廣州市嶺南中學2025屆高三3月份模擬考試數學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設正項等差數列的前項和為，且滿足，則的最小值為A．8 B．16 C．24 D．362．觀察下列各式：，，，，，，，，根據以上規律，則（）A． B． C． D．3．若復數滿足，則（）A． B． C．2 D．4．各項都是正數的等比數列的公比，且成等差數列，則的值為()A． B．C． D．或5．下列選項中，說法正確的是（）A．“”的否定是“”B．若向量滿足，則與的夾角為鈍角C．若，則D．“”是“”的必要條件6．定義，已知函數，，則函數的最小值為（）A． B． C． D．7．已知復數z滿足，則z的虛部為（）A． B．i C．–1 D．18．如圖，在棱長為4的正方體中，E，F，G分別為棱AB，BC，的中點，M為棱AD的中點，設P，Q為底面ABCD內的兩個動點，滿足平面EFG，，則的最小值為（）A． B． C． D．9．不等式的解集記為，有下面四個命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．10．《九章算術》“少廣”算法中有這樣一個數的序列：列出“全步”（整數部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分數進行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）分子和以通之數，逐個照此同樣方法，直至全部為整數，例如：及時，如圖：記為每個序列中最后一列數之和，則為（）A．147 B．294 C．882 D．176411．已知為拋物線的準線，拋物線上的點到的距離為，點的坐標為，則的最小值是（）A． B．4 C．2 D．12．如圖所示，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若存在直線l與函數及的圖象都相切，則實數的最小值為___________．14．正項等比數列|滿足，且成等差數列，則取得最小值時的值為_____15．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年級的人數依次成等差數列，現用分層抽樣的方法從中抽取60人，那么高二年級被抽取的人數為________．16．已知拋物線，點為拋物線上一動點，過點作圓的切線，切點分別為，則線段長度的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知x，y，z均為正數．（1）若xy＜1，證明：|x+z|?|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy?2yz?2xz的最小值．18．（12分）已知數列的前n項和為，且n、、成等差數列，.（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；（2）若數列中去掉數列的項后余下的項按原順序組成數列，求的值.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為直線垂直于軸，垂足為，與拋物線交于不同的兩點，且過的直線與橢圓交于兩點，設且.（1）求點的坐標；（2）求的取值范圍.20．（12分）已知多面體中，、均垂直于平面，，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）已知點為圓：上的動點，為坐標原點，過作直線的垂線（當、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求點的軌跡的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，連接并延長交于，求的最大值.22．（10分）已知函數f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a<0，對?x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

方法一：由題意得，根據等差數列的性質，得成等差數列，設，則，，則，當且僅當時等號成立，從而的最小值為16，故選B．方法二：設正項等差數列的公差為d，由等差數列的前項和公式及，化簡可得，即，則，當且僅當，即時等號成立，從而的最小值為16，故選B．2、B【解析】

每個式子的值依次構成一個數列，然后歸納出數列的遞推關系后再計算．【詳解】以及數列的應用根據題設條件，設數字，，，，，，，構成一個數列，可得數列滿足，則，，．故選：B．【點睛】本題主要考查歸納推理，解題關鍵是通過數列的項歸納出遞推關系，從而可確定數列的一些項．3、D【解析】

把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的計算公式計算.【詳解】解：由題意知，，，∴，故選：D.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數模的求法.4、C【解析】分析：解決該題的關鍵是求得等比數列的公比，利用題中所給的條件，建立項之間的關系，從而得到公比所滿足的等量關系式，解方程即可得結果.詳解：根據題意有，即，因為數列各項都是正數，所以，而，故選C.點睛：該題應用題的條件可以求得等比數列的公比，而待求量就是，代入即可得結果.5、D【解析】

對于A根據命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，即可判斷出；對于B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角；對于C當m=0時，滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；對于D根據元素與集合的關系即可做出判斷．【詳解】選項A根據命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，因此A不正確；選項B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角，因此不正確.選項C當m=0時,滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正確；選項D若“”，則且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要條件，故正確.故選：D.【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用，涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質、向量夾角與性質、集合性質等，屬于簡單題.6、A【解析】

根據分段函數的定義得，，則,再根據基本不等式構造出相應的所需的形式，可求得函數的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當且僅當，即時“”成立.此時,，，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數的最值，關鍵在于根據分段函數的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.7、C【解析】

利用復數的四則運算可得，即可得答案.【詳解】∵，∴，∴，∴復數的虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數的四則運算、虛部概念，考查運算求解能力，屬于基礎題.8、C【解析】

把截面畫完整，可得在上，由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對稱性可得的最小值．【詳解】如圖，分別取的中點，連接，易證共面，即平面為截面，連接，由中位線定理可得，平面，平面，則平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，∴．正方體中平面，從而有，∴，∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓（圓在正方形內的部分）上，顯然關于直線的對稱點為，，當且僅當共線時取等號，∴所求最小值為．故選：C．【點睛】本題考查空間距離的最小值問題，解題時作出正方體的完整截面求出點軌跡是第一個難點，第二個難點是求出點軌跡，第三個難點是利用對稱性及圓的性質求得最小值．9、A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結果.【詳解】作出可行域如圖所示，當時，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關鍵，屬于中檔題.10、A【解析】

根據題目所給的步驟進行計算，由此求得的值.【詳解】依題意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故選：A【點睛】本小題主要考查合情推理，考查中國古代數學文化，屬于基礎題.11、B【解析】

設拋物線焦點為，由題意利用拋物線的定義可得，當共線時，取得最小值，由此求得答案.【詳解】解：拋物線焦點，準線，過作交于點，連接由拋物線定義，

，

當且僅當三點共線時，取“＝”號，∴的最小值為.

