排列與排列數(shù)【題型1排列的概念及其判斷】1、（2022·高二課時練習）從集合中任取兩個元素，①相加可得多少個不同的和？②相除可得多少個不同的商？③作為橢圓中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程？④作為雙曲線中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程？上面四個問題屬于排列問題的是（）A．①②③④B．②④C．②③D．①④【答案】B【解析】∵加法滿足交換律，∴①不是排列問題；∵除法不滿足交換律，∴②是排列問題；若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則必有，故③不是排列問題；在雙曲線中不管還是，方程均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故④是排列問題．故選：B．2、（2022·高二單元測試）（多選）下列問題屬于排列問題的是（）A．從10個人中選2人分別去種樹和掃地B．從10個人中選2人去掃地C．從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊D．從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作冪運算【答案】AD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，從10個人中選2人分別去種樹和掃地，選出的2人分工不同，是排列問題；對于B，從10個人中選2人去掃地，與順序無關(guān)，是組合問題；對于C，從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊，與順序無關(guān)，是組合問題；對于D，從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作冪運算，順序不一樣，計算結(jié)果也不一樣，是排列問題．故選AD.3、（2022·高二課時練習）（多選）下列問題中，屬于排列問題的有（）A．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別擔任正、副班長，共有多少種不同的選取方法B．從甲、乙、丙三名同學中選出兩名同學參加志愿者活動，共有多少種不同的選取方法C．平面上有五個點，任意三點不共線，這五個點最多可確定多少條直線D．從1，2，3，4四個數(shù)字中任選兩個組成一個兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)【答案】AD【解析】對于A，因為兩名同學擔任的是正、副班長，所以是排列問題，A正確；對于B，因為兩名同學參加的志愿者活動與順序無關(guān)，所以不是排列問題，B錯誤；對于C，五個點中任取兩個點，不涉及順序問題，因此不是排列問題，C錯誤；對于D，四個數(shù)字中任取兩個組成兩位數(shù)，與順序有關(guān)，是排列問題，D正確．故選：AD4、（2022春·山東煙臺·高二萊州市第一中學校考開學考試）(多選)下列問題中，屬于排列的有（）A．10本不同的書分給10名同學，每人一本B．10位同學去做春季運動會志愿者C．10位同學參加不同項目的運動會比賽D．10個沒有任何三點共線的點構(gòu)成的線段【答案】AC【解析】因為排列與順序有關(guān)系，因此AC是排列，BD不是排列，故選AC.5、（2023·高二課時練習）給出下列問題：①有10位同學，每兩人互通一次，共通了多少次？②有10位同學，每兩人互寫一封信，共寫了多少封信？③有10位同學，每兩人互握一次手，共握了多少次手？以上問題中，屬于排列問題的是______．（寫出所有滿足要求的問題序號）【答案】②【解析】對于①，假設(shè)10位同學中含甲乙，甲與乙通一次，也就是乙與甲通一次，沒有順序區(qū)別，故不是排列問題；對于②，假設(shè)10位同學中含甲乙，甲給乙寫一封信，跟乙給甲寫一封信，是不一樣的，是有順序區(qū)別的，故屬于排列問題；對于③，假設(shè)10位同學中含甲乙，甲與乙握一次手，也就是乙與甲握一次手，沒有順序區(qū)別，故不是排列問題，故答案為：②【題型2排列數(shù)的簡單計算】1、（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高級中學校考階段練習）計算：（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故選：B2、（2021春·山西大同·高二校考階段練習）若，且，則等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因且，表示81個連續(xù)正整數(shù)的乘積，其中最大因數(shù)為，最小因數(shù)為，由排列數(shù)公式的意義得結(jié)果為，所以.故選：D3、（2022·高二課時練習）（多選）（）．A．B．C．D．【答案】ABD【解析】，B正確，C不正確；而，即，A正確，D正確.故選：ABD4、（2022春·河北石家莊·高二校考階段練習）的值為________．