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文檔簡介
第15課認識不等式
號目標導航
學習目標
1.根據具體問題中的大小關系了解不等式的意義.
2.了解不等號的意義.
3.會根據給定條件列不等式.
4.會用數軸表示“無<°”、“X%”、"b〈x<a”這類簡單不等式.
撇劉識精講
知識點01不等式的概念
不等式:用不等號連接而成表示不等關系的數學式子叫做不等式.
不等號有:“力”“w”等
知識點02在數軸上表示不等式
用數軸表示不等式的解集時,要注意“兩定”:
一是定界點,一般在數軸上只標出原點和界點即可.定邊界點時要注意,點是實心還是空心,若邊界點
含于解集為實心點,不含于解集即為空心點;
二是定方向,定方向的原則是:“小于向左,大于向右”.
能力拓展
考點01不等式的概念
【典例1】已知:①x+y=l;②、〉》;③x+2y;@x2-y^l;⑤尤<0,其中屬于不等式的有()個.
A.2B.3C.4D.5
【即學即練1】式子:①3<5;②4x+5>0;③x=3;④/+無;⑤x=-4;⑥尤+2'x+l.
其中是不等式的有()
A.2個B.3個C.4個D.5個
考點02列不等式
【典例2】用不等式表示.
(1)相與3的和是負數;
(2)x減去8的差大于4;
(3)。的2倍大于或等于6;
(4)尤與y的和不大于-2.
【即學即練2】用適當的不等式表示下列數量關系:
(1)x與-6的和大于2;
(2)x的2倍與5的差是負數;
(3)x的』與-5的和是非負數;
4
(4)y的3倍與9的差不大于-1.
考點03在數軸上表示不等式
【典例3]將下列不等式分別表示在數軸上:
(1)x<3;(2)-2W尤<1.
【即學即練3】在數軸上表示下列不等式的解集.
(1)x>2.5(2)尤<-2.5(3)尤》3.
fii分層提分
題組A基礎過關練
1.下列式子:①5<7;②2x>3;③戶0;④x>5;⑤2a+l;⑦。=1.其中是不等式的有(
A.3個B.4個C.5個D.6個
2.若根是非負數,則用不等式表示正確的是()
A.m<QB.m>0C.mWOD.m^O
3.某種牛奶包裝盒上表明“凈重205g,蛋白質含量23%”.則這種牛奶蛋白質的質量是()
A.3%以上B.6.15gC.6.15g及以上D.不足6.15g
4.不等式xW-3的解集在數軸上表示正確的是()
A.—3°B.-30c,一30D.
5.不等式無>-1的解集是()
-1--------,----?-?-?-------1-
A.B.C.-2-101D.-2-101
6.如圖,數軸上表示的解集為(
—JIIII1>
-302
A.x>-3B.xW2C.-3VxW2D.-3?2
7.“x與y的2倍的和是正數”用不等式可表示為
8.“x的3倍與2的差不大于-1”所對應的不等式是
9.用不等式表示“〃與匕的2倍的和小于3":
10.用不等式表布:
(1)%的5倍減去3小于2;
(2)3與4的和的一半不小于3;
(3)m的工與”的工的和是非負數;
32
(4)a的20%加上a的和小于3a.
11.在數軸上表示下列不等式的解集:
(1)尤<4;(2)xW-2;(3)無>-1;
(4)x2-4;(5)x<-50;(6)-1£XW3.
2
題組B能力提升練
12.給出下列各式:①-3<0;②a+b;③x=5;④孫+9;⑤x+2>y-7;⑥aW3.其中不等式的個數
是()
A.5B.2C.3D.4
13.據溫州都市報報道,2010年2月14日溫州市最高氣溫是8℃,最低氣溫是4℃,則當天溫州氣溫f(℃)
的變化范圍是()
A.r>8B.r<4C.4<?<8D.40W8
14.某市自來水公司按如下標準收取水費:若每戶每月用水不超過10加,則每立方米收費1.5元;若每戶
每月用水超過10/,則超過的部分每立方米收費2元.小亮家某月的水費不少于25元,那么他家這個
月的用水量(尤能3)至少是多少?請列出關于了的不等式.
