第15課認識不等式

號目標導航

學習目標

1.根據具體問題中的大小關系了解不等式的意義.

2.了解不等號的意義.

3.會根據給定條件列不等式.

4.會用數軸表示“無<°”、“X%”、"b〈x<a”這類簡單不等式.

撇劉識精講

知識點01不等式的概念

不等式：用不等號連接而成表示不等關系的數學式子叫做不等式.

不等號有：“力”“w”等

知識點02在數軸上表示不等式

用數軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：

一是定界點，一般在數軸上只標出原點和界點即可.定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點

含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；

二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”.

能力拓展

考點01不等式的概念

【典例1】已知：①x+y=l；②、〉》；③x+2y；@x2-y^l；⑤尤<0,其中屬于不等式的有（）個.

A.2B.3C.4D.5

【即學即練1】式子：①3<5；②4x+5>0；③x=3；④/+無；⑤x=-4；⑥尤+2'x+l.

其中是不等式的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

考點02列不等式

【典例2】用不等式表示.

（1）相與3的和是負數；

（2）x減去8的差大于4；

（3）。的2倍大于或等于6；

（4）尤與y的和不大于-2.

【即學即練2】用適當的不等式表示下列數量關系：

（1）x與-6的和大于2；

（2）x的2倍與5的差是負數；

（3）x的』與-5的和是非負數；

4

（4）y的3倍與9的差不大于-1.

考點03在數軸上表示不等式

【典例3］將下列不等式分別表示在數軸上：

（1）x<3；（2）-2W尤<1.

【即學即練3】在數軸上表示下列不等式的解集.

（1）x>2.5（2）尤<-2.5（3）尤》3.

fii分層提分

題組A基礎過關練

1.下列式子：①5<7；②2x>3；③戶0；④x>5；⑤2a+l；⑦。=1.其中是不等式的有（

A.3個B.4個C.5個D.6個

2.若根是非負數，則用不等式表示正確的是（）

A.m<QB.m>0C.mWOD.m^O

3.某種牛奶包裝盒上表明“凈重205g,蛋白質含量23%”.則這種牛奶蛋白質的質量是（）

A.3%以上B.6.15gC.6.15g及以上D.不足6.15g

4.不等式xW-3的解集在數軸上表示正確的是（）

A.—3°B.-30c,一30D.

5.不等式無>-1的解集是（）

-1--------,----?-?-?-------1-

A.B.C.-2-101D.-2-101

6.如圖，數軸上表示的解集為(

—JIIII1>

-302

A.x>-3B.xW2C.-3VxW2D.-3?2

7.“x與y的2倍的和是正數”用不等式可表示為

8.“x的3倍與2的差不大于-1”所對應的不等式是

9.用不等式表示“〃與匕的2倍的和小于3"：

10.用不等式表布:

(1)%的5倍減去3小于2；

(2)3與4的和的一半不小于3；

(3)m的工與”的工的和是非負數；

32

(4)a的20%加上a的和小于3a.

11.在數軸上表示下列不等式的解集：

(1)尤<4；(2)xW-2；(3)無>-1；

(4)x2-4；(5)x<-50；(6)-1￡XW3.

2

題組B能力提升練

12.給出下列各式：①-3<0；②a+b；③x=5；④孫+9；⑤x+2>y-7；⑥aW3.其中不等式的個數

是()

A.5B.2C.3D.4

13.據溫州都市報報道，2010年2月14日溫州市最高氣溫是8℃,最低氣溫是4℃,則當天溫州氣溫f(℃)

的變化范圍是()

A.r>8B.r<4C.4<?<8D.40W8

14.某市自來水公司按如下標準收取水費：若每戶每月用水不超過10加，則每立方米收費1.5元；若每戶

每月用水超過10/，則超過的部分每立方米收費2元.小亮家某月的水費不少于25元，那么他家這個

月的用水量（尤能3）至少是多少？請列出關于了的不等式.

