摘要：培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。“運(yùn)算律”是與小學(xué)數(shù)學(xué)整數(shù)四則混合運(yùn)算領(lǐng)域有關(guān)的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的關(guān)鍵。教師要站在整體、系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)的高度把握和處理教材，引導(dǎo)學(xué)生充分感受和把握數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的發(fā)展過(guò)程。關(guān)鍵詞：整體構(gòu)建；本質(zhì)；結(jié)構(gòu)化；運(yùn)算能力《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）指出，培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。“運(yùn)算律”是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)第四單元的內(nèi)容，是與小學(xué)數(shù)學(xué)整數(shù)四則混合運(yùn)算領(lǐng)域有關(guān)的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的關(guān)鍵。這個(gè)單元不僅是對(duì)整數(shù)四則混合運(yùn)算進(jìn)行總結(jié)性學(xué)習(xí)和梳理混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，也是對(duì)運(yùn)算律意義與簡(jiǎn)便運(yùn)算的系統(tǒng)學(xué)習(xí)和對(duì)算式的等值變形的感受。兩者互相依存，同等重要，勾勒出此單元在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的核心地位。教材注重混合運(yùn)算中運(yùn)算順序與運(yùn)算律的聯(lián)系與區(qū)別，運(yùn)算順序是關(guān)于運(yùn)算的一般規(guī)則，運(yùn)算律是等值變形實(shí)現(xiàn)合理簡(jiǎn)便計(jì)算的特殊規(guī)則，一般規(guī)則與特殊規(guī)則巧妙編排在一起，能讓學(xué)生全面看待運(yùn)算問(wèn)題，對(duì)運(yùn)算有整體認(rèn)識(shí)（見(jiàn)下頁(yè)圖1）。教師要站在整體、系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)的高度把握和處理教材，引導(dǎo)學(xué)生充分感受和把握數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程。筆者所在的團(tuán)隊(duì)開(kāi)展了“運(yùn)算律”單元知識(shí)的結(jié)構(gòu)化教學(xué)實(shí)踐研究，旨在探索結(jié)構(gòu)化教學(xué)的多維路徑。一、關(guān)聯(lián)知識(shí)原點(diǎn)，奠定結(jié)構(gòu)根基數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著天然的結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，舊知是新知的基礎(chǔ)，新知是舊知的發(fā)展，環(huán)環(huán)相扣，組成互相聯(lián)系的整體，即“結(jié)構(gòu)”。四則運(yùn)算的意義、加法驗(yàn)算、問(wèn)題解決等成為運(yùn)算律知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。教師在“運(yùn)算律”單元教學(xué)中需要自身建立結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，促使學(xué)生頭腦中新知、舊知融合共生。在一至三年級(jí)的學(xué)習(xí)中，運(yùn)算律都是以具體的生活實(shí)例出現(xiàn)。學(xué)生在探索計(jì)算方法和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中憑直覺(jué)運(yùn)用，早已經(jīng)將運(yùn)算律自然滲透。也就是說(shuō)，運(yùn)算律是運(yùn)算的基礎(chǔ)算理，曾反復(fù)出現(xiàn)在整數(shù)運(yùn)算中（見(jiàn)圖2）。例如，在“乘法分配律”一課中，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：我們今天學(xué)習(xí)的乘法分配律，其實(shí)早已經(jīng)默默地出現(xiàn)在我們的學(xué)習(xí)中，如學(xué)習(xí)乘法口訣時(shí)，學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)時(shí)，都用到了拆分計(jì)算的原理，其實(shí)就是乘法分配律。這樣，能讓學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)一脈相承，有利于相互關(guān)聯(lián)，重構(gòu)意義，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)化。二、梳理關(guān)鍵知識(shí)，形成結(jié)構(gòu)全貌本單元可提煉為如下頁(yè)圖3所示的知識(shí)結(jié)構(gòu)，主要學(xué)習(xí)整數(shù)四則混合運(yùn)算、加法和乘法的運(yùn)算律、運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算三個(gè)方面的內(nèi)容。從內(nèi)容框架分析，四則混合運(yùn)算和中括號(hào)的認(rèn)識(shí)，是對(duì)小學(xué)領(lǐng)域混合運(yùn)算進(jìn)行了概括，是小數(shù)、分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的基礎(chǔ)；五個(gè)運(yùn)算律學(xué)習(xí)的意義是理解及簡(jiǎn)便計(jì)算，借助運(yùn)算律及數(shù)據(jù)特點(diǎn)改變了運(yùn)算順序，但運(yùn)算結(jié)果沒(méi)有改變。從思維框架分析，學(xué)生在探索、辨析中理解四則混合運(yùn)算的方法多樣性，增強(qiáng)對(duì)運(yùn)算意義的理解，提高運(yùn)算能力；在探索運(yùn)算律的過(guò)程中積累合情推理的思維經(jīng)驗(yàn)。從內(nèi)容編排分析，五個(gè)運(yùn)算律的編排結(jié)構(gòu)基本一致，即觀察算式→仿寫(xiě)算式→解釋規(guī)律→表述規(guī)律→應(yīng)用規(guī)律，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、確認(rèn)發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題、歸納結(jié)論，積累合情推理的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升思維能力。