第十二章全等三角形備考提分專項訓練（原卷版）

第一部分考前知識梳理

一、全等三角形的概念與性質

能夠的兩個圖形叫全等圖形，能夠.的兩個三角形叫全等三角形.

性質：全等三角形的—相等,相等.

幾何符號語言：

AABC^ADEF

AB=DE,BC=EF,AC=DF

ZA=ZD,ZB=ZE,ZC=ZF

二、三角形全等的判定方法

1.的兩個三角形全等.（“邊邊邊”或“SSS”）

幾何符號語言：

‘AB=A'B'

在4ABC和△ABC中,BC=B/C/

AC=A'C'

ZXABC之△A'B'C'（SSS）

2.分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.

幾何符號語言：

‘AB=AE

在4ABC和△AB。中，|NA=NA'

AC=A'C'

ZXABC之△A'B'C'(SAS)

3.分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

幾何符號語言：

ZA=ZAzCC

在△ABC和△AB。中，［AB=A'B，

ZB=/B'

△ABCgZ\A'B'C'（ASA）

4.相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）.

定理應用格式：

ZA=ZA'

在4ABC和△AB。中，［ZB=ZB'

BC=BC,

△ABCgZ\A'B'C'(AAS)

5.分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

注意：

（1）“HL”定理是僅適用于Rt△的特殊方法.因此，判定兩個直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、

"SAS"、"ASA”、“AAS”外還可以使用“HL”.

(2)應用HL定理時，雖只有兩個條件，但必須先有兩個RtzY書寫格式為:

AB=AE

在RtAABC和RtZXAB。中,RtA

BC=B'C'

AB3RtZ\ABC'(HL)

三、角平分線的性質與判定

角的平分線的性質角3的平分線的判定

圖形

0EBEB

0P平分NA0BPD=PE

已知

PD_L0A于DPD，0A于D

條件

PE，0B于EPE_L0B于E

結論PD=PE0P平分NA0B

四、幾何證明的一般步驟

1.明確命題中的

2.根據題意畫出圖形，并用數學符號

3.經過分析找出的途徑，寫出證明過程。

第二部分數學思想方法

方法：轉化思想

解讀：轉化思想就是把解決的復雜問題轉化為另一個比較簡單的問題來解決，即化難為易，化未知為已知,

本章中在證明線段和角相等時，常轉化為全等三角形全等來解決。

典例：(2022秋?建湖縣期中)己知：如圖，在△ABC中，AB^AC,在△ADE中，AD=AE,且NA4C=N

DAE=36°,連接8。，CE交于點、P,連接4P.

(1)求證：BD=CE；(2)求N8PC的度數；

(3)求證：平分N2PE.

BC

第三部分常考題型突破

題型一全等三角形的判定

例1-1（2023春?南崗區期末）如圖，平分NAOC,D、E、尸分別是射線。4、射線02、射線。C上的點，

D、E、尸與。點都不重合，連接E。、EF.若添加下列條件中的某一個，就能使△。。石絲你認

A.OD=OEB.DE=FEC.ZODE^ZOEDD.ZODE^ZOFE

例1-2（2022?揚州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小明通過電話

給玻璃店老板提供相關數據，為了方便表述，將該三角形記為△ABC,提供下列各組元素的數據，配出

來的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,ZBC.AB,AC,ZBD.ZA,ZB,BC

例1-3（2022?益陽）如圖，在中，ZB=90°,CD//AB,OEJ_AC于點E,HCE=AB.求證:

△CED名AABC.

例1-4如圖，AD,8c相交于點O,且。4=OC,OB=OD,EF過點O,分別交A3、CD于點E、F,且/

AOE=ZCOF,求證：OE=OF.

題型二角平分線的性質

例2-1（2022秋?西城區校級期中）如圖，在△ABC中，是它的角平分線，OELAC于點E.若8C=12tro,

DE=4cm,則△3。的面積為cm2.

例2-2（2022秋?肥東縣期末）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,BE平分NABC,CE±BE.求

證：BD=2CE.

