河南省商師聯盟2024-2025學年高二上學期期中聯考數學試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3.考生作答時，請將答案簽在簽題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊第一章~第三章第2節．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.過點，且在軸上的截距為2的直線方程為A. B. C. D.2.已知雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為A. B. C. D.3.已知圓與圓，則與的位置關系為A.內切 B.外離 C.外切 D.相交4.在平行六面體中，E，F分別是的中點.設，則A. B. C. D.5.已知點，若過定點的直線與線段AB相交，則直線的斜率的取值范圍是A. B. C. D.6.已知點是雙曲線上一點，則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為A. B. C. D.7.已知直線，圓，當圓心到直線的距離最小時，圓的周長為A. B. C. D.8.已知是橢圓的左焦點，橢圓的上頂點為，在以點為圓心、為半徑的圓上存在點，使得AP的斜率為，則橢圓的離心率的取值范圍是A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分、共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知曲線（其中為常數），則曲線可能為A.平行于軸的兩條直線 B.單位圓C.焦點在軸上的雙曲線 D.焦點在軸上的橢圓10.已知等腰直角的直角頂點為，若點，則過點且與AB邊所在直線平行的直線方程可能是A. B. C. D.11.如圖，在正四棱錐中，分別是PB，PD的中點，則下列說法正確的是A. B.直線AM和CN所成角的余弦值是C.點到直線AN的距離是 D.點到平面ACN的距離是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的焦距為2，則______.13.在空間直角坐標系Oxyz中，點A，B，C，M的坐標分別是，，若A，B，C，M四點共面，則______.14.在平面直角坐標系Oxy中，圓的方程為.若直線上存在點，使過點作圓的兩條切線相互垂直，則實數的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（本小題滿分13分）已知的外接圓為圓.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓交于E，F兩點，求的面積.16.（本小題滿分15分）如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為矩形，且，為棱的中點.（1）求到的距離；（2）求與平面所成角的正弦值.17.（本小題滿分15分）已知橢圓的左、右焦點分別為，且經過點.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上的點滿足，求點的坐標.18.（本小題滿分17分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD，過PE的平面交平面ABCD于.（1）證明：平面ADE；（2）若平面平面，四棱錐的體積為，求平面PBC與平面AEP平角的余弦值.19.（本小題滿分17分）若橢圓的長軸長，短軸長分別等于雙曲線的實軸長，虛軸長，且橢圓和雙曲線的焦點在同一坐標軸上，則稱橢圓是雙曲線的共軛橢圓，雙曲線是橢圓的共軛雙曲線.已知橢圓的共軛雙曲線為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）已知點，直線（不過點與相交于M，N兩點，且，求點到直線的距離的最大值.

2024～2025學年度高二上學期期中聯考試卷數學參考答案、提示及評分細則1.D 由題意，所求直線經過點，所以斜率為，所以所求直線的方程為，即0.故選D.2.C 由題意可知，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選C.3.B 易知圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，所以，所以與外離.故選B.4.A 如圖所示，，即.故選A.5.D 直線過定點，且直線與線段AB相交，由圖象知，或-4，則斜率的取值范圍是.故選D.6.B 由雙曲線的方程知漸近線方程為，設，由題意，得，即，點到漸近線的距離，點到漸近線的距離，所以.故選B．7.A 圓化為，所以，故到的距離，當且僅當，即時等號成立，故此時圓的半徑為，則圓的周長為.故選A.8.C 直線AP的方程為，即，圓的方程為，由題意，知直線AP與圓有交點，即直線AP與圓相交或相切，所以，即，解得，又，所以離心率，又，所以.故選C.9.ABC 當，即時，，表示平行于軸的兩直線，A正確；當時，，表示以原點為圓心，半徑為1的單位圓，B正確；當，即或時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，C正確；當，且時，則，所以，因此曲線表示焦點在軸上的橢圓，D錯誤.故選ABC.10.AC 設點坐標為，根據題意知即解得或當點的坐標是時，過點且與AB邊所在直線平行的直線方程是，即0；當點的坐標是時，過點且與AB邊所在直線平行的直線方程是，即．故選AC.11.ACD 連接BD交AC于點，連結PO，由題意，得平面ABCD，因為平面ABCD，所以，因為四邊形ABCD是正方形，所以，因為平面PBD，所以平面PBD，因為平面PBD，所以AC，故A正確；以OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，所以，所以，，所以，所以，所以直線AM和CN所成角的余弦值是，故B錯誤；，與同向的單位向量為，所以點到直線AN的距離，故C正確；設為平面ACN的法向量，則即令，得，點到平面ACN的距離，故D正確.故選ACD.12.5或7 由題意知，所以.當橢圓的焦點在軸上時，且，解得；當橢圓的焦點在軸上時，且，解得，故的值為5或7.13.6 ，又A，B，C，M四點共面，則存在，使得，即，即解得.134圓的方程可化為，要使過點作圓的兩條切線相互垂直，只要圓心到點的距離為4，所以點既在直線上，又在圓上，所以直線與圓有公共點，點到直線的距離小于等于4，即，解得或.14.解：（1）設圓的方程為，則……3分解得所以圓的方程為.……6分（2）由，得，所以圓的圓心為，半徑，……7分圓心到直線的距離為．…………9分又點到直線的距離為，……11分所以的面積為.……13分16.解：以為坐標原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則，則.……3分（1），……5分所以，……6分所以到的距離.……8分（2）設平面的一個法向量，則即……9分令，解得，故．……11分設直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.……15分17.解：（1）橢圓的左、右焦點分別為，半焦距.……2分又橢圓經過點，，故橢圓的方程為.……6分（2）設點，因為，則，即，……8分聯立解得.……11分當時，，當時，，點的坐標為或或或.………………15分18.（1）證明：因為平面ABCD，過PE的平面交平面ABCD于BD，所以，又，所以四邊形BDEP為平行四邊形，所以，……2分又平面平面ADE，所以平面ADE.……3分同理平面ADE，又平面BCP，所以平面平面ADE，又平面BCP，所以平面ADE．……5分（2）解：由（1）知四邊形BDEP為平行四邊形，又，所以四邊形BDEP為菱形，因為，所以為等邊三角形．……7分連接AC交BD于，連接PO，則，因為平面平面ABCD，平面平面，又平面BDEP，所以平面ABCD，……9分因為平面ABCD，所以.因為四棱錐的體積為，即，又，所以，所以.……11分以為坐標原點，OA，OB，OP所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以.………………12分設平面PBC的一個法向量，則即令，解得，所以，設平面AEP的一個法向量，則即令，解得，所以，……15分設平面PBC與平面AEP的夾角為，所以，故平面PBC與平面AEP的夾角的余弦值為.……17分19.解：（1）由題意可設的標準方程為，則，………………3分所以雙曲線的標準方程為.……5分（2）當直線的斜率存在時，設直線