第04講一元二次函數（方程，不等式）

目錄

第一部分：基礎知識..............................................................1

第二部分：高考真題回顧.........................................................3

第三部分：高頻考點一遍過.......................................................3

高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）...........................3

高頻考點二：一元二次不等式解法（含參）.....................................4

高頻考點三：一元二次不等式與相應的二次函數（方程）的關系...................6

高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題.......................................7

角度1：VxeH上恒成立（優選A法）......................................7

角度2：上成立（優選A法）.........................................7

角度3：^上恒成立（優選分離變量法）................................8

角度4：玉上成立（優選分離變量法）..................................8

角度5：已知參數求工取值范圍（優選變更主元法）....................8

高頻考點五：分式不等式....................................錯誤!未定義書簽。

高頻考點六：一元二次不等式的應用..........................................10

第四部分：典型易錯題型.........................................................12

備注：一元二次不等式最高項系數容易忽略化正。..............................12

備注：分式不等式容易直接乘到另一側忽略正負而漏解。........................12

第五部分：新定義題（解答題）..................................................12

第一部分：基礎知識

1、二次函數

（1）形式：形如/"（》）=?2+樂+以。/0）的函數叫做二次函數.

（2）特點：

①函數/（%）=ax~+bx+c（a豐0）的圖象與x軸交點的橫坐標是方程ax?+bx+c=0（a豐0）的實根.

②當a>0且/<0（/W0）時，恒有/（x）>0（/（x）20）；當a<0且/<0（/W0）時，恒有/（x）<0

（/（x）<0）.

2、一元二次不等式

只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式.

3.(x-玉)(x—/)〉0或(x-玉)(x-%)<0型不等式的解集

解集

不等式

再<x2-x2>x2

[x\x<x^x>x2}

(x-4z)(x-Z7)>0{x\x^x1}{x\x<x^x>xr}

(x-tz)(x-Z?)<0{x\xx<x<x2}0{x\x2<x<xx]

4、一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系

判別式A=/—4acA>0A=0A<0

上

二次函數

f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象**JI

有兩相等實數根

一元二次方程有兩相異實數根%,

b沒有實數根

ax2+bx+c=Q(a>0)的根x(x<x)X-i—------

2l21-2a

一元二次不等式

f.b、

{x\x<x^x>x2}{x|尤w--}R

ax2+bx+c>Q(a>0)的解集2a

一元二次不等式

{x\%1<X<X2}00

ax2+/?%+<?<0(<2>0)的解集

、分式不等式解法

(1)>0<=>f(x)s(x)>0

gw

(2)以工<0o/(x)g(x)<0

gw

f(x)g(x)>0

(3)

g(x)[g(x)本0

但《。=嚴)gM°

(4)

g(x)〔g(x)豐0

6、單絕對值不等式

(1)\ax+b\>c=>ax+b>c^ax+b<-c

(2)\ax+b\<c^>-c<ax+b<c

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?全國?統考高考真題)已知集合加={-2,-1,0,1,2},N=k-—無一6?。},則McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

2.(2023?全國?(新課標：[卷))設函數〃%)=2小田在區間(0,1)上單調遞減，則〃的取值范圍是()

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+oo)

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：一元二次(分式)不等式解法(不含參)

典型例題

例題1.(2024上?江西南昌?高一校聯考期末)不等式52工-2-5'-3<0的解集是()

A.(十,logs3)B.(log53,+ao)C.(-l,log53)D.(0,log53)

例題2.(2024上?安徽蕪湖?高一統考期末)設函數/(%)=改2+法+3,關于x的一元二次不等式/'(x)〉。的

解集為(-3,1).

(1)求不等式X?+次+6>0的解集；

(2)^Vxe[-l,3],/(x)>?u2,求實數機的取值范圍.

例題3.（2024上?湖南長沙?高一校考期末）解下列關于x的不等式:

（1）-X2+2X+3>0;

2x-3

⑵>1.

x+1

練透核心考點

1.（2024上?廣東江門?高一統考期末）一元二次不等式-尤2+2%+3<0的解集為.

2.（2024上?湖南岳陽?高一校考期末）已知不等式必+依+匕<。的解集為{無卜1（尤<2},設不等式

ax2+Z?x+3>0的解集為集合A.