第四部分全章模擬測試

一、選擇題（每題3分，共21分）

1.（2021秋?香洲區校級期中）下列各選項中的兩個圖形屬于全等圖形的是（）

A.◎◎B.⑤十C.U?HU0,

2.（2022?南關區期末）如圖，AB//DF,>AB^DF,添加下列條件，不能判斷的是（）

3.（2022秋?雙遼市期中）如圖，要測量湖兩岸相對兩點A,B的距離，可以在AB的垂線上取兩點C,

D,CD=BC,再在BE的垂線DG上取點E,使點A,C,E在一條直線上，可得AABC注△EDC.判

定全等的依據是（）

A.ASAB.SASC.SSSD.HL

4.（2022秋?天河區校級期中）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AO平分N8AC,DELABE,BE=2,

5.（2022秋?滄州期末）為促進旅游發展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村，如圖所示,

若要使度假村到三條公路的距離相等，則這個度假村應修建在（）

A.△ABC三條高線的交點處B.ZXABC三條中線的交點處

C.△ABC三條角平分線的交點處D.ZkABC三邊垂直平分線的交點處

6.（2022秋?上城區校級期中）如圖，ABLCD,且A8=CZ）.E、尸是AO上兩點，CE.LADfBFLAD.若

BF=a,EF=b,CE=c,則A。的長為（）

A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c

7.（2022秋?辛集市期末）如圖，在△A3。和中，AB=AD,AC=AE,AB>AC,ZDAB=ZCAE=

50°連接BE,CD交于點F,連接AF.下列結論：①BE=CD；②NEFC=50°；③AF平分ND4E；④

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（每題4分，共24分）

8.（2022秋?萊州市期中）如圖，AABC冬ADBE,A、。、C在一條直線上，且/A=60°,ZDBC=28°,

則NE=.

9.（2021秋?寧津縣期末）如圖，在AABC中，ZC=90°,以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交邊

1

AC,A3于點M、N,分別以點M、N為圓心，以大于一MN為半徑作弧，兩弧交于點P,射線AP交BC

2

于點。，若CD=2,AB=5,則△ABD的面積為.

10.（2022秋?常州期中）如圖,4。是448。的高,4。=8。,8￡'=4。/&1。=70°，則NDBE大小為

11.（2022秋?海淀區期中）在△ABC中,4。是中線，已知AB=7,AC=4,則中線的取值范圍是.

12.（2022秋?句容市期中）如圖，在四邊形ABC。中，/B=NC,AB=20cm.BC=15cm,點E為AB的

中點，如果點P在線段BC上以5cm/s的速度由點8向點C運動，同時，點。在線段C￡）上由點C向點

20

D運動.若點。的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為_三_a加時，能夠使△

與△C。尸全等.

13.（2023春?渠縣期末）添加輔助線是很多同學感覺比較困難的事情.如圖1,在中，/ABC=

2

90°,BD是高,E是△ABC外一點，BE=BA,/E=NC,若DE=押,AD=16,BD=20,求ABDE

的面積.同學們可以先思考一下…，小穎思考后認為可以這樣添加輔助線：在8。上截取（如

圖2）.同學們，根據小穎的提示，聰明的你可以求得的面積為一.

圖1圖2

三、解答題（共55分）

14.（2022秋?龍港市期中）已知：如圖，AC=BD,AD=BC.求證：ZC=ZD.

AB

15.(2022春?墾利區期末)如圖，已知8E_LAC,CFLAB,垂足分別為E,F,BE,CF相交于點。，若

BD=CD.求證：平分/8AC.

16.(2021秋?巢湖市期末)如圖，在△ABC中，AO平分NBAC,ZC=90°,Z)E_LA8于點E,點尸在AC

上，BD=DF.

(1)求證：CF=EB.

(2)若48=12,AF=8,求CF的長.

17.(2022秋?深水區期中)如圖，△ABCg/kAbC,AD和A。'分別是△ABC和△ABC的角平分線.

