數學試題

說明：試題分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷為第1頁至第2頁,

第II卷為第2頁至第4頁.考試時間120分鐘.

第I卷（選擇題58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知點關于z軸的對稱點為以則H同等于（）

A.2亞B.276C.2D.372

2.如圖，在斜三棱柱ABC-4Aq中,M為3c的中點,N為4G靠近4的三等分點,^AB=a，AC=b>

AAX-c,則用石，b,5表不Ml/為（）

;

AB

11-11-11-n1-1I-

A.-a+-b-cB.——a+-b+cC.-a——b-cD.——a——b+c

26262626

3.直線的一個方向向量為舊=0,-3）,且經過點（0,2）,則直線的方程為（）

A.3x—+2—0B.3x+jv—2=0

C.3x+y+2=0D.3x-y-2=0

4.已知直線/的方向向量為工=（2,1,—2）,平面a的法向量為3=（—2/一。4z+力）,（生力￡R）.若/_L二，則

a+33的值為（）

A.1B.3C.4D.-4

5.“加=3”是“直線4:加x+y+加=0與/2,3x+（掰-2亞一3加二0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

6.正四面體尸-45c的棱長為2,點。是48的中點，則麗.前1的值為（

22

A.1B.一C.——D.-1

33

7.已知正方形的一條對角線所在直線的斜率為3,則其一條邊所在直線的斜率是（)

1

B.-2C.一D.2

3

D,P。

8.設動點尸在棱長為1的正方體4BCD-451G2的對角線BA上，當/4PC為銳角時，2

的取值范圍是（）

r1D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

已知向量:=（2,0,2）,b=

9.-NTc=（l,-2,3）,則下列結論正確的是（）

A.Z與否垂直B.B與工共線

C.Z與1所成角為銳角D.3，b,可作為空間向量的一組基底

10.已知兩直線4:2加x+y—2〃z+l=0,l2;x-my-m-2=0(meR),則下列說法正確的是()

A.對任意實數小，直線小,2的方向向量都不可能平行

B.存在實數小，使直線4垂直于x軸

C.存在實數小,使直線/一％互相垂直

D.當加=0時，直線4的方向向量不存在

11.在正三棱柱NBC—44G中，28=24=1,點p滿足加=人就+〃兩，其中2e[0,l],

則（)

A.當2=1時，△幺男尸的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐尸-48C的體積為定值

C.當時，有且僅有一個點尸，使得4尸，8尸

2

D.當〃=1■時，有且僅有一個點P,使得48,平面2男尸

第H卷(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量￡=(2,—1,1),3=(—1,1,x),若Z與B垂直，則5+21=___.

13.已知點2(3,1),5(-4,-1),直線/是過點尸(-2,3)且與線段N3相交且斜率存在，貝0/的斜率左的取值

范圍是____________

14.在V4BC中，已知ZC邊上的高線所在的直線方程為x-2y=0,48邊上的高線所在的直

線方程為3x+2〉-3=0.則BC邊所在的直線方程為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知空間中三點二(3,1,-1),3(2,0,—,^,a=AB,b=AC.

(1)若卜|=3,且"〃前求向量)；

(2)求以為一組鄰邊的平行四邊形的面積S.

16.如圖，四棱錐尸一48。。中，必，平面/BCD,四邊形/BCD是梯形，BCHAD,ABAD=90°,

PB=AB=AD=2,3。=1,點￡是/尸的中點，咒是網上的點，BF=-BP.

3

p

(1)求證：點廠在平面ECD內;

(2)求點P到平面ECD的距離.

17.已知直線/過點(3,4),。為坐標原點.

(1)若直線/在兩坐標軸上的截距相等，求直線/方程；

(2)若直線/與X軸、V軸的正半軸分別交于a2兩點且VNOB面積為24.

i)求直線/方程；

ii)若點尸為線段N3上一動點，且交。/于點。.在y軸上是否存在點使A"?。為等腰

直角三角形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

18.如圖，在四棱錐P—48CO中，底面45CD是平行四邊形，ZABC=45°,底面/BCD,

\AB\=\AC\=\P^\=2,E、尸分別為8C、/￡＞的中點，點M在線段尸。上.

P

(1)求證：所_1,平面尸/。；

\PM\、后

(2)設%)=2,若直線VE與平面P8C所成的角。的正弦值為又三，求劣的值.