⑴求集合A；

⑵設全集為R,集合8=卜,2-〃a+2<。},若xeA是成立的必要條件，求實數"的取值范圍.

3.（2024上?四川綿陽?高一四川省綿陽南山中學校考期末）已知集合

A={%|（%+2）（5-x）W0},5={X2〃+1<x<3a+5}.

（1）若a=-2,求Aug；

⑵若〃xeA〃是的必要不充分條件，求實數〃的取值范圍.

高頻考點二：一元二次不等式解法（含參）

典型例題

例題L（2024上?四川南充,高一統考期末）已知函數/（彳卜％2-〃優+1.

⑴若關于x的不等式/"）+力-1W。的解集為[-1,2],求實數〃的值;

⑵求關于x的不等式/（x）-x+m-1>0（〃?CR）的解集.

例題2.(2024上?重慶?高一校聯考期末)己知函數〃力=加-(0+6卜+6.

⑴當a=1時,求函數/(元)的零點；

(2)當a<0時，求不等式/'(x”。的解集.

例題3.(2024上?甘肅慶陽?高一校考期末)已知函數/'(耳=一/一2*,其中aeR,awO.

(1)若/(一1)=0,求實數。的值；

⑵求不等式/'(力>0的解集.

練透核心考點

1.(2024上?江蘇南京?高一南京師大附中校考期末)設。為實數，則關于x的不等式(^-2)(2*-4)<0的

解集不可能是()

A.［川B.(-?,2)u^|,+?J

C.(2,+co)D.12,—j

2.(2024上?四川宜賓?高一統考期末)已知集合4=卜|含4。1,集合3=卜"-m)(彳-機一2)W0,meR}.

(1)當/"=—2時，求AuB；

⑵若AB=B,求實數機的取值范圍.

3.(2024上?福建寧德?高一統考期末)已知/(x)=/+(3一a)x-3a(aeR).

⑴若〃x)"(2—x),求。的值；

⑵求關于X的不等式/（X）<o的解集.

高頻考點三：一元二次不等式與相應的二次函數（方程）的關系

典型例題

例題1.（多選）（2024上,湖南婁底高一統考期末）已知關于x的不等式（2。+3加）/一（6一3川口-1>0（。>0,

b>0）的解集為則下列結論正確的是（）

A.2a+b=lB.a》的最大值為工

8

1?11

C.—+：的最小值為4D.一+-的最小值為3+20

abab

例題2.（2024上?江西萍鄉?高一統考期末）已知關于彳的一元二次不等式,加2一2%+1<0的解集為（。力）,

則3a+b的最小值為.

例題3.（2023上?江蘇南京?高一期末）已知不等式Y+依+。<0的解集為門卜1<》<2},設不等式

ax2+bx+3>0的解集為集合A.

⑴求集合A;

（2）設全集為R,集合8=卜卜2_〃a+2<0},若xeA是xeB成立的必要條件，求實數機的取值范圍.

練透核心考點

1.（多選）（2024上?山東臨沂?高一統考期末）已知關于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為{尤|x4-2

或X21},貝I」（）

A.。>0且c<0B.4〃+2Z?+c=0

C.不等式bx+c〉0的解集為{小>2}D.不等式cd-6x+a<0的解集為卜,<x<那

2.（2024上?湖南?高一校聯考期末）已知/（力=加-2ox-3（aeR）.

（1）若不等式ax2-2ax-3<0的解集是M-1<x<3},求實數a的值；

⑵若不等式/（x）<xT對一切實數x恒成立，求實數。的取值范圍.

3.（2023上?福建三明■高一校聯考期中）己知二次函數>=辦2+法-。+2.

⑴若關于x的不等式以2+云-°+2>0的解集是{刈-1<工<2},求實數。，匕的值；

（2）若。>0,6=2,解關于x的不等式/+fer-a+2>0.

