專題63幾何體的內切球

【方法點撥】

1.“切''的問題處理規律：

(1)找準切點，通過作過球心的截面來解決.

(2)體積分割是求內切球半徑的常用方法.

2.多面體的內切球的半徑，運用“等體積法”也是常用思路.

【典型題示例】

例1(2022?江蘇南京、鹽城?二檢)某中學開展勞動實習，學生需測量某零件中圓弧

的半徑.如圖，將三個半徑為20cm的小球放在圓弧上，使它們與圓弧都相切，左、右兩個

小球與中間小球相切.利用“十”字尺測得小球的高度差h為8cm,則圓弧的半徑為

cm.

【答案】120

【解法一】由題意可知，5C=8,AB=12,AO=8,

設圓弧的半徑為r,可得cosZAOOi=-^^=^=1=cosZM(?(?i，

則在△MOO1中，由余弦定理可得，(r-20)2=(r-20)2+402-2-(r-20)-40-1,

解得r=120.

【解法二】由題意可知，BC=8,AB=12,AO=8,

設圓弧的半徑為r,可得cos/AOOi=/=悠=魯=?

即￡=就？解得MO=10°，則r=MO+20=120.

例2（2022?全國高中數學聯賽江蘇蘇州選拔賽）已知半徑為2的半球面碗中裝有四

個半徑均為r的小球，碗壁和球的表面都是光滑的，且每個小球均與碗口平面相切，則r的

值為.

【答案】A/3-I

【分析】先從碗口垂直方向分析四個球中，求得對角球心間的距離，再根據對角球與半球的

切點在同一過球心的平面上，根據幾何關系列式求解即可.

【解析】由題意，兩個對角球心A,3間的距離為J（2r『+（2r）2=2后，根據球的性質

可得球A3與半球碗的切點P,。在同一過球心。的截面上，且三點共線，O,B,Q

三點共線，作AC分別垂直于碗的水平線，則。4=揚J=底,又球的半

2

徑為2,且Q4+AP=OP,故J§r+r=2即廠==6-1

A/3+I

故答案為：V3-1,

例3已知一個棱長為a的正方體木塊可以在一個圓錐形容器內任意轉動，若

圓錐的底面半徑為2,母線長為4,則a的最大值為.

4

【答案】-

3

【解法一】設圓錐的內切球與尸M切于A點，內切球球心為。,

連接。4,P<2=2A/3,設內切球半徑為人

,.r2y/3-r273

/.由△A尸Q4s△APMQ=>/=——-——=>r=-^―

4

」.a的最大值為一.

3

正方體外接球半徑為型,

2

6a,64

------?-------,a4一.

233

4

二。的最大值為一.

3

例4已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最大的球的體積為

【答案】冬

【解析】易知半徑最大的球即為該圓錐的內切球.

圓錐及其內切球o如圖所示，

設內切球的半徑為幾則sinNBPE=株端=等所以OP=3R,

所以「4R=［產序一心川3z-12=2取,

所以R=羋，所以內切球的體積—我3=%,

即該圓錐內半徑最大的球的體積為坐兀

例5正四面體ABCD的棱長為。，。是棱A3的中點，以。為球心的球面與平面BCD

的交線和CD相切，則球。的體積是（）

A13口3CA/33CA/23

A.一兀aB.71aC.—兀a'D.na

6663

【答案】D

【分析】設點A在平面BCD內的射影為點E,則E為△BCD的中心，取CD的中點

連接3M，則EeBM，取線段HE的中點尸，連接Ob，分析可知以。為球心的球面與平

面BCD的交線和CD相切的切點為M,求出即為球。的半徑，再利用球體的體積

公式可求得結果.

【解析】設點A在平面BCD內的射影為點E,則E為ABCD的中心，

取CD的中點M,連接BM，則EeNM，取線段HE的中點尸，連接。尸，

因為。、尸分別為A3、BE的中點，則。/〃4石且。E=

2

因為AEL平面BC。，則平面因為5Eu平面BCD,則

正Z\BCD的外接圓半徑為BE=n:.AE=JAB?-BE?=—a.

