人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1

課程基本信息課題3.3.2第1課時拋物線的簡單幾何性質教學目標教學目標：借助拋物線的圖形和標準方程理解拋物線范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質.教學重點：拋物線的簡單幾何性質.教學難點：應用坐標法解決一些與拋物線有關的問題.教學過程時間教學環節主要師生活動1分鐘引入問題1：在橢圓、雙曲線里我們研究了它們的哪些幾何性質？用什么方法研究的？追問：你認為我們要研究拋物線的哪些幾何性質？如何研究這些性質？范圍，對稱性，頂點，離心率；類比橢圓、雙曲線研究幾何性質的方法，依然用先直觀猜想，再方程驗證的研究方法.6分鐘新課問題2：以開口向右的拋物線y2=2px（1）范圍：追問1：觀察直角坐標系中的拋物線，它的范圍是什么？你能用它的方程給出證明嗎？拋物線開口向右，除原點以外，曲線上其他的點都在y軸右側，向右上方和右下無限延伸.從方程y2=2pxp>0可知，因為p>0，等號左邊是完全平方，所以對于拋物線上的點Mx，y，都有，（2）對稱性：追問2：觀察方程y2由圖象可知，方程y2=2pxp>0的曲線關于x軸對稱，沒有對稱中心.以-y代替y，我們發現方程y2（3）頂點：追問3：橢圓、雙曲線的頂點如何定義的？曲線與對稱軸的交點叫做曲線的頂點，所以橢圓有四個頂點，雙曲線有兩個頂點.追問4：拋物線有幾個頂點？能證明嗎？拋物線與對稱軸交于原點，從方程來看，當x=0時，y=0，因此，拋物線只有一個頂點，就是原點0,0.（4）離心率：它的定義是：拋物線上的點M與焦點F的距離和點M到準線的距離d的比，叫做拋物線的離心率，用e表示.由拋物線的定義可知，e=1.另幾種開口方向的拋物線的性質，請同學們用同樣的方法探究一下.13分鐘知識應用問題3：已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在原點，并且經過點M2，追問1：根據給定的條件，怎么求拋物線的標準方程？根據待定系數法，設拋物線的方程，代入經過的點M的坐標就可以確定系數p的值.追問2：此題選擇哪種拋物線的標準方程呢？由于拋物線關于x軸對稱，頂點在原點，經過的M點在第四象限，所以可以判定拋物線開口向右，焦點在x軸的正半軸上，所以設它的標準方程為y2因為點M在拋物線上，所以代入坐標，得-2解得p=2.因此，所求拋物線的標準方程是y2追問3：如果把條件“關于x軸對稱”改為“對稱軸是坐標軸”，那么結果有變化嗎？點M在第四象限，那么拋物線除了關于x軸對稱，還可以關于y軸對稱，即開口向下.此時，設標準方程為x2=2pyp>0，同樣采用待定系數法，代入點M的坐標，得22=2p×-22p>0，解得.因此，所求拋物線的標準方程是x2=-2y.因此，如果條件“關于小結：選擇拋物線的標準方程是解題的關鍵點，所以在設方程之前，先確定拋物線的開口方向，而后，拋物線方程中只有一個待定系數p，所以只要一個條件就可以帶入求值了.問題4：斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，追問1：在前面橢圓、雙曲線的學習中，我們也遇到過類似的直線與橢圓、雙曲線相交的問題，回憶一下是如何解決的，對于這道題，你有什么解答思路？解法一：可求得，直線l的方程為y=x-1.聯立直線的方程與拋物線的方程，y=x整理得x2用求根公式解得或即A3+22由兩點間距離公式，得=即線段AB的長為8.小結：這種方法與之前直線與橢圓、雙曲線相交問題上所使用的方法是統一的，說明它具有一般性，為我們解決直線與圓錐曲線問題提供了基本的解題思路.但是在計算時有些麻煩.追問2：能否不求出A，B兩點的坐標而求出|AB在兩點間距離公式AB=x2-x12解法二：設Ax1，y1，Bx2，y2，將直線l的方程x因為y1=x所以，AB=小結：相較第一種解法，應用一元二次方程根與系數關系，計算過程簡化很多，所以在解決數學問題時，希望同學們多注意觀察和思考，用最簡便的方法解決問題.追問3：根據題目條件作圖觀察，應用數形結合的思想，再回憶一下拋物線的定義，有沒有給你一些啟發？解法三：直線l過拋物線的焦點，根據拋物線的定義可知，拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線的距離相等，所以AF=AA'，AB=因為軸，所以.同理.于是得，AB由題意知，p=2，再由解法二，聯立直線l的方程與拋物線方程，代入化簡得x2-6x+1=0.根據根與系數關系，得所以，AB=所以，線段AB的長是8.追問4：如果直線l不經過焦點F，那么AB還等于由圖觀察，顯然所以，如果直線l不經過焦點F，那么AB不等于x1+x2+p.小結：比較三種解題方法，可以發現這三種方法各有特點．解法一最直接，具有一般性，但是計算量大．解法二運用一元二次方程根與系數的關系，簡化運算，但是需要掌握變形技巧．解法三充分運用拋物線的定義：拋物線上的點到焦點的距離等于這個點到準線的距離，使運算大大簡化，但要注意，直線必須過焦點.這種方法把拋物線的標準方程和其幾何特征緊密地結合起來，體現了用坐標法解決問題的基本思想方