高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題

角度1：SeH上恒成立（優選A法）

典型例題

例題1.（2023上?云南昆明?高一官渡五中校考期中）若不等式2履2+履-?<0的解集為R,則實數上的取

O

值范圍是（）

A._[0,-H?）B.（-3,0）

C.（-3,0]D.（-oo,0]

例題2.（2023上?重慶沙坪壩?高三重慶市第七中學校校考階段練習）不等式62一2彳+1>0（awR）恒成

立的一個充分不必要條件是（）

A.a>2B.a>lC.a>lD.0<a<—

2

角度2：二eR上成立（優選△法）

典型例題

例題1.（2023上?廣東珠海?高一校聯考期中）命題P：3x0eR,（加-3）片-啊,+2<0為真命題，則實數

m的取值范圍為.

角度3：上恒成立（優選分離變量法）

典型例題

例題L（2023上?遼寧鐵嶺?高三校聯考期中）已知Vxe[l,2],Vye[2,3],y2-xy-mx2＜0,則實數機的

取值范圍是（）

A.[4,+oo）B.[0,+co）C.[6,+w）D.[8,+co）

角度4：*e。上成立（優選分離變量法）

典型例題

例題L（2023上?浙江?高二校聯考期中）若關于尤的不等式/-（加+1）%+940在[1,4]上有解，則實數拼

的最小值為（）

A.9B.5C.6D.—

4

角度5:已知參數即。，求x取值范圍（優選變更主元法）

典型例題

例題1.（2024上?福建福州?高一福建省長樂第一中學校考階段練習）已知函數/（Dn/f+Zor-aZ+L

（1）當°=2時，求的解集；

⑵是否存在實數x,使得不等式標爐+2巾-.2+120對滿足々€[-2,2]的所有〃恒成立？若存在，求出工的值;

若不存在，請說明理由.

練透核心考點

L（2023上?湖南張家界?高一慈利縣第一中學校考期中）（1）若關于x的不等式無2+皿+m+3＜。在（3,-1）

上有解，求實數機的取值范圍；

（2）若Vxe[-2,1],不等式皿Y-x+l）＜2恒成立，求實數機的取值范圍.

2.(2024上?福建南平?高一統考期末)設函數/(x)=aY+(6-l)x+2.

⑴若a=1,6=-2,求不等式〃無)>0的解集；

⑵若關于x的不等式/(x)2法的解集為R,求實數。的取值范圍.

3.(2024上?安徽蕪湖?高一統考期末)設函數〃司=◎2+麻+3,關于x的一元二次不等式/'(x)>0的解

集為(-3,1).

(1)求不等式f+ax+b>0的解集；

(2)^Vxe[-l,3],/(x)>/nr2,求實數機的取值范圍.

4.(2024上?四川內江?高一統考期末)已知二次函數”元)的最小值為-9,且-1是其一個零點，VxeR都

有〃2r)=〃2+x).

①求〃尤)的解析式；

⑵求了(尤)在區間[-1,詞上的最小值；

⑶若關于x的不等式V-9在區間(1,3)上有解，求實數m的取值范圍.

⑴當機=一2時，求AuB；

⑵若是xeA的充分條件，求實數加的取值范圍.

2.（2024上?湖南長沙?高一湖南師大附中校考期末）設全集U=R，集合&=卜卜-心2}的，品0

(1)求Ac3；

（2）已知集合C={x|10-。<%<2。+1},若（6B）cC=0,求。的取值范圍.

高頻考點六：一元二次不等式的應用

典型例題

例題1.（2023上?貴州貴陽,高一校考階段練習）一家車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條

流水線生產的摩托車數量x（單位：輛）與創造的價值，（單位：元）之間有如下的關系：y=-2x2+220x.

若這家工廠希望在一個星期內利用這條流水線創收6000元以上，則在一個星期內大約應該生產

（填寫區間范圍）輛摩托車？

例題2.（2024上?全國?高一專題練習）某新能源公司投資280萬元用于新能源汽車充電樁項目，”（“<16且

neN*）年內的總維修保養費用為C（"）=而+40”（左eR）萬元，該項目每年可給公司帶來200萬元的收入.

設到第且〃eN*）年年底，該項目的純利潤（純利潤=累計收入-累計維修保養費-投資成本）為乙（〃）

萬元.已知到第3年年底，該項目的純利潤為128萬元.

⑴求實數上的值.并求該項目到第幾年年底純利潤第一次能達到232萬元；

⑵到第幾年年底，該項目年平均利潤（平均利潤=純利潤+年數）最大？并求出最大值.