15.用適當的符號表示下列關系:
(1)a與6兩數和的平方不小于3;
(2)三角形兩邊的長a,b的和大于第三邊的長c;
(3)2x與-3的和是負數;
(4)x與5的和的28%不大于-6;
(5)m除以4的商加上3至多為5.
16.請寫出下列各數軸上所表示的關于x的不等式的解集.
(1)
:」32L-⑵一i6修42寸f
⑶-4-3~-2-1~0~1~2~⑼012345
題組C培優拔尖練
17.如圖,用不等式表示數軸上所示的解集,正確的是()
-10123
A.尤<-1或xN3B.xW-l或x>3C.-lWx<3D.-1<XW3
18.小麗和小華先后進入電梯,當小華進入電梯時,電梯因超重而警示音響起,且這個過程中沒有其他人
進出,已知當電梯乘載的重量超過300公斤時警示音響起,且小麗、小華的體重分別為40公斤,50公
斤,若小麗進入電梯前,電梯內已乘載的重量為x公斤,則所有滿足題意的x可用下列不等式表示的是
A.210cxW260B.210<xW300C.210VxW250D.250cxW260
19.某長方體形狀的容器長5cm,寬3cm,高10cm.容器內原有水的高度是3cm,現準備向它繼續注水,
用V(單位:。小)表示新注水的體積,寫出V的取值范圍.
(1)列不等式為;
(2)試將V的取值范圍在數軸上表示出來.
第15課認識不等式
號目標導航
學習目標
1.根據具體問題中的大小關系了解不等式的意義.
2.了解不等號的意義.
3.會根據給定條件列不等式.
4.會用數軸表示“x<a"、“xNa”、"b<x<a>>這類簡單不等式.
魏獻精講
知識點01不等式的概念
不等式:用不等號連接而成表示不等關系的數學式子叫做不等式.
不等號有:“>”“V”“W”“W”等
知識點02在數軸上表示不等式
用數軸表示不等式的解集時,要注意“兩定”:
一是定界點,一般在數軸上只標出原點和界點即可.定邊界點時要注意,點是實心還是
空心,若邊界點含于解集為實心點,不含于解集即為空心點;
二是定方向,定方向的原則是:“小于向左,大于向右”.
能力拓展
考點oi不等式的概念
【典例1】已知:①x+y=l;?x>y,③x+2y;?x2-⑤x<0,其中屬于不等式的有
()個.
A.2B.3C.4D.5
【思路點撥】主要依據不等式的定義:用">“、"?"、“V"、"W"、“W”等
不等號表示不相等關系的式子是不等式來判斷.
【解析】解:①x+y=l是等式;
②符合不等式的定義;
③x+2y是多項式;
④符合不等式的定義;
⑤x<0符合不等式的定義;
故選:B.
【點睛】本題考查不等式的識別,一般地,用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式.解
答此類題關鍵是要識別常見不等號:
【即學即練1】式子:①3<5;②4x+5>0;③x=3;④/+尤;⑤尤W-4;⑥x+22x+l.
其中是不等式的有()
A.2個B.3個C.4個D.5個
【思路點撥】根據不等式的概念:用“〉”或號表示大小關系的式子,叫做不等
式,用“W”號表示不等關系的式子也是不等式進行分析即可.
【解析】解:①3<5;②4x+5>0;⑤尤#-4;⑥尤+22尤+1是不等式,
.?.共4個不等式.
故選:C.
【點睛】本題考查不等式的定義,一般地,用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式.解
答此類題關鍵是要識別常見不等號:
考點02列不等式
【典例2】用不等式表示.
(1)相與3的和是負數;
(2)x減去8的差大于4;
(3)a的2倍大于或等于6;
(4)x與y的和不大于-2.
【思路點撥】直接利用負數的定義以及結合不等關系得出不等式即可.
【解析】解:(1)m+3<0;
(2)x-8>4;
(3)2a26;
(4)x+yW-2.