\PD\15

19.球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科.如圖一，球。的半徑為R,4瓦。為球面上三

點，劣弧8c的弧長記為。，設Q表示以。為圓心，且過民C的圓，同理，圓Q，&的劣弧ZC，4B的

弧長分別記為瓦c,曲面45c(陰影部分)叫做球面三角形，若設二面角C-0/-5,A-OB-C,

5—。?！?分別為a,P，Y,則球面三角形的面積為S球面”Bc=(a+A+7—兀)女.

圖一圖二

(1)若平面。45,平面。4C,平面。兩兩垂直，求球面三角形45。的面積；

(2)若將圖一中四面體。4BC截出得到圖二，若平面三角形45。為直角三角形，ACLBC,設

ZAOC=4,NBOC=仇,NAOB=a.

；

①求證：COS4+COS02-COSa=1

TTTT

②延長49與球。交于點。，連接AD,CD,若直線。4。。與平面48。所成的角分別為士，

43

BE=XBD，2e(o,l],S為ZC中點，T為BC中點,設平面08。與平面￡ST的夾角為，，求sin。的

最小值.

山東省實驗中學2023級十月測試

數學試題

說明：試題分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷為第1頁至第2頁,

第II卷為第2頁至第4頁.考試時間120分鐘.

第I卷（選擇題58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知點關于z軸的對稱點為以則H.等于（）

A.2亞B.2A/6c.2D.372

【答案】A

【解析】

【分析】由點關于某坐標軸對稱的點的特征以及兩點距離公式即可求解.

【詳解】點2（1,-1,2）關于z軸的對稱點為3（—1,1,2）,

所以=V4+4+0=272.

故選：A.

2.如圖，在斜三棱柱48C—44cl中,M為3C的中點,N為4G靠近4的三等分點，設方=a，AC=b>

AAX=c,則用2,b，1表示NM為（）

A.—ciH—b—cB.—ciH—b+cC.-a--b-cD.——a——b+c

26262626

【答案】A

【解析】

【分析】結合圖形，根據空間向量的線性運算即可得到答案.

【詳解】NM=NC[+C[C+CM=—b—c+—（fi—b）=-a+-b-c

3226

故選：A

3.直線的一個方向向量為舊=（1,-3）,且經過點（0,2）,則直線的方程為（）

A.3x—+2=0B.3x+y-2=0

C.3x+y+2=0D.3x-j-2=0

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：由直線的方向量求出直線斜率，然后利用點斜式可求出直線方程；方法二：由已知可得

直線的一個法向量為力=（3,1）,則設直線為3x+y+C=0,再將（0,2）代入求出。，從而可得直線方程.

【詳解】方法一..?直線的一個方向向量為舊=（1廠3）,.?.左=-3,

二直線的方程為>=—3x+2,即3x+y-2=0.

方法二由題意知直線的一個法向量為方=（3,1）,

直線的方程可設為3x+v+C=0,將點（0,2）代入得C=-2,

故所求直線的方程為3x+>-2=0.

故選：B

4.已知直線/的方向向量為e=（2』,一2）,平面。的法向量為〃=（一2,6-a,。+b）,（a,Z?eR）.若/_La,則

a+3b的值為（）

A.1B.3C.4D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】依題意可得2不，則］=屋，即可得到方程組，解得。、6的值，即可得解.

【詳解】因為直線I的方向向量為e=（2,1,-2）,平面a的法向量為n=（-2,6-+6）,（a,beR）且/J_a,

所以e〃“,則〃=/e,BP（—2,b—a,a+b^=Z（2,l,-2）,

t=-l

-2=2t

31

所以＜b-a=t解得6所以a+3b=-I-3x—=3.

222

ct+b=—2t

故選：B

5.“加=3"是"直線/1：加工+7+加=0與l2,3x+（m-2）y-3m=0平行''的（)

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據直線平行的條件，判斷“加=3”和“直線4:加x+y+掰=0與4,3X+（加—2）y—3加=0平行”

之間的邏輯關系，即可得答案.

