人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1第二課時直線與圓的位置關系的應用一、選擇題1.方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，則實數k的取值范圍是()A.{－eq\r(2)} B.(－eq\r(2)，eq\r(2))C.〖－1，1) D.{k|k＝eq\r(2)或－1≤k＜1}〖答案〗D〖解析〗由題意知，直線y＝x＋k與半圓x2＋y2＝1(y≥0)只有一個交點，結合圖形(圖略)易得－1≤k<1或k＝eq\r(2).2.y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的面積是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4) C.eq\f(3π,2) D.π〖答案〗D〖解析〗如圖，所求面積是圓x2＋y2＝4面積的eq\f(1,4).3.一條光線從點(－2，－3)射出，經y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A.－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B.－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3) C.－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D.－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)〖答案〗D〖解析〗由已知，得點(－2，－3)關于y軸的對稱點為(2，－3)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線一定過點(2，－3).設反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，則有d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4)，故選D.4.若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N兩點，且M，N關于直線x＋2y＝0對稱，則實數k＋m＝()A.－1 B.1 C.0 D.2〖答案〗B〖解析〗∵直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N兩點，且M，N關于直線x＋2y＝0對稱，∴直線x＋2y＝0是線段MN的中垂線，得k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，解之得k＝2，又圓方程為x2＋y2＋2x＋my－4＝0，圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(m,2)))，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(m,2)))代入x＋2y＝0，得－1－m＝0，解得m＝－1，故k＋m＝1.故選B.5.方程eq\r(1－x2)＝kx＋2有唯一解，則實數k滿足()A.k＝±eq\r(3) B.k∈(－2，2)C.k<－2或k>2 D.k<－2或k>2或k＝±eq\r(3)〖答案〗D〖解析〗y＝eq\r(1－x2)表示單位圓x2＋y2＝1的上半部分，y＝kx＋2表示過定點(0，2)的直線，如圖，當直線y＝kx＋2在l1，l4的位置或在l2，l3之間時滿足條件.易求得k2＝2，k3＝－2.又由y＝kx＋2與圓x2＋y2＝1相切求得k1＝eq\r(3)，k4＝－eq\r(3).故k<－2或k>2或k＝±eq\r(3).二、填空題6.實數x，y滿足方程x＋y－4＝0，則x2＋y2的最小值為________.〖答案〗8〖解析〗令x2＋y2＝r2，則x2＋y2的最小值為圓x2＋y2＝r2與直線相切時的圓的半徑的平方，所以r＝eq\f(|0－0－4|,\r(12＋12))＝2eq\r(2)，即x2＋y2的最小值為8.7.在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的點，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為________.〖答案〗eq\f(4π,5)〖解析〗由題意可知以線段AB為直徑的圓C過原點O，要使圓C的面積最小，只需圓C的半徑或直徑最小，又圓C與直線2x＋y－4＝0相切，所以由平面幾何知識，當OC所在直線與已知直線垂直時，圓C的直徑最小，又O到直線2x＋y－4＝0的距離d＝eq\f(|2×0＋0－4|,\r(5))＝eq\f(4,\r(5))，所以圓的半徑最小為eq\f(2,\r(5))，圓C的面積的最小值為S＝πr2＝eq\f(4π,5).8.已知M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，則實數b的取值范圍是________.〖答案〗(－3，3eq\r(2)〗〖解析〗數形結合法，注意y＝eq\r(9－x2)，y≠0等價于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝9在x軸之上的部分(如圖所示).結合圖形不難求得，當－3<b≤3eq\r(2)時，直線y＝x＋b與半圓x2＋y2＝9(y>0)有公共點.三、解答題9.設有半徑長為3km的圓形村落，甲、乙兩人同時從村落中心出發，甲向東前進而乙向北前進，甲離開村后不久，改變前進方向，斜著沿切于村落邊界的方向前進，后來恰好與乙相遇.設甲、乙兩人的速度都一定，且其速度比為3∶1，問：甲、乙兩人在何處相遇？解如圖所示，以村落中心為坐標原點，以東西方向為x軸，南北方向為y軸建立平面直角坐標系.設甲向東走到D轉向到C恰好與乙相遇，CD所在直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞3，b＞3)，乙的速度為v，則甲的速度為3v.依題意，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝3，,\f(\r(a2＋b2)＋a,3v)＝\f(b,v).