【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式,正確掌握相關定義是解題
關鍵.
【即學即練2】用適當的不等式表示下列數量關系:
(1)x與-6的和大于2;
(2)x的2倍與5的差是負數;
(3)x的工與-5的和是非負數;
4
(4)y的3倍與9的差不大于-1.
【思路點撥】(1)根據x與-6的和得出x-6,再根據x與-6的和大于2得出x-6>
2;
(2)先表示出x的2倍為2x,再表示出與5的差為2x-5,再根據關鍵詞“是負數”,
列出不等式即可;
(3)先表示出x的工是與-5的和為L-5,是非負數得出工一530;
4444
(4)先表示出y的3倍是3y,再表示出與9的差3y-9,然后根據不大于-1即為小于
等于,列出不等式即可.
【解析】解:(1)根據題意得:%-6>2;
(2)由題意得:2x-5<0;
(3)根據題意得:1-520;
4
(4)根據題意得:3y-9W7.
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式,弄清運算的先后順序和不等關
系,才能把文字語言的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式.
考點03在數軸上表示不等式
【典例3】將下列不等式分別表示在數軸上:
(1)x<3;(2)-2?1.
【思路點撥】根據不等式的解集在數軸上表示出來的方法畫數軸即可.根據數軸的性質,
實心圓點包括該點用“2”,“W”表示,空心圓圈不包括該點用“<”,表示,
大于向右小于向左.
【解析】解:(1)如圖所示:
........................................
?4-3-2-10123
(2)如圖所示:
I-------1-----*--------1161I>
-4-3-2-10123
【點睛】本題考查在數軸上表示不等式的解析,需要注意當包括原數時,在數軸上表示
時應用實心圓點來表示,當不包括原數時,應用空心圓圈來表示.
【即學即練3】在數軸上表示下列不等式的解集.
(1)x>2.5(2)x<-2.5(3)x23.
【思路點撥】將各自的解集表示在數軸上即可.
-5-4-3-2-1012345
(2)-25;
(3)-5-d-3-2-1017*45**
【點睛】此題考查了在數軸上表示不等式的解集,把每個不等式的解集在數軸上表示出
來(>,?向右畫;<,W向左畫),數軸上的點把數軸分成若干段,如果數軸的某一
段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣,那么這段就是不等式組的解集.有幾
個就要幾個.在表示解集時“》”,“W”要用實心圓點表示;“<”,“>”要用空
心圓點表示.
M分層提分
題組A基礎過關練
1.下列式子:①5<7;②2尤>3;③yWO;@x>5;⑤2a+l;⑥工工》i;⑦a=l.其中是
3/
不等式的有()
A.3個B.4個C.5個D.6個
【思路點撥】主要依據不等式的定義:用“>”、“?”、“<”、"w”、“W”等
不等號表示不相等關系的式子是不等式來判斷.
【解析】解:不等式有:①②③④⑥;⑤3x-l是代數式,⑦x=3是等式.
故選:C.
【點睛】本題主要考查了不等式的定義,凡是用不等號連接的式子都叫做不等式.常用
的不等號有“<”、">"、"W”、“2"、“力".另外,不等式中可含未知數,
也可不含未知數.
2.若相是非負數,則用不等式表示正確的是()
A.m<QB.m>0C.mW。D.m^O
【思路點撥】根據非負數的定義即可解決.
【解析】解:非負數即正數或0,即〉或等于0的數,則故選D
【點睛】本題主要考查了非負數的定義.
3.某種牛奶包裝盒上表明“凈重205g,蛋白質含量23%”.則這種牛奶蛋白質的質量是
()
A.3%以上B.6.15gC.6.15g及以上D.不足6.15g
【思路點撥】根據蛋白質含量大于或等于3%判斷即可.
【解析】W:V205X3%=6.15(g),蛋白質含量>3%,
這種牛奶蛋白質的質量是6.15g及以上,
故選:C.
【點睛】本題考查了不等式的定義,掌握與表示大于或等于是解題的關鍵.
4.不等式xW-3的解集在數軸上表示正確的是()
A.,3(')?B.T3G,c.-36*D.