【答案】696【解析】由已知可得，解得，所以.5、（2022·高二課時練習）對任意正整數(shù)n，定義n的雙階乘：當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，，則下列四個命題中錯誤的是（）A．B．C．的個位數(shù)字為0D．的個位數(shù)字為5【答案】B【解析】由根據(jù)雙階乘的定義可得，，所以，所以A正確；由，所以B錯誤；因為能被10整除，所以的個位數(shù)字為0，所以C正確；因為能被5整除，所以個位數(shù)字為5或0，又是奇數(shù)，所以的個位數(shù)字為5，故D正確．故選：B．【題型3證明排列數(shù)恒等式】1、（2022·高二課時練習）證明，并利用這一結(jié)果化簡：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）證明：由可得，則.所以（2）因為，所以.2、求證：．【答案】證明見解析【解析】左邊，右邊，所以，即證.3、（2022·高二課時練習）證明：.【答案】見解析【解析】,.4、（2021·高二課時練習）求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）右式左式，故等式成立；（2）左式右式，故等式成立.【題型4解排列式方程與不等式】1、（2022·高二課時練習）若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，化簡可得，則.故選：B2、（2022·全國·高三專題練習）已知，則的值是______．【答案】【解析】由題設(shè)，，即，所以.故答案為：3、（2022·全國·高三專題）設(shè)，，則等式中______．【答案】【解析】，，解得：.故答案為：.4、（2022·全國·高三專題練習）若不等式成立，則_____________.【答案】6【解析】，，解得：又，即5、（2022·高二課時練習）（1）解不等式：；（2）解方程：【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可知，且，因為，，，所以原不等式可化為，整理得，所以，，所以原不等式的解集為；（2）易得，所以，，由得,整理得，即，解得或（舍去）.所以，原方程的解為.【題型5排列應用之排隊問題】1、（2022秋·陜西·高三陜西省榆林中學校聯(lián)考階段練習）某學校文藝匯演準備從甲、乙、丙、丁、戊5人中選4人參加演出．要求甲和乙必須同時參加，且他們的演出順序必須滿足甲在前、乙在后，那么不同的演出順序種數(shù)有（）A．18種B．24種C．36種D．72種【答案】C【解析】先從丙、丁、戊3人中選2人，有種，再把4人排列滿足甲在前、乙在后，有，∴總共有種．故選：C2、（2022秋·湖北襄陽·高三襄陽五中校考階段練習）根據(jù)新課改要求，昆明市藝卓中學對學校的課程進行重新編排，其中對高二理科班的課程科目：語文、數(shù)學、英語、物理、化學、生物這六個科目進行重新編排（排某一天連續(xù)六節(jié)課的課程，其中每一節(jié)課是一個科目），編排課程要求如下：數(shù)學與物理不能相鄰，語文與生物要相鄰，則針對這六個課程不同的排課順序共有（）A．144種B．72種C．36種D．18種【答案】A【解析】語文與生物要相鄰，將語文與生物捆綁看作一個整體.數(shù)學與物理不能相鄰，采用插空法，后排.第一步，將語文與生物捆綁看作一個整體后，與英語、化學共3個，排列種類為；第二步，第一步完成后共有4個位置，將物理和數(shù)學排好，排列種類為；第三步，語文與生物的排列種類為.所以，總的排列順序有.故選：A.3、（2023·全國·高三專題練習）“四書”“五經(jīng)”是我國部經(jīng)典名著《大學》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校計劃在讀書節(jié)活動期間舉辦“四書”“五經(jīng)”知識講座，每部名著安排次講座，若要求《大學》《論語》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先排除去《大學》《論語》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，共有種排法，將《大學》《論語》看作一個元素，二者內(nèi)部全排列有種排法，排完的6部經(jīng)典名著的講座后可以認為它們之間包括兩頭有7個空位，從7個空位中選2個，排《大學》《論語》捆綁成的一個元素和《周易》的講座，有種排法，故總共有種排法，故選：C.4、（2023·全國·高三專題練習）現(xiàn)有6家商戶預租賃某夜市的6個相鄰的推位，其中3家商戶開特色小吃店，2家商戶開文創(chuàng)產(chǎn)品店，一家商戶開新奇玩具店，夜市管理部門要求特色小吃店必須都相鄰，且文創(chuàng)產(chǎn)品店不相鄰，則不同的排法總數(shù)為（）A．48B．72C．144D．96【答案】B【解析】先把3家小吃店捆綁全排共有種排法，再把小吃店與玩具店全排共有種排法，然后把2家文創(chuàng)店插空全排共有種排法，所以共有6×2×6＝72種故選：B.5、（2022春·江蘇鹽城·高二鹽城市田家炳中學校考期中）現(xiàn)有4名男生、3名女生站成一排照相．