Page第04講數列求和綜合（分組求和、裂項相消、錯位相減（萬能公式）、奇偶并項、周期綜合）（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯考點2024年新Ⅱ卷，第12題,5分求等差數列前n項和等差數列通項公式的基本量計算2024年全國甲卷，第18題,12分錯位相減法求和利用an與sn關系求通項2023年新Ⅱ卷，第18題,12分分組(并項)-奇偶項求和利用定義求等差數列通項公式等差數列通項公式的基本量計算求等差數列前n項和2023年全國甲卷（理科），第17題,10分錯位相減法求和利用與關系求通項或項2022年新I卷，第17題,10分裂項相消法求和利用與關系求通項或項累乘法求數列通項利用等差數列通項公式求數列中的項2022年新Ⅱ卷，第22題,12分裂項相消法求和利用導數研究不等式恒成立問題含參分類討論求函數的單調區間2021年新I卷，第16題,5分錯位相減法求和數與式中的歸納推理2021年新I卷，第17題,10分分組(并項)-奇偶項求和由遞推數列研究數列的有關性質利用定義求等差數列通項公式求等差數列前n項和2021年全國乙卷（文科），第19題,12分錯位相減法求和等差中項的應用等比數列通項公式2.命題規律及備考策略【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分【備考策略】1.熟練掌握裂項相消求和2.熟練掌握錯位相減求和3.熟練掌握拆項分組求和法、并項轉化求和法、倒序相加求和法，能綜合解決數列的求和問題4.熟練掌握數列中不等式的綜合問題【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，常考查裂項相消求和、錯位相減求和、奇偶并項求和，需重點綜合復習知識講解1．公式法(1)等差數列的前n項和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數列的前n項和公式①當q＝1時，Sn＝na1；②當q≠1時，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).2．分組轉化法把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個能求和的數列，再求解．3．裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項．常見的裂項技巧：；；指數型；對數型.等4．倒序相加法把數列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數列求和公式的推導過程的推廣．5．錯位相減法主要用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和，即等比數列求和公式的推導過程的推廣．萬能公式：形如的數列求和為，其中，，6．并項求和法一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．考點一、公式法直接求和1．（2022·全國·統考高考真題）記為數列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數列；(2)若成等比數列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項的性質求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據二次函數的性質計算可得．【詳解】（1）因為，即①，當時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數列．（2）[方法一]：二次函數的性質由（1）可得，，，又，，成等比數列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當或時，．[方法二]：【最優解】鄰項變號法由（1）可得，，，又，，成等比數列，所以，即，解得，所以，即有.則當或時，．【整體點評】（2）法一：根據二次函數的性質求出的最小值，適用于可以求出的表達式；法二：根據鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優解．2．（2021·全國·統考高考真題）記是公差不為0的等差數列的前n項和，若．（1）求數列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結合題意求得數列的公差即可確定數列的通項公式；(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數列的性質可得：，則：，設等差數列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數列的通項公式為：.(2)由數列的通項公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數，故的最小值為.【點睛】等差數列基本量的求解是等差數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等差數列的有關公式并能靈活運用.3．（2020·海南·高考真題）已知公比大于的等比數列滿足．