練透核心考點

1.（2024下?西藏?高一開學考試）為發展空間互聯網，搶占6G技術制高點，某企業計劃加大對空間衛星

網絡研發的投入.據了解，該企業研發部原有100人，年人均投入。（fl>0）萬元，現把研發部人員分成兩

類：技術人員和研發人員，其中技術人員有無名（尤eN+且454尤〈75）,調整后研發人員的年人均投入增

加4x%,技術人員的年人均投入為萬元.

（1）要使調整后的研發人員的年總投入不低于調整前的100人的年總投入，則調整后的技術人員最多有多少

人？

（2）是否存在實數也同時滿足兩個條件：①技術人員的年人均投入始終不減少；②調整后研發人員的年總

投入始終不低于調整后技術人員的年總投入？若存在，求出根的值；若不存在，說明理由.

2.（2023上?陜西寶雞?高一寶雞市渭濱中學校考階段練習）如圖，在長為8m,寬為6m的矩形地面的四周

種植花卉，中間種植草坪，如果要求草坪外側四周的花卉帶的寬度都相同，且草坪的面積不超過總面積的

一半，則花卉帶的寬度至少應為多少米？

卉草坤

化肝.K-帝

第四部分：典型易錯題型

備注：一元二次不等式最高項系數容易忽略化正。

1.(2023上?湖南永州?高一校考階段練習)一元二次不等式一/+》+2>0的解集是()

A.{x[x<T或%>2}B.(x]x<—2或x〉l}

C.1x|-l<x<21D.|x|-2<x<l}

備注：分式不等式容易直接乘到另一側忽略正負而漏解。

2.(2。23上?吉林?高一吉化第一高級中學校校考階段練習)不等式三22的解集為

第五部分：新定義題(解答題)

1.(2024上?福建莆田?高一莆田一中校考期末)小穎同學在學習探究活動中，定義了一種運等"BJ對于

任意實數a,b,都有6=炮(10。+10人)，通過研究發現新運算滿足交換律：a(8)b=b九a.小穎提出了兩個

猜想：Vx,y,ZGR,j)?z=%?(y?z)；②(x(8)y)+z=(x+z)(8)(y+z).

⑴請你任選其中一個猜想，判斷其正確與否，若正確，進行證明；若錯誤，請說明理由；(注：兩個猜想

都判斷、證明或說明理由，僅按第一解答給分)

⑵設a>0且s=log"(x-2a)(x-4a),當0<相<〃<2。時，若函數/(x)=(s+l)區(s+3)-l-lgl01在

區間[m,n]上的值域為[lognn,loga/7?],求a的取值范圍.

第04講一元二次函數（方程，不等式）

目錄

第一部分：基礎知識.............................................................13

第二部分：高考真題回顧.........................................................15

第三部分：高頻考點一遍過......................................................16

高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）..........................16

高頻考點二：一元二次不等式解法（含參）....................................19

高頻考點三：一元二次不等式與相應的二次函數（方程）的關系..................22

高頻考點四：一元二次不等式恒成立問題......................................27

角度1：VxeH上恒成立（優選A法）.....................................27

角度2：上€尺上成立（優選A法）........................................28

角度3：Vxe。上恒成立（優選分離變量法）...............................28

角度4：玉e°上成立（優選分離變量法）.................................29

角度5：已知參數aeD,求x取值范圍（優選變更主元法）...................29

高頻考點五：分式不等式....................................................35

高頻考點六：一元二次不等式的應用..........................................37

第四部分：典型易錯題型........................................錯誤!未定義書簽。

備注：一元二次不等式最高項系數容易忽略化正。..............錯誤!未定義書簽。

備注：分式不等式容易直接乘到另一側忽略正負而漏解。........................40

第五部分：新定義題（解答題）..................................................40

第一部分：基礎知識

1、二次函數

（1）形式：形如/'（x）=ox?+/；x+c（aw0）的函數叫做二次函數.

（2）特點：

①函數/（x）=ax1+bx+c（a豐0）的圖象與左軸交點的橫坐標是方程ax?+bx+c=0（a主0）的實根.