15.用適當的符號表示下列關系：

（1）a與6兩數和的平方不小于3；

（2）三角形兩邊的長a,b的和大于第三邊的長c；

（3）2x與-3的和是負數；

（4）x與5的和的28%不大于-6；

（5）m除以4的商加上3至多為5.

16.請寫出下列各數軸上所表示的關于x的不等式的解集.

（1）

:」32L-⑵一i6修42寸f

⑶-4-3~-2-1~0~1~2~⑼012345

題組C培優拔尖練

17.如圖，用不等式表示數軸上所示的解集，正確的是（）

-10123

A.尤<-1或xN3B.xW-l或x>3C.-lWx<3D.-1<XW3

18.小麗和小華先后進入電梯，當小華進入電梯時，電梯因超重而警示音響起，且這個過程中沒有其他人

進出，已知當電梯乘載的重量超過300公斤時警示音響起，且小麗、小華的體重分別為40公斤，50公

斤，若小麗進入電梯前，電梯內已乘載的重量為x公斤，則所有滿足題意的x可用下列不等式表示的是

A.210cxW260B.210<xW300C.210VxW250D.250cxW260

19.某長方體形狀的容器長5cm,寬3cm,高10cm.容器內原有水的高度是3cm,現準備向它繼續注水,

用V（單位：。小）表示新注水的體積，寫出V的取值范圍.

（1）列不等式為;

（2）試將V的取值范圍在數軸上表示出來.

第15課認識不等式

號目標導航

學習目標

1.根據具體問題中的大小關系了解不等式的意義.

2.了解不等號的意義.

3.會根據給定條件列不等式.

4.會用數軸表示“x<a"、“xNa”、"b<x<a>>這類簡單不等式.

魏獻精講

知識點01不等式的概念

不等式：用不等號連接而成表示不等關系的數學式子叫做不等式.

不等號有：“>”“V”“W”“W”等

知識點02在數軸上表示不等式

用數軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：

一是定界點，一般在數軸上只標出原點和界點即可.定邊界點時要注意，點是實心還是

空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；

二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”.

能力拓展

考點oi不等式的概念

【典例1】已知：①x+y=l；?x>y,③x+2y；?x2-⑤x<0,其中屬于不等式的有

()個.

A.2B.3C.4D.5

【思路點撥】主要依據不等式的定義：用">“、"?"、“V"、"W"、“W”等

不等號表示不相等關系的式子是不等式來判斷.

【解析】解：①x+y=l是等式；

②符合不等式的定義；

③x+2y是多項式；

④符合不等式的定義；

⑤x<0符合不等式的定義；

故選:B.

【點睛】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式.解

答此類題關鍵是要識別常見不等號：

【即學即練1】式子：①3<5；②4x+5>0；③x=3；④/+尤；⑤尤W-4；⑥x+22x+l.

其中是不等式的有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【思路點撥】根據不等式的概念：用“〉”或號表示大小關系的式子，叫做不等

式，用“W”號表示不等關系的式子也是不等式進行分析即可.

【解析】解：①3<5；②4x+5>0；⑤尤#-4；⑥尤+22尤+1是不等式，

.?.共4個不等式.

故選：C.

【點睛】本題考查不等式的定義,一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式.解

答此類題關鍵是要識別常見不等號：

考點02列不等式

【典例2】用不等式表示.

(1)相與3的和是負數；

(2)x減去8的差大于4；

(3)a的2倍大于或等于6；

(4)x與y的和不大于-2.

【思路點撥】直接利用負數的定義以及結合不等關系得出不等式即可.

【解析】解：(1)m+3<0；

(2)x-8>4；

(3)2a26；

(4)x+yW-2.

【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，正確掌握相關定義是解題

關鍵.