(1)求證：AD^A'D'；

(2)把第(1)小題中的結論用文字語言描述：；

(3)寫出一條其他類似的結論：.

18.（2013秋?越秀區校級期中）已知四邊形4BCD中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=120°,Z

MBN=60°,/MBN繞B點旋轉,它的兩邊分別交A。，0c（或它們的延長線）于E、F,

（1）當繞8點旋轉到AE=CF時（如圖1）,試猜想AE,CF,之間存在怎樣的數量關系？請

將三條線段分別填入后面橫線中：+=（不需證明）

（2）當NM8N繞B點旋轉到AEWCP時，在圖2和圖3這兩種情況下，上問的結論分別是否仍然成立？

若成立，請給出證明；若不成立，那么這三條線段又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.

第十二章全等三角形備考提分專項訓練（解析版）

第一部分考前知識梳理

一、全等三角形的概念與性質

能夠完全重合的兩個圖形叫全等圖形,能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.

性質：全等三角形的對應邊相等,對應角相等.

幾何符號語言：

AABC^ADEF

AB=DE,BC=EF,AC=DF\

ZA=ZD,ZB=ZE,ZC=ZF---------

二、三角形全等的判定方法

1.三邊分別相等的兩個三角形全等.（“邊邊邊”或“SSS”）

幾何符號語言：

'AB=AE

在4ABC和△ABC'中,BC=B'C'

AC=A'C'

AABC名△A'B'C'（SSS）

2.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.

幾何符號語言：

一AB=AE

在4ABC和△AB。中，＜NA=NA'

AC=A'C'

△ABCgZXA'B'C'(SAS)

3.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.

幾何符號語言：

ZA=NA'CC

在AABC和△AB。中，［AB=A'B'

ZB=ZB1

，△ABCgZ\A'B'C'（ASA）

4.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）.

定理應用格式：

ZA=ZA'

在4ABC和△A，BC中,{NB=ZB'

BC=B，C'

△AB3ZkA'B'C'(AAS)

5.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

注意：

（1）“HL”定理是僅適用于Rt△的特殊方法.因此，判定兩個直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、

“SAS”、“ASA”、“AAS”外還可以使用“HL”.

(2)應用HL定理時，雖只有兩個條件，但必須先有兩個RtzY書寫格式為:

AB=AE

在RtAABC和RtZXAB。中,RtA

BC=B'C'

AB3RtZ\ABC'(HL)

三、角平分線的性質與判定

角的平分線的性質角3的平分線的判定

圖形

0EBEB

0P平分NA0BPD=PE

已知

PD_L0A于DPD，0A于D

條件

PE，0B于EPE_L0B于E

結論PD=PE0P平分NA0B

四、幾何證明的一般步驟

1.明確命題中的已知和求證

2.根據題意畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證

3.經過分析找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程。

第二部分數學思想方法

方法：轉化思想

解讀：轉化思想就是把解決的復雜問題轉化為另一個比較簡單的問題來解決，即化難為易，化未知為已知,

本章中在證明線段和角相等時，常轉化為全等三角形全等來解決。

典例：(2022秋?建湖縣期中)己知：如圖，在△ABC中，AB^AC,在△ADE中，AD=AE,且NA4C=N

DAE=36°,連接8。，CE交于點P,連接4戶.

(1)求證：BD=CE；(2)求N8PC的度數；

(3)求證：拼平分/BPE.