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝3.75.))所以乙向北前進3.75km時甲、乙兩人相遇.10.已知實數x，y滿足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求(1)eq\f(y,x)的最大值與最小值；(2)eq\r(（x－2）2＋y2)的最大值與最小值.解(1)設k＝eq\f(y,x)，則k表示圓上的點P(x，y)與原點連線的斜率，直線OP的方程為y＝kx，當直線OP與圓C相切時，斜率取得最值.由點C(3，3)到直線y＝kx的距離d＝eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝eq\r(6)，得k＝3±2eq\r(2)，即k＝3±2eq\r(2)時，直線OP與圓C相切，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\do7(max)＝3＋2eq\r(2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))eq\s\do7(min)＝3－2eq\r(2).(2)代數式eq\r(（x－2）2＋y2)表示圓C上的點到定點(2，0)的距離，圓心(3，3)與定點(2，0)的距離為eq\r(（3－2）2＋32)＝eq\r(10)，又圓C的半徑是eq\r(6)，所以(eq\r(（x－2）2＋y2))max＝eq\r(10)＋eq\r(6)，(eq\r(（x－2）2＋y2))min＝eq\r(10)－eq\r(6).11.曲線y＝1＋eq\r(4－x2)與直線y＝k(x－2)＋4有兩個交點，則實數k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,12))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))〖答案〗D〖解析〗由題意可得：直線l過定點A(2，4)，曲線y＝1＋eq\r(4－x2)為以(0，1)為圓心，2為半徑的半圓.根據題意畫出圖形，如圖所示.當直線l與半圓相切，C為切點時，圓心到直線l的距離d＝r，即eq\f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得：k＝eq\f(5,12)；當直線l過點B(－2，1)時，直線l的斜率為eq\f(4－1,2－（－2）)＝eq\f(3,4)，則直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4))).12.(多選題)如圖所示，已知直線l的方程是y＝eq\f(4,3)x－4，并且與x軸、y軸分別交于A，B兩點，一個半徑為1.5的圓C，圓心C從點(0，1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運動，當圓C與直線l相切時，該圓運動的時間可以為()A.6 B.8 C.10 D.16〖答案〗AD〖解析〗設當圓與直線l相切時，圓心坐標為(0，m)，則圓心到直線l的距離為eq\f(|m＋4|,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(2)))＝eq\f(3,2)，得m＝－eq\f(3,2)或m＝－eq\f(13,2)，∴該圓運動的時間為eq\f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),0.5)＝6(s)或eq\f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,2))),0.5)＝16(s).13.如圖，已知一艘海監船O上配有雷達，其監測范圍是半徑為25km的圓形區域，一艘外籍輪船從位于海監船正東40km的A處出發，徑直駛向位于海監船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監船監測到？若能，持續時間多長？(要求用坐標法)解如圖，以O為原點，東西方向為x軸建立直角坐標系，則A(40，0)，B(0，30)，圓O方程x2＋y2＝252.直線AB方程：eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.設O到AB距離為d，則d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍輪船能被海監船監測到.設監測時間為t，則t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝eq\f(1,2)(h).所以外籍輪船能被海監船監測到，持續時間是0.5h.14.如圖，某市有相交于點O的一條東西走向的公路l，與南北走向的公路m，這兩條公路都與一塊半徑為1(單位：千米)的圓形商城A相切.根據市民建議，欲再新建一條公路PQ，點P，Q分別在公路l，m上，且要求PQ與圓形商城A也相切.(1)當P距O處4千米時，求OQ的長；(2)當公路PQ長最短時，求OQ的長.解(1)以O為原點，直線l，m分別為x，y軸建立平面直角坐標系.設PQ與圓A相切于點B，連接AB，以1千米為單位長度，則圓A的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，由題意可設直線PQ的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋4y－4b＝0(b>0)，∵PQ與圓A相切，∴eq\f(|4－3b|,\r(b2＋42))＝1，解得b＝3，故當P距O處4千米時，OQ的長為3千米.(2)設P(a，0)，Q(0，b)(a>2，b>2)，則直線PQ方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.因為PQ與圓A相切，所以eq\f(|b＋a－ab|,\r(b2＋a2))＝1，化簡得ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2；因此PQ＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(（a＋b）2－2ab)＝eq\r(（a＋b）2－4（a＋b）＋4)＝eq\r(（a＋b－2）2).因為a>2，b>2，所以a＋b>4，于是PQ＝(a＋b)－