【詳解】當加=3時，直線4：3x+y+3=0與4,3x+y—9=0平行；

當直線Z]:加x+7+加=0與』2,3x+（加-2）y-3m=0平行時，

有-2）-3=0且-3m-m（m—2）w0,解得m=3,

故'‘機=3”是“直線4:mx+y+m=0與（Ux+O"-2）j-3m=0平行”的充要條件，

故選：C

6.正四面體尸。的棱長為2,點。是48的中點，則而.瓦的值為（）

22

A.1B.—C.----D.—1

33

【答案】D

【解析】

【分析】?。?，而，正｝為空間向量的一個基底，利用空間向量運算求解即得.

【詳解】棱長為2的正四面體尸-4BC中，向量蘇，而，定兩兩的夾角都為60°，

—.1—.—._.

由點。是48的中點，得PD=3（P4+PB）,而BC=PC-PB，

所以瓦?灰=+質）?麻—質）=；■?衣+質?衣—PA-PB-PB2）

lII

故選：D

7.已知正方形的一條對角線所在直線的斜率為3,則其一條邊所在直線的斜率是()

A.-3B.-2C.-D.2

3

【答案】B

【解析】

【分析】以正方體的一頂點為坐標原點建立坐標系，設正方形的一對角線的傾斜角為a,貝Utana=3,可

得到正方形邊的傾斜角，利用兩角和差的正切公式，即可求解.

以正方形N8CD的頂點A為坐標原點，建立如圖坐標系，

根據題意，對角線ZC的斜率為3,設其傾斜角為%tana=3,

TTTT

則正方形AB,AD的傾斜角分別為。-一十+—,

44

冗、tana-11/"、tancr+l八

又tan(a----)—----------——,tan(aH—)------------——2,

41+tana241-tana

所以兩直角邊的斜率分別為工或-2.

2

故選:B.

D.P.

8.設動點尸在棱長為1的正方體4BCD-481G2的對角線3。上，-^-=2,當/4PC為銳角時，2

的取值范圍是(

【答案】A

【解析】

PA-PC八_

【分析】建立空間直角坐標系，N4PC為銳角等價于cos/4PC=>°,即可.正>o,根據

向量數量積的坐標運算即可求解.

如圖建立空間直角坐標系：則/(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),。(0,0,1),

D^B=(1,1,-1),印==2(1,1,-1)=(2,2,-2),

D^4=(l,0-l),D^C=(O,l,-l),

所以蘇=a7_印=(1,0_1)_(44—4)=(1_4—44_1),

PC=醞-9=(0,1,-1)-(2,2,-2)=(-2,1-2,2-1),

由ZAPC為銳角得cosZAPC=網,因>0,即可.無>o,

所以—2X(1—2)+(1—4)2〉0,即(2—1)(32—1)>0,解得：0<%<g,

當4=0時，點尸位于點A處，此時N4PC=NZ。。顯然是銳角，符合題意,

所以

3

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是NZPC為銳角等價于cos//PC=扃后習〉0,即強.無>0,

\PA\\PC\

還需利用蘇=方區-印，定=瓦-印求出而、定的坐標，根據向量數量積的坐標運算即可求解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知向量：=（2,0,2）,3=］一；/，一|］，）=（1，-2,3）,則下列結論正確的是（）

A.［與B垂直B.B與工共線

C.￡與展所成角為銳角D.a，B，c.可作為空間向量的一組基底

【答案】BC

【解析】

【分析】對A：計算出￡石即可得；對B：由向量共線定理計算即可得；對C：計算="并判斷￡與工是否

共線即可得；對D：借助空間向量基本定理即可得.

【詳解】對A：?J=2x^-1^+0xl+2x^-|^=-l-3=-4,故2與石不垂直，故A錯誤;

對B：由書=1一5/，一萬］、。=（1，—2,3）,有3=3。，故B與c共線，故B正確；

對C：a-c=2xl+0x（-2）+2x3=8>0,且［與"不共線，

故￡與工所成角為銳角，故C正確；

對D：由3與"共線，故3，展不可作為空間向量的一組基底，故D錯誤.

故選：BC.

10.已知兩直線4:2加x+y-2〃z+l=0,l2;x-my-m-2=0（meR）,則下列說法正確的是（）

A.對任意實數相，直線小，2的方向向量都不可能平行

B.存在實數〃?，使直線4垂直于x軸

c.存在實數〃?，使直線/-4互相垂直

D.當加=0時，直線4的方向向量不存在

【答案】AC

【解析】

【分析】根據直線平行以及垂直滿足的系數關系，即可結合方向向量的定義逐一求解.