E

A/^^~T7D

/\/jp

BC

【思路引領】(1)要證明BO=CE,只要證明g△C4E即可，根據題目中的條件，利用SAS可以

證明△BAD四△C4E；

(2)根據等腰三角形的性質和三角形內角和，可以求得NBPC的度數；

(3)根據全等三角形對應邊上的高相等，可以得到點A到8。邊距離等于點A到CE邊上的距離，再根

據角平分線的判定，即可得到B4平分尸旦

【解答】(1)證明：VZ.BAC=ZDAE,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

：.ZBAD^ZCAE,

在△54。和△CAE中，

(AB=AC

UBAD=/.CAE,

(AD=AE

：.ABAZ)^ACA￡(SAS),

：.BD=CE；

(2)解：VZBAC=36°,AB=AC,

：.ZABC=Z.ACB=72°,

由(1)知：△BAD0△C4E,

ZABD=ZACE,

：.ZPBC+ZPCB=ZPBC+ZACB+ZACE=ZPBC+ZACB+ZABD=ZABC+ZACB=72°+72°=

144°,

ZBf>C=180°-(/PBC+NPCB)=180°-144°=36°,

即N5PC=36°；

(3)證明：VABAD^ACAE,

點A到BD邊距離等于點A到CE邊上的距離，

.?.點A在NBPE的角平分線上，

即PA平分/BPE.

【總結提升】本題考查全等三角形的性質與判定、等腰三角形的性質、角平分線的判定，解答本題的關

鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

第三部分常考題型突破

題型一全等三角形的判定

例1-1（2023春?南崗區期末）如圖，。8平分/AOC,。、E、尸分別是射線OA、射線。8、射線。C上的點，

D、E、F與。點都不重合，連接E。、EF.若添加下列條件中的某一個，就能使△DOE也△FOE.你認

A.OD=OEB.DE=FEC.ZODE=ZOEDD.ZODE=ZOFE

【答案】D

【思路引領】由。2平分/AOC,得/DOE=/FOE,由公共邊OE=OE,可知添加條件NODE=NOFE,

即可根據A4s得△￡＞。￡注△FOE,可得答案.

【解答】解：平分/AOC,

ZDOE=ZFOE,

又OE=OE,

若添加條件NODE=NOFE,則根據A4s可得△DOE絲△△?￡1,故選項。符合題意，

而添加條件OD=OE不能得到△QOE也故選項A不符合題意，

添加條件DE=FE不能得到故選項B不符合題意，

添加條件/ODE=NOED不能得到故選項C不符合題意，

故選：D.

【總結提升】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS.ASA.

SAS,SSS,直角三角形可用乩定理，注意：AA4、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等

時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

例1-2（2022?揚州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小明通過電話

給玻璃店老板提供相關數據，為了方便表述，將該三角形記為△ABC,提供下列各組元素的數據，配出

來的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,ZBC.AB,AC,ZBD.ZA,ZB,BC

【答案】C

【思路引領】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案.

【解答】解：A.利用三角形三邊對應相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項不合題意；

B.利用三角形兩邊、且夾角對應相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項不合題意；

C.AB,AC,NB,無法確定三角形的形狀，故此選項符合題意；

D根據/A,/B,BC,三角形形狀確定，故此選項不合題意；

故選：C.

【總結提升】此題主要考查了全等三角形的應用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵.

例1-3（2022?益陽）如圖，在中，NB=90°,CD//AB,于點E,S.CE^AB.求證:

△CED烏LABC.

【答案】證明過程見解答部分.

【思路引領】由垂直的定義可知，ZDEC=ZB=90°,由平行線的性質可得，ZA=ZDCE,進而由ASA

可得結論.

【解答】證明：'：DE±AC,ZB=9Q°,

；.NDEC=NB=90°,

VCD//AB,

：.ZA=ADCE,

在△CEO和△ABC中,

2DCE=乙4

CE=AB，

/DEC—Z-B

AACED^AABC(ASA).

【總結提升】本題主要考查全等三角形的判定，垂直的定義和平行線的性質，熟知全等三角形的判定定

理是解題基礎.

例1-4如圖，AD、相交于點。，且。4=0C,OB=OD,EF過點0,分別交A3、CD于點E、F,且/

AOE^ZCOF,求證：OE=OF.

思路引領：由SAS證明△A08冬△COD,得出對應角相等/A=NC,再由ASA證明△49E四△CQF,

得出對應邊相等即可.

