重慶市九龍坡區渝西中學20242025學年高一上學期10月月考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合用列舉法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，再由即可求得結果.【詳解】易知.故選：B2.命題“”的否定為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】由存在量詞命題的否定的定義即可得到；【詳解】由題意，命題“”的否定為，故選：C.3.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先解絕對值不等式得出集合，再應用交集定義計算即可.【詳解】，故．故選：A4.下列命題為真命題的是（）A.，當時，B.集合與集合是相同的集合C.若，則D.所有的素數都是奇數【答案】C【解析】【分析】通過舉反例判斷AD；根據集合的表示方法即可判斷B；根據不等式的性質即可判斷C．【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，，，所以，故B錯誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，2是素數，但2是偶數，故D錯誤；故選：C．5.若命題：“，使”是真命題，則實數m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據“，”是真命題得到方程有解，然后根據根的判別式列方程求解即可.【詳解】因為“，”是真命題，所以，解得.故選：C.6.已知p：，那么命題p的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，然后根據充分條件和必要條件的定義逐項判斷即可.【詳解】解得0<x<2.對于選項A，，反之不能推出，所以是命題p的一個充分不必要條件，故A錯誤；對于選項B，，反之不能推出，所以是命題p的一個必要不充分條件，故B正確；對于選項C，0<x<2不能推出，反之也不能推出，所以是命題p的一個既不充分也不必要條件，故C錯誤；對于選項D，0<x<2是命題p的充要條件，故D錯誤.故選：B7.甲、乙、丙、丁四位同學在玩一個猜數字游戲，甲、乙、丙共同寫出三個集合：，，，然后他們三人各用一句話來正確描述“”表示的數字，并讓丁同學猜出該數字，以下是甲、乙、丙三位同學的描述，甲：此數為小于5的正整數；乙：是的必要不充分條件；丙：是的充分不必要條件.則“”表示的數字是（）A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3【答案】C【解析】【分析】根據此數為小于5的正整數得到，再推出是的真子集，是的真子集，從而得到不等式，求出，得到答案.【詳解】因為此數為小于5的正整數，所以，.因為是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，所以是的真子集，是的真子集，所以且，解得，所以“”表示的數字是1或2，故正確.故選：C.8.已知，則的最大值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】【分析】根據題意結合基本不等式運算求解，注意基本不等式成立的條件.【詳解】因為，則，可得，即，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為4.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分9.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據不等式的性質進行判斷可得結論.【詳解】因為，，根據不等式的性質，則，故A正確；同理：，故BC正確.如，，但不成立，故D錯誤.故選：ABC10.已知不超過5的實數組成的集合為M，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據題意，利用元素與集合的關系，逐個分析判斷即可【詳解】對于A，因為，所以，所以A正確，對于B，因為，所以，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以，所以C正確，對于D，因為，所以，所以，所以D正確.故選：ACD11.用表示非空集合中元素的個數，定義，已知集合，則下面正確結論正確的是（）A，B.，C.“”是“”的充分不必要條件D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據集合新定義，結合一元二次方程，逐項分析判斷即可.【詳解】對于A，當時，，此時，A正確；對于B，當時，，此時，B錯誤；對于C，當時，，則，而，，因此；當時，而，則或，若，滿足，解得；若，則方程的兩個根都不是方程的根，且，解得，因此“”是“”的充分不必要條件，C正確；對于D，由，而，得或，由C知：或，因此，，D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若全集，集合，B=xx<3，則圖中陰影部分表示的集合為__________．【答案】【解析】【分析】根據圖形及集合的交集、補集運算求解.【詳解】由圖可知，陰影部分表示的集合為,又，，B=xx<3，所以故答案為：13.已知，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先設出，求出，再結合不等式的性質解出即可；【詳解】設，所以，解得，所以，又，所以，又所以上述兩不等式相加可得，即，所以的取值范圍是，故答案為：.14.設集合，，若，則實數t的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】由可知，討論與，即可求出答案.【詳解】因為，所以，當時：，滿足題意；當時：，無解；所以實數t的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知全集，集合或.（1）求；（2）求.【答案】（1）或，或；（2）.【解析】【分析】（1）（2）根據給定條件，利用并集、補集、交集的定義直接求解即得.小問1詳解】集合，或，所以或，或，所以或.【小問2詳解】由或得，所以.16.已知全集，集合，（1）若，求（2）若“”是“x∈Q”充分不必要條件，求實數a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】當時，可得，則或x>7}，然后求交集即可；由充分不必要條件與集合的包含關系可得：若“”是“x∈Q”的充分不必要條件，即，然后考慮和兩種情況分別求解即可．【小問1詳解】當時，，或x>7}，因為，所以；【小問2詳解】若“”是“x∈Q”的充分不必要條件，即，當時，，此時，滿足，當時，則，解得：，且和不能同時成立，綜上所述：實數a的取值范圍為17.（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值．【答案】（1）9；（2）．【解析】【分析】（1）由于，則，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于，變形得，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為9．（2）因為，所以，當且僅當，即時取等號，故的最大值為．18.已知集合．（1）若A是空集，求的取值范圍；（2）若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至少有一個元素，求的取值范圍．【答案】（1）（2）當時，集合，當時，集合；（3）【解析】【分析】（1）利用是空集，則即可求出的取值范圍；（2）對分情況討論，分別求出符合題意的的值，及集合即可；（3）分中只有一個元素和有2個元素兩種情況討論，分別求出參數的取值范圍，即可得解．【小問1詳解】解：是空集，且，，解得，所以的取值范圍為：；小問2詳解】：①當時，集合，②當時，，，解得，此時集合，綜上所述，當時，集合，當時，集合；【小問3詳解】中至少有一個元素，則當中只有一個元素時，或；當中有2個元素時，則且，即，解得且；綜上可得，時中至少有一個元素，即19.學習了不等式的內容后，老師布置了這樣一道題：已知，且，求的最小值．李雷和韓梅梅兩位同學都“巧妙地用了”，但結果并不相同．李雷的解法：由于，所以，而．那么，則最小值為．韓梅梅的解法：由于，所以，而，則最小值為．（1）你認為哪位同學的解法正確，哪位同學的解法有錯誤？（錯誤的需說明理由）（2）為鞏固學習效果，老師布置了另外兩道題，請你解決：（i）已知，且，求證：；（ii）已知，求的最小值．【答案】（1）韓梅梅的解法正確；李雷的解法錯誤，理由見解析（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）在李雷的解法中，取得最小值時，