【詳解】若兩直線的方向向量平行，則-2加2=1，則掰無實數解，故兩直線的方向向量不可能平行，故A

正確，

由于4：2加x+y-2掰+1=0的斜率為-2加，所以直線4不可能垂直于x軸，B錯誤，

當2加一加=0=＞加=0時，此時/］：y+l=0,Z2:x-2=0,此時兩直線垂直，C正確，

當加=0時，直線，2：x-2=0,則其方向向量可以為(0,1),故D錯誤，

故選：AC

11.在正三棱柱—44G中，28=/4=1,點尸滿足/=人而+”西，其中％

則()

A.當2=1時，△幺男尸的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐P-4BC的體積為定值

C.當2=!時，有且僅有一個點P,使得/『LAP

D.當〃=1■時，有且僅有一個點P,使得平面/男尸

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A,由于等價向量關系，聯系到一個三角形內，進而確定點的坐標；

對于B,將P點的運動軌跡考慮到一個三角形內，確定路線，進而考慮體積是否為定值；

對于C,考慮借助向量的平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解尸點的個數；

對于D,考慮借助向量的平移將尸點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解尸點的個數.

【詳解】/N

yB

易知，點尸在矩形5CG國內部(含邊界).

對于A,當4=1時，麗=前+函=前+西,即此時尸e線段CG，△281「周長不是定值，故A

錯誤；

對于B,當〃=1時，前=入阮+西=西+河石，故此時P點軌跡為線段耳G,而BiCJ/BC,8cJ/

平面則有P到平面45C的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

1_,__

對于C,當2=不時，/=3阮+〃西，取BC,用G中點分別為。，H,則肝=麗+〃初，所以尸點

2N

軌跡為線段”，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，4^,0,1,0(o,o,〃)，5p,1,ol

則孫=(―1),BP=(0,-i/z),審?喬=H(〃一1)=0,所以〃=0或〃=1.故瓦Q均滿足,

故C錯誤；

對于D,當〃=；時，BP=XBC+取網，CG中點為MN.BP=BM+\MN,所以2點軌跡

為線段MN.設《O/o，；］,因為4俘，0,0),所以而=(—今y。,》=所以

3111

—+—v——=0=>j=——，此時尸與N重合，故D正確.

420202

故選：BD.

【點睛】本題主要考查向量的等價替換，關鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內.

第n卷(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量￡=(2,—1,1),3=(—1,1,x)，若Z與石垂直，則5+2閘=.

【答案】5拒

【解析】

【分析】根據給定條件，利用向量垂直關系求出x,再結合向量的坐標運算及模的運算計算作答.

【詳解】向量￡=(2,—1/)與3=(—1,1戶)垂直，則有2x(—1)+(—l)xl+x=0,解得了=3,

于是彳+26=(2,-1,1)+2(-1,1,3)=(0,1,7)，

所以|?+2b\=A/02+12+72=5^.

故答案為：542

13.已知點5(-4,-1),直線/是過點尸(-2,3)且與線段相交且斜率存在，貝!]/的斜率左的取值

范圍是____________

【答案】^-co,-|-u[2,+oo)

【解析】

【分析】利用斜率計算公式可得上取，kpB，根據直線/過點尸(-2,3)且與線段48相交，數形結合即可求

出直線/的斜率左的取值范圍.

【詳解】因為尸(—2,3),2(3,1),5(-4,-1),

,1-32,-1-3-

所以原廣西百=-《，如=不百=2-

V直線I過點「(-2,3)且與線段AB相交，如下圖所示：

2、

.,.號<kPA=――或左/2kPB=2,

...直線/的斜率上的取值范圍是：，叫—|。[2,+8).

故答案為：[一叫一§u[2,+co).

14.在VZ8C中，已知ZC邊上的高線所在的直線方程為x-2y=0,28邊上的高線所在的直

線方程為3x+-3=0.則BC邊所在的直線方程為.

