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文檔簡介
2024?2025學年北京交大附中高三(上)診斷數學試卷(10月份)
一、單選題:本題共10小題,每小題4分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求
的。
1.已知全集U={%|-2<%<2},集合Z={%|-1<%<2],則QZ=()
A.(-2,-1)B.[-2,-1]C.(-2,-1)U{2}D.[-2,-1)U{2}
2.已知命題p:就+2%o+。40是假命題,則實數Q的取值范圍是()
A.(-8,1]B.[1,+oo)C.(-00,1)D.(1,+oo)
3.在中,(a+c)QsinA-sinC)=b(sinA-sinB),則=()
A.?B.?C.券D.普
6336
4.設Q=203,b=sin28°,c=ln2,貝1j()
A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c
5.把函數y=s譏x的圖象向左平移5個單位后,再把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的右縱坐標不變,
則所得函數圖象的解析式為()
A.y=sin(§+§)B.y=sm(§+§)C.y—sin(3x+§)D.y-sin(3x+§)
6.函數/(%)=cos(x+a)+sin(x+b),則()
JT
A.若a+6=0,則/'(x)為奇函數B.若a+b=2,則/'(久)為偶函數
TT
C.若b-a=5,則/'(X)為偶函數D.若a-6=7T,則/'(久)為奇函數
7.已知函數/'(久)=log2x-x+1,則不等式/'(久)<0的解集是()
A.(1,2)B,(-00,1)U(2,+oo)
C.(0,2)D.(0,1)U(2,+8)
8.教室通風的目的是通過空氣的流動,排出室內的污濁空氣和致病微生物,降低室內二氧化碳和致病微生
物的濃度,送進室外的新鮮空氣.按照國家標準,教室內空氣中二氧化碳最高容許濃度為0.15%.經測定,剛
下課時,空氣中含有0.25%的二氧化碳,若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為y%,且y隨時間t(單位:
分鐘)的變化規律可以用函數y=0.05+初一擊。GR)描述,則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準需要
的時間t(單位:分鐘)的最小整數值為()
(參考數據》2~0,693,ln3-1,098)
A.5B.7C.9D.10
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9.若y=/(久)為定義在D上的函數,且D關于原點對稱,則“存在為6D,使得[/(—右)]2力[/(血)]2”是
“函數y=/(嗎為非奇非偶函數”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D,既不充分也不必要條件
10.已知數列{an}的前n項和為Sn,且Sn+Sn+i=n2,則下列四個結論中正確的個數是()
@a7i+2-an=2;
②若的=0,貝^50=1225;
③若的=1,則$50=1224;
④若數列{a?}是單調遞增數列,則的的取值范圍是(-公).
A.1B.2C.3D.4
二、填空題:本題共5小題,每小題5分,共25分。
11.函數/'(X)=力+伍乂的定義域是.
12.在平面直角坐標系久Oy中,角a以。x為始邊,終邊經過點P(l,-2),貝!J
tan2a=./\
13.已知函數/(%)=2s譏(3%+9)的部分圖象如圖所示.7\\
①函數外幻的最小正周期為;7OT\T
②將函數f。)的圖象向右平移t(t>0)個單位長度,得到函數9(K)的圖象.-I”
若函數g(x)為奇函數,則t的最小值是.
14.已知/(無)=X+?-2,其中a>0.若"%G(0,+oo),/(x)>0,貝!Ja的取值范圍是;若
SxG[1,2],f(x)>2,貝b的取值范圍是.
15.已知函數/'(久)=\a+sin(x+^)|,給出下列四個結論:
①任意a£R,函數/(久)的最大值與最小值的差為2;
②存在aGR,使得對任意xeR,f(x)+/(TT-X)=2a;
③當a=0時,存在re(0,7),xoeR,使得對任意nez,都有人為)=/(K0+nr);
④當a大。時,對任意非零實數x,/(%+^)
其中所有正確結論的序號是.