②當a>0且/<0（/W0）時，恒有/（x）>0（/（x）20）；當a<0且/<0（/W0）時，恒有/（x）<0

（/（x）<0）.

2、一元二次不等式

只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式.

3.（x—再）（x—%）>°或（%—%）（%—%）<°型不等式的解集

解集

不等式

x

玉<々-2%]>x2

{x\x<x^x>x}

(%-?)(%-/?)>02{x|Xwxj{%[%<%2或%>再}

(x-tz)(x-Z?)<0{x\xr<x<x2}0{x\X2<X<Xy}

4、一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系

判別式A=/—4acA>0A=0A<0

二次函數

/(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象?JX44

有兩相等實數根

一元二次方程有兩相異實數根

b沒有實數根

ax2+/zx+c=0(a>0)的根

X2（xl<x2）%7=一五

一元二次不等式

f.b、

[x\x<x^x>x2}{%|xw——}R

ax2+bx+c>0（a>0）的解集2a

一元二次不等式

{x\xl<x<x2}00

ax2+Z?x+c<0（（2>0）的解集

、分式不等式解法

(1)^^〉0o/(x)g(x)〉0

gw

(2)<0<=>f(x)2(x)<0

gw

/(x)g(x)20

(3)

g(x)[g(x)w。

但《。=嚴)gM°

(4)

g(x)〔g(x)豐0

6、單絕對值不等式

(1)\ax+b\>c=>ax+b>c^ax+b<-c

(2)\ax+b\<c^>-c<ax+b<c

第二部分：高考真題回顧

1.（2023?全國?統考高考真題）已知集合加={-2,-1,0,1,2},N=k-—無一6?。},則McN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據交集的運算解出.

方法二：將集合A/中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出.

【詳解】方法一：因為倒={4~-6叫=（-雙-2]33，+8），而"={-2,—1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故選：C.

方法二：因為〃={—2,—1,0,1,2},將一2,-1,0,1,2代入不等式/一天一620,只有一2使不等式成立，所以

McN={-2}.

故選：C.

2.（2023?全國?（新課標I卷））設函數/（XH2MA"）在區間（0,1）上單調遞減，則。的取值范圍是（）

A.（-℃,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+oo）

【答案】D

【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數y=2工在R上單調遞增，而函數/。）=2工（1）在區間（0,1）上單調遞減，

2

則有函數＞=武%-。）=。-q）2一±在區間（0,1）上單調遞減，因此21,解得。22,

242

所以。的取值范圍是[2,+co）.

故選：D

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：一元二次（分式）不等式解法（不含參）

典型例題

例題1.（2024上?江西南昌?高一校聯考期末）不等式52，-2?5,-3<0的解集是（）

A.（^?,log53）B.（log53,+co）C.（-l,log53）D.（0,log53）

【答案】A

【分析】設/=5工>0,解一元二次不等式即可，利用指數函數單調性即可解.

【詳解】設T>0,則不等式可化為產-2好3<0,

解得—1<二<3,

所以-1<5、'<3,解得x<log53.

故選：A

例題2.（2024上?安徽蕪湖?高一統考期末）設函數〃力=潑+樂+3,關于x的一元二次不等式〃x）>0的

解集為

（1）求不等式f+曲；+6>0的解集；

2

（2）^Vxe[-l,3],/（^）>?nr,求實數機的取值范圍.

【答案】（1）{，尤<一1或%>2}

4

【分析】（1）利用韋達定理求參數后再解不等式即可.

（2）對變量范圍進行討論，分離參數法求解參數即可.

【詳解】（1）因為一元二次不等式〃力>0的解集為（-3,1）,

-3+1=--

所以-3和1是方程加+樂+3=0的兩個實根，貝4\“,

2

解得。=-1/=一2.因此所求不等式即為：X-X-2>0,解集為或X>2}.

（2）/（%）2小2可化為：（加+1）尤24-2x+3,當元=0時顯然成立;

j對Vx?T3]恒成立,

當龍時，m+l<-2—+3

x

令才=工￡（-8,_1]U；'+8卜則根+1W—2，+3/，

X

當即x=3時（-2"3A「J,

L14

所以小+1K——,即加工——.