2sm—3

3

所以，OF——AE-a，

易知球。被平面BCD所截的截面圓圓心為點產，且BF=EF=EM，故

FM—BE=—a，

3

因為△BCD為等邊三角形，M為CD的中點，則BAfLCD,

因為以。為球心的球面與平面BCD的交線和CD相切，則切點為點

則球。的半徑為0M=y/OF"+FM-=正a,

2

因此，球。的體積是丫==?x旺a=—7ra3.

3SJ3

故選：D.

【鞏固訓練】

1.在四棱錐P-ABC。中，底面48CD是邊長為2a的正方形，PD_L底面A8CZ）,且尸￡>=

2a若在這個四棱錐內放一球，則此球的最大半徑為.

2.在棱長為1的正方體ABC。-44Goi內容納9個等球，8個角各放1個，中間放1

個，則這些等球的最大半徑為.

3.已知一個平放的各棱長為4的三棱錐內有一個小球0（重量忽略不計），現從該三棱錐頂端

向內注水，小球慢慢上浮，若注入的水的體積是該三棱錐體積的《7時，小球與該三棱錐的各

O

側面均相切（與水面也相切），則小球的表面積等于（）

,7兀一4兀-2兀一兀

A-TBTCTD-2

4.半徑為R的球內部裝有四個相同半徑廠的小球，則廠的最大值為（）.

A.%C.—^-i=R

D.-------產K

2+V31+V32+V5

5.如圖，在底面邊長為2,高為3的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球

在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為

6.球。與棱長為2的正方體ABC。—A4GR的各個面都相切，點加

為棱。R的中點，則平面ACM截球。所得的截面圓與球心。所構成的圓錐的體積為.

7.我國古代數學名著《九章算術》中將正四棱錐稱為方錐.已知某方錐各棱長均為2,則其內

切球的體積為.

8.正三棱柱有一個半徑為6cm的內切球，則此棱柱的體積是（）.

A.96cn?B.54cm3C.27cm3D.18>/3cm3

【答案或提示】

L［答案］（2一?

【解析】由題意知，當球與四棱錐各面均相切，即內切于四棱錐時球的半徑最大.作出過球

心的截面圖，如圖所示.易知球的半徑廠=（2-地）0

■

。⑹2a4(B)

_.._2-\/3—3

2.【答案】-...

2

【解析】當球半徑最大時，8個角上的球必與正方體的三個面相切，切點在各面的對角線上,

球心都在正方體的體對角面上

作軸截面A4GC,設球半徑為廣，則4。=2百廠+4廠，而有

故“皿

2

3.【答案】C

【解析】當注入水的體積是該三棱錐體積的57時，設水面上方的小三棱錐的棱長為式各棱

O

長都相等）.

-1得x=2,易得小三棱錐的高為手.

依題意,-8-

設小球半徑為廠，則;S底面￥=4x<5底面鄧底面為小三棱錐的底面積），得r=*.

故小球的表面積5=4/=半

4.【答案】B

5.【答案】$一岳

2

【分析】設出小球半徑，結合圖形，利用已知條件，根據勾股定理，即可求出答案.

【解析】易知大球的半徑為H=l,設小球的半徑為「，C為小球球心，。為大球球心，

大球與正四棱柱的下底面相切與點"，小球與正四棱柱的上底面相切與點E，連接

HN,EM,作CD，。。于點。，如圖，

由題意可知，HN=叵，EM=5，

所以OD=HN—EM=6—拒「，CD=3-l-r=2-r,

因為兩圓相切，所以CO=l+r,

因為AOa)為直角三角形，所以(1+廠『=(2—/『+(、歷—行廠了,

即2r2—1。r+5=0,

T7rnJr.(r\i、er-1>110—VlOO—405—\/15

又因為re(0,1),所以廠=-------------=——--.

42

故答案為：5-屈

2

6「答案】魯

【分析】由球心。為正方體的中心，連接8。與AC交于點尸，作如J_場，易知OE為

所得圓錐的高，底面的半徑為r=E/求解.

【解析】如圖所示：

易知球心O為正方體的中心，連接BD與AC交于點F,

作0E工MF,易知AC，面”BOD］,則AC，Q￡,

又版="，所以0￡_L平面AQ0,則OE為所得圓錐的高,

1c口OF-0M1.亞限

又0E=----------=-=——，

MF733

圓錐的底面的半徑為r=EF=4OF2-OE2=I2-[

V〔3J3

所以圓錐的體積為廠=工開x乂"義典=如,

33327

\7

故答案為：典.