清單01三角形(10個考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中

考聚焦)

【知識導(dǎo)圖】

三角形的兩邊之和大于第三邊三條邊三角形內(nèi)

角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180。

與

三個內(nèi)角三

角

形

三個頂點三角形的三角形的外角和等于360。

有

關(guān)

的

直角三角形角外角三角形的外角等于與它

銳角三角形按角性質(zhì)不相鄰的兩個內(nèi)角的和

鈍角三角形

分類性質(zhì)直角三角形的兩個銳角互余

三邊都不相等的三角形夏士有兩個角互余的三角形是直角

底邊和腰不相等的按邊二角形判定三角形

等腰三角形

等腰三角形這邊形內(nèi)角和(n-2)xl80°

等邊三角形多邊形的

內(nèi)角和多邊形的外角和多邊形的外

穩(wěn)定性

注意：三角形的高

是36。°角和是定值，

不一定在三角形內(nèi)

部，其交點也不一三條高(或所在直不隨邊數(shù)的

定在三角形內(nèi)部線)相交于一點高然邊形的n(n-3)變化而變化

對角線條數(shù)2

得互余關(guān)系及90°角

每條邊都相等

有

多

分得的兩個三角形面積相等關(guān)(n-2)xl80°

邊

的正n邊形每個內(nèi)角都相等n

三條中線相交于三角形內(nèi)部一點，該中線形

線

點為三角形的重心_____360°

段每個外角都相等一丁

三角形內(nèi)角被分成兩個相等的角

三條角平分線相交于三角形內(nèi)部角平分線

不穩(wěn)定性

一點

【知識清單】

考點一.三角形

(1)三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

組成三角形的線段叫做三角形的邊.

相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點.

相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.

（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三

角形即等邊三角形）.

（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高.

（4）三角形具有穩(wěn)定性.

1.（2022秋?金平區(qū)期末）如圖，圖中三角形的個數(shù)共有（）

2.（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）己知一個三角形的周長為15厘米，且其中兩邊都等于第三邊的2倍，那么

這個三角形的最短邊為.

考點二.三角形的角平分線、中線和高

（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高.

（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三

角形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一

條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三

條高所在直線相交于三角形外一點.

3.（2022秋?龍馬潭區(qū)期末）畫△ABC的邊上的高，正確的是（）

A

4.（2022秋?榮昌區(qū)期末）下列說法中正確的是（)

A.平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線

B.三角形的中線是經(jīng)過頂點和對邊中點的直線

C.鈍角三角形的三條高都在三角形外

D.三角形的三條中線總在三角形內(nèi)

5.（2022秋?南陽期末）已知△ABC（如圖），按下列要求畫圖：

（1）△ABC的中線A。；

（2）的角平分線。M；

（3）的高線CN；

（4）若CAADC-C\AOB=3,（C表示周長）且A8=4,則AC=

考點三.三角形的穩(wěn)定性

當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.這一特性主要

應(yīng)用在實際生活中.

6.（2022秋?白云區(qū)期末）人字梯中間一般會設(shè)計一“拉桿”，這樣做的道理是（）

A.兩點之間，線段最短B.垂線段最短

C.兩直線平行，內(nèi)錯角相等D.三角形具有穩(wěn)定性

7.（2022秋?北侖區(qū)期末）生活中,自行車的車架大多設(shè)計成如圖所示的三角形，這是因為三角形具

有

GO

考點四.三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三邊中線的交點.

（2）重心的性質(zhì)：

①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.

②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等.

③重心到三角形3個頂點距離的和最小.（等邊三角形）

8.（2021秋?翔安區(qū)期末）如圖，G是△ABC的重心，則下列結(jié)論正確的是（）

C.ZBAD=ZCADD.8O=CO且AD_LBC

9.如圖，△ABC的中線AD,BE相交于點F,FH±BC,垂足為H.若以ABC=15,BC=6,則FH長為

考點五.三角形三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

（2）在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的

線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

（3）三角形的兩邊差小于第三邊.

（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容

易忽略.