【思路點撥】根據“小于向左,大于向右;邊界點含于解集為實心點,不含于解集即為
空心點”表示即可得.
【解析】解:將不等式尤W-3的解集在數軸上表示如下:
故選:D.
【點睛】本題主要考查在數軸上表示不等式的解集,用數軸表示不等式的解集時,要注
意“兩定”:一是定界點,一般在數軸上只標出原點和界點即可.定邊界點時要注意,
點是實心還是空心,若邊界點含于解集為實心點,不含于解集即為空心點;二是定方向,
定方向的原則是:“小于向左,大于向右”.
5.不等式x>-1的解集是()
A.B.
,---■----
C.—2—101D.
-1------------1------
-2-101
【思路點撥】在數軸上表示不等式的解集,大于向右,小于向左,含等號是實點,不含
等號是空心圓圈.
【解析】解:A表示的解集是:尤>-1;故A是正確的;
3表示的解集是:故3是錯誤的;
C表示的解集是:-1;故C是錯誤的的;
。表示的解集是:xW-1;故。是錯誤的的;
故選:A.
【點睛】本題考查了在數軸上表示不等式的解集,掌握它們的特征是解題的關鍵.
6.如圖,數軸上表示的解集為()
A.x>-3B.xW2C.-3<xW2D.-3?2
【思路點撥】找出兩個不等式解集的公共部分即可.
【解析】解:由數軸得:[x>-3,
lx<2
-3<xW2.
故選:C.
【點睛】本題考查在數軸上表示不等式的解集,通過數軸找到解集的公共部分是求解本
題的關鍵.
7.“x與y的2倍的和是正數”用不等式可表示為x+2y>0.
【思路點撥】根據“x與y的2倍的和是正數”,即可得出關于尤,y的不等式,此題得
解.
【解析】解:依題意得:x+2y>0.
故答案為:x+2y>0.
【點睛】本題考查了不等式的定義,根據各數量之間的關系,正確列出不等式是解題的
關鍵.
8.“尤的3倍與2的差不大于-1”所對應的不等式是3x-2W-1.
【思路點撥】根據不等式的定義即可解答.
【解析】解:“x的3倍與2的差不大于-1”所對應的不等式是:3x-2W-1,
故答案為:3尤-2W-1.
【點睛】本題考查了不等式的定義,熟練掌握不等式的定義是解題的關鍵.
9.用不等式表示“0與6的2倍的和小于3”:"+2b<3.
【思路點撥】根據“。與。的2倍的和小于3”,即可列出不等式,此題得解.
【解析】解:依題意得。+26<3.
故答案為:a+2b<3.
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式,根據各數量之間的關系,正確
列出不等式是解題的關鍵.
10.用不等式表示:
(1)尤的5倍減去3小于2;
(2)3與a的和的一半不小于3;
(3)m的工與n的工的和是非負數;
32
(4)a的20%加上a的和小于3a.
【思路點撥】(1)根據“x的5倍減去3<2”得出關于x的一元一次不等式;
(2)根據“3與。的和的一半N3”得出關于a的一元一次不等式;
(3)根據“的和N0”得出關于相,”的不等式;
(4)根據“。的20%加上。的和<3/'得出關于a的一元一次不等式.
【解析】解:(1)根據題意,得5x-3<2.
(2)根據題意,得?!Q+3)23.
2
(3)根據題意,得工
32
(4)根據題意,得20%a+a<3a.
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式,根據各數量之間的關系,正確
列出不等式是解題的關鍵.
11.在數軸上表示下列不等式的解集:
(1)x<4;(2)xW-2;(3)x>-1;
(4)尤》-4;(5)尤<-50;(6)-ll<x^3.
2
【思路點撥】根據圖中數軸上所表示的不等式的解集,即可得到答案.
【解析】解:(1)如圖所示:
I1IIIIIIIA?
-5-4-3-2-1~0~1~2~345~x
(2)如圖所示:
j___?_______?1______?______?_____?______?____?______?.