【答案】2x+5j+9=0

【解析】

【分析】由ZC邊上和48邊上的高線所在的直線方程，可得NC邊和A8邊所在直線的斜率，再由A點

坐標，可求ZC邊和邊所在直線的方程，通過聯立方程組，求出5,C兩點的坐標，可求BC邊所在的

直線方程

【詳解】ZC邊上的高線所在的直線方程為x-2y=0,得3c=-2,

2

A8邊上的高線所在的直線方程為3x+2y-3=0,得3B

已知4(1,1),則/C邊所在的直線方程為y—1=—2(x—1),即2x+y—3=0,

2

則AB邊所在的直線方程為=即2x—3y+1=0.

2x+y-3=0

由＜，得C(3,-3).

3x+2y-3=0

2x-3y+1=0

由＜

x-2y=0

了一(-3)x—3

則5C邊所在的直線方程為即2x+5歹+9=0.

-1-(-3)-2-3

故答案為：2x+5v+9=0.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知空間中三點3）,設。=AB,b=AC.

（1）若卜卜3,且工〃反S求向量"；

（2）求以為一組鄰邊的平行四邊形的面積S.

【答案】（1）c=（2,l,-2）ngc=（-2,-l,2）

（2）3

【解析】

【分析】（1）利用向量平行和向量模長的坐標表示列式求解即可；

（2）利用向量數量積和向量模長的坐標表示求出夾角進而求面積即可.

【小問1詳解】

由5（2,0,—1）,C（4,1,—3）可得元=（2,1,-2）,

若"〃反則c=，

又忖=3,所以,（2/）2+1+（_2/『=3,解得/=±1,

所以）=（2/,一2）或）=（—2,—1,2）.

【小問2詳解】

由l）,B（2,0,—1）,C（4,1,—3）可得［AB=（-1,-1,0）,S=JC=（1,0,-2）,

所以，卜1）+（-1）+。2=y/2，|&|=Jl2+O?+（―2）=s/5，—1+0+0=—1,

所以cos/=cos伍m=市=正入—霽，所以smz=嘲，

所以S=1弧卜in/=>/2xV5x3^^=3.

16.如圖，四棱錐尸—48C。中，必J_平面/BCD,四邊形/8CO是梯形，BCIIAD,ABAD=90°,

PB=AB=AD=2,5c=1,點E是AP的中點，歹是P8上的點，BF=-BP.

3

p

(1)求證：點尸在平面￡C￡＞內；

(2)求點尸到平面ECO的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵巫

7

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用空間向量的共面定理證明;

(2)利用空間向量的坐標運算求點到平面的距離.

【小問1詳解】

因為BC//AD,ABAD=90°,所以

又因為平面A8CD，4§,8Cu平面48CD,

所以「8,45,必，BC,

所以如圖所示，以3為坐標原點，建立空間直角坐標系8-乎，

則/(0,2,0),5(0,0,0),C(l,0,0),D(2,2,0),P(0,0,2),E(0,l,l),F(0,0,1),

所以互=(—1,1,1),而=(1,2,0),CF=(-l,0,1),

^CF=xCE+yCD,

-l=-x+yx——2

,所以赤而而

則《Q=x+2y,解得<3=2—1

133

2y=一一

—=x3

[3

所以點尸在平面ECD內.

【小問2詳解】

設平面ECD的一個法向量為加=（見8c）,

由(1)知醞=(—1,1,1),函=(1,2,0),

CD-m=0a+2b=0

因為＜—,,所以<

CE-m=0—a+b+c=0

令。=2,則b=-1,。=3,所以加=(2,—1,3),

又因為麗=(—1,0,2),

CPm42V14

所以點P到平面ECD的距離d=

\m\V147

17.已知直線/過點（3,4）,O為坐標原點.

（1）若直線/在兩坐標軸上的截距相等，求直線/方程;

（2）若直線/與x軸、y軸的正半軸分別交于4,8兩點且V/05面積為24.

i）求直線/方程;

ii）若點尸為線段N3上一動點，且P0〃O8交。/于點。.在y軸上是否存在點使AMP。為等腰

直角三角形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

【答案】⑴4X一3k0或x+y—7=0

)4x+3y—24=0,ii).0,m，M(0,0),24

(2)i

7

【分析】（1）分類討論截距是否為零，計算即可;

（2）利用截距式結合面積公式計算可得第一小問，利用等腰直角三角形的特征分類討論計算即可.