（1）求的通項公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【分析】(1)由題意得到關于首項、公比的方程組，求解方程組得到首項、公比的值即可確定數列的通項公式；(2)首先求得數列的通項公式，然后結合等比數列前n項和公式求解其前n項和即可.【詳解】(1)設等比數列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數列的通項公式為：.(2)由于：，故：.【點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，等差數列與等比數列求和公式是數列求和的基礎.4．（2020·全國·統考高考真題）設等比數列{an}滿足，．（1）求{an}的通項公式；（2）記為數列{log3an}的前n項和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設等比數列的公比為，根據題意，列出方程組，求得首項和公比，進而求得通項公式；（2）由（1）求出的通項公式，利用等差數列求和公式求得，根據已知列出關于的等量關系式，求得結果.【詳解】（1）設等比數列的公比為，根據題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據，可得，整理得，因為，所以，【點睛】本題考查等比數列通項公式基本量的計算，以及等差數列求和公式的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題目.1．（2024·四川遂寧·三模）等比數列中，，．(1)求的通項公式：(2)記為的前n項和，若，求m．【答案】(1)或．(2)．【分析】（1）由條件求出公比，即可求解通項公式；（2）根據（1）的結果，代入等比數列的前項和公式，即可求解.【詳解】（1）等比數列中，，．，解得，當時，，當時，，的通項公式為，或．（2）記為的前n項和．當，時，，由，得，，無解；當，時，，由，得，，解得．2．（2024·浙江·三模）已知等差數列的公差不為零，成等比數列，且.(1)求數列的通項公式;(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等差數列基本量的計算即可求解，（2）根據等差數列求和公式即可求解.【詳解】（1）由題意(1)由(1)(2)可得所以（2），，，故為等差數列，.3．（2024·江蘇南通·二模）設數列的前項和為，若，.(1)求，，并證明：數列是等差數列；(2)求.【答案】(1)，，證明見解析；(2)420.【分析】（1）直接代入可得，再代入，結合的值求出；再由仿寫出，作差后得到，即可證明結果.（2）由（1）知數列為等差數列，然后代入等差數列的前項和公式求解即可.【詳解】（1）當時，由條件得，所以.當時，由條件得，所以.因為，所以（），兩式相減得：，即，所以，從而數列為等差數列.（2）由（1）知，所以，所以數列為等差數列，首項為，所以，所以.4．（2024·遼寧·二模）設等差數列的前n項和為，公差為d，且.若等差數列，滿足.(1)求數列的通項公式；(2)若，記數列的前n項和為，且，求n的最大值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據題意，由可得，然后由列出方程，即可得到，再由等差數列的通項公式與前項和公式代入計算，即可得到結果.（2）根據題意，由（1）中的結論可得，代入計算即可求解.【詳解】（1）因為，則，，，由為等差數列，所以，即，化簡可得，因為，所以且，所以，則，所以，則.（2）因為，則，由（1）可知，則，由可得，解得，且，所以n的最大值為.5．（2023·江蘇南通·統考模擬預測）已知數列中，，.(1)求數列的通項公式；(2)求證：數列的前n項和.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）兩邊同時取到數，構造等比數列求解即可；（2）放縮法證明不等式即可.【詳解】（1）因為，，故，所以，整理得．

又，，，所以為定值，

故數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以，得.（2）因為，

所以．考點二、分組轉化求和1．（2024·全國·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；（2）利用分組求和法即可求.【詳解】（1）因為,故，所以即故等比數列的公比為，故，故，故.（2）由等比數列求和公式得，所以數列的前n項和.2．（2024·浙江臺州·一模）已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，若，．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等比數列的定義和求和公式求，進而可得結果；（2）由（1）可得：，利用分組求和結合等差、等比數列的求和公式運算求解.【詳解】（1）設的公比為，因為，即，且，可得，解得或（舍去）．又因為，解得，所以.（2）由（1）可得：，所以，所以.1．（22-23高三上·山東濰坊·階段練習）已知公差不為零的等差數列的前四項和為10，且，，成等比數列.(1)求數列通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由題意知，求出變量的值，進而得到通項；（2）由題意得到，分組求和即可得到結果.