-5-4-3-24012345x
(3)如圖所示:
(4)如圖所示:
(5)如圖所示:
-90-80-70-60-50-40-30-2040010
(6)如圖所示:
【點睛】本題考查的是在數軸上表示不等式的解集,熟知實心圓點與空心圓點的區別是
解答此題的關鍵.
題組B能力提升練
12.給出下列各式:①-3<0;②a+b;③x=5;④W-肛+/;⑤x+2>y-7;⑥aW3.其
中不等式的個數是()
A.5B.2C.3D.4
【思路點撥】運用不等式的定義進行判斷.
【解析】解:①是不等式;②是代數式,沒有不等關系,所以不是不等式;③是等式;
④是代數式,沒有不等關系,所以不是不等式;⑤是不等式;⑥是不等式,
不等式有①⑤⑥,共3個.
故選:C.
【點睛】本題考查不等式的識別,一般地,用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式.解
答此類題關鍵是要識別常見不等號:>,<,W,豐.
13.據溫州都市報報道,2010年2月14日溫州市最高氣溫是8℃,最低氣溫是4℃,則當
天溫州氣溫f(°C)的變化范圍是()
A.f>8B.f<4C.4<?<8D.4W/W8
【思路點撥】根據不等式的定義,當天的氣溫在最低氣溫與最高氣溫之間,用不等式寫
出即可.
【解析】解:根據題意得:2010年2月14日溫州市最高氣溫是8℃,最低氣溫是4℃,
則當天氣溫f(℃)的變化范圍為:4W/W8.
故選:D.
【點睛】本題考查了不等式的定義,熟知不等式的意義是解題的關鍵.
14.某市自來水公司按如下標準收取水費:若每戶每月用水不超過10m3,則每立方米收費
1.5元;若每戶每月用水超過10/,則超過的部分每立方米收費2元.小亮家某月的水
費不少于25元,那么他家這個月的用水量(X:/)至少是多少?請列出關于x的不等式.
【思路點撥】不少于25元,意思是大于或等于25元,根據收費標準,知小亮家的用水
一定超過了10m3.
故本題的不等關系為:10〃戶的水費與超過部分的水費.
【解析】解:設小亮家每個月的用水量是加?,根據題意,得
1.5X10+2(%-10)225.
【點睛】本題應著重理解:當水費超過15元時,用水一定超過了10毋.
15.用適當的符號表示下列關系:
(1)。與6兩數和的平方不小于3;
(2)三角形兩邊的長°,6的和大于第三邊的長c;
(3)2%與-3的和是負數;
(4)x與5的和的28%不大于-6;
(5)根除以4的商加上3至多為5.
【思路點撥】(1)根據題意,可以用(。+6)223表示題目中的語句;
(2)根據題意,可以用a+b>c表示題目中的語句;
(3)根據題意,可以用2x+(-3)<0表示題目中的語句;
(4)根據題意,可以用28%(尤+5)W-6表示題目中的語句;
(5)根據題意,可以用m+4+3W5表示題目中的語句.
【解析】解:(1)。與b兩數和的平方不小于3可以表示為:(a+b)223;
(2)三角形兩邊的長m6的和大于第三邊的長c可以表示為:a+b>c;
(3)2x與-3的和是負數可以表示為:2x+(-3)<0;
(4)x與5的和的28%不大于-6可以表示為:28%(x+5)W-6;
(5)山除以4的商加上3至多為5可以表示為:〃z+4+3W5.
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式,解答本題的關鍵是明確題意,寫
出相應的不等式.
16.請寫出下列各數軸上所表示的關于x的不等式的解集.
與a4d?⑵1dt于124
⑶》(4)3「3,S一
【思路點撥】寫不等式解集,先看點,再看方向,最后看空(實)心.
【解析】解:⑴X<-1,
(2)x2l,
(3)xWl,
(4)x>3.
【點睛】本題考查不等式解集在數軸上的表示,區分空心、實心是寫出解集的關鍵.
題組C培優拔尖練
17.如圖,用不等式表示數軸上所示的解集,正確的是()
-A------1------1------1------
-101
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