證明：在和△COD中，

0A=0C

Z-AOB=Z.COD，

OB=0D

：./XAOB^ACOD(SAS),

???NA=NC,

在△AOE和△CO/中，

乙4=ZC

OA=OC

AAOE=乙COF

：./XAOE^ACOF(ASA),

：.OE=OF.

解題秘籍：本題考查了全等三角形的判定與性質；熟練掌握全等三角形的判定與性質，證明三角形全等

是解決問題的關鍵.

題型二角平分線的性質

例2-1(2022秋?西城區校級期中)如圖，在△ABC中，。是它的角平分線，于點E.若8C=12cm

DE=4cm,則△BCD的面積為24cm2.

【答案】24.

【思路引領】如圖所示，過點D作DFLBC于F,利用角平分線的性質得到DF=DE=4cm,即可利用

三角形面積公式求出答案.

【解答】解：如圖所示，過點。作。尸，BC于尸，

平分NACB,DFLBC,DEVAC,DE=4cm,

DF=DE=4cm,

^：BC=\2cm,

11C

.:△BCD的面積=今BC?DF=方X12X4=24(cm2),

故答案為：24.

【總結提升】本題主要考查了角平分線的性質，三角形面積，熟知角平分線上的點到角兩邊的距離相等

是解題的關鍵.

例2-2(2022秋?肥東縣期末)如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,BE平分/ABC,CEYBE.求

證：BD=2CE.

思路引領：延長BA交CE的延長線于F,先證明△BCE0△BFE,得CE=EF,再證明△△。/名△人臺。

得BD=CF,從而有B￡)=2CE.

證明：延長區4交CE的延長線于R

平分NA8C,

；./CBE=NFBE,

'：CE.LBE,

:./BEC=NBEF=9Q°,

?在△BCE和中，

2CBE=乙FBE

BEBE,

ZBEC=乙BEF=90°

:.ABCE咨ABFE(ASA),

：.CE=EF,

在△ABC中，VZBAC=90°,CELBE,

：.ZABD+ZADB=90°,

ZCDE+ZFCA^90°,

又,：NADB=/CDE(對頂角相等)，

：.ZFCA=ZABD,

?在△ACB和△AB。中，

^FCA=/.ABD

ABAC,

ZBAC=^FAC=90°

：./\ACF^/\ABD(ASA),

：.BD=CF,

：.BD=2CE.

解題秘籍：此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質這一知識點的理解和掌握，證明此題的關鍵是

作好輔助線：延長交CE的延長線于尸.

第四部分全章模擬測試

一、選擇題（每題3分，共21分）

1.（2021秋?香洲區校級期中）下列各選項中的兩個圖形屬于全等圖形的是（）

A.卷）◎

B.③十

【答案】B

【思路引領】根據全等形是能夠完全重合的兩個圖形進行分析判斷.

【解答】解：A、兩個圖形不能夠完全重合，不是全等圖形，不符合題意;

2、兩個圖形可以完全重合，是全等圖形，符合題意；

C、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；

D,兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意.

故選：B.

【總結提升】本題考查的是全等形的識別、全等圖形的基本性質，屬于較容易的基礎題.

2.（2022秋?南關區校級期末）如圖，AB//DF,且A2=OR添加下列條件，不能判斷△ABC2△PL比的

是（）

A.AC=EFB.BE=CDC.AC//EFD.ZA=ZF

【答案】A

【思路引領】根據全等三角形的判定定理逐一判斷即可.

【解答】解：-：AB//DF,

：.ZABC=NFDE,

A、由AB=DF,AC=EF,不能判定/XABC/△FOE,故A符合題意；

B、由AB=DF,BE^CDBPBC^DE,通過SAS即可證明故8不符

合題意；

C、由AC〃所得/ACB=NP￡D,ZABC=ZFDE,AB=DF,通過AAS即可證明△ABC也△尸DE,故

C不符合題意；

D、由AB=DF,NA8C=/FDE通過ASA即可證明△ABC絲△引9E,故。不符合題意；

故選：A.

【總結提升】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵.