從核心素養(yǎng)分析，學(xué)生在探索運(yùn)算規(guī)律中培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)、模型思想、推理能力；在應(yīng)用規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算、解決生活中的問(wèn)題時(shí)，培養(yǎng)數(shù)感、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)。可見(jiàn)，本單元的學(xué)習(xí)能考查學(xué)生多項(xiàng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，具有非常重要的學(xué)習(xí)價(jià)值。在實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)通過(guò)關(guān)聯(lián)知識(shí)原點(diǎn)、整體構(gòu)建結(jié)構(gòu)、搭建結(jié)構(gòu)“承重墻”，打斷結(jié)構(gòu)“隔斷墻”，設(shè)計(jì)有效的教學(xué)活動(dòng)和課中作業(yè)，形成運(yùn)算律教學(xué)改進(jìn)策略，最終達(dá)成“運(yùn)算律”教學(xué)結(jié)構(gòu)化，促進(jìn)學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化思維（見(jiàn)圖4）。三、凸顯意義教學(xué)，把牢結(jié)構(gòu)主脈教師要抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)（見(jiàn)表1）。【教學(xué)片段】在乘法分配律中突出意義師：剛才同學(xué)們沒(méi)有經(jīng)過(guò)計(jì)算，怎么就知道教材中的兩個(gè)算式是相等的呢？生：因?yàn)樽筮叺臄?shù)和右邊的數(shù)都是相同的。生：舉例子，第一個(gè)算式左邊先是4+6=10，再乘9，就是10個(gè)9；右邊是6個(gè)9加4個(gè)9，加起來(lái)也是10個(gè)9，因此不用計(jì)算就能知道它們相等。生：第二個(gè)算式左邊先是71+29=100，再乘18就是100個(gè)18，右邊是71個(gè)18加29個(gè)18，加起來(lái)也是100個(gè)18，所以不用算就能知道它們相等。師：例子是舉不完的，通過(guò)分析幾個(gè)幾的意思，借助乘法運(yùn)算的意義，就能知道兩邊的算式相等（出示圖5）。學(xué)生舉例驗(yàn)證乘法分配律時(shí)，往往采用計(jì)算來(lái)驗(yàn)證，但實(shí)際上也可以采用觀察來(lái)驗(yàn)證，突出對(duì)意義的理解及表達(dá)，夯實(shí)結(jié)構(gòu)中的核心支點(diǎn)。通過(guò)表1可知，連減性質(zhì)和乘法分配律改變了計(jì)算方法，但結(jié)果不變，這就需要學(xué)生去理解意義。加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律改變的是運(yùn)算順序，運(yùn)算和數(shù)據(jù)都沒(méi)有增減或變化。這樣，當(dāng)面對(duì)題目125×8×4和（125+8）×4時(shí)，學(xué)生就不會(huì)有太多的誤解。四、激活簡(jiǎn)便計(jì)算，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)遷移（一）分類梳理，整理簡(jiǎn)便運(yùn)算的編排結(jié)構(gòu)從教材編排的19道典型的簡(jiǎn)便計(jì)算題可以看出，僅有4道題作為新授中的例子出現(xiàn)，其余大多數(shù)出現(xiàn)在練習(xí)中。加法、乘法結(jié)合律的題型較為完善，加法、乘法交換律則缺乏及時(shí)的練習(xí)，減法性質(zhì)也缺乏完整的探究。乘法分配律有11道典型的簡(jiǎn)便計(jì)算題，涉及乘法分配律的逆向運(yùn)用、變式的乘法分配律、拆數(shù)再運(yùn)用、對(duì)減法分配等，將部分難點(diǎn)類型穿插到5個(gè)運(yùn)算律的綜合練習(xí)題中，未能聚焦分析，增加了學(xué)生的理解難度。（二）對(duì)比辨析，厘清簡(jiǎn)便運(yùn)算的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)教師可將乘法分配律的典型題目獨(dú)立出來(lái)，加強(qiáng)與乘法結(jié)合律的辨析，加強(qiáng)乘法分配律（對(duì)減法分配）的學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)“光看就能算”“分開(kāi)與合攏”“對(duì)比出真知”等活動(dòng)，充分發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，讓學(xué)生或觀察湊整，或靈活拆分，基于算理理解簡(jiǎn)便運(yùn)算。【教學(xué)片段】乘法分配律在運(yùn)用乘法分配律時(shí)，不少學(xué)生把它理解為求兩個(gè)積的和，忽略了乘法分配律適用的一個(gè)重要條件：有一個(gè)相同的乘數(shù)。為此，筆者設(shè)計(jì)了這樣的兩道題進(jìn)行對(duì)比。（1）36×69+37×69（2）36×69+37×49師：這兩個(gè)算式有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？生：相同點(diǎn)都是求兩個(gè)積的和。生：不同點(diǎn)在于（1）有相同的乘數(shù)，（2）沒(méi)有。師：請(qǐng)你將兩個(gè)算式與乘法分配律進(jìn)行對(duì)比，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生：（1）可以用乘法分配律，（2）不能。通過(guò)這樣的對(duì)比，學(xué)生認(rèn)識(shí)到用乘法分配律的一個(gè)重要條件是：必須有一個(gè)相同的乘數(shù)。同理，乘法分配律與乘法結(jié)合律也特別容易混淆，學(xué)生需要結(jié)合實(shí)例，如（125×25）×8和（125+17）×8，重點(diǎn)對(duì)比并辨析三個(gè)問(wèn)題：兩個(gè)運(yùn)算律的意義有何不同？什么時(shí)候改變運(yùn)算順序？怎么改變運(yùn)算順序？在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行其他運(yùn)算定律的綜合練習(xí)（見(jiàn)圖6）。（三）實(shí)例運(yùn)用，優(yōu)化簡(jiǎn)算的認(rèn)知結(jié)構(gòu)結(jié)合生活實(shí)例的運(yùn)用，學(xué)生積累了簡(jiǎn)便運(yùn)算與解決問(wèn)題結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)，更有利于理解運(yùn)算律，將運(yùn)算律與生活實(shí)例進(jìn)行聯(lián)系，讓簡(jiǎn)便運(yùn)算的結(jié)構(gòu)遷移。遇到類似的實(shí)例時(shí)，學(xué)生會(huì)