三、解答題:本題共6小題,共85分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
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16.(本小題13分)
cos2x
已知函數/(%)=2sinx+
sinx+cosx
①求f(0)的值;
(n)求函數/(無)在[0為上的單調遞增區間.
17.(本小題14分)
已知sn為數列{aj的前71項和*滿足%=2%1-1,nCN*為列{bn}是等差數列,且比,=一的,b2+b4
=-10.
(I)求數列{即}和{%}的通項公式;
(n)求數列{斯+向}的前ri項和土;
(III)設Cn=a1?CI3...a2n_1,且。?=4096,求n.
18.(本小題14分)
在△ABC中,bsinA-acos-=0.
(I)求NB;
(II)若6=3,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知,使△4BC存在且唯一確
定,求a及△4BC的面積.
條件①:sinA+sinC—2sinB;
條件②:c=避;
條件③:ac—10.
注:如果選擇的條件不符合要求,第(H)問得0分;如果選擇多個符合要求的條件分別解答,按第一個解答
計分.
19.(本小題14分)
已知函數/(久)=x3+x2+ax-l.
①當。=一1時,求函數/(x)的單調區間;
(II)求證:直線y=ax-下是曲線y=/(x)的切線;
(IH)寫出a的一個值,使得函數/(%)有三個不同零點(只需直接寫出數值)
20.(本小題15分)
已知函數/'(久)=mxlnx—x2+l(mER).
①當爪=1時,求曲線y=f(久)在點(1)(1))處的切線方程;
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(II)若/O)wo在區間[1,+8)上恒成立,求ni的取值范圍;
(in)試比較"4與"的大小,并說明理由.
21.(本小題15分)
數列{冊}有10。項,ai=a,對任意九E[2,100],存在斯=七+0,iW[l,n-l],若縱與前幾項中某一項相
等,則稱的具有性質P.
(1)若。1=1,d=2,求。4可能的值;
(2)數列{時}中不存在具有性質尸的項,求證:{冊}是等差數列;
(3)若{冊}中恰有三項具有性質P,這三項和為C,使用a,d,C表示@1+。2+…+。100.
第4頁,共9頁
參考答案
l.D
2.D
3.B
4.B
5.C
6.B
l.D
8.B
9.A
10.C
ll.(0,l)U(l,+8)
12-
,3
13
LJ-28
14.{a|a>1]{a\a>3]
15.②
16.解:(1)/(0)=2s出0+.n=l;
八/sinO+cosO
(II)vsinx+cosxW0,
故%H/C7T-^,
即函數的定義域是{%|%kn-^,kGz},
cos2x
/(%)=2sinx+
sinx+cosx
cos2%—si/%
2sinx+
sinx+cosx
=sinx+cosx
=避sin(%+%
A.c1兀7TTC
^2/CTT—7N<x+47<2kn+77Z,
解得:2/c7r-^<x<2kn+7,kEz,
44
第5頁,共9頁
令k=0,得一竽4%
,71
XH/C7T—7,
TTTT
.?■/(X)在區間[0司上的遞增區間是(0,》
17.解:(I)當?i=l時,Si=2國—1=的得的=1,
當九》2,neN*時,Sn_i=2即_1-1①,
由已知Sn=2即一1②,
②一①得an=2即-2an_i,
所以即=2冊_1,
所以數列{斯}為等比數列,且公比為q=2,
n-1n-1
因為的=1,所以an=Gtiq=2(nGN*);
設數列{%}公差為d,
b1=-1,Z?2+力4=(歷+d)+(b+3d)—2bl+4d=-10,
由拗工22'=-5得4=-2,
所以勾=歷+(n—l)d=-1+(n—1)x(—2)=—2n+l(nGN*);
n1
(II)設c九=an-\-bn=2~+(-2n+1),
前ri項和〃=(1+2+4+--+2九T)—2x(1+2+3+…+荏)+n
=2n—n2—1.
2n2n(2n-2)
(III)Cn=a1?的….a2n-i=1X4X16X...x2-=2i=2小一九,
由C九=4096,即2*-九=212,
可得足—九=12,解得九=4(—3舍去).