【即學即練2】用適當的不等式表示下列數量關系：

(1)x與-6的和大于2；

(2)x的2倍與5的差是負數；

(3)x的工與-5的和是非負數；

4

(4)y的3倍與9的差不大于-1.

【思路點撥】(1)根據x與-6的和得出x-6,再根據x與-6的和大于2得出x-6>

2；

(2)先表示出x的2倍為2x,再表示出與5的差為2x-5,再根據關鍵詞“是負數”，

列出不等式即可；

(3)先表示出x的工是與-5的和為L-5,是非負數得出工一530；

4444

(4)先表示出y的3倍是3y,再表示出與9的差3y-9,然后根據不大于-1即為小于

等于，列出不等式即可.

【解析】解:(1)根據題意得：%-6>2；

(2)由題意得：2x-5<0；

(3)根據題意得：1-520；

4

(4)根據題意得：3y-9W7.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，弄清運算的先后順序和不等關

系，才能把文字語言的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式.

考點03在數軸上表示不等式

【典例3】將下列不等式分別表示在數軸上：

(1)x<3；(2)-2?1.

【思路點撥】根據不等式的解集在數軸上表示出來的方法畫數軸即可.根據數軸的性質，

實心圓點包括該點用“2”，“W”表示，空心圓圈不包括該點用“<”，表示,

大于向右小于向左.

【解析】解：(1)如圖所示：

........................................

?4-3-2-10123

(2)如圖所示：

I-------1-----*--------1161I>

-4-3-2-10123

【點睛】本題考查在數軸上表示不等式的解析，需要注意當包括原數時，在數軸上表示

時應用實心圓點來表示，當不包括原數時，應用空心圓圈來表示.

【即學即練3】在數軸上表示下列不等式的解集.

(1)x>2.5(2)x<-2.5(3)x23.

【思路點撥】將各自的解集表示在數軸上即可.

-5-4-3-2-1012345

(2)-25；

(3)-5-d-3-2-1017*45**

【點睛】此題考查了在數軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數軸上表示出

來(>,?向右畫；<,W向左畫)，數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一

段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾

個就要幾個.在表示解集時“》”，“W”要用實心圓點表示；“<”，“>”要用空

心圓點表示.

M分層提分

題組A基礎過關練

1.下列式子：①5<7；②2尤>3；③yWO；@x>5；⑤2a+l；⑥工工》i；⑦a=l.其中是

3/

不等式的有()

A.3個B.4個C.5個D.6個

【思路點撥】主要依據不等式的定義：用“>”、“?”、“<”、"w”、“W”等

不等號表示不相等關系的式子是不等式來判斷.

【解析】解：不等式有：①②③④⑥；⑤3x-l是代數式，⑦x=3是等式.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了不等式的定義，凡是用不等號連接的式子都叫做不等式.常用

的不等號有“<”、">"、"W”、“2"、“力".另外，不等式中可含未知數，

也可不含未知數.

2.若相是非負數，則用不等式表示正確的是()

A.m<QB.m>0C.mW。D.m^O

【思路點撥】根據非負數的定義即可解決.

【解析】解：非負數即正數或0,即〉或等于0的數，則故選D

【點睛】本題主要考查了非負數的定義.

3.某種牛奶包裝盒上表明“凈重205g,蛋白質含量23%”.則這種牛奶蛋白質的質量是

()

A.3%以上B.6.15gC.6.15g及以上D.不足6.15g

【思路點撥】根據蛋白質含量大于或等于3%判斷即可.

【解析】W：V205X3%=6.15（g）,蛋白質含量＞3%,

這種牛奶蛋白質的質量是6.15g及以上，

故選：C.

【點睛】本題考查了不等式的定義，掌握與表示大于或等于是解題的關鍵.

4.不等式xW-3的解集在數軸上表示正確的是（）

A.，3（'）?B.T3G,c.-36*D.

【思路點撥】根據“小于向左，大于向右；邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為

空心點”表示即可得.

