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2024-2025學(xué)年吉林省延邊高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段檢測試卷一、單項(xiàng)選擇題(共8小題,每小題5分,共40分,每題只有一個(gè)選項(xiàng)正確)1.方程表示橢圓的充要條件是()A. B.C. D.或2.已知圓過點(diǎn),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()AB.C.D.3.已知雙曲線的焦距為6,直線與雙曲線的一條漸近線平行,則()A. B. C. D.34.已知點(diǎn),,直線:與線段有交點(diǎn),則的值不可能是(
)A6 B.2 C.1 D.5.若直線在軸?軸上的截距相等,且直線將圓的周長平分,則直線的方程為()A. B.C.或 D.或6.阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家,也是著名的數(shù)學(xué)家,他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在軸上,且橢圓C的離心率為,面積為,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.7.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距離為3,動(dòng)點(diǎn)P滿足,則△PAB面積的最大值為()A.2 B. C.4 D.38.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,,在橢圓上但不在坐標(biāo)軸上,若,,且,則橢圓的離心率的取值范圍為(
)A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題(共3小題,每小題6分,共18分)9.已知直線,,則(
)A.過定點(diǎn) B.當(dāng)時(shí),C.若,則 D.當(dāng)時(shí),的斜率為010.已知圓,圓,則下列說法錯(cuò)誤的是(
)A.若過點(diǎn)可作圓的兩條切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.若,則圓,公共弦長為C.圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為D.過點(diǎn)作圓的切線,則的方程是11.已知雙曲線:()的左、右焦點(diǎn)分別為F1?c,0,,直線:與雙曲線的右支相交于A,兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),若,則(
)A.雙曲線的離心率為 B.C. D.面積為三、填空題(共3小題,每小題5分,共15分,請(qǐng)將答案寫在答題紙上)12.已知直線與直線間的距離為,則_____13.若橢圓比橢圓更扁,則橢圓的長軸長的取值范圍是_______14.已知雙曲線的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)為A、F,過點(diǎn)A的直線與C的一條漸近線交于點(diǎn)Q,直線QF與C的一個(gè)交點(diǎn)為B,,且,則雙曲線的離心率為___________.四、解答題(共5小題,共77分,請(qǐng)寫出必要的解答過程)15已知直線,圓.(1)求與垂直的的直徑所在直線的一般式方程;(2)若圓與關(guān)于直線對(duì)稱,求標(biāo)準(zhǔn)方程.16.(1)在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離是到直線的距離的倍.求點(diǎn)的軌跡方程;(2)若動(dòng)圓與圓?圓都外切.求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.17.已知橢圓離心率為,點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),點(diǎn),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),且的周長為.(1)求橢圓的方程;(2)點(diǎn)在橢圓上,且,求的值.18.已知雙曲線C:x2a2?y2b(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn),求的面積.(3)過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為,求PQ.19.已知橢圓C:經(jīng)過點(diǎn),且焦距與長半軸相等,(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)點(diǎn)()與上的點(diǎn)之間的距離的最大值為6.過點(diǎn)且斜率不為0的直線交于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.①證明:直線過定點(diǎn);②已知為坐標(biāo)原點(diǎn),求面積的取值范圍.2024-2025學(xué)年吉林省延邊高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段檢測試卷一、單項(xiàng)選擇題(共8小題,每小題5分,共40分,每題只有一個(gè)選項(xiàng)正確)1.方程表示橢圓的充要條件是()A. B.C. D.或【正確答案】D【分析】借助橢圓定義與充要條件的定義計(jì)算即可得.【詳解】若表示橢圓,則有,解得或.故選:D.2.已知圓過點(diǎn),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.B.C.D.【正確答案】A【分析】由題意可得圓心,半徑,即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由在圓上,故圓心在直線上,由在圓上,故圓心在直線上,即圓心,半徑,故方程為.故選:A.3.已知雙曲線的焦距為6,直線與雙曲線的一條漸近線平行,則()A. B. C. D.3【正確答案】A【分析】求出雙曲線的漸近線方程,結(jié)合已知列式計(jì)算即得.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,依題意,,由雙曲線焦距為6,得,所以.故選:A4.已知點(diǎn),,直線:與線段有交點(diǎn),則的值不可能是(