18廨:(I)由正弦定理得sinAsiziB—s譏0,??.sinB-cos^-=0,
BP2sm-^cos^—cos-^=0,
因為所以acos^wO.
二匚[、].81B7171
所以SH15=2,2=69B=三.
(II)選條件①:sinA+sinC=2sinB.
第6頁,共9頁
因為b=3,8=§,sinA+sinC=2sinB.
由正弦定理得a+c=2b=6,由余弦定理得9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac
解得ac=9.
ABC=^acsinB=攣?
/4
由{片二七6,,解得a=3.
選條件②:C=4.
已知8="=34=由正弦定理得sinC=*sinB=p
因為c<b,
所以C=(,Z=與a=yjb2+c2=2番.
所以=額。=與工
選條件③:CLC=10,由余弦定理得9=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,即a+c=J藥,
所以a(V^—a)=10,gpa2—+10=0,因為(V^)?—4x10=—1<0,
所以不存在a使得△ABC存在.
19.解:(I)函數/(%)的定義域是R,
當a=-1時,/(%)=%3+%2—%—1,
故/'(%)=3%2+2%—1,
令/'(%)=。,解得:x=-1或《,
當%變化時,/'(%),/(%)的變化如下:
11
X(-00,-1)-1(彳+8)
3
f'(X)+0—0+
f(x)遞增極大值遞減極小值遞增
故函數/(%)在(-8,-1),(1勺+8)遞增,在(一151);
(II)v('(%)=3%2+2%+a,
令/'(%)=a,解得:X=0或一§,
/(0)=-1,直線y=a%一萬不經過(0,-1),
第7頁,共9頁
EL2、_223
而/(一§)=鏟一切
故曲線y=/(X)在點(一步(一芻)處的曲線為y—(-弓a—?ll)=
OOD乙/O
化簡得:y=a比一H,
故無論a為何值,直線y=以一||都是曲線y=/(x)在點1))處的切線;
(III)取a的值為-2,
這里a的值不唯一,只要取a的值小于-1即可.
20.解:(I)當m=1時,/(x)=xlnx—x2+l,函數定義域為(0,+8),
可得「(久)=Inx+1—2%,
此時((1)=一1,
又(fl)=0,
所以曲線八支)在點(1/(1))處切線的方程為y=-(x-1),
即久+y—1=0;
(ID若/(X)W0在區間[1,+8)上恒成立,
1
此時m仇%—%+(<0在區間[1,+8)上恒成立,
.、1
不妨設g(%)=mlnx-x+-,函數定義域為[L+8),
—T4S,/、m41—X2+mx—1
可得g(久)=以一1一殺=一/一,
當m<0時,mx<0,
所以g'Q)<0,g(x)單調遞減,
此時g(x)Wg(l)=0,符合題意;
當加>0時,
不妨設九(久)=—X2+mx-l,
易知在方程一%2+爪%一1=0中,A=m2-4,
若4<0,即0<mW2時,h(x)<0,
所以g'(x)<0,g(x)單調遞減,
則。(久)wg(D=0,符合題意,
若/>0,即爪>2時,
777
函數旗久)是開口向下的二次函數,對稱軸%=萬>1,
第8頁,共9頁
又八⑴=m—2>0,
此時方程一/+mx-l=0的大于1的根為久O=叱等3,
當<%o時,h(x)>0,“(久)>0,g(%)單調遞增;
當%>%o時,h(x)<0,g'(x)<0,g(%)單調遞減,
所以g(%)>,g(l)=0,不符合題意,
綜上,滿足條件的實數血的取值范圍為(-8,2];
(III)由(II)知,當m=2時,/(%)40在區間[1,+8)上恒成立,
此時2%<%2-1在區間[1,+8)上恒成立,
當久="時,2"ln"vl,
整理得仇4<72.
21.解:(1)根據題意得數列{冊}有100項,ai=a,
并且對任意九e
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