【解析】解：將不等式尤W-3的解集在數軸上表示如下：

故選：D.

【點睛】本題主要考查在數軸上表示不等式的解集，用數軸表示不等式的解集時，要注

意“兩定”：一是定界點，一般在數軸上只標出原點和界點即可.定邊界點時要注意，

點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向,

定方向的原則是：“小于向左，大于向右”.

5.不等式x＞-1的解集是（）

A.B.

，---■----

C.—2—101D.

-1------------1------

-2-101

【思路點撥】在數軸上表示不等式的解集，大于向右，小于向左，含等號是實點，不含

等號是空心圓圈.

【解析】解：A表示的解集是：尤＞-1；故A是正確的；

3表示的解集是：故3是錯誤的；

C表示的解集是：-1；故C是錯誤的的；

。表示的解集是：xW-1；故。是錯誤的的；

故選：A.

【點睛】本題考查了在數軸上表示不等式的解集，掌握它們的特征是解題的關鍵.

6.如圖，數軸上表示的解集為（）

A.x>-3B.xW2C.-3<xW2D.-3?2

【思路點撥】找出兩個不等式解集的公共部分即可.

【解析】解：由數軸得：［x>-3,

lx<2

-3<xW2.

故選：C.

【點睛】本題考查在數軸上表示不等式的解集，通過數軸找到解集的公共部分是求解本

題的關鍵.

7.“x與y的2倍的和是正數”用不等式可表示為x+2y>0.

【思路點撥】根據“x與y的2倍的和是正數”，即可得出關于尤，y的不等式，此題得

解.

【解析】解:依題意得：x+2y>0.

故答案為：x+2y>0.

【點睛】本題考查了不等式的定義，根據各數量之間的關系，正確列出不等式是解題的

關鍵.

8.“尤的3倍與2的差不大于-1”所對應的不等式是3x-2W-1.

【思路點撥】根據不等式的定義即可解答.

【解析】解:“x的3倍與2的差不大于-1”所對應的不等式是：3x-2W-1,

故答案為：3尤-2W-1.

【點睛】本題考查了不等式的定義，熟練掌握不等式的定義是解題的關鍵.

9.用不等式表示“0與6的2倍的和小于3”："+2b<3.

【思路點撥】根據“。與。的2倍的和小于3”，即可列出不等式，此題得解.

【解析】解：依題意得。+26<3.

故答案為：a+2b<3.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，根據各數量之間的關系，正確

列出不等式是解題的關鍵.

10.用不等式表示：

(1)尤的5倍減去3小于2；

(2)3與a的和的一半不小于3；

(3)m的工與n的工的和是非負數；

32

(4)a的20%加上a的和小于3a.

【思路點撥】(1)根據“x的5倍減去3<2”得出關于x的一元一次不等式；

(2)根據“3與。的和的一半N3”得出關于a的一元一次不等式；

(3)根據“的和N0”得出關于相，”的不等式；

(4)根據“。的20%加上。的和<3/'得出關于a的一元一次不等式.

【解析】解：(1)根據題意，得5x-3<2.

(2)根據題意，得?！Q+3)23.

2

(3)根據題意，得工

32

(4)根據題意，得20%a+a<3a.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，根據各數量之間的關系，正確

列出不等式是解題的關鍵.

11.在數軸上表示下列不等式的解集：

(1)x<4；(2)xW-2；(3)x>-1；

(4)尤》-4；(5)尤<-50；(6)-ll<x^3.

2

【思路點撥】根據圖中數軸上所表示的不等式的解集，即可得到答案.

【解析】解：(1)如圖所示：

I1IIIIIIIA?

-5-4-3-2-1~0~1~2~345~x

(2)如圖所示：

j___?_______?1______?______?_____?______?____?______?.