（用數(shù)字作答）（1）兩端是女生，有多少種不同的站法？（2）任意兩名女生不相鄰，有多少種不同的站法？（3）女生甲要在女生乙的右方(可以不相鄰)，有多少種不同的站法？【答案】（1）720；；（2）1440；；（3）2520；【解析】（1）選2女生排兩端有種方法，再排其余學生有種方法，所以兩端是女生的不同站法有種.（2）先排4名男生有種方法，再將3名女生插入5個空隙中有種方法，所以任意兩名女生不相鄰的不同站法有種.（3）7名學生的全排列為，而甲乙的順序有2種，所以女生甲要在女生乙的右方的不同站法有種.【題型6排列應用之排隊問題】1、（2022·高二課時練習）從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A．24B．18C．12D．6【答案】C【解析】根據(jù)題意，要使組成無重復數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個數(shù)字為個位數(shù)，有2種可能，從1，3，5中選兩個數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個無重復數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個數(shù)為．故選：C．2、（2022春·全國·高二期末）用數(shù)字0，1，2，3，4，5，可以組成沒有重復數(shù)字，并且比30000大的五位偶數(shù)（）．A．288個B．192個C．144個D．126個【答案】B【解析】個位上是0時，有個；個位上是2時，有個；個位上是4時，有個，∴共有符合條件的偶數(shù)個；故選：B．3、（2022春·福建泉州·高二福建省永春第一中學校考階段練習）（多選）用0、1、2、3、4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的自然數(shù)，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如301、423等都是“凹數(shù)”，則下列結(jié)論中正確的是（）A．組成的三位數(shù)的個數(shù)為60B．在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為30C．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個數(shù)為20D．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個數(shù)為24【答案】BC【解析】對于A，因為百位數(shù)上的數(shù)字不能為零，所以組成的三位數(shù)的個數(shù)為，故A不正確；對于B，將所以三位數(shù)的偶數(shù)分為兩類，①個位數(shù)為，則有種，②個位數(shù)為或，則有種，所以在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為，故B正確；對于C、D，將這些“凹數(shù)”分為三類，①十位為，則有種，②十位為，則有種，③十位為，則有種,所以在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個數(shù)為,故C正確，D不正確.故選：BC.4、（2022·高二課時練習）有0，1，2，3，4，5六個數(shù)字．（1）能組成多少個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)？（2）能組成多少個無重復數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù)？（3）能組成多少個無重復數(shù)字且比1230大的四位數(shù)？【答案】（1）156；（2）108；（3）284【解析】（1）由題意組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)分為三類：第一類：0在個位時，有個；第二類：2在個位時，首位從1，3，4，5中選定1個，有種，十位和百位從余下的數(shù)字中選，有種，共有個；第三類：4在個位時，與第二類同理，也有個，由分類加法計數(shù)原理知，共有個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)．（2）組成無重復數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù)分為兩類：個位上的數(shù)字是0時，滿足條件的四位數(shù)有個；個位數(shù)上的數(shù)字是5時，滿足條件的四位數(shù)有個，故滿足條件的四位數(shù)有（個）．（3）組成無重復數(shù)字且比1230大的四位數(shù)分為四類：第一類：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共個；第二類：形如13□□，14□□，15□□，共有個；第三類：形如124□，125□，共有個；第四