33

例題3.（2024上?湖南長沙?高一校考期末）解下列關于％的不等式:

⑴一%2+2%+3>0；

【答案】（l）｛x[T<x<3｝

（2）｛x|尤24或x<_l｝

【分析】（1）根據一元二次不等式的解法求解即可;

（2）根據分式不等式的解法求解即可.

【詳解】（1）由-d+2x+3>0,得Y一2X—3<0,

即（x-3）（x+l）<0,所以-l<x<3,

所以不等式的解集為｛41<尤<3｝；

2Y—3x—4

⑵由F"得力2

(x-4)(x+l)>0^解得谷4或x<_i,

則

x+1。0

所以不等式的解集為｛x|x?4或x<T｝.

練透核心考點

1.（2024上?廣東江門?高一統考期末）一元二次不等式-尤2+2彳+3<0的解集為.

【答案】（f,-1）53,+8）

【分析】轉化為標準一元二次不等式后，分解因式直接解不等式即可.

【詳解】由一尤2+2尤+3<0可得尤2一2%—3>0,

即（x-3）（x+l）>0,

解得x>3或x<-l,

所以不等式的解集為（f,-D53,內）.

故答案為：（f,-l）53,+?）

2.（2024上?湖南岳陽?高一校考期末）已知不等式Y+依+6<。的解集為｛止1<尤<2｝,設不等式

依2+以+3>0的解集為集合人.

（1）求集合A；

⑵設全集為R,集合2=卜,2fm+2<0｝,若xeA是xe8成立的必要條件，求實數加的取值范圍.

【答案】(1)A={R-3<尤<1}

（2）_5，20

【分析】(1)由題意得*=一1和x=2是方程/+6+6=()的兩根，代入求得a,b,化簡所求不等式，求解

即可；

(2)將尤eA是成立的必要條件轉化為子集關系，結合子集的定義及二次函數的性質即可求解.

【詳解】(1)因為不等式/+辦+6<。的解集為{x[T<x<2},

貝lj產一1和％=2是方程/+av+Z?=0的兩根,

1—Q+Z?=0a=-1

所以,解得

4+2a+。=0b=-2

所以不等式g?+匕x+3>0為不等式—/一2%+3>0，

解得-3<x<l,即集合&=3-3<彳<1}.

（2）因為xeA是xeB成立的必要條件，所以3=A.

當8=0時，△=7〃2-8WO,解得-2夜4加42&;

m2-8>0

-3<—<111「

當3W0時，2,解得一大（根<一2夜.

9+3m+2203

l-m+2>0

綜上，實數小的取值范圍是-.

3.(2024上?四川綿陽?高一四川省綿陽南山中學校考期末)已知集合

A={水%+2)(5-x)<B=|x|2a+1<x<3a+5j.

(1)若。=-2,求Au3；

(2)若"xeA"是"xeB"的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.

【答案】①Au3={x|x<—1或x?5}

7

(2)a<--^,a>2

【分析】(1)解不等式得出4代入。=-2得出B,進而根據并集的運算求解，即可得出答案；

(2)根據已知可推得B4分3=0以及3W0,根據集合的包含關系列出不等式組，求解即可得出答

案.

【詳解】(1)解(x+2)(5-x)W。可得，xW-2或xN5,

所以，A={尤|%4-2或》25}.

當a=—2時，=3<x<-1},

所以Au3={九[%<-1或％25}.

(2)由〃xeA〃是〃xeW的必要不充分條件，

所以，BA.

又A={x|%?—2或無25},B={%|2a+l<x<3a+5}.

當5=0,布2々+123。+5,即aW~4,顯然滿足；

當3W0時，有2a+l<3a+5,即Q>T.

要使6A,

[a>-4八fa>-4

則有[3。+54-2或L?+l25,

7

解得~^<a<~—^a>2.

7

綜上所述，]或々22.

高頻考點二：一元二次不等式解法(含參)

典型例題

例題1.(2024上?四川南充?高一統考期末)已知函數〃x)=x2x+1.

⑴若關于x的不等式/(￡)+〃-1W。的解集為［-1,2］,求實數年〃的值；

⑵求關于x的不等式/任)7+相-1>0(根62的解集.

［答案］(1)%=1,〃=_2；

⑵答案見解析.

