第27章圓27.1.2圓的對稱性第2課時1.進一步認識圓，了解圓是軸對稱圖形2.理解垂直于弦的直徑的性質和推論，并能應用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題3.靈活運用垂徑定理解決有關圓的問題問題1：剪一個圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復幾次，你發現了什么？由此你能得出什么結論？你能證明你的結論嗎？1垂徑定理及其推論OOO歸納：圓的任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.問題2：已知：如圖，在⊙O中，CD是直徑，AA'是弦，且CD⊥AA'，垂足為M.求證：CD是AA'的垂直平分線.·OAA'DMC證明：連接OA，OA'.在△OAA'中，∵OA=OA'，∴△OAA'是等腰三角形.又∵AA'垂直CD,∴MA=MA'.即CD是AA'的垂直平分線.從上面過程中我們可以知道：從把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側的兩個半圓重合，點A與點A'重合，AM與A'M重合，AC和A'C,AD與A'D重合．((((即直徑CD平分弦AA'，并且平分AA',ACA'.((·OAA'DMC垂直定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對的兩條弧.·OABCDE應用格式：如圖，∵CD是直徑，CD⊥AB，∴AE=BE，AD=BD,AC=BC.((((歸納總結：思考1：反過來，如果直徑平分不是直徑的弦，那么該直徑垂直于這條弦，且平分這條弦所對的兩條弧嗎？·OABCDE如圖，如果CD平分AB

.那么我們可以證明出△AOE≌△BOE(SSS).從而得知∠AEO=∠BEO=90°，那么就有CD⊥AB.再由垂直定理得出CD平分AB和ACB.((思考2：那么平分弧的直徑是不是垂直平分這條弧所對的弦？·OABCDE那么我們可以證明出△AOE≌△BOE(SAS).從而得知∠AEO=∠BEO=90°，那么就有CD⊥AB.如圖，設點D為弧AB的中點，CD為圓O的直徑.連接OA、OB、AB，且CD交AB于點E.垂直定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分這條弦所對的兩條弧.注意：因為圓的兩條直徑是互相平分的,所以不是直徑這個條件不能去掉.歸納總結：平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦.例1.如圖，⊙O的半徑為5cm，弦AB為6cm，求圓心到弦AB的距離.解：連接OA，過圓心O作OE⊥AB，垂足為E，則·OABE又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有答：圓心到弦AB的距離是4cm.圓心到弦的距離叫做弦心距.例2.如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC=2cm，求半徑OC的長.·OABECD解：連接OA，∵CE⊥AB于D，設OC=xcm，則OD=(x－2)cm，根據勾股定理，得x2=42+(x－2)2，解得x=5.即半徑OC的長為5cm.∴

.例3.已知：⊙O中弦AB∥CD，求證：AC＝BD.((.CDABOMN解：證明：作直徑MN⊥AB，如圖.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM，（垂直平分弦的直徑平分弦所對的?。?(((∴AM－CM＝BM－DM，((((∴AC＝BD.((1.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OC=5cm，CD=8cm，則AE=（）A.8cmB.9cmC.7cmD.6cmA2.如圖，⊙O的弦AB=8，半徑ON交AB于點M，M是AB的中點，且OM=3，則MN的長為（）A.2B.3C.4D.5A3.如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB=

cm.16·OABE4.如圖，直徑AB垂直于弦CD于點E，CD=4，AE=8，⊙O的半徑長為________.417例4.趙州橋的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦長)為37.4m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，求趙州橋主橋拱的半徑.解：如圖，過橋拱所在圓的圓心O作AB的垂線，交弧AB于點C，交AB于點D，則CD=7.2m.ABOCD∴r2=(r-7.2)2+18.72.解得r≈27.9.即趙州橋主橋拱的半徑約為27.9m.由勾股定理，得OD=r-7.2，AD=18.7.設⊙O的半徑為r，在Rt△AOD中，AO=r，由垂徑定理，得AD=AB=18.7m，5.如圖，有一個拱橋是圓弧形，它的跨度為60m，拱高為18m，求拱橋的半徑.解：連接OA，設圓弧的圓心為點O，過點O作OD⊥AB，交AB于點D，交圓弧于點E，OED設拱橋的半徑為xm，解得x=34.則(x-18)2+302=x2,即拱橋的半徑為34m.則AD=BD=AB=3