邊長為2的正三角形，其中線，又在正三棱柱中，平面，平面，所以，所以為直角三角形，又，所以，所以線段MN的最大值為．【鞏固練習3】如圖，在棱長為1的正方體中，是的中點，點是側面上的動點，且∥截面，則線段長度的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據已知條件及三角形的中位線，利用線面平行的判定定理及面面平行的判定定理，結合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.【詳解】取的中點為,取的中點為,取的中點為，如圖所示因為是的中點，是的中點，所以,因為平面,平面,所以平面,同理可得，平面,又,平面,所以平面平面.又平面,線段掃過的圖形是,由,得,,,,所以,即為直角，所以線段長度的取值范圍是：,即.【題型12】截面問題（通過作平行線或延長線補全截面）一、如何做截面？作出過EFG三點的截面法一：作平行線并標出棱上的交點法二：作延長線并標出棱上的交點 二、如何確定截面是否已經“搞定”？題目所要求的點是否都用上？你所畫的線是否圍成了一個封閉圖形？這個封閉圖形的邊是否都在幾何體的表面(不能在幾何體內部)？【例1】（23-24高三下·甘肅·開學考試）如圖，正方體的棱長為分別為棱的中點.請在正方體的表面完整作出過點的截面，并寫出作圖過程；（不用證明）【答案】(1)截面，作圖過程見解析【詳解】（1）連接并延長交延長線于點，連接并延長交于點，交延長線于點，連接交于點，則截面即為所求.

【例2】如圖，在棱長為2的正方體中，M，N分別是，的中點，平面BMN截正方體所得截面為________【答案】等腰梯形【詳解】連接，，易得，所以平面BMN截正方體所得截面為梯形【例3】（2024·江西贛州·一模）在棱長為1的正方體中，為棱的中點，過且平行于平面的平面截正方體所得截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定條件，作出并證明過點，且與平面平行的正方體的截面，再求出面積.【詳解】在棱長為1的正方體中，取中點，中點，連結，而為棱中點，顯然，，得四邊形，四邊形都是平行四邊形，則，，平面，平面，于是平面，平面，又，平面，因此平面平面，又，，即四邊形是平行四邊形，則，顯然平面平面，從而過且平行于平面的平面截正方體所得截