10.（2022秋?青秀區(qū)校級期末）三角形的三邊長可以是（）

A.2,2,4B.2,3,5C.2,4,5D.2,4,6

11.（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖，將長為8的線段分成三條線段AC,CD,BD,且AC=8O=a,若這三

條線段首尾相連能夠圍成一個三角形，則a的值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

12.（2022秋?安次區(qū)期末）在△ABC中，AB=8,AC=1.

（1）若BC是整數(shù)，求8c的長；

（2）已知4。是△ABC的中線，若△ACD的周長為10,求三角形A3。的周長.

考點六.三角形內(nèi)角和定理

（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于

0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角.在轉(zhuǎn)化中借助平行

線.

（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求

三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

13.（2022秋?嘉魚縣期末）如圖，ZkABC中，/ABC與/AC8的角平分線相交于點/.ZBZC=115°,則

ZA為（）

A.70°B.65°C.50°D.30°

14.（2022秋?莘縣期末）如圖，△ABC中，點尸是/ABC和NACB的平分線的交點，若/尸=2/4,則/

A=（）

B-------------------------------C

A.50°B.60°C.70°D.80°

15.（2022秋?花溪區(qū)期末）如圖，在△ABC中，平分N4BC,C。平分ZA=70°,求/。的度

數(shù).

16.（2022秋?章貢區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，ZABC=82°,ZC=58°,8Z）_LAC于。，AE平分

ZCAB,BD與AE交于點、F,求/APR

17.(2022秋?濰坊期末)通過學(xué)習(xí)第5章《幾何證明初步》知道：由觀察、實驗、歸納、類比、猜想得到

的結(jié)論還需要通過證明來確認它的正確性，實驗的方法能給我們證明提供思路.

例如：在證明“三角形的內(nèi)角和是180。”的結(jié)論時，如圖2,有兩種實驗方法.小明受實驗方法1的啟

發(fā)，形成了證明該結(jié)論的思路，寫出了己知、求證，并進行了證明，如下：

已知：ZA,/B,NC是△ABC的三個內(nèi)角.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：延長8C,過點C作CM〃歷1.

/.ZA=Z1,/B=/2.

VZ1+Z2+ZACB=18O°,

ZA+ZB+ZACB=180°.

(1)小明的證明過程依據(jù)有哪些？(寫兩條即可)

(2)請你參考小明同學(xué)解決問題的方法1的思路，寫出實驗方法2的證明過程.

圖2

考點七.三角形的外角性質(zhì)

（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對.

（2）三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去.

（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角.

18.（2022秋?新華區(qū)校級期末）如圖，BP是AABC中/ABC的平分線，CP是/ACB的外角的平分線，如

果NA8尸=20°，ZACP=50°,則/A+/P=（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

19.（2022秋?昭陽區(qū)校級期末）如圖，CE是△ABC的外角NAC。的平分線，若/B=35°,NDCE=55

則NA等于（）

A.65°B.75°C.85°D.95°

考點八.直角三角形的性質(zhì)

（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形.

（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）.

性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余.

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個

銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.

20.（2022秋?江門期末）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,沿C￡＞折疊△C2D使點8恰好落在邊AC上

點￡處，若N8=65°,則/AOE的大小為（）

A.40°B.50°C.65°D.75°

21.（2022秋?寧波期末）在△A8C中，ZC=90°,ZB=25°,則/A的度數(shù)為（）

A.25°B.75°C.55°D.65°

22.（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=65°,則的度數(shù)為（）

A.5B.25°C.35°D.45°

考點九.多邊形

（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整

個多邊形都在此直線的同一側(cè).②每個內(nèi)角的度數(shù)均小于180。，通常所說的多邊形指凸多邊形.

（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時的支

撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心.

常見圖形的重心（1）線段：中點（2）平行四邊形：對角線的交點（3）三角形：三邊中線的交點（4）

任意多邊形.

23.（2022秋?柳州期末）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個四邊形，則原多邊形

紙片的邊數(shù)不可能是（）

A.3B.4C.5D.6

24.（2023秋?德惠市校級期末）一個凸多邊形的內(nèi)角中，最多有個銳角.

