2024?2025學年北京交大附中高三(上)診斷數學試卷(10月份)

一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知全集U={%|-2<%<2},集合Z={%|-1<%<2],則QZ=()

A.(-2,-1)B.[-2,-1]C.(-2,-1)U{2}D.[-2,-1)U{2}

2.已知命題p：就+2%o+。40是假命題，則實數Q的取值范圍是()

A.(-8,1]B.[1,+oo)C.(-00,1)D.(1,+oo)

3.在中，(a+c)QsinA-sinC)=b(sinA-sinB),則=()

A.?B.?C.券D.普

6336

4.設Q=203,b=sin28°,c=ln2,貝1j()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

5.把函數y=s譏x的圖象向左平移5個單位后，再把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的右縱坐標不變，

則所得函數圖象的解析式為()

A.y=sin(§+§)B.y=sm(§+§)C.y—sin(3x+§)D.y-sin(3x+§)

6.函數/(%)=cos(x+a)+sin(x+b),則()

JT

A.若a+6=0,則/'(x)為奇函數B.若a+b=2，則/'(久)為偶函數

TT

C.若b-a=5，則/'(X)為偶函數D.若a-6=7T,則/'(久)為奇函數

7.已知函數/'(久)=log2x-x+1,則不等式/'(久)<0的解集是()

A.(1,2)B,(-00,1)U(2,+oo)

C.(0,2)D.(0,1)U(2,+8)

8.教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微生物，降低室內二氧化碳和致病微生

物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳最高容許濃度為0.15%.經測定，剛

下課時，空氣中含有0.25%的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為y%,且y隨時間t(單位：

分鐘)的變化規律可以用函數y=0.05+初一擊。GR)描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準需要

的時間t(單位：分鐘)的最小整數值為()

(參考數據》2~0,693,ln3-1,098)

A.5B.7C.9D.10

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9.若y=/（久）為定義在D上的函數，且D關于原點對稱，則“存在為6D,使得［/（—右）］2力［/（血）］2”是

“函數y=/（嗎為非奇非偶函數”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D,既不充分也不必要條件

10.已知數列｛an｝的前n項和為Sn,且Sn+Sn+i=n2,則下列四個結論中正確的個數是（）

@a7i+2-an=2；

②若的=0,貝^50=1225；

③若的=1,則$50=1224；

④若數列｛a?｝是單調遞增數列，則的的取值范圍是（-公）.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.函數/'（X）=力+伍乂的定義域是.

12.在平面直角坐標系久Oy中，角a以。x為始邊，終邊經過點P（l,-2）,貝!J

tan2a=./\

13.已知函數/（%）=2s譏（3%+9）的部分圖象如圖所示.7\\

①函數外幻的最小正周期為；7OT\T

②將函數f。）的圖象向右平移t（t>0）個單位長度，得到函數9（K）的圖象.-I”

若函數g（x）為奇函數，則t的最小值是.

14.已知/（無）=X+?-2,其中a>0.若"％G（0,+oo）,/（x）>0,貝!Ja的取值范圍是；若

SxG［1,2］,f（x）>2,貝b的取值范圍是.

15.已知函數/'（久）=\a+sin（x+^）|,給出下列四個結論：

①任意a￡R,函數/（久）的最大值與最小值的差為2；

②存在aGR,使得對任意xeR,f（x）+/（TT-X）=2a；

③當a=0時，存在re（0,7）,xoeR,使得對任意nez,都有人為）=/（K0+nr）；

④當a大。時，對任意非零實數x,/（%+^）

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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16.(本小題13分)

cos2x

已知函數/(%)=2sinx+

sinx+cosx

①求f(0)的值;

(n)求函數/(無)在［0為上的單調遞增區間.

17.(本小題14分)

已知sn為數列｛aj的前71項和*滿足％=2%1-1,nCN*為列｛bn｝是等差數列,且比,=一的,b2+b4

=-10.

(I)求數列｛即｝和｛%｝的通項公式；

(n)求數列｛斯+向｝的前ri項和土；

(III)設Cn=a1?CI3...a2n_1，且。?=4096,求n.

18.(本小題14分)

在△ABC中，bsinA-acos-=0.

(I)求NB；

(II)若6=3,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，使△4BC存在且唯一確

定,求a及△4BC的面積.

條件①：sinA+sinC—2sinB；

條件②：c=避；

條件③：ac—10.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(H)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答

計分.

19.(本小題14分)

已知函數/(久)=x3+x2+ax-l.

①當。=一1時，求函數/(x)的單調區間；

(II)求證：直線y=ax-下是曲線y=/(x)的切線；

(IH)寫出a的一個值，使得函數/(%)有三個不同零點(只需直接寫出數值)

20.(本小題15分)

已知函數/'(久)=mxlnx—x2+l(mER).

①當爪=1時，求曲線y=f(久)在點(1)(1))處的切線方程；

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(II)若/O)wo在區間[1,+8)上恒成立，求ni的取值范圍；

(in)試比較"4與"的大小，并說明理由.

21.(本小題15分)

數列｛冊｝有10。項，ai=a，對任意九E[2,100],存在斯=七+0，iW[l,n-l],若縱與前幾項中某一項相

等，則稱的具有性質P.

(1)若。1=1,d=2,求。4可能的值；

(2)數列｛時｝中不存在具有性質尸的項，求證：｛冊｝是等差數列；

(3)若｛冊｝中恰有三項具有性質P,這三項和為C,使用a,d,C表示@1+。2+…+。100.

