PAGE第一章立體幾何初步[課時(shí)作業(yè)][A組基礎(chǔ)鞏固]1．一條直線與兩條平行線中的一條為異面直線，則它與另一條()A．相交 B．異面C．相交或異面 D．平行解析：在如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AA1與直線B1C1是異面直線，與B1C1平行的直線有A1D1，AD，BC，明顯直線AA1與A1D1相交，與答案：C2．如圖，在四面體A-BCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中不正確的是()A．M，N，P，Q四點(diǎn)共面B．∠QME＝∠CBDC．△BCD∽△MEQD．四邊形MNPQ為梯形解析：由中位線定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.對(duì)于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四點(diǎn)共面，故A說(shuō)法正確；對(duì)于B，依據(jù)等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B說(shuō)法正確；對(duì)于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C說(shuō)法正確．由三角形的中位線定理，知MQ綊eq\f(1,2)BD，NP綊eq\f(1,2)BD，所以MQ綊NP，所以四邊形MNPQ為平行四邊形，故D說(shuō)法不正確．答案：D3.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為棱A1C1，B1C1，B1B的中點(diǎn)，則∠EFG與∠ABCA．相等B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ)D．不確定解析：由于E，F(xiàn)，G分別為A1C1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B1∥AB，F(xiàn)G∥BC1，所以∠EFG與∠ABC1的兩組對(duì)邊分別平行，一組對(duì)應(yīng)邊方向相同，一組對(duì)應(yīng)邊方向相反，故∠EFG與∠ABC1互補(bǔ)．答案：B4.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BCA．CC1與B1E是異面直線B．CC1與AE共面C．AE與B1C1D．AE與B1C1解析：由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，A錯(cuò)誤；由于CC1在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)E不在C1C上，故CC1與AE是異面直線，同理，AE與B1C1是異面直線，所以B錯(cuò)誤，C正確；AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，又E為BC的中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，即AE與B1C1所成的角為90°，D錯(cuò)誤．故選C.答案：C5．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則B1D與CC1解析：如圖，B1D與CC1所成的角為∠BB1D.∵△DBB1為直角三角形．∴tan∠BB1D＝eq\f(BD,BB1)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)6.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD和B1D1分別是正方形ABCD和A1B1C1D1(1)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相同；(2)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相反．解析：(1)B1D1∥BD，B1C1∥BC并且方向相同，所以∠DBC的兩邊與∠D1B1C1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相同．(2)D1B1∥BD，D1A1∥BC并且方向相反，所以∠DBC的兩邊與∠B1D1A答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A17．如圖所示是正方體的平面綻開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中，①BM與ED是異面直線；②CN與BE是異面直線．以上兩個(gè)結(jié)論中，正確的是________(填序號(hào))．解析：在正方體中，直線間的關(guān)系比較清晰，所以可以把原圖還原為正方體，找出相應(yīng)直線間的關(guān)系．答案：①8.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是CB，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).若BD＝6cm，梯形EFGH的面積為28cm2，則平行線EH，F(xiàn)G間的距離為_(kāi)_______．解析：在△BCD中，∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，∴GF∥BD，eq\f(FG,BD)＝eq\f(2,3).∴FG＝4cm.在△ABD中，∵點(diǎn)E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴EH＝eq\f(1,2)BD＝3(cm)．設(shè)EH，F(xiàn)G間的距離為dcm.則eq\f(1,2)×(4＋3)×d＝28，∴d＝8.答案：8cm9.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為AD，AB，B1C1，C1D1(1)求證：EF綊E1F1(2)求證：∠EA1F＝∠E1CF1證明：(1)連接BD，B1D1(圖略)．∵E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點(diǎn)，∴EF∥BD且EF＝eq\f(1,2)BD.同理，E1F1∥B1D1且E1F1＝eq\f(1,2)B1D1.而在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D為平行四邊形，∴BD∥B1D1且BD＝B1D1，∴EF綊E1F1.(2)取A1B1的中點(diǎn)M，連接BM，F(xiàn)1M則BF＝A1M＝eq\f(1,2)AB.又BF∥A1M，∴BF綊A1M，∴四邊形A1FBM為平行四邊形，∴A1F∥BM.∵M(jìn)，F(xiàn)1分別為A1B1，C1D1的中點(diǎn)，∴F1M綊C1B1，而C1B1綊BC，∴F1M∥BC且F1M＝BC，∴四邊形F1MBC為平行四邊形，∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理A1E∥CE1.∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且方向都相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.10．已知正方體ABCD-A1B1C1D1(1)求A1B與B1D1所成角的大小；(2)求AC與BD1所成角的大小．解析：(1)如圖，連接BD，A1D.因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體．所以DD1綊BB1，所以四邊形DBB1D1為平行四邊形，所以BD∥B1D1，因?yàn)锳1B，BD，A1D是相等的正方形的對(duì)角線，所以A1B＝BD＝A1D，即△A1BD是正三角形，所以∠A1BD＝60°.因?yàn)椤螦1BD是銳角，所以∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成的角．所以A1B與B1D1所成的角為60°.(2)取DD1的中點(diǎn)E，AC的中點(diǎn)O，連接EO，EA，EC.因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥BD1.因?yàn)椤螮DA＝90°＝∠EDC，AD＝DC，所以△EDA≌△EDC，所以EA＝EC.在等腰△EAC中，因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，所以EO⊥AC，所以∠EOA＝90°.因?yàn)椤螮OA是異面直線AC與BD1所成的角，所以AC與BD1所成的角為90°.[B組實(shí)力提升]1．如圖所示，設(shè)E、F、G、H依次是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上除端點(diǎn)外的點(diǎn)，且eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝λ，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝μ.則下列結(jié)論中不正確的為()A．當(dāng)λ＝μ時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形B．當(dāng)λ≠μ時(shí)，四邊形EFGH是梯形C．當(dāng)λ＝μ＝eq\f(1,2)時(shí)，四邊形EFGH是平行四邊形D．當(dāng)λ＝μ≠eq\f(1,2)時(shí)，四邊形EFGH是梯形解析：當(dāng)λ＝μ時(shí)，EH綊FG，∴EFGH為平行四邊形，故D中結(jié)論不正確．答案：D2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CDA.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(7),2)解析：本題主要考查異面直線所成的角．因?yàn)镃D∥AB，所以∠BAE即為異面直線AE與CD所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，連接BE，則BE＝eq\r(5).因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故選C.答案：C3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq\r(2)，則異面直線A1C與B1C1所成的角為_(kāi)_______．解析：由題意可知BC∥B1C1，故A1C與B1C1所成的角即BC與A1C所成的角，連接A1B(圖略)，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝eq\r(2)，故∠A1CB＝60°，則異面直線A1C與B1C1所成的角為60°.答案：60°4．下列命題中正確的是________．①若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)；②若直線l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的隨意直線都是異面直線；③假如兩條異面直線中一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線肯定與該平面相交；④若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面；⑤若平面α∥平面β，直線aα，直線bβ，則直線a∥b.解析：①是公理1，所以①是正確的；②中，直線l和平面α內(nèi)過(guò)l與α交點(diǎn)的直線都相交而不是異面，所以②是錯(cuò)誤的；③中，異面直線中的另一條和該平面的關(guān)系不能詳細(xì)確定，它們可以相交，可以平行，還可以在該平面內(nèi)，所以③是錯(cuò)誤的；④中，直線l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，所以直線l與平面α內(nèi)的直線平行或異面，所以④是正確的；⑤中，分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線可以平行，也可以異面，所以⑤是錯(cuò)誤的．答案：①④5.如圖所示，兩個(gè)三角形ABC和A′B′C′的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′、BB′、CC′交于同一點(diǎn)O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(CO,OC′)＝eq\f(2,3).(1)求證：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值．解析：(1)證明：∵AA′與BB′交于點(diǎn)O，且eq\f(AO,OA′)＝eq\f(BO,OB′)＝eq\f(2,3).∴AB∥A′B′.同理，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′.因此△ABC∽△A′B′C′，且eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AO,OA′)＝eq\f(2,3).∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9).6.如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)當(dāng)m、n滿(mǎn)意什么條件時(shí)EFGH是平行四邊形；(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明EG＝FH.解析：(1)證明：∵AE∶EB＝AH∶HD，∴EH∥BD.又∵CF∶FB＝CG∶GD，∴FG∥BD，∴EH∥FG，∴E、F、G、H四點(diǎn)共面