故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題.12、D【解析】因為蛋巢的底面是邊長為的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為，又因為雞蛋的體積為，所以球的半徑為，所以球心到截面的距離，而截面到球體最低點距離為，而蛋巢的高度為，故球體到蛋巢底面的最短距離為.點睛:本題主要考查折疊問題，考查球體有關的知識.在解答過程中，如果遇到球體或者圓錐等幾何體的內接或外接幾何體的問題時，可以采用軸截面的方法來處理.也就是畫出題目通過球心和最低點的截面，然后利用弦長和勾股定理來解決.球的表面積公式和體積公式是需要熟記的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設直線l與函數及的圖象分別相切于，，因為，所以函數的圖象在點處的切線方程為，即，因為，所以函數的圖象在點處的切線方程為，即，因為存在直線l與函數及的圖象都相切，所以，所以，令，設，則，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以，所以實數的最小值為．14、2【解析】

先由題意列出關于的方程，求得的通項公式，再表示出即可求解.【詳解】解：設公比為，且，時，上式有最小值，故答案為：2.【點睛】本題考查等比數列、等差數列的有關性質以及等比數列求積、求最值的有關運算，中檔題.15、【解析】

由三個年級人數成等差數列和總人數可求得高二年級共有人，根據抽樣比可求得結果.【詳解】設高一、高二、高三人數分別為，則且，解得：，用分層抽樣的方法抽取人，那么高二年級被抽取的人數為人．故答案為：.【點睛】本題考查分層抽樣問題的求解，涉及到等差數列的相關知識，屬于基礎題.16、【解析】

連接，易得，可得四邊形的面積為，從而可得，進而求出的取值范圍，可求得的范圍.【詳解】如圖，連接，易得，所以四邊形的面積為，且四邊形的面積為三角形面積的兩倍，所以，所以，當最小時，最小，設點，則，所以當時，，則，當點的橫坐標時，，此時，因為隨著的增大而增大，所以的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查拋物線上的動點到定點的距離的求法，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）最小值為1【解析】

（1）利用基本不等式可得,再根據0＜xy＜1時,即可證明|x+z|?|y+z|＞4xyz.（2）由＝,得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，從而求出2xy?2yz?2xz的最小值.【詳解】（1）證明：∵x，y，z均為正數，∴|x+z|?|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，當且僅當x＝y＝z時取等號．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|?|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，即．∵，，，當且僅當x＝y＝z＝1時取等號，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy?2yz?2xz＝2xy+yz+xz≥1，∴2xy?2yz?2xz的最小值為1．【點睛】本題考查了利用綜合法證明不等式和利用基本不等式求最值，考查了轉化思想和運算能力，屬中檔題．18、（1）證明見解析，；（2）11202.【解析】

（1）由n，，成等差數列，可得，，兩式相減，由等比數列的定義可得是等比數列，可求數列的通項公式；（2）由（1）中的可求出，根據和求出數列，中的公共項，分組求和，結合等比數列和等差數列的求和公式，可得答案.【詳解】（1）證明：因為n，，成等差數列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又當時，，所以，所以，故數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以，即.（2）根據（1）求解知，，，所以，所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列.又因為，，，，，，，，，，，所以.【點睛】本題考查等比數列的定義，考查分組求和，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）設出的坐標，代入，結合在拋物線上，求得兩點的橫坐標，進而求得點的坐標.（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，結合，求得的表達式，結合二次函數的性質求得的取值范圍.【詳解】（1）可知，設則，又，所以解得所以.（2）據題意，直線的斜率必不為所以設將直線方程代入橢圓的方程中，整理得，設則①②因為所以且將①式平方除以②式得所以又解得又，所以令，則所以【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查直線和橢圓的位置關系，考查向量數量積的坐標運算，考查向量模的坐標運算，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查運算求解能力，屬于難題.20、（1）見解析；（2）．【解析】

（1）取的中點，連接、，推導出四邊形為平行四邊形，可得出，由此能證明平面；（2）由，得平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，在平面內過點作于點，就是到平面的距離，也就是點到平面的距離，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取的中點，連接、，、分別為、的中點，則且，、均垂直于平面，且，則，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面；（2）由，平面，平面，平面，點到平面的距離等于點到平面的距離，在平面內過點作于點，平面，平面，，，，平面，即就是到平面的距離，也就是點到平面的距離，設，則到平面的距離，，因此，直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題．21、（1）；（2）【解析】

（1）設的極坐標為，在中，有，即可得結果；（2）設射線：，，圓的極坐標方程為，聯立兩個方程，可求出，聯立可得，則計算可得，利用三角函數的性質可得最值.【詳解】（1）設的極坐標為，在中，有，點的軌跡的極坐標方程為；（2）設射線：，，圓的極坐標方程