)A.6 B.2 C.1 D.【正確答案】D【分析】求出直線恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo),再求出的斜率,的斜率不存在,可得直線的斜率的范圍,進(jìn)而求出的范圍.【詳解】直線整理可得,聯(lián)立,解得,,即直線恒過定點(diǎn),可得,因?yàn)椋臋M坐標(biāo)相同,所以斜率不存在,所以直線與線段有交點(diǎn),則直線的斜率,而直線斜率,解得.故選:D.5.若直線在軸?軸上的截距相等,且直線將圓的周長平分,則直線的方程為()A. B.C.或 D.或【正確答案】C【分析】設(shè)出直線方程,將圓心代入直線,求解即可.【詳解】由已知圓,直線將圓平分,則直線經(jīng)過圓心,直線方程為,或,將點(diǎn)代入上式,解得直線的方程為或.故選:C.6.阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家,也是著名的數(shù)學(xué)家,他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在軸上,且橢圓C的離心率為,面積為,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由橢圓的面積公式,離心率得到與的關(guān)系,解出、即可.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則橢圓的面積為,又,聯(lián)立解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:D.7.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距離為3,動(dòng)點(diǎn)P滿足,則△PAB面積的最大值為()A.2 B. C.4 D.3【正確答案】D【分析】令且,利用兩點(diǎn)距離公式求動(dòng)點(diǎn)軌跡,結(jié)合軌跡圓的性質(zhì)求三角形面積的最大值.【詳解】令且,則,整理得,所以的軌跡是以為圓心,2為半徑的圓,要使△PAB面積最大,只需到直線的距離最大,故最大值為.故選:D8.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,,在橢圓上但不在坐標(biāo)軸上,若,,且,則橢圓的離心率的取值范圍為(
)A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知,可轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)三角形頂角為,根據(jù)頂角的取值范圍可知離心率的最值.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,由,,可知四邊形平行四邊形,且為中點(diǎn),又,,則,分別為,中點(diǎn),所以,,由,可知,則四邊形為矩形,即,即在橢圓上存在點(diǎn)使得,所以,即,即,即,所以,所以,即,則,又橢圓離心率,則,故選:A.二、多項(xiàng)選擇題(共3小題,每小題6分,共18分)9.已知直線,,則(
)A.過定點(diǎn) B.當(dāng)時(shí),C.若,則 D.當(dāng)時(shí),的斜率為0【正確答案】AB【分析】對(duì)A,將直線變形求出定點(diǎn)判斷;對(duì)B,代回直線方程驗(yàn)證判斷;對(duì)C,根據(jù)兩直線平行的充要條件列式計(jì)算;對(duì)D,將代回直線方程驗(yàn)證判斷.【詳解】對(duì)于A,由得,令,得,所以直線過定點(diǎn),故A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),直線,,所以,故B正確;對(duì)于C,由,則,解得,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,此時(shí)的斜率不存在,故D錯(cuò)誤.故選:AB.10.已知圓,圓,則下列說法錯(cuò)誤的是(
)A.若過點(diǎn)可作圓的兩條切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.若,則圓,公共弦長為C.圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為D.過點(diǎn)作圓的切線,則的方程是【正確答案】ABD【分析】A選項(xiàng):根據(jù)圓的一般式,可得,再由于過點(diǎn)可作兩條切線,則在圓外,可得參數(shù)范圍;B選項(xiàng):聯(lián)立兩圓,可得公共弦方程,再根據(jù)垂徑定理可得弦長;C選項(xiàng):根據(jù)圓心到直線的距離可得最短距離;D選項(xiàng):設(shè)切線方程,結(jié)合圓心到直線的距離,解方程即可得解.【詳解】A選項(xiàng):,即,則,即,又過點(diǎn)可作兩條切線,則點(diǎn)在圓外,即,解得或,綜上所述或,即,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;B選項(xiàng):時(shí),,由,即,圓心,半徑,則公共弦方程為,即,圓心到直線的距離,則弦長為,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C選項(xiàng):到直線的距離,則圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值為,C選項(xiàng)正確;D選項(xiàng):由點(diǎn)在圓外,所以過點(diǎn)作切線有條,當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線,即,則圓心到直線的距離,解得,即直線方程為;當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線方程為,此時(shí)滿足與圓相切;綜上所述,直線的方程為或,D選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選:ABD.11.已知雙曲線:()的左、右焦點(diǎn)分別為F1?c,0,,直線:與雙曲線的右支相交于A,兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),若,則(
