第三講長方體和正方體（三）第一部分：趣味數(shù)學量身定做錦盒太平興國元年，宋太宗趙光義繼位。他命人將玉璽加高了2厘米，玉璽由原來的長方體正好變成了正方體。就在遼國使臣覲見的前一天，玉璽造成了，但是原來盛裝玉璽的錦盒不符合要求了。工匠們還沒來得及制作好新的錦盒，玉璽已經被送進皇宮，因為第二天早上使臣覲見的時候需要用到玉璽。如果沒有用合適的錦盒裝玉璽，皇帝大怒，一群工匠估計都會掉腦袋的。工匠們個個急得滿頭大汗。就在工匠們絞盡腦汁想辦法的時候，宰相呂端來視察，看到大家著急，便詳細詢問了情況。一個年長的工匠慢慢回憶說：“我只記得將玉璽加高了2厘米，正好將長方體變成了正方體。對了，我后來仔細量了量，多出來的表面積好像是72平方厘米。”呂宰相聽后對大家說：“大家放心，我已經知道你們改造以后的玉璽的尺寸了。”大家一頭霧水，一下子都圍在呂宰相周圍，都想知道究竟正方體玉璽的相關數(shù)據(jù)是多少。“不著急，大家聽我說。我們從這個多出來的部分入手。多出來的部分就是一個小長方體，它的長和寬就是原來玉璽的長和寬。增加了2厘米后，原來的玉璽就成為了一個正方體，說明原來長方體的底面就是一個正方形，底面上的長和寬一樣長。再往上增加了2里米，可見增加的這個4個面的大小都是一樣的。每個面的大小就是72÷4＝18平方厘米，又知道這個增加部分的長方形的寬是2厘米，所以長方形的長也就是這個長方體的底面邊長是18÷2＝9厘米。所以改造以后的玉璽的棱長應該就是9厘米，原來玉璽的長和寬都是9厘米，高是7厘米。”大家聽后恍然大悟，連夜按照呂宰相算出的尺寸趕制了合適的錦盒來盛裝玉璽，避免了皇帝的盛怒，保住了自己的性命。第二部分：奧數(shù)小練【例題1】一個棱長為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為2厘米的正方體若干塊，表面積增加多少厘米？【思路導航】把棱長為6厘米的正方體鋸成棱長為2厘米的正方體，可以按下圖中的線共鋸6次，每鋸一次就增加兩個6×6=36平方厘米的面，鋸6次共增加36×2×6=432平方厘米的面積。因此，鋸好后表面積增加432平方厘米。練習1：1.把27塊棱長是1厘米的小正方體堆成一個大正方體，這個大正方體的表面積比原來所有的小正方體的表面積之和少多少平方厘米？2.有一個棱長是1米的正方體木塊，如果把它鋸成體積相等的8個小正方體，表面積增加多少平方米？3.把一個正方體的六個面都涂上紅色，然后把它鋸兩次鋸成4個同樣的小長方體，沒有涂顏色的面積是60平方厘米。求涂上紅色的面積一共是多少平方厘米？【例題2】有一個正方體木塊，把它分成兩個長方體后，表面積增加了24平方厘米，這個正方體木塊原來的表面積是多少平方厘米？【思路導航】把正方體分成兩個長方體后，增加了兩個面，每個面的面積是24÷2=12平方厘米，而正方體有6個這樣的面。所以原正方體的表面積是12×6=72平方厘米。練習2：把三個棱長都是2厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是多少平方厘米？2.有一個正方體木塊，長4分米、寬3分米、高6分米，現(xiàn)在把它鋸成兩個長方體，表面積最多增加多少平方分米？3.有三塊完全一樣的長方體積木，它們的長是8厘米、寬4厘米、高2厘米，現(xiàn)把三塊積木拱成一個大的長方體，怎樣搭表面積最大？最大是多少平方厘米？【例題3】有一個正方體，棱長是3分米。如果按下圖把它切成棱長是1分米的小正方體，這些小正方體的表面積的和是多少？想一想：在切的過程中，每切一切，就會增加兩個3×3平方分米的面，你能用這種思路來計算所求問題嗎？練習3：1.用棱長是1厘米的小正方體擺成一個稍大一些的正方體，至少需要多少個小正方體？如果要擺一個棱長是6厘米的正方體，需要多少個小正方體？2.有一個長方體，長10厘米、寬6厘米、高4厘米，如果把它鋸成棱長是1厘米的小正方體，一共能鋸多少個？3.把24個棱長是1厘米的小正方體擺成一個長方體，這個長方體的表面積至少是多少平方厘米？【例題4】一個正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的小正方體中：（1）三個面涂有紅色的有幾個？