3.（2022秋?雙遼市期中）如圖，要測量湖兩岸相對兩點A,B的距離，可以在AB的垂線B尸上取兩點C,

D,使Cr>=BC,再在BF的垂線。G上取點E,使點A,C,E在一條直線上，可得△ABC之△EDC.判

定全等的依據是（）

A

A.ASAB.SASC.SSSD.HL

【答案】A

【思路引領】根據全等三角形的判定進行判斷，注意題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據已知選

擇判斷方法.

【解答】解：在△A5C和△或"；中

2ABC=Z.EDC=90°

BC=CD,

.Z-BCA=Z.DCE

：.AABC^AEDC（ASA）,

依據是兩角及這兩角的夾邊對應相等.

故選：A.

【總結提升】本題主要考查了三角形全等的判定方法，熟記判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS、HL是解決問題的關鍵.

4.（2022秋?天河區校級期中）如圖，在△ABC中，/C=90°,AD平分NBAC,DELABE,BE=2,

BC=6,則△BOE的周長為（）

B

D

C

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【思路引領】先根據角平分線的性質得到DE=DC,然后利用等線段代換得到△BDE的周長=BC+BE.

【解答】解：平分/BAC,DELAB,DCLAC,

:.DE=DC,

ABDE的周長=BO+OE+BE=B￡>+OC+BE=BC+8E=6+2=8.

故選：B.

【總結提升】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

5.（2022秋?滄州期末）為促進旅游發展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村，如圖所示,

若要使度假村到三條公路的距離相等，則這個度假村應修建在（）

A.△ABC三條高線的交點處

B.AABC三條中線的交點處

C.ZXABC三條角平分線的交點處

D.△ABC三邊垂直平分線的交點處

【答案】C

【思路引領】根據角平分線的性質進行判斷.

【解答】解：：度假村到三條公路的距離相等，

這個度假村為△ABC的角平分線的交點.

故選：C.

【總結提升】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

6.（2022秋?上城區校級期中）如圖，ABLCD,且A2=CDE、尸是上兩點，CE_LA。，BF±AD.若

BF=a,EF=b,CE=c,則AD的長為（）

A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c

【答案】C

【思路引領】由余角的性質可得/A=NC,由“44S”可證可得AF=CE=c,DE=BF

=a,可得AD的長.

【解答】-：AB1.CD,CE±AD,BF±AD,

：.ZAFB=ZCED=90°,ZA+ZD=90°,ZC+ZD=90°,

/A=/C,

VZA=ZC,NCED=NAFB,AB=CD,

.'.△ABF/ACDE(AAS),

AF—CE=c,DE—BF=a,

*：EF=b,

AD=AF+DF=c+(a-b)=a-b+c.

故選：C.

【總結提升】本題考查了全等三角形的判定和性質，熟練運用全等三角形的判定是本題的關鍵.

7.（2022秋?辛集市期末）如圖，在和△ACE中，AB^AD,AC^AE,AB>AC,NDAB=NCAE=

50°連接BE,CD交于點R連接AF.下列結論：①BE=CD；②NEFC=50°；③AB平分NZME；④

【答案】C

【思路引領】先由/D42=/C4E=50°證明/8AE=N/MC=50°+ZBAC,即可根據全等三角形的判

定定理“&4S”證明△BAE絲△D4C,得BE=CD,可判斷①正確；

設BE交AC于點G,因為NAE2=ZACD,所以/EFC=NCGE-ZACD=ZCGE-ZABE=ZCAE=

50°,可判斷②正確；

作于點/,AACD于點J,由SABAE=S的C得初吁/加。。，則A/=AJ,即可證明El平

分NDFE,可判斷④正確；

假設NZMP=/EAR則NDA產-NZMB=N￡A尸-NCAE,所以NBA尸=/C4R由NAfD=NAPE,

ZBFD=ZCFE,^ZAFB=ZAFC,即可推導出△APBgZkAFC,得AB=AC,與已知條件相矛盾，可

判斷③錯誤，于是得到問題的答案.