【詳解】（1）解：由題意知，解得，，或，（舍去），所以.（2）解：，將這個數列分為兩部分，一部分是等差數列，一部分是等比數列，根據等差數列和等比數列求和公式得到：.2．（2024·山東·二模）已知數列，中，，，是公差為1的等差數列，數列是公比為2的等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據題意及等差數列的通項公式計算出數列的通項公式，再根據等比數列的通項公式計算出數列的通項公式，即可計算出數列的通項公式；（2）根據數列的通項公式的特點運用分組求和法，以及等差數列和等比數列的求和公式即可計算出前項和．【詳解】（1）由題意，可得，故，，數列是公比為2的等比數列，且，，，．（2）由題意及（1），可得，則．35．（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，．(1)證明：數列為等比數列；(2)求數列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將等式變形為（為非零常數）的形式，結合等比數列的定義即可證明；（2）首先結合（1）的結論求出an的通項公式，再利用分組求和的方式，結合等差、等比數列的前n項和公式即可求解.【詳解】（1），，，．又，，故數列是以為首項，為公比的等比數列．（2）由（1）知數列是以為首項，為公比的等比數列，，，．考點三、裂項相消求和1．（全國·高考真題）設數列滿足.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和．【答案】(1)；(2).【解析】（1）利用遞推公式,作差后即可求得的通項公式.（2）將的通項公式代入,可得數列的表達式.利用裂項法即可求得前項和.【詳解】（1）數列滿足時,∴∴當時,,上式也成立∴（2）∴數列的前n項和【點睛】本題考查了利用遞推公式求通項公式,裂項法求和的簡單應用,屬于基礎題.2．（2022·全國·高考真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴3．（2024·湖北·模擬預測）設是正數組成的數列，其前n項和為，已知與的等差中項等于與的等比中項.(1)求數列的通項公式；(2)令，求的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）與的等差中項等于與的等比中項，推出并由此得出，進而得的遞推關系，從而推得數列的通項公式；（2）利用（1）得到，并利用裂項相消法求和，進而得解.【詳解】（1）由題意，當時有，，所以，解得：，，整理得，由此得，所以，整理得，由題意知，所以，即數列為等差數列，其中，公差，所以.（2）令，則，故，，所以.4．（2024·湖北武漢·模擬預測）在等差數列（）中，，.(1)求的通項公式；(2)若，數列的前項和為，證明.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出等差數列的首項與公差，即可得解；（2）利用裂項相消法求出，進而可得出結論.【詳解】（1）設等差數列的公差為，由，即，解得，所以，所以數列的通項公式為；（2）∵，∴，（方法一），∴化簡得：，∴.（方法二），∴.1．（23-24高二下·浙江麗水·期中）設數列為等差數列，前項和為．(1)求數列的通項公式；(2)設的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據等差數列的性質和前n項求和公式求出公差和首項，結合等差數列的通項公式即可求解；（2）由（1）可得，根據裂項相消法計算可得，即可證明.【詳解】（1），由，所以，所以．（2）所以2．（2024·河北滄州·模擬預測）設正項數列的前n項和為，已知.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由和關系作差得，再求出首項結合等差數列通項公式即可得到答案；（2）求出，代入化簡得，最后利用裂項相消求和法即可.【詳解】（1）由，得①，當時，，解得（負值舍去）.當時，②，①②，得，化為，因為，，解得，所以數列是首項為3、公差為2的等差數列，所以，即.（2）由（1）知，所以，從而，則，，…，，以上n個式子相加，得.3．（2024·浙江麗水·二模）設等差數列的公差為，記是數列的前項和，若，.(1)求數列的通項公式；(2)若，數列的前項和為，求證：.【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）根據等差數列求和公式及下標和性質得到和，從而得到或，再分別求出通項公式；（2）依題意可得，求出，則，利用分組求和法及裂項相消法計算可得.【詳解】（1）由，，得，解得，由，，所以，所以或，當時，此時；當時，此時；綜上可得數列的通項公式為或；（2）因為，所以，則，則，所以.4．（2024·全國·模擬預測）設數列的前項和為，滿足.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與關系：求數列的通項公式；（2）根據寫出，利用裂項相消法求數列的前項和.【詳解】（1）當時，，即；當時，，即，因為，所以，因此，所以當時，，即，經檢驗，當時，也滿足上式，所以.（2）由（1）可得，，所以，所以.考點四、錯位相減求和1．（2024·全國·高考真題）記為數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求的通項公式．