（2）二個面涂有紅色的有幾個？（3）一個面涂有紅色的有幾個？（4）六個面都沒有涂色的有幾個？【思路導航】按題中的要求切，切成的小正方體一共有3×3×3=27個。（1）三個面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點處，共有8個；（2）二個面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有1×12=12個；（3）一個面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個面上，共有1×6=6個；（4）六個面都沒有涂色的在大正方體的中間，有27－（8＋12＋6）=1個。練習4：把一個棱長是5厘米的正方體的六個面涂滿紅色，然后切成1立方厘米的小正方體，這些小正方體中，一面涂紅色的、二面涂紅色的、三面涂紅色的以及六個面都沒有涂色的各有多少個？2.把若干個體積相同的小正方體堆成一個大的正方體，然后在大正方體的表面涂上顏色，已知兩面被涂上紅色的小正方體共有24個，那么，這些小正方體一共有多少個？3.把1立方米的正方體木塊的表面涂上顏色，然后切成1立方分米的小正方體，在這些小正方體中，六個面都沒有涂色的有多少個？【例題5】一個長方體的長、寬、高分別是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三個體積相等的小長方體，這三個小長方體表面積的和最大是多少平方厘米？【思路導航】這個長方體原來的表面積是（6×5＋6×4＋5×4）×2=148平方厘米，每切割一刀，增加2個面。切成三個體積相等的小長方體要切2刀，一共增加2×2=4個面。要求表面積和最大，應該增加4個6×5=30平方厘米的面。所以，三個小長方體表面積和最大是148＋6×5×4=268平方厘米。練習5：1.有三塊完全一樣的長方體木塊，每塊長8厘米、寬5厘米、高3厘米。要把它們粘成一個大的長方體，這個長方體的表面積最大是多少平方厘米？最小是多少平方厘米？2.把8個同樣大小的小正方體拼成一個大正方體，已知每個小正方體的表面積是72平方厘米，拼成的大正方體的表面積是多少平方厘米？3.把一個長、寬、高分別為7厘米、6厘米、5厘米的長方體，截成兩個長方體，使這兩個長方體的表面積的和最大，求它們的表面積和是多少平方厘米？第三部分：數(shù)學史話歐幾里得與《幾何原本》古希臘大數(shù)學家歐幾里得是與他的巨著──《幾何原本》一起名垂千古的。這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學著作，也是歐幾里得最有價值的一部著作。在《幾何原本》里，歐幾里得系統(tǒng)地總結了古代勞動人民和學者們在實踐和思考中獲得的幾何知識，歐幾里德把人們公認的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理的幾何學論證方法，形成了一個嚴密的邏輯體系──幾何學。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。兩千多年來，《幾何原本》一直是學習幾何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學者都曾學習過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營養(yǎng)，從而作出了許多偉大的成就。《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數(shù)學的成果和精神于一書。它既是數(shù)學巨著，又是哲學巨著，并且第一次完成了人類對空間的認識。參考答案：練習11.把27塊棱長是1厘米的小正方體堆成一個大正方體，可知這個大正方體的棱長為3厘米。求大正方體的表面積比原來所有的小正方體的表面積之和少多少平方厘米，可以用27塊棱長是1厘米的小正方體的表面積和減去大正方體表面積。小正方體的表面積和：1×1×6×27=162平方厘米大正方體表面積：3×3×6=54平方厘米表面積之差：162-54=108平方厘米2.