《1向量基本定理》學習任務(wù)單“向量基本定理”學習單班級：姓名：組號：【學習內(nèi)容】滬教版（2020）必修第二冊第8章平面向量8.3向量的坐標表示之1向量基本定理。【我的目標】1、能夠準確說出向量基本定理的內(nèi)容，一個字都不錯哦。2、會用向量基本定理來解決簡單的向量分解問題，就像拆積木一樣熟練。3、可以在給定的平面內(nèi)，根據(jù)向量基本定理找到合適的基底來表示其他向量，就像在地圖上找到正確的路線一樣。【重難點】重點：向量基本定理的理解與記憶，這可是我們的“大寶貝”，得牢牢抓住。難點：靈活運用向量基本定理解決各種向量問題，這就像走迷宮，要找到正確的出口可不容易?！疚业难芯俊恳?、向量基本定理是啥？1、咱們先來看個例子哈。想象你在一個大操場上，有很多同學在不同方向跑來跑去?，F(xiàn)在把每個同學看成一個向量。假如有兩個同學，一個朝著正東方向跑（我們把這個方向的向量設(shè)為向量a），一個朝著正北方向跑（這個向量設(shè)為向量b），而且這兩個同學跑得速度都不變哦。那操場上其他同學不管朝著哪個方向跑，是不是都可以用正東方向的這個同學和正北方向的這個同學的某種組合來表示呢？這就是向量基本定理的一個很直觀的例子啦。2、現(xiàn)在咱們來正式學習向量基本定理的內(nèi)容：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1+λ2e2。這里的e1和e2就像是剛才例子里正東和正北方向的同學，而λ1和λ2就是表示其他同學和這兩個特殊同學之間關(guān)系的數(shù)字。那大家先試著把這個定理讀個三遍，看看能不能記在小腦袋里呢？二、小練習1、已知向量e1，e2不共線，向量a＝3e1+2e2，向量b＝6e1+4e2，判斷向量a與向量b是否共線。我們可以這樣想哦，如果向量b能寫成向量a的某個倍數(shù)，那它們就是共線的。假設(shè)存在實數(shù)k，使得b＝ka，也就是6e1＋4e2＝k(3e1+2e2)。那我們就可以得到兩個方程：6＝3k（這是根據(jù)e1前面的系數(shù)得到的）和4＝2k（這是根據(jù)e2前面的系數(shù)得到的）。解第一個方程得到k＝2，解第二個方程也得到k＝2，所以向量a與向量b是共線的。大家看，這樣一步一步分析是不是就很清楚啦？2、設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，如果λ1e1+λ2e2＝0，那么λ1和λ2的值是多少呢？因為e1，e2是基底，它們是不共線的。就像我們前面說的在操場上不同方向跑的同學，他們是獨立的哦。要使λ1e1+λ2e2＝0成立，只有當λ1＝0且λ2＝0的時候才行。這就好比要讓一個東西不動，那推動它的所有力量都得是零一樣。三、找基底1、在平面直角坐標系中，向量i＝（1,0)，向量j＝（0,1)，這兩個向量是很特殊的哦。那對于向量a＝（3,4)，我們怎么用向量i和向量j來表示呢？根據(jù)向量基本定理，我們可以設(shè)a＝λ1i+λ2j，也就是(3,4)＝λ1(1,0)＋λ2(0,1)。這樣就可以得到兩個方程：3＝λ1（這是根據(jù)橫坐標得到的）和4＝λ2（這是根據(jù)縱坐標得到的）。所以向量a＝3i＋4j。是不是很有趣呢？就像把一個復雜的東西拆成了兩個簡單的部分。2、再看一個例子，在一個斜著的坐標系（不是直角坐標系哦）里，有向量e1和向量e2，它們不共線。對于一個向量b，我們怎么確定它用e1和e2表示的系數(shù)呢？首先我們要根據(jù)向量基本定理設(shè)b＝μ1e1+μ2e2。然后我們可以通過一些已知條件，比如說向量b的長度和方向，以及向量e1和e2的長度和方向之間的關(guān)系來建立方程，進而求出μ1和μ2的值。這就有點像在一個神秘的地圖里，根據(jù)一些線索找到寶藏的位置一樣。【組內(nèi)過關(guān)】（課內(nèi)完成）一、判斷題1、任何兩個向量都可以作為平面內(nèi)的一組基底。（）答案是錯的哦。因為只有不共線的兩個向量才能作為基底，就像我們前面說的，在操場上朝著相同方向或者在同一條直線上跑的同學不能作為兩種不同的“標準方向”一樣。2、若e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，且λ1e1+λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0。（）這個是對的，我們前面已經(jīng)詳細講過啦，基底向量是獨立的，要讓它們組合起來等于零向量，只能系數(shù)都是零。二、填空題1、已知向量e1，e2不共線，向量a＝2e13e2，向量b＝4e16e2，向量b＝＿__a。我們設(shè)向量b＝ka，也就是4e16e2＝k(2e13e2)。根據(jù)前面講的方法，我們可以得到4＝2k（根據(jù)e1前面的系數(shù)），解得k＝2；6＝3k（根據(jù)e2前面的系數(shù)），解得k＝2。