（2）利用錯位相減法可求.【詳解】（1）當時，，解得．當時，，所以即，而，故，故，∴數列是以4為首項，為公比的等比數列，所以.（2）,所以故所以，.2．（2023·全國·高考真題）設為數列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據即可求出；（2）根據錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因為，當時，，即；當時，，即，當時，，所以，化簡得：，當時，，即，當時都滿足上式，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，，即，．3．（2021·全國·高考真題）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數列的性質及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因為是首項為1的等比數列且，，成等差數列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和，，．設，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構造裂項法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數比對易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導函數法設，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點評】本題主要考查數列的求和，涉及到等差數列的性質，錯位相減法求數列的和，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據式子得結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；方法二根據數列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結論,為最優解；方法三采用構造數列裂項求和的方法，關鍵是構造，使，求得的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，方法四利用導數方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.4．（2024·江蘇無錫·二模）已知正項數列的前項和為，滿足.(1)求數列的通項公式；(2)設為數列的前項和.若對任意的恒成立，求k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）運用公式，已知求即可；（2）求出，后運用錯位相減求出，后結合函數單調性可解．【詳解】（1）①，且，當時，代入①得；當時，.②①-②得，整理得，因為，所以，所以數列為等差數列，公差為1，所以.（2），，③，④③-④得，所以，所以，且，化簡得，令，所以，所以的最大值為，所以.所以的取值范圍為.1．（2024·全國·模擬預測）已知是各項均為正數的數列的前項和，．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用題給條件求得數列是公比為3的等比數列，再求得其首項的值，進而求得數列的通項公式；（2）利用錯位相減法即可求得數列的前項和．【詳解】（1），．，，，數列是公比為3的等比數列．，，．（2）由（1）知，，，①，②①②得，．2．（2024·貴州遵義·三模）已知數列的前n項和為，，且點在直線上．(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由的關系消去易得，（），檢驗時滿足，得等比數列，即可求得其通項；（2）將（1）結論代入得，寫出，利用錯位相減法，即可求得.【詳解】（1）由題意，，當時，，因①，當時，②，由①-②可得，，即，又因時，，故數列是首項為2，公比為2的等比數列，則.（2）由（1）可得，則，于是，，③，④由③-④：，，，，則得.3．（2024·浙江·三模）已知等比數列和等差數列，滿足，，，．(1)求數列，的通項公式；(2)記數列的前項和為，數列的前項和為．證明：．【答案】(1)，．(2)證明見解析【分析】（1）設的公比為，等差數列的公差為，依題意得到方程組，解得、，即可得解；（2）由（1）可得，利用錯位相減法求出，即可得到，再由分組求和及裂項相消法計算可得.【詳解】（1）等比數列滿足，，所以單調遞增，設的公比為，等差數列的公差為，依題意可得，解得或（舍去），所以，．（2）由（1）可得，所以所以，故，又，，即，所以．考點五、奇偶并項求和1．（2023·全國·高考真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設等差數列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設等差數列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當為偶數時，，，當時，，因此，當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.