【解答】解：：ND4B=/CAE=50°,

/BAE=ZDAC=50°+ZBAC,

在△瓦IE和△ZMC中，

AB=AD

Z-BAE=Z-DAC>

AE=AC

AABAE^ADAC(SAS),

：.BE=CD,/AEB=/ACD,

故①正確；

設BE交4c于點G,

：.ZEFC=ZCGE-ZACD=ZCGE-ZABE=ZCAE=50°,

故②正確；

作AI±BE于點I,AJ±CD于點J,

,**S/\BAE=S/\DACf

：.^AI-BE=^AJ-CD,

.\AI=AJ,

二點A在/DFE的平分線上，

：.FA平分/DFE,

故④正確；

假設/。4尸=/班/，則/DAk-ZDAB=ZEAF-ZCAE,

：.ZBAF=ZCAF,

,：ZAFD=ZAFE,ZBFD=ZCFE,

：.ZAFD+ZBFD=ZAFE+ZCFE,

：.ZAFB=ZAFC,

在△AFB和△AFC中，

ZBAF=Z.CAF

AF=AF,

.^AFB=AAFC

：.AAFB^AAFC(ASA),

：.AB=AC,與已知條件相矛盾，

:./DAFW/EAF,

故③錯誤，

二①②④這3個結論正確，

故選：C.

【總結提升】此題重點考查全等三角形的判定與性質、根據面積等式證明線段相等、角平分線的判定、

三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

8.（2022秋?萊州市期中）如圖，AABC^/XDBE,A、D、C在一條直線上，且NA=60°,NDBC=28

則NE=32°.

【答案】32°.

【思路引領】由全等三角形的性質得到ZE=ZC,由等腰三角形的性質可求出NBZM=60°,

根據三角形外角的性質求出NC,即可得到/E的度數.

【解答】W：VAABC^ADBE,

：.AB=BD,NE=NC,

.,./A=/BZM=60°,

；/BDA=NC+/DBC,NO8c=28°,

AZC=60°-28°=32°,

...NE=32°,

故答案為：32°.

【總結提升】本題考查全等三角形的性質，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，

屬于中考常考題型.

9.（2021秋?寧津縣期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交邊

1

AC、A8于點M、N,分別以點M、N為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于點尸，射線AP交BC

于點D,若C￡>=2,AB=5,則△A3。的面積為5.

【答案】5.

【思路引領】作DEA.AB于E,根據角平分線的性質得到DE=DC=2,根據三角形的面積公式計算即可.

【解答】解：作于E,

由基本作圖可知，AP平分NC4B,

：A尸平分/CAB,ZC=90°,DELAB,

：.DE=DC=2,

一11

△ABD的面積=/XABXDE=忘x5X2=5,

故答案為：5.

【總結提升】本題考查基本作圖、角平分線的性質定理、三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用

所學知識解決問題.

10.(2022秋?常州期中)如圖，AO是△ABC的高，AD=BD,BE=AC,ZBAC=70°,則/D8E大小為

25°.

【答案】25.

【思路引領】證明RdBriE絲Rt^AOC,根據全等三角形的性質得到/OBE=NZMC,根據等腰直角三

角形的性質求出/D4B=NDBA=45°,計算即可.

【解答】解：是△ABC的高，

AZADB=ZADC=90Q,

在RtABDE和RtAADC中，

(BE=AC

IBD=AD'

.,.RtABDE^RtAADC(HL),

NDBE=ADAC,

在Rt/XAOB中，AD=BD,

：.ZDAB=ZDBA=45°,

VZBAC=70°,

.?.ND4c=70°-45°=25°,

：.ZDBE=ZDAC=25°,

故答案為：25.

【總結提升】本題考查的是全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定

定理是解題的關鍵.

11.（2022秋?海淀區校級期中）在△ABC中，是中線，已知A8=7,AC=4,則中線的取值范圍是

311

【答案】-<AD<^.

2乙

【思路引領】通過倍長中線，構造從而得到AB=CE=7,利用三角形三邊關系可得

CE-AC<AE<CE+AC,再通過AD=力ZE即可求解.