所以向量b＝2a。2、在平面內(nèi)，向量e1＝（2,1)，向量e2＝（1,3)，向量a＝（4,7)，若a＝λ1e1+λ2e2，則λ1＝＿__，λ2＝＿__。設(shè)a＝λ1e1+λ2e2，也就是(4,7)＝λ1(2,1)＋λ2(1,3)。得到方程組：4＝2λ1λ2和7＝λ1+3λ2。我們可以先把第一個方程變形為λ2＝2λ14，然后代入第二個方程，得到7＝λ1+3(2λ14)。展開得到7＝λ1+6λ112，移項得到7λ1＝5，解得λ1＝5/7。把λ1＝5/7代入λ2＝2λ14，得到λ2＝2×（5/7)－4＝10/728/7＝18/7。三、簡答題1、請解釋為什么向量基本定理中要求基底向量不共線？就像我們前面在操場上的例子，如果兩個同學朝著相同或者相反的方向跑（也就是共線），那他們就不能表示出操場上所有方向的同學的跑步情況啦。在向量里也是一樣，如果基底向量共線，那它們就不能組合出平面內(nèi)所有的向量，就會有很多向量沒辦法用這兩個向量表示出來，就像少了一些顏色，畫不出完整的畫一樣。【當堂檢測】（課內(nèi)完成）一、選擇題1、下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是（）A.e1＝（0,0)，e2＝（1,2)B.e1＝（1,2)，e2＝（5,7)C.e1＝（3,5)，e2＝（6,10)D.e1＝（2,3)，e2＝（1/2,3/4)答案是B哦。因為A選項里e1是零向量，零向量和任何向量都共線，不能做基底；C選項里e2＝2e1，它們共線，不能做基底；D選項里e2＝1/4e1，它們也共線，不能做基底。只有B選項里的兩個向量不共線，可以做基底。2、已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝ab，如果c與d共線，那么（）A.k＝1且c與d同向B.k＝1且c與d反向C.k＝1且c與d同向D.k＝1且c與d反向因為c與d共線，所以存在實數(shù)λ，使得c＝λd，也就是ka＋b＝λ(ab)＝λaλb。得到方程組k＝λ和1＝λ，解得λ＝1，k＝1。當k＝1時，c＝a＋b＝（ab)＝d，所以c與d反向，答案是D。二、計算題1、已知向量e1，e2不共線，向量a＝e1＋2e2，向量b＝3e14e2，求2a3b。首先計算2a，2a＝2(e1＋2e2)＝2e1＋4e2。然后計算3b，3b＝3(3e14e2)＝9e112e2。最后計算2a3b，2a3b=（2e1＋4e2)（9e112e2)＝2e1＋4e29e1＋12e2=7e1+16e2。2、設(shè)向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，已知向量a＝3e1＋5e2，向量b＝4e1＋7e2，向量c＝15e113e2，求實數(shù)λ，μ，使得c＝λa+μb。把a，b代入c＝λa+μb，得到15e113e2＝λ(3e1＋5e2)＋μ(4e1＋7e2)。展開得到15e113e2=（3λ4μ)e1+（5λ＋7μ)e2。得到方程組：15＝3λ4μ和13＝5λ＋7μ。我們可以先把第一個方程乘以5，得到75＝15λ20μ；把第二個方程乘以3，得到39＝15λ＋21μ。然后用新得到的第一個方程減去第二個方程，得到114＝41μ，解得μ＝114/41。把μ＝114/41代入15＝3λ4μ，得到15＝3λ4×（114/41)，解得λ＝53/41。三、拓展題1、在三角形ABC中，D是BC邊的中點，設(shè)向量AB＝a，向量AC＝b，試用a和b表示向量AD。因為D是BC邊的中點，所以向量BD＝1/2向量BC。向量BC＝向量AC向量AB＝ba。所以向量BD＝1/2(ba)。向量AD＝向量AB＋向量BD＝a+1/2(ba)＝1/2a＋1/2b。2、已知向量e1，e2不共線，向量a，b滿足3a2b＝4e1，a＋2b＝3e2，求向量a，b用e1，e2表示的式子。我們把這兩個方程相加，得到4a＝4e13e2，解得a＝e13/4e2。把a＝e13/4e2代入a＋2b＝3e2，得到e13/4e2+2b＝3e2。移項得到2b＝3e2e1+3/4e2=e19/4e2，解得b＝1/2e19/8e2?！咀晕以u估方法】1、對于向量基本定理內(nèi)容的記憶，如果能準確無誤地背出來，就給自己3分，如果有小錯誤扣1分，如果錯誤較多就扣2分。2、在做判斷題、填空題的時候，如果全對給自己5分，每錯一題扣1分。3、在做簡答題的時候，如果回答得邏輯清晰、內(nèi)容完整就給自己4分，如果回答有些不完整或者邏輯有點亂扣12分。4、在做選擇題、計算題和拓展題的時候，如果答案正確且步驟完整，根據(jù)題目的難易程度給自己68分不等，如果答案正確但步驟有小缺失扣13分，如果答案錯誤就不得分。5、最后把所有的分數(shù)加起來，如果總分在30分以上（包括30分），那說明你對向量基本定理掌握得非常好；如果總分在2029分之間，那還需