浙江省杭州市浙里特色聯盟2024-2025學年高二上學期11月期中數學試題考生須知：1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2.答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號．3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效．4.考試結束后，只需上交答題卷．選擇題部分一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分.）1.復數（為虛數單位）的虛部是（）A.1 B. C.2024 D.【答案】B【解析】【分析】利用復數的概念及虛部的定義可得結果.【詳解】由復數的概念可得的虛部是.故選：B2.已知圓的標準方程為，則圓心坐標為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據圓的標準方程求圓心即可.【詳解】因為圓的標準方程為，所以圓心坐標為.故選：B3.過點且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩直線垂直的充要條件及點斜式計算即可.【詳解】若直線與垂直，則其斜率為，又該直線過，根據點斜式有，整理得.故選：C4.已知，且，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示，代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意可得，即，解得.故選：C5.在四面體中，，點在上，且為的點，且，則等于（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算計算即可.【詳解】易知，即.故選：D6.古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的中心為原點，焦點均在軸上，的面積為，過點的直線交于點，且的周長為12.則的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據“逼近法”先確定，再結合橢圓的定義計算即可.【詳解】設橢圓的長半軸長與短半軸長分別為，結合題意可知橢圓方程為：，由條件得，又的周長為，所以，即橢圓方程為：.故選：A7.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，切線的斜率存在，設切線的方程為，根據直線與圓的位置關系可得出，設兩條切線的斜率分別為、，則、為關于的方程的兩根，利用根與系數的關系求出的值，再由結合同角三角函數的基本關系可求得的值.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，若切線斜率不存在時，則直線方程為，此時，圓心到直線的距離為，不合乎題意；當切線的斜率存在時，設切線的方程為，即，則有，整理可得，則，設兩切線的斜率分別為、，則、為關于的方程的兩根，由韋達定理可得，，所以，，所以，，由題意，，由，解得.故選：D.8.已知為橢圓的右焦點，為橢圓上一點，為圓上一點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓定義可得出，利用當且僅當、、、四點共線且、在線段上時，取最小值即可得解.【詳解】在橢圓中，，，則，則，則橢圓的左焦點為，圓的圓心為，半徑為，由橢圓的定義可得，則.當且僅當、、、四點共線且、在線段上時，上述不等式兩個等號同時成立，故的最小值為.故選：B.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選、錯選得0分.）9.已知分別是橢圓的左，右焦點，為橢圓上的一點，則下列說法正確的是（）A.B.橢圓的離心率為C.直線被橢圓截得的弦長為D.若，則的面積為4【答案】BCD【解析】【分析】根據橢圓的定義與性質結合勾股定理計算一一判定選項即可.【詳解】因為橢圓方程為：，則其長軸長、短軸長、焦距分別為，所以，即A錯誤；B正確；當時，與聯立得，即直線被橢圓截得的弦長為，故C正確；若，則，即，則的面積為，故D正確.故選：BCD10.在棱長為的正方體中，點、分別在線段和上（含端點），則下列命題正確的是（）A.長的最小值為B.四棱錐的體積為定值C.有且僅有一條直線與垂直D.當點、為線段中點時，則為等腰三角形【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據面與面之間的距離，即可說明長的最小值；對于B，根據三棱錐的體積公式，再結合線線和面面之間的距離公式，即可判斷；對于C，根據垂直關系，尋找直線與垂直的充要條件，即可判斷；對于D，建系，利用空間中兩點間的距離公式即可判斷.【詳解】對于A，由點所在線段分別在兩個平行平面、上，且為異面直線，其間距最小值為異面直線的距離，即兩個平面間的距離，即長的最小值為，A對；對于B，由，其中表示到平面的距離，顯然為定值，而的中，底與邊上的高均為定值，由此可知面積為定值，綜合上述，四面體的體積為定值，B對；對于C，點在平面上的射影的軌跡為線段，平面，平面，所以，則的一個充要條件，當射影位于線段上的任意位置時，過作的垂線，所得垂足記為，則，根據以上垂直關系可知，，、平面，所以平面，平面，從而.于是這樣的直線不唯一，C錯；對于D，以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，當、分別為、的中點時，則、、，所以，，同理可得，，此時，為等腰三角形，D對.