PAGE1-9．2.3總體集中趨勢的估計[目標(biāo)]1.會求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；2.會應(yīng)用相關(guān)學(xué)問解決實際統(tǒng)計問題．[重點]通過數(shù)字特征的計算，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．[難點]借助實際統(tǒng)計問題的應(yīng)用，培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．要點整合夯基礎(chǔ)學(xué)問點眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)[填一填]1．眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．2．中位數(shù)一組數(shù)據(jù)按大小依次排列后，處于中間位置的數(shù)．假如個數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3．平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù)．[答一答]三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點？提示：典例講練破題型類型眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)[例]某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下表：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少？(精確到元)(3)你認(rèn)為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法．[分析]根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義計算即可．[解](1)平均數(shù)是eq\x\to(x)＝1500＋eq\f(4000＋3500＋2000×2＋1500,33)＋eq\f(1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091，中位數(shù)是1500，眾數(shù)是1500.(2)新的平均數(shù)是eq\x\to(x)′＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500,33)＋eq\f(1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋1788＝3288，新的中位數(shù)是1500，新的眾數(shù)是1500.(3)在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平．平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的特點，但描繪的含義不同.[變式訓(xùn)練]某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)：甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映乙群市民的年齡特征？解：(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15，中位數(shù)為15，眾數(shù)為15.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征．(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(54＋3＋4＋4＋5＋6＋6＋6＋6＋56,10)＝15，中位數(shù)為6，眾數(shù)為6.由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的牢靠性較差.課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．一個樣本數(shù)據(jù)從小到大的依次排列為12,15,20，x,23,28,30,50，其中，中位數(shù)為22，則x＝(A)A．21B．15C．22D．35解析：因為數(shù)據(jù)有8個，所以中位數(shù)為：eq\f(x＋23,2)＝22，所以解得：x＝21，故選A.2．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，其中每個數(shù)據(jù)都小于－1，那么對于樣本1，x1，－x2，x3，－x4，x5的中位數(shù)可以表示為(C)A.eq\f(1,2)(1＋x2) B.eq\f(1,2)(x2＋x1)C.eq\f(1,2)(1＋x5) D.eq\f(1,2)(x3－x4)解析：∵x1<x2<x3<x4<x5<－1，∴x1<x3<x5<1<－x4<－x2，則該組樣本的中位數(shù)為中間兩數(shù)的平均數(shù)，即eq\f(1,2)(1＋x5)．3．某班級在一次數(shù)學(xué)競賽中為全班同學(xué)設(shè)置了一等獎、二等獎、三等獎以及參加獎，且獎品的單價分別為：一等獎20元、二等獎10元、三等獎5元、參加獎2元，獲獎人數(shù)的安排狀況如圖所示，則以下說法正確的是(D)A．參加獎總費用最高B．三等獎的總費用是二等獎總費用的2倍C．購買獎品的費用的平均數(shù)為9.25元D．購買獎品的費用的中位數(shù)為2元解析：參加獎的百分比為：1－30%－10%－5%＝55%.設(shè)人數(shù)為單位1，一等獎費用：20×5%＝1；二等獎費用：10×10%＝1；三等獎費用：5×30%＝1.5；參加獎費用：2×55%＝1.1.故購買獎品的費用的平均數(shù)為4.6元，參加獎的百分比為55%，故購買獎品的費用的中位數(shù)為2元，故選D.4．對于數(shù)據(jù)3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不相等；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的值相等．其中正確的結(jié)論的個數(shù)為(A)A．1B．2C．3D．4解析：在這11個數(shù)據(jù)中，數(shù)據(jù)3出現(xiàn)了6次，出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)是3；將這11個數(shù)據(jù)按從小到大排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中間的數(shù)據(jù)是3，故中位數(shù)是3；平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(2×2＋3×6＋6×2＋10,11)＝4.故選A.5．某高校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)建模愛好班．其中甲班有40人，乙班有50人．現(xiàn)分析兩個班的一次考試成果，算得甲班的平均成果是90分，乙班的平均成果是81分，則該校數(shù)學(xué)建模愛好班的平均成果是85分．解析：由題意知，該校數(shù)學(xué)建模愛好班的平均成果是eq\f(40×90＋50×81,40＋50)＝85.——本課須駕馭的問題對眾數(shù)、中位數(shù)、平