【小問1詳解】

若直線過原點，易知其方程為：4x-3y=0；

若直線不過原點，不妨設其方程為：-+^=1,

aa

代入點（3,4）得。=7,即x+y—7=0；

【小問2詳解】

341

—I—二］

i）由截距式設直線48的方程為也+1=1伍）〉0）,所以＜ab

ab

ab=48

所以_|+方=1,即4x+3y—24=0；

ii）若存在A"?。為等腰直角三角形，不妨設。億0）,fe（0,6）,則尸，,8-g/

因為AMP。為等腰三角形，

當M為直角頂點時，設川0,4—十），赤=0,4—：[,近=]島—4；

所以聲?詼—4]=|r2+yf-16=0，即?+12）（5/-12）=0,

12221212（12、

所以/=一或/=—12（舍），所以4——1=4——x—=—,即點兒f0,一；

53355I5）

（2424、

當。為直角頂點時，點M（O,O）,P\—,—\,符合題意；

當P為直角頂點時，設/10,8—g],由□可得：/=8—g/,

24（24、

所以小1,屈0萬；

綜上所以W,0）,L符合題意.

18.如圖，在四棱錐中，底面48CD是平行四邊形，ZABC=45°,尸4,底面/BCD,

\AB\=\AC\=\PJ\=2,E、尸分別為8C、/￡＞的中點，點M在線段尸￡＞上.

（1）求證：所_1平面尸2。；

\PM\、后

（2）設匕+=2,若直線VE與平面P5C所成的角。的正弦值為匹，求丸的值.

\PD\15

【答案】（1）證明見解析

(2)

2

【解析】

【分析】（1）證明EFLAC,推出尸尸，然后證明EEL平面PNC；

（2）建立空間直角坐標系，利用直線與平面所成角的向量法求解即可.

【小問1詳解】

在平行四邊形ZBCD中，因為N8=ZC,ZABC=45°,

所以N4cs=45。，故4BJ.4C,

由￡、F分別為BC、40的中點，得EF〃4B,所以￡E_L/C,

因為尸底面48CZ）,EEu底面/BCD,所以/，

又因為「2口2。=2,24u平面PNC,/Cu平面PZC,

所以所，平面PZC.

【小問2詳解】

因為R4_1_底面48cD,AB1AC,所以NP,45,ZC兩兩垂直,

分別以48,/C,4P所在直線為x軸、＞軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系孫z.

則A(0,0,0),5(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),￡>(-2,2,0),￡(1,1,0).

所以方=(2,0,—2),數=(―2,2,0),歷=(-2,2,-2),由己知所=X而(Xe[0,l]),

BPPM=(-22,22,-22),所以M(-22,22,2-22=(1+22,1-22,22-2),

設平面P8C的一個法向量為萬=(x,y,z),

n-BC=0[-2x+2y=0

由｛—，得1c/八，

n-PB=0[2x-2z=0

令x=l,得為=(1,1,1),

I-.IME-n\11+22+1-22+22-21J15

所以sin8=cosME,n\=--=/------=-----,

網同^(1+22)2+(1-22)2+(22-2)215

13

化簡得4%2+44—3=0,故2=彳或2=—巳(舍).

22

所以2」.

2

19.球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科.如圖一，球。的半徑為R,。為球面上三

點，劣弧的弧長記為。，設Q表示以。為圓心，且過民C的圓，同理，圓Q,a的劣弧ZC，48的

弧長分別記為瓦c,曲面48C(陰影部分)叫做球面三角形，若設二面角C-04-5,A-OB-C,

5—0C—4分別為0,?,則球面三角形的面積為S球面如c=(a+A+/—兀)斤.

(1)若平面048,平面。4C,平面。兩兩垂直，求球面三角形48c的面積；

(2)若將圖一中四面體。48C截出得到圖二，若平面三角形45C為直角三角形，ACLBC,設

ZAOC=ex,ZBOC=e2,ZAOB=.

①求證：COS4+COS02一COSa=1；

TTjr

②延長與球。交于點D,連接AD,CD,若直線。4。。與平面45。所成的角分別為一，一，

43

BE=XBD，2e(o,l],S為ZC中點，T為8C中點，設平面05。與平面￡ST的夾角為，，求sin。的

最小值.

JT

【答案】(1)―胃

2

(2)①證明見解析；②巫.

5

【解析】