【解答】解：如圖，延長AD至E4DE=ADf連接CE,

???AO是△A3C的中線，

：.BD=CD,

在△A3。和△EC。中，

AD=ED

Z.ADB=乙EDC,

BD=CD

：.AABD^AECD(SAS),

：.AB=CE=1,

在△AEC中，根據三角形的三邊關系可得CE-AC<AE<CE+AC,

即7-4VAEV7+4,

.\3<AE<11,

u

：DE=ADf

1

：.AD=^AE,

311

故答案為：-<AD<—.

22

【總結提升】本題考查全等三角形的判定與性質，三角形三邊關系的應用等，通過倍長中線構造全等三

角形是解題的關鍵.

12.(2022秋?句容市期中)如圖，在四邊形ABC。中，ZB=ZC,AB=20cm.BC=15cm,點E為48的

中點，如果點P在線段上以5”n/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段上由點C向點

20

D運動.若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為=時，能夠使△

8PE與△CQP全等.

B

【答案】y.

【思路引領】設點。的運動時間為rs,運動的速度為xa〃/s,則CQ=xfaw,BP=5tcm,CP=(15-5t)

cm,由于NB=/C,當BE=CP,8P=CQ時，利用“AAS”可判斷△BEPgzXCP。，即10=15-5t,

5t=W；當BE=CQ,時，利用“A4S”可判斷△BEP絲△CQP,即10=xf,5f=15-53然后分

別解方程即可.

【解答】解：設點。的運動時間為ts,運動的速度為w%/s,貝IBP=5tcm,CP=(15-5/)

:點E為AB的中點，

BE—10cm,

??,/B=NC,

:?當BE=CP,BP=CQ時,ABEP^ACPQ(SAS),

即10=15-5t,5t—xt,

解得/=1,x=5(舍去)；

當BE=CQ,8P=C尸時，/\BEP^ACQP(SAS),

即10=xb5/=15-5t,

解得t=I，x=冬

一20

綜上所述，點。的運動速度為刀切而時，能夠使△BPE與△CQ尸全等.

故答案為：

【總結提升】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵；

選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件.

13.（2023春?渠縣期末）添加輔助線是很多同學感覺比較困難的事情.如圖1,在RtZVIBC中，ZABC=

2

90°,8。是高，E是△A3C外一點，BE=BA,NE=NC,若DE=^BD,A￡>=16,BD=20,求△BOE

的面積.同學們可以先思考一下…，小穎思考后認為可以這樣添加輔助線：在8。上截取8尸=。￡,（如

圖1圖2

【答案】64.

【思路引領】由/名△BDE,求出。尸的長，再由面積公式求得即可.

【解答】解：如圖所示，連接AR

180°-ZBDA-ZBAD=90°-ZBAD,

ZC=180°-ZABC-ZBAD=90°-/BAD,

'：ZABD=ZC,

'：ZE=ZC,

'：NABD=NE,

在AABF與4BED中，

AB=BE

乙ABF=乙BED,

BF=DE

:?△ABFQXBED(SAS),

S/\ABF=S/\BDE,

11

：SAABD=^BD-XZ)=1x20x16=160,

2

VBF=jx20=8,

：.DF=BD-BF=2Q-8=12,

11

：.SMFD=IxAD*DF=Jxl2X16=96,

?S/\ABF=S/\ABD~S/\AFD,

S/\BDE=S/\ABF=160-96=64.

故答案為：64.

【總結提升】本題考查了全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

三、解答題（共55分）

14.（2022秋?龍港市期中）已知：如圖，AC^BD,AD=BC.求證：ZC=ZD.

AB

【思路引領】由AC=BD、BC=AD、根據全等三角形的判定定理“SSS”證明△ABC四△區4￡）,

則/C=/D

【解答】證明：在△ABC和△54。中，

AC=BD

BC=AD,

.AB=BA

：.AABC^ABAD（SSS）,

.*.ZC=ZZ）.