25.（2022秋?西城區(qū)期末）在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，如果一個凸多邊形的頂點都是網(wǎng)格線交點，

我們稱其為格點凸多邊形，并記該格點多邊形的面積為S,多邊形內(nèi)部的格點數(shù)為N,多邊形邊上的格點

數(shù)為L

（1）對于圖中的五個凸多邊形，補全以下表格：

多邊形面積S內(nèi)部格點數(shù)N邊上格點數(shù)LN+L

II7488

III

IV951010

V15.5111116.5

(2)借助以上表格猜想格點凸多邊形的面積公式：S與N+L的數(shù)量關(guān)系可用等式表示

2

為；

(3)已知格點長方形4BC。，設(shè)其邊長48=機，BC=n,其中機，〃為正整數(shù).請以格點長方形ABCZ)

為例，嘗試證明(2)中的格點凸多邊形的面積公式.

考點十.多邊形內(nèi)角與外角

(1)多邊形內(nèi)角和定理：2)780°且〃為整數(shù))

此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（〃-3）條對角線，將n邊形分割為（n-2）個三角

形，這（〃-2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是〃邊形的內(nèi)角和.除此方法之和還有其他幾種方法，但這些

方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法.

（2）多邊形的外角和等于360°.

①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾,其外角和永遠為360°.

②借助內(nèi)角和和鄰補角概念共同推出以下結(jié)論：外角和=180°n-（H-2）?180°=360°.

26.（2022秋?鞏義市期末）如圖，在五邊形A2CDE中，AB//ED,Zl,Z2,N3是五邊形ABCOE的外

角，則/1+/2+/3的度數(shù)為（）

A.180°B.210°C.240°D.270°

27.（2022秋?密山市校級期末）十二邊形的外角和是（）

A.180°B.360°C.1800°D.2160°

28.（2022秋?周村區(qū)期末）如果一個多邊形的內(nèi)角和等于其外角和的2倍，那么這個多邊形是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D,六邊形

29.（2022秋?青云譜區(qū)期末）已知一個正多邊形的內(nèi)角和比外角和的3倍多180°,求這個正多邊形的邊

數(shù)和每個內(nèi)角的度數(shù).

30.（2022秋?新鄉(xiāng)期末）一個各內(nèi)角都相等的多邊形截去一個角以后（截線不經(jīng)過多邊形的頂點），形成的

另一個多邊形的內(nèi)角和比五邊形的內(nèi)角和多720。，求原多邊形的邊數(shù)及每個外角的度數(shù).

弘【核心素養(yǎng)提升】

1.數(shù)學(xué)建模-構(gòu)建方程模型求角度

1.（2022秋?鹽湖區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī).我們不妨把

這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究/BOC與NA、NB、/C之間的關(guān)系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：

①如圖2,把一塊三角尺XEZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XKXZ恰好經(jīng)過點8、C,ZA

=40°,則/ABX+/ACX=°；

②如圖3,DC平分/ADB,EC平分/AEB,若NZME=40°,NDBE=130°,求NDCE的度數(shù)；

③如圖4,ZABD,NACZ）的10等分線相交于點Gi、S…、G9,若N8OC=133°,/BGiC=70°,

求NA的度數(shù).

2.分類討論思想

2.（2022秋?番禺區(qū)校級期末）等腰三角形的一條邊長為6,另一邊長為14,則它的周長為（）

A.26B.26或34C.34D.20

3.（2022秋?公安縣期末）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為50°,則它的頂角為（

A.50°B.65C.50°或65D.50°或80°

4.(2022秋?睢陽區(qū)期末)先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，

例題:若m2+2mn+2n2-6〃+9=0,求相和〃的值.

解：因為m2+2mn+2n2-6〃+9=0,

所以m2+2mn+?2+n2-6〃+9=0.

所以(m+n)2+(n-3)2=0.

所以m+〃=0,n-3=0.

所以m=-3,n=3.

問題：(1)若小+4/+2沖-12y+12=0,求孫的值；

(2)已知a,b,c是等腰△ABC的三邊長，且〃，匕滿足42+62=104+86-41,求△A3C的周長.

3.數(shù)學(xué)運算-用轉(zhuǎn)化的思想方法解決問題

5.(2023春?侯馬