故選：ABD.11.已知直線，下列說法正確的是（）A.直線恒過定點B.直線與直線垂直，則C.當點到直線的距離取到最大時，此時D.直線與圓所截得的最短弦長為1【答案】BC【解析】【分析】利用直線方程特征可判定A，利用垂直的充要條件可判定B，利用點到直線的距離公式結合直線與圓的位置關系及弦長公式可判定C、D.【詳解】對于A，由，令，即直線恒過定點，故A錯誤；對于B，若直線與直線垂直，則有，所以，故B正確；對于C，易知點到直線的距離，即，解之得，故C正確；對于D，，即該圓圓心為，半徑為，則到的距離為，所以直線與圓所截得的弦長為，即越大，弦長越小，則弦長最小，故D錯誤.故選：BC.非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每個空5分，共15分.）12.直線的傾斜角大小為______.【答案】##【解析】【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關系計算即可.【詳解】由直線可知其斜率為，所以其傾斜角滿足，所以.故答案為：13.已知空間向量且與互相平行，則實數值______.【答案】2【解析】【分析】利用空間向量平行的坐標表示計算即可.【詳解】由條件可知，因為與互相平行，所以，解之得.故答案為：214.已知右焦點為的橢圓上的三點A，B，C滿足直線AB過坐標原點，若于點，且，則的離心率是______.【答案】【解析】【分析】設出左焦點以及，利用橢圓定義表示出相關線段的長度，然后分別在直角中運用勾股定理，最后得到的關系式可求結果.【詳解】設橢圓的左焦點為，連接，

因為點平分，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以四邊形為矩形，設，則，在直角中，，所以，整理可得，所以，在直角中，，所以，所以，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知ABC的頂點，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．（1）求頂點C的坐標；（2）求直線BC方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，利用點C在AB邊上的中線CM上和直線AC與高線BH垂直求解；（2）設，利用點B在BH上和AB的中點M在直線CM上求解；【小問1詳解】解：設，∵AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為．∴，解得．∴．【小問2詳解】設，則，解得．∴．∴．∴直線BC的方程為，即為．16.在平面直角坐標系中，圓經過點和點，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）若直線被圓截得弦長為，求實數的值.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）先確定圓心為的中垂線與的交點，根據直線垂直的關系及點斜式，結合兩點距離公式計算即可；（2）利用點到直線的距離公式及弦長公式計算即可.【小問1詳解】易知和的中點，，則的中垂線方程為，聯立方程，即圓心坐標為，易知，所以圓的標準方程為；【小問2詳解】易知圓心C到直線的距離為，又直線被圓截得弦長為，所以，解之得或.17.如圖，正四棱柱中，設，點在線段上，且.（1）求三棱錐的體積；（2）直線與平面PBD所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用錐體的體積公式結合正四棱柱的特征計算即可；（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量計算線面夾角即可.【小問1詳解】根據題意可知，所以，；【小問2詳解】如圖所示，建立空間直角坐標系，易知，所以，設平面的一個法向量，則，取，即，設直線與平面PBD所成角為，則.18.已知O為坐標原點，橢圓C：過點，且離心率為，斜率為的直線交橢圓于P，Q兩點.（1）求橢圓C的方程；（2）記以為直徑的圓的面積分別為的面積為S，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據橢圓過點及離心率待定系數計算即可；（2）設坐標，及直線方程，利用韋達定理，圓的面積公式，弦長公式及點到直線的距離，結合二次函數的性質計算即可.【小問1詳解】由題意可知，解之得，即橢圓方程為；【小問2詳解】設，直線方程，與橢圓方程聯立得，所以，即有，易知，同理，則，由上知，即，而，O到直線的距離，即，顯然時，取得最大值1，即的最大值為.19.人臉識別是基于人的臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術.主要應用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有種.設，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標原點）.（1）若，求之間的曼哈頓距離和余弦距離；（2）若點，求的最大值；（3）已知點，是直線上的兩動點，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請說明理由.【答案】（1），；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）利用相應概念計算即可；（2）根據曼哈頓距離的定義先得出N的軌跡，再根據余弦函數的性質數形結合計算即可；（3）根據（2）的結論及點到直線的距離公式建立等量