方法2：由（1）知，，，當為偶數時，，當時，，因此，當為奇數時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.2．（2024·河北保定·二模）已知數列的前n項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若數列滿足，求的前項和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據的關系由：求解即可；（2）根據通項分奇偶分別計算求和，結合裂項相消和等比數列求和公式即可.【詳解】（1）當時，.當時，，當時，也符合.綜上，.（2）由則，故的前項和.3．（2024·山東濰坊·三模）已知正項等差數列的公差為2，前項和為，且成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)若求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據成等比數列求得，即可求得的通項公式.（2）根據的通項公式求得，分奇偶項分別求出再求和，即可求得的前項和.【詳解】（1）因為，所以，即，解得或，又因為，所以，所以.（2），所以，所以，，所以前項和.4．（2024·四川成都·模擬預測）已知數列滿足當時，(1)求和，并證明當為偶數時是等比數列；(2)求【答案】(1)3，7，證明見解析(2)【分析】（1）利用遞推公式易求，，利用遞推關系可證結論；（2）由（1）可得為偶數時，，當為奇數時，，可求得，計算可求結論.【詳解】（1）因為當時，，所以，.，，又，當為偶數時，是以為首項，以為公比的等比數列；（2）由（1）知，，設，則

為偶數時，當為奇數時，；設，為奇數時，，.5．（2020·天津·高考真題）已知為等差數列，為等比數列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數列的公差、公比，然后利用等差、等比數列的通項公式得到結果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結論首先求得數列前n項和，然后利用作差法證明即可；(Ⅲ)分類討論n為奇數和偶數時數列的通項公式，然后分別利用指數型裂項求和和錯位相減求和計算和的值，據此進一步計算數列的前2n項和即可.【詳解】(Ⅰ)設等差數列的公差為，等比數列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當n為奇數時，，當n為偶數時，，對任意的正整數n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數列的前2n項和為.【點睛】本題主要考查數列通項公式的求解，分組求和法，指數型裂項求和，錯位相減求和等，屬于中等題.1．（2024·黑龍江·三模）已知等差數列的公差，與的等差中項為5，且.(1)求數列的通項公式；(2)設求數列的前20項和.【答案】(1)數列的通項公式為；(2)數列的前20項和為.【分析】（1）根據等差中項求出，再根據求出公差，最后根據等差數列的通項公式，求出的通項公式；（2）先寫出，對為偶數的情況進行裂項，再用分組求和法求出.【詳解】（1）因為為等差數列，且與的等差中項為5，所以，解得，因為，所以，解得，因為，所以，所以，故數列的通項公式為；（2）由題知，即所以，故數列的前20項和為.2．（2024·福建廈門·三模）設為數列的前項和，已知，且為等差數列.(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等差數列定義可得，利用與之間關系可證得數列通的項公式；（2）采用分組求和法，分別對奇數項和偶數項求和，結合等差數列求和公式和裂項相消法可求得結果.【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，所以，即，所以，即，當時，，當時，，滿足上式，所以.（2）由（1）知則所以數列的前項和為.3．（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數列，其前4項和為16，且成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設出公差，借助等差數列性質與等比數列性質計算即可得；（2）分奇數項及偶數項分組求和，結合等比數列的性質與裂項相消法計算即可得.【詳解】（1）設的公差為，由題意知，即，即有，因為，可得，，所以；（2）設數列的前項中的奇數項之和為，偶數項之和為，則，，所以．4．（2024·福建廈門·模擬預測）已知為等差數列的前n項和，，，.(1)求的通項公式；(2)記為數列的前n項和，若，求n的最小值.【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據等差數列基本量的計算即可求解，（2）根據等差求和公式以及等比求和公式，結合分組求解可求解，即可根據不等式求解.【詳解】（1）設數列的公差為d，依題意，，即，解得，所以的通項公式是.（2）由（1）知，所以，，恒成立，令，由，由于，所以.所以所以的最小值為4.考點六、數列求和之不等式綜合1．