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參考答案

l.D

2.D

3.B

4.B

5.C

6.B

l.D

8.B

9.A

10.C

ll.(0,l)U(l,+8)

12-

,3

13

LJ-28

14.{a|a>1]{a\a>3]

15.②

16.解：(1)/(0)=2s出0+.n=l；

八/sinO+cosO

(II)vsinx+cosxW0,

故％H/C7T-^,

即函數的定義域是{%|%kn-^,kGz},

cos2x

/(%)=2sinx+

sinx+cosx

cos2%—si/%

2sinx+

sinx+cosx

=sinx+cosx

=避sin(%+%

A.c1兀7TTC

^2/CTT—7N<x+47<2kn+77Z,

解得：2/c7r-^<x<2kn+7,kEz,

44

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令k=0,得一竽4％

,71

XH/C7T—7，

TTTT

.?■/(X)在區間［0司上的遞增區間是(0,》

17.解：(I)當?i=l時,Si=2國—1=的得的=1,

當九》2,neN*時，Sn_i=2即_1-1①，

由已知Sn=2即一1②，

②一①得an=2即-2an_i，

所以即=2冊_1，

所以數列｛斯｝為等比數列，且公比為q=2,

n-1n-1

因為的=1,所以an=Gtiq=2(nGN*)；

設數列｛%｝公差為d,

b1=-1,Z?2+力4=(歷+d)+(b+3d)—2bl+4d=-10,

由拗工22'=-5得4=-2,

所以勾=歷+(n—l)d=-1+(n—1)x(—2)=—2n+l(nGN*)；

n1

(II)設c九=an-\-bn=2~+(-2n+1),

前ri項和〃=(1+2+4+--+2九T)—2x(1+2+3+…+荏)+n

=2n—n2—1.

2n2n(2n-2)

(III)Cn=a1?的….a2n-i=1X4X16X...x2-=2i=2小一九,

由C九=4096,即2*-九=212,

可得足—九=12,解得九=4(—3舍去).

18廨：(I)由正弦定理得sinAsiziB—s譏0,??.sinB-cos^-=0,

BP2sm-^cos^—cos-^=0,

因為所以acos^wO.

二匚［、］.81B7171

所以SH15=2，2=69B=三.

(II)選條件①：sinA+sinC=2sinB.

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因為b=3,8=§,sinA+sinC=2sinB.

由正弦定理得a+c=2b=6,由余弦定理得9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac

解得ac=9.

ABC=^acsinB=攣?

/4

由｛片二七6,，解得a=3.

選條件②：C=4.

已知8="=34=由正弦定理得sinC=*sinB=p

因為c<b,

所以C=(，Z=與a=yjb2+c2=2番.

所以=額。=與工

選條件③：CLC=10,由余弦定理得9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,即a+c=J藥,

所以a(V^—a)=10,gpa2—+10=0,因為(V^)?—4x10=—1<0,

所以不存在a使得△ABC存在.

19.解：(I)函數/(%)的定義域是R,

當a=-1時，/(%)=%3+%2—%—1,

故/'(%)=3%2+2%—1,

令/'(%)=。,解得：x=-1或《，

當%變化時，/'(%),/(%)的變化如下：

11

X(-00,-1)-1(彳+8)

3

f'(X)+0—0+

f(x)遞增極大值遞減極小值遞增

故函數/(%)在(-8,-1),(1勺+8)遞增，在(一151);

(II)v('(%)=3%2+2%+a,

令/'(%)=a，解得：X=0或一§,

/(0)=-1,直線y=a%一萬不經過(0,-1),

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EL2、_223

而/(一§)=鏟一切

故曲線y=/(X)在點(一步(一芻)處的曲線為y—(-弓a—?ll)=

OOD乙/O

化簡得：y=a比一H，

故無論a為何值，直線y=以一||都是曲線y=/(x)在點1))處的切線;

(III)取a的值為-2,

這里a的值不唯一，只要取a的值小于-1即可.

20.解:(I)當m=1時,/(x)=xlnx—x2+l,函數定義域為(0,+8),

可得「(久)=Inx+1—2%,

此時((1)=一1,

又(fl)=0，

所以曲線八支)在點(1/(1))處切線的方程為y=-(x-1),

即久+y—1=0；

(ID若/(X)W0在區間［1,+8)上恒成立，

1

此時m仇%—%+(<0在區間［1,+8)上恒成立，

.、1

不妨設g(%)=mlnx-x+-,函數定義域為［L+8),

—T4S，/、m41—X2+mx—1

可得g(久)=以一1一殺=一/一，

當m<0時，mx<0,

所以g'Q)<0,g(x)單調遞減,

此時g(x)Wg(l)=0,符合題意；

當加>0時，

不妨設九(久)=—X2+mx-l,

易知在方程一%2+爪％一1=0中，A=m2-4,

若4<0,即0<mW2時，h(x)<0,

所以g'(x)<0,g(x)單調遞減,

則。(久)wg(D=0,符合題意，

若/>0,即爪>2時，

777

函數旗久)是開口向下的二次函數，對稱軸％=萬>1,

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又八⑴=m—2>0,

此時方程一/+mx-l=0的大于1的根為久O=叱等3,

當<%o時，h(x)>0,“(久)>0,g(%)單調遞增；

當%>%o時，h(x)<0,g'(x)<0,g(%)單調遞減,

所以g(%)>,g(l)=0,不符合題意，

綜上，滿足條件的實數血的取值范圍為(-8,2]；

(III)由(II)知，當m=2時，/(%)40在區間[1,+8)上恒成立,

此時2%<%2-1在區間[1,+8)上恒成立，

當久="時，2"ln"vl,

整理得仇4<72.

21.解：(1)根據題意得數列｛冊｝有100項，ai=a,

并且對任意九e