把一個棱長是1米的正方體木塊，鋸成體積相等的8個小正方體，小正方體的棱長就變成了0.5米。求表面積增加多少，可以用8個小正方體的表面積和減去大正方體表面積。小正方體的表面積和：0.5×0.5×6×8=12平方厘米大正方體表面積：1×1×6=6平方厘米表面積之差：12-6=6平方厘米把正方體鋸兩次鋸成4個同樣的小長方體，表面積（也就沒涂色的部分）增加了4個相等的正方形（也就是正方體的4個面），沒有涂顏色的面積是60平方厘米，也就是正方體的4個面的面積和是60平方厘米，每個面的面積是60÷4=15平方厘米。涂上紅色的面積一共是6個面，所以是15×6=90平方厘米。練習2①把三個棱長都是2厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的長是6厘米、寬是2厘米、高是2厘米，表面積是6×2×4+2×2×2=56平方厘米。②把三個棱長都是2厘米的正方體拼成一個長方體，表面積減少了4個面，共有14個面，表面積是2×2×14=56平方厘米。想要表面積增加的最多就讓多出來的面最大，那就是4×6的面，表面積增加的部分也就是4×6×2=48平方分米。想要表面積最大就讓左右兩面重合，這樣表面積就減少了4個4×2的面，大長方體的表面積最大是（8×4＋8×2+4×2）×2×3-4×2×4=304平方厘米。練習3用棱長是1厘米的小正方體擺成一個稍大一些的正方體，至少需要8個小正方體？如果要擺一個棱長是6厘米的正方體，需要216個小正方體。一共能鋸（10×6×4）÷（1×1×1）=240個。把24個棱長是1厘米的小正方體擺成一個長方體，有6種方法：①1×24排列；②2×12排列；③3×8排列；④4×6排列；⑤2×2×2排列；⑥2×3×4排列；由此找出每一種長方體的長寬高，計算出它們的表面積進行比較就行了。①1×24排列；（24×1+24×1+1×1）×2=98平方厘米②2×12排列；（12×2+12×1+2×1）×2=76平方厘米③3×8排列；（3×8+1×8+3×1）×2=70平方厘米④4×6排列；（4×6+1×6+4×1）×2=68平方厘米⑤2×2×2排列；（2×6+2×6+2×2）×2=56平方厘米⑥2×3×4排列；（4×3+2×4+3×2）×2=52平方厘米52<56<68<70<76<98所以這個長方體的表面積至少是52平方厘米。練習4因為1×1×1＝1，5÷1＝5，所以大正方體每條棱長上面都有5個小正方體;所以一面涂色的有:(5-2)×(5-2)×6，＝3×3×6，＝54(個)，兩面涂色的有:(5-2)x12＝3×12＝36個三面涂色的都在頂點處，所以一共有8個，沒有涂色的有:125-54-36-8＝27(個）面涂色的小正方體有54個;兩面涂色的小正方體有36個;三面涂色的小正方體有8個;沒有涂色的小正方體有27個。2.每條棱上有小正方體：24÷12+2=4個，4×4×4=64個。3.每條棱上有小正方體24÷12+2＝4(個)，4×4×4＝64(個);答:這些小正方體一共有64個。分析由于兩面涂色的小正方體處在12條棱的中?，所以每條棱的中間有小正方體24÷12＝2個，那么每條棱上有小正方體2+2＝4(個)，利用大正方體的體積公式即可得解。練習51.要使表面積最大，把三個長方體的最小的面(5x3)重合;要使表面積最小，把三個長方體的最大的面(8x5)重合;求這個長方體的表面積用3個小長方體的表面積之和減去4個重合的面的面積;根據(jù)長方體的表面積公式:S＝(ab+ah+bh)×2，把數(shù)據(jù)代入公式解答。表面積最大是(8×5+8×3+5×3)×2×3-5×3×4,=(4平方厘米);表面積最小(8×5+8×3+5×3)×2×3-8×5×4,=(4平方厘米)。2.把8個同樣大的小正方體拼成個大正方體，大正方體的棱長是小正方體的棱長的2倍，因為正方體的面積＝邊長×邊長，所以大正方體每個面的面積是小正方體每個面的面積的2×2＝4倍。大正方體的每個面的面積是小正方體的每個面的面積的4倍，那么大正方體的表面積就是小正方體表面積的4倍，所以用72×4即可求出拼成的大正方體的表面積。72÷6=12平方厘米12×4×6=288（平方厘米）3