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知各項均為正數的數列前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知可得，進而可得，可求的通項公式；（2）可求得，進而可得結論.【詳解】（1）因為①，所以②，③，由③得：，所以，②-①得：，整理得：，又因為各項均為正數，所以，所以是公差的等差數列，．（2）由（1），，所以，所以．2．（2024·河北衡水·模擬預測）記各項均為正數的數列的前項和為，已知是與的等差中項.(1)求的通項公式；(2)設，數列的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由是與的等差中項,可得，化簡得，可得，作差可得，則可得的通項公式；（2）由（1）得，，分組求，可得，可得，即可得證.【詳解】（1）由題意，得，即，即①，所以②，①-②，得，即.又，所以.由是與的等差中項，得當時，，解得，所以是以1為首項，2為公差的等差數列，故.（2）由（1）得，則，所以，所以，所以.3．（2024高三·全國·專題練習）已知數列的前項積．(1)求的通項公式；(2)設，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據題意，當時，，注意驗證的情況；（2）解法一：由對數運算性質得，即可求和；解法二：由對數運算性質得，即可求和.【詳解】（1）當時，．當時，，當時不滿足上式，所以．（2）解法一：當時，．當時，，故．解法二：當時，．當時，．故．4．（2024·福建三明·三模）已知數列滿足．(1)求數列的通項公式；(2)設數列的前n項和為，若不等式對任意的恒成立，求實數t的取值范圍；(3)記，求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）當時求出，時，用，即可求解；（2）由得出，由得，根據對勾函數的單調性及的值，即可求出得范圍；（3）由（1）得，則，根據放縮法得即可證明．【詳解】（1）當時，，當時，，時成立，所以．（2）由得，，顯然時，單調遞增，，由得，，又，當且僅當時，即時等號成立，因為，，且，，，所以當時，，解得，當時，，解得，所以．（3）證明：由（1）得，，因為所以．1．（2024·山東煙臺·三模）在數列中，已知，.(1)求數列的通項公式；(2)若，為數列的前n項和，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）構造等比數列數列即可求得通項公式；（2）代入（1）中的通項公式可得，再根據，結合累加求和證明即可.【詳解】（1）由可得，則，即，故是以為首項，為公比的等比數列.故，則，.（2）.易得，故.又，故.綜上有，即得證.2．（2024·浙江杭州·二模）已知等差數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)數列滿足，令，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設等差數列的首項為，公差為，由題意可得，解方程求出，即可求出數列的通項公式；（2）由（1）可得，由累乘法可求出的通項公式，再由裂項相消法求解即可.【詳解】（1）設等差數列的首項為，公差為．由，得，解得：，所以．（2）由（1）知，，即，，，……，，利用累乘法可得：，也符合上式，所以．3．（2024·安徽合肥·三模）設數列的前項和為，已知，是公差為2的等差數列．(1)求的通項公式；(2)若，設數列的前項和，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由是公差為2的等差數列，求得，結合和的關系，即可求解；（2）由（1）知，求得，結合關于單調遞增，以及，即可求解．【詳解】（1）解：因為，所以，又因為是公差為2的等差數列，所以，即，當時，，又由，適合上式，所以數列的通項公式為．（2）證明：由（1）知，所以，又由，所以關于單調遞增，所以，又因為，所以，所以．4．（2024·陜西銅川·三模）已知數列滿足：.(1)求數列的通項公式；(2)若，求正整數的最大值.【答案】(1)(2)15【分析】（1）利用通項與前n項和的關系先求，然后可得；（2）利用裂項相消法求和，然后解不等式即可.【詳解】（1）當時，，當時，，，兩式相減，得，，顯然也符合上式，數列的通項公式為.（2）由（1）知，，解得.正整數的最大值為15.5．（2024·四川·模擬預測）已知數列滿足．(1)求的通項公式；(2)若數列滿足，，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）構造新數列，是等差數列，通過的通項公式得到的通項公式.（2）由，得到，進而，裂項相消法求和.【詳解】（1）由知，若，則，若，則．又，所以．由，可得即（常數），故是首項為2，公差為1的等差數列，所以．故．（2）由得，①由得，②①②可得．當時，，則．所以，所以，當時，也滿足上式，所以．由上可知，，所以，即．1．（2024·陜西安康·模擬預測）設等比數列的前項和為，已知.(1)求數列的通項公式.(2)求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等比數列基本量的計算可得，，即可求解公比得解，（2）利用錯位相減法求和即可求解.【詳解】（1）由以及可得，又，故，因此公比，故（2），則，，兩式相減可得，，，.2．（2024·全國·模擬預測）已知單調遞增的等比數列的前項和為，滿足，數列也為等比數列．(1)求數列的通項公式．(2)記，求數列的前項和．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據等比數列的定義，可先列出等比數列前三項，結合等比中項建立方程求解公比即可；（2）由等比數列求和公式求得，然后結合裂項相消計算求解.【詳解】（1）設等比數列的公比為，結合，得數列的前三項分別為，由題意，得，所以，解得或，因為數列是單調遞增的，所以，所以．（2）由（1）知，，所以，故