)A.雙曲線的離心率為 B.C. D.面積為【正確答案】AC【分析】設(shè),根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可得,,,利用余弦定理可得,,進(jìn)而依次判斷求解各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由題意,可得,由于,可知直線過右焦點(diǎn),斜率,設(shè)直線的傾斜角為,則,解得,設(shè),由,可得,,,對(duì)于A,在中,可知,,由余弦定理得,,即,解得或(舍去),所以雙曲線的離心率為,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)椋裕谥校裕蔅錯(cuò)誤;對(duì)于C,在中,,所以,即,解得,即,故C正確;對(duì)于D,由,可得,所以的面積為,故D錯(cuò)誤.故選:AC.三、填空題(共3小題,每小題5分,共15分,請(qǐng)將答案寫在答題紙上)12.已知直線與直線間的距離為,則_____【正確答案】或【分析】根據(jù)平行線間距離公式可得方程,解方程即可.【詳解】直線與直線之間的距離,解得或,故或.13.若橢圓比橢圓更扁,則橢圓的長軸長的取值范圍是_______【正確答案】【分析】根據(jù)離心率公式,結(jié)合離心率與橢圓扁平程度的關(guān)系即可求解,即可根據(jù)長軸公式求解.【詳解】的離心率為,由于比橢圓更扁,故的離心率滿足,即,解得,故長軸長為,故14.已知雙曲線的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)為A、F,過點(diǎn)A的直線與C的一條漸近線交于點(diǎn)Q,直線QF與C的一個(gè)交點(diǎn)為B,,且,則雙曲線的離心率為___________.【正確答案】【分析】寫出點(diǎn)A,F(xiàn)坐標(biāo),雙曲線C的漸近線方程,利用給定的向量關(guān)系,求出點(diǎn)B坐標(biāo),代入雙曲線方程即可得解.【詳解】雙曲線中,A(a,0),漸近線,設(shè)右焦點(diǎn)為F,由,即,直線l:x=a,由雙曲線對(duì)稱性知,不妨令Q(a,b),設(shè),則,,因,則,解得,即點(diǎn),又點(diǎn)B在雙曲線C上,則有,解得,因e>1,則.故方法點(diǎn)睛:求雙曲線的離心率,常見有兩種方法:(1)求出a,c,代入公式;(2)只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合b2=c2-a2轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后將等式兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,解方程即可得e.四、解答題(共5小題,共77分,請(qǐng)寫出必要的解答過程)15.已知直線,圓.(1)求與垂直的的直徑所在直線的一般式方程;(2)若圓與關(guān)于直線對(duì)稱,求的標(biāo)準(zhǔn)方程.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,由,設(shè)的方程,從而可求解.(2)設(shè)的圓心,由與關(guān)于直線對(duì)稱得,從而可求解.【小問1詳解】將的方程轉(zhuǎn)化為,可知的圓心為,半徑為4.因?yàn)椋钥稍O(shè)的一般式方程為,將代入,解得,故的一般式方程為.【小問2詳解】設(shè)的圓心為,由與關(guān)于直線對(duì)稱,可得,解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.(1)在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離是到直線的距離的倍.求點(diǎn)的軌跡方程;(2)若動(dòng)圓與圓?圓都外切.求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.【正確答案】(1);(2)【分析】(1)設(shè)點(diǎn),分別表示兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線的距離,化簡可得解;(2)由外切可知,,即,根據(jù)雙曲線的定義可軌跡方程.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn),由題意得:,化簡得:所以點(diǎn)的軌跡方程是;(2)圓的圓心為,半徑為,圓的圓心為,半徑為,因?yàn)椋瑒t圓與圓外離,設(shè)圓的半徑為,由題意可得,所以,即圓心滿足到定點(diǎn)、的距離之差為定值,所以,圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為左右焦點(diǎn)的雙曲線的右支,設(shè)圓心的軌跡方程為,由題意可得,則,,因此,圓心軌跡方程為.17.已知橢圓的離心率為,點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),點(diǎn),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),且的周長為.(1)求橢圓的方程;(2)點(diǎn)在橢圓上,且,求的值.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義表示焦點(diǎn)三角形周長,再結(jié)合離心率可得橢圓方程;(2)由橢圓定義可知,結(jié)合,可得,,根據(jù)余弦定理可知,進(jìn)而可得.【小問1詳解】由已知橢圓離心率,則,又的周長為,解得,,所以,即橢圓方程為;【小問2詳解】由已知點(diǎn)在橢圓上,則,又,解得,,又,則,所以.18.已知雙曲線C:x2a2?y2b(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn),求的面積.(3)過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為,求PQ.【正確答案】(1)(2)(3)【分析】(1)由已知,再將點(diǎn)代入雙曲線方程可得解;(2)聯(lián)立雙曲線與圓可得點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得三角形面積;(3)由已知可得直線方程,聯(lián)立直線與雙曲線,結(jié)合韋達(dá)定理與弦長公式可得解.【小問1詳解】由已知雙曲線的實(shí)軸長為,即得,所以雙曲線方程為,又雙曲線過點(diǎn),則,解得,則雙曲線方程;【小問2詳解】聯(lián)立雙曲線與圓的方程,即,解得,由點(diǎn)在第一象限,則,又,所以;【小問3詳解】由已知直線,即,聯(lián)立直線與雙曲線,即,得,,且,,則弦長.19.已知橢圓C:經(jīng)過點(diǎn),且焦距與長半軸相等,(1)求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程(2)點(diǎn)()與上的點(diǎn)之間的距離的最大值為6.過點(diǎn)且斜率不為0的直線交于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.①證明:直線過定點(diǎn);②已知為坐標(biāo)原點(diǎn),求面積的取值范圍.【正確答案】(1)(2)①證明見解析;②【分析】(1)將點(diǎn)的
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