-5-4-3-24012345x

(3)如圖所示：

(4)如圖所示:

(5)如圖所示:

-90-80-70-60-50-40-30-2040010

(6)如圖所示：

【點睛】本題考查的是在數軸上表示不等式的解集，熟知實心圓點與空心圓點的區別是

解答此題的關鍵.

題組B能力提升練

12.給出下列各式：①-3<0；②a+b；③x=5；④W-肛+/；⑤x+2>y-7；⑥aW3.其

中不等式的個數是()

A.5B.2C.3D.4

【思路點撥】運用不等式的定義進行判斷.

【解析】解：①是不等式；②是代數式，沒有不等關系，所以不是不等式；③是等式；

④是代數式，沒有不等關系，所以不是不等式；⑤是不等式；⑥是不等式，

不等式有①⑤⑥，共3個.

故選：C.

【點睛】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式.解

答此類題關鍵是要識別常見不等號：>,<,W,豐.

13.據溫州都市報報道，2010年2月14日溫州市最高氣溫是8℃,最低氣溫是4℃,則當

天溫州氣溫f(°C)的變化范圍是()

A.f>8B.f<4C.4<?<8D.4W/W8

【思路點撥】根據不等式的定義，當天的氣溫在最低氣溫與最高氣溫之間，用不等式寫

出即可.

【解析】解：根據題意得：2010年2月14日溫州市最高氣溫是8℃,最低氣溫是4℃,

則當天氣溫f(℃)的變化范圍為：4W/W8.

故選：D.

【點睛】本題考查了不等式的定義，熟知不等式的意義是解題的關鍵.

14.某市自來水公司按如下標準收取水費：若每戶每月用水不超過10m3,則每立方米收費

1.5元；若每戶每月用水超過10/,則超過的部分每立方米收費2元.小亮家某月的水

費不少于25元，那么他家這個月的用水量(X：/)至少是多少？請列出關于x的不等式.

【思路點撥】不少于25元，意思是大于或等于25元，根據收費標準，知小亮家的用水

一定超過了10m3.

故本題的不等關系為：10〃戶的水費與超過部分的水費.

【解析】解：設小亮家每個月的用水量是加？，根據題意，得

1.5X10+2(%-10)225.

【點睛】本題應著重理解：當水費超過15元時，用水一定超過了10毋.

15.用適當的符號表示下列關系：

(1)。與6兩數和的平方不小于3；

(2)三角形兩邊的長°,6的和大于第三邊的長c；

(3)2%與-3的和是負數；

(4)x與5的和的28%不大于-6；

(5)根除以4的商加上3至多為5.

【思路點撥】(1)根據題意，可以用(。+6)223表示題目中的語句；

(2)根據題意，可以用a+b>c表示題目中的語句；

(3)根據題意，可以用2x+(-3)<0表示題目中的語句；

(4)根據題意，可以用28%(尤+5)W-6表示題目中的語句；

(5)根據題意，可以用m+4+3W5表示題目中的語句.

【解析】解：(1)。與b兩數和的平方不小于3可以表示為：(a+b)223；

(2)三角形兩邊的長m6的和大于第三邊的長c可以表示為：a+b>c；

(3)2x與-3的和是負數可以表示為：2x+(-3)<0；

(4)x與5的和的28%不大于-6可以表示為：28%(x+5)W-6；

(5)山除以4的商加上3至多為5可以表示為：〃z+4+3W5.

【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確題意，寫

出相應的不等式.

16.請寫出下列各數軸上所表示的關于x的不等式的解集.

與a4d?⑵1dt于124

⑶》(4)3「3，S一

【思路點撥】寫不等式解集，先看點，再看方向，最后看空(實)心.

【解析】解：⑴X<-1,

(2)x2l,

(3)xWl,

(4)x>3.

【點睛】本題考查不等式解集在數軸上的表示，區分空心、實心是寫出解集的關鍵.

題組C培優拔尖練

17.如圖，用不等式表示數軸上所示的解集，正確的是()

-A------1------1------1------

-101