，故數列的前項和.3．（2024·山西呂梁·二模）已知等差數列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)記數列的前項和為，證明：.【答案】(1).(2)證明見解析【分析】（1）由已知列方程求出公差，可得數列通項；（2）裂項相消法求和得出，由結果證明不等式.【詳解】（1）設等差數列的公差為.由題可得，，解得，所以.（2）證明：由（1）可得為正整數，所以.4．（2024·四川成都·三模）已知數列的前項和為，.(1)證明：數列是等比數列，并求出通項公式；(2)數列滿足，求數列的前項和.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）由已知易得，進而易求數列的通項公式；（2）求得，進而可得，可求.【詳解】（1）因為，所以，（），兩式相減得，即，所以數列是以4為公比的等比數列，又，所以.（2）因為，，所以.5．（2024·全國·模擬預測）設等差數列的前項和為，且，是等差數列.(1)求數列的通項公式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設等差數列的公差為，由題意可得，求解即可；（2）由（1）可得，，可得結論.【詳解】（1）設等差數列的公差為，是等差數列，則，得，兩邊平方得，整理得，兩邊再次平方得，整理得，解得，所以.（2）由，得，則，所以.1．（2023·陜西安康·模擬預測）在數列中，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，由等比數列定義可得是首項為2，公比為2的等比數列，即可得的通項公式，即可得；（2）由錯位相減法求和即可得.【詳解】（1）因為，所以，又，所以是首項為2，公比為2的等比數列．所以，即；（2）由（1）知．設前項和為，則，，兩式相減可得，所以.2．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）已知等差數列的首項，公差為，為的前項和，為等差數列．(1)求與的關系；(2)若，為數列的前項和，求使得成立的的最大值．【答案】(1)或(2)見解析.【分析】（1）由為等差數列可得，即可得到與的關系；（2）由裂項相消法得到，再解不等式即可求得的最大值.【詳解】（1）因為為等差數列，所以，即從而得到，化簡得所以或（2）當，時，，，所以，又因為，所以不存在；當，時，，，所以，解得，又因為，所以的最大值3.3．（23-24高二上·江蘇淮安·期末）已知數列的各項均大于1，其前項和為，數列滿足，，，數列滿足，且，.(1)證明：數列是等差數列；(2)求的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用計算整理可得數列是等差數列；（2）先由（1）求出，然后通過并項求和以及錯位相減求和法可得.【詳解】（1）①，②，①-②得，整理得，或，又，得或（舍去），若，則，得，舍去，，即，數列是以為首項，為公差的等差數列；（2）由（1）可得，即，，，令，則，兩式相減得，，.4．（2023·湖南永州·二模）已知數列的前項和為．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據的關系，結合等比數列的定義即可求得答案；（2）由（1）的結果可得的表達式，利用分組求和法，結合等差數列以及等比數列的前n項和公式，即可求得答案.【詳解】（1）當時，，當時，，則，則數列為為首項，公比為2的等比數列，故；（2）因為，故數列的前項的和為：.5．（23-24高三上·江蘇南通·期末）設的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)已知，且的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據的關系即可作差證明是等差數列或者利用迭代法也可求解，（2）根據基本不等式可得，即可求證，利用裂項求和法，即可求證.【詳解】（1）解：，令得；又當時，，可得，即①；（解法1）退位作差證明等差數列：②，由①－②得，即∴數列是等差數列.由及可得公差，可得.（解法2）變形構造：由，，可知，∴.當時，；，∴，當時也成立，所以.（2）證明：，因為，所以，即.又因為，所以，因為，所以.綜上，.6．（2023·山東濰坊·模擬預測）設數列的前項和為，已知．(1)證明：為等比數列，求出的通項公式；(2)若，求的前項和．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據可推出，即得，即可證明為等比數列，由此可求得的表達式，繼而求得的通項公式；（2）由（1）的結果可得的表達式，利用錯位相減法求數列的和，即可得答案.【詳解】（1）∵

∴，∴，∴為等比數列；∵，故的首項為，公比為2，∴，則，當時，，則，也滿足此式，∴；（2）由（1）可得，則，故，兩式相減得：，故.7．（2024·河南·三模）已知數列的各項都為正數，且其前項和.(1)證明：是等差數列，并求；(2)如果，求數列的前項和.【答案】(1)證明見解析，(2).【分析】（1）借助與的關系，結合等差數列定義計算即可得解；（2）借助錯位相減法計算即可得.【詳解】（1）當時，或，因為，所以，，兩式相減得，因為，所以，故是首項為1，公差為的等差數列，；（2）由（1）知，，，則，，所以.8．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知正項等比數列中，為的前n項和，.(1)求數列的通項公式；(2)令，設數列的前n項和，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等比數列基本量的計算即可求解首項和公比，進而可求解通項，（2）根據等比數列求和公式以及裂項求和，結合分組求和即可求解.【詳解】（1）設的公比為，由且可得：當時，，當時，，解得或（舍去），故，故（2），由于，則數列的前項和9．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）已知等比數列的首項為，公比為整數，且.(1)求的通項公式；(2)設數列的前項和為，比較與的大小關系，并說明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等比數列的通項公式，結合條件求出公比，即可得解；（2）由（1）得出，設出，前項和為，利用錯位相減法求出，令，可知，進而即可判斷得出.【詳解】（1）由已知可得，因為，所以，即，則，解得或（舍去），所以，.（2）由（1）得，令，設前項和為，則，所以，兩式相減得，所以，令，則，設前項和為，則，所以.10．（2023·全國·模擬預測）已知數列的前n項和為，，且數列為等差數列．(1)求數列的通項公式；(2)定義：表示不超過x的最大整數．設，求數列的前114項和．【答案】(1)(2)671【分析】（1）根據題設條件可推得與的關系式，再利用推得，從而得出等差數列，求出其通項；（2）根據的規定，將數列的項根據取到的相同的值進行分類再依次求和即得.【詳解】（1）由數列為等差數列，且，，可得：數列的首項為：，公差為：，故其通項為：，即：①，當時，②，由①-②可得：，整理得：③，當時，④，由③-④可得：，即：，故數列為等差數列，因，其公差為，則.（2）由（1）得：，而，易得，由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：，故得：.1．（全國·高考真題）等差數列的前n項和為，已知，為整數，且.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.【答案】（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）由已知可得等差數列的公差為整數．由可得列出不等式組解得的范圍，從而可確定整數的值，最后由等差數列的通項公式可求得數列的通項公式；（2）由已知先寫出，列出的表達式，由于可分裂為，故采用裂項相消法求．（1）由，為整數知，等差數列的公差為整數．又，故于是，解得，因此，故數列的通項公式為．（2），于是．考點：1．等差數列通項公式；2．裂項法求數列的前項和．2．（全國·高考真題）等比數列的各項均為正數，且.（1）求數列的通項公式；（2）設bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據題意列出方程組，求出首項與公比，即可求出等比數列的通項公式即可；（2）由an＝化簡bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通項公式，求出的通項公式，利用裂項相消法求和.【詳解】（1）設數列{an}的公比為q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝.由條件可知q＞0,故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.故數列{an}的通項公式為an＝.（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.故.所以數列的前n項和為3．（廣東·高考真題）已知各項均為正數的數列的前項和為，且滿足，（1）求的值；（2）求數列的通項公式；（3）證明：對一切的正整數都有【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.【詳解】試題分析：（1）將代入方程得到，結合題中條件（數列的各項均為正數，得到）求出的值，從而得到的值；（2）由十字相乘法結合得到的表達式，然后在的情況下，由求出數列的表達式，并驗證是否滿足該表達式，從而得到數列的通項公式；（3）解法一是利用放縮法得到，于是得到，最后利用裂項求和法證明題中的不等式；解法二是保持不放縮，在的條件下放縮為，最后在和時利用放縮法結合裂項法證明相應的不等式.（1）令得：，即，，，，即；（2）由，得，，，從而，，所以當時，，又，；（3）解法一：當時，，.證法二：當時，成立，當時，，則.考點：本題以二次方程的形式以及與的關系考查數列通項的求解，以及利用放縮法證明數列不等式的綜合問題，考查學生的計算能力與邏輯推理能力，屬于中等偏難題.4．（山東·高考真題）已知數列的前n項和，是等差數