【分析】(1)由不等式解集可得T，2是尤2一3+〃=0的兩個根，利用根與系數關系求參數值;

(2)由題意有(x-7")(x-l)>。，討論7W<1、7〃=1、加>1求不等式解集.

【詳解】(1)由題設尤2-+的解集為［—1,2］,即一1,2是爐—：加x+〃=。的兩個根，

所以"2=-1+2=1,72=_］x2=—2.

(2)由題意f^-x+m-l-x1-(m+I)x+m=(x-nt)(x-I)>0,

當機<1時，解得x<加或x>l,故解集為(T?,加)(1,+<?)；

當機=1時，解得xil,故解集為｛xeRIxwl｝；

當S>1時，解得x<l或故解集為(-8,1)匚(加,+?)；

例題2.(2024上?重慶?高一校聯考期末)己知函數〃力=加-(a+6)x+6.

⑴當a=1時,求函數f(x)的零點;

(2)當aWO時，求不等式/(x)<0的解集.

【答案】(l)x=l或x=6

(2)答案見解析

【分析】(1)直接解二次方程即可得解；

(2)分類討論”的取值范圍，解二次不等式即可得解.

【詳解】(1)當a=l時，/(無)=爐一7尤+6,

令/(x)=°,得爐-7》+6=0,解得尤=1或x=6,

故〃尤)的零點為x=l或x=6.

(2)因為〃x)=?%2_(a+6)x+6=(x-l)(ar-6),

當a=0時，不等式/(x)<0可化為-6x+6<0,解得x>l；

當a<0時，不等式〃x)<0可化為(尸1)卜-皆>0,

又9<1，故解得無<色或x>l；

aa

綜上，當a=0時，不等式*力<0的解集為(L+8)；

當“<0時，不等式〃x)<0的解集為'雙■!)(1,+⑹.

例題3.(2024上?甘肅慶陽?高一校考期末)已知函數/(0=一依2-2彳，其中aeR,“N0.

⑴若〃T)=。，求實數。的值；

(2)求不等式〃”>0的解集.

【答案】⑴2

(2)答案見解析

【分析】(1)根據題意，由/(-1)=0,列出方程，即可求解；

(2)根據題意，得到-依2-2犬>0,結合一元二次不等式不等式的解法，即可求解.

【詳解】(1)由函數〃力=一加一2彳，因為/(一1)=0,可得一a+2=0,解得a=2.

(2)因為〃x)>0,可得*-2%>0,即x(ar+2)<0,

當a>0時，解得一(<》<0,所以不等式〃x)>0的解集為［jo；

當時，解得行一工或x<0,所以不等式〃x)>0的解集為(-紇,。)口［一2,+8］,

綜上可得，當a>0時，解集為,"j,。［；當“<0時，解集為(-應0)U［-+8).

練透核心考點

1.（2024上?江蘇南京?高一南京師大附中校考期末）設。為實數，則關于x的不等式（6-2）（2元-4）<0的

解集不可能是（）

A.1刃B.（一鞏2）與,+[

C.（2,+co）D.I2,-]

【答案】B

【分析】分類討論解不等式（次-2）（2》-4）<0,判斷不可能的解集.

【詳解】關于x的不等式（依-2）（2x-4）<。，

若。=0,不等式為-2（2x-4）<0,解得x>2,此時解集為（2,+?））；

2

若。。0,方程（ox—2）（2%—4）=0,解得x=—或％=2,

a

〃<0時，不等式（依一2）（2%—4）<0解得兀<2或尤>2,此時解集為[一8,-]（2,+8）；

0<°<1時，->2,不等式（依-2）（2X-4）<0解得2Vx<2,此時解集為伍工]；

aa\J

2

。=1時，—=2,不等式（依―2）（2]-4）<0解集為0,

a

。>1時，-<2,不等式（ox-2）（2x-4）<0解得2Vx<2,此時解集為21；

aaya）

所以不等式（辦-2）（2%-4）<0的解集不可能是（-。2）u仔，+j.

故選：B

2.（2024上?四川宜賓?高一統考期末）已知集合4=1|千工。},集合3=-2）W0,meR}.

⑴當根=一2時，求ADB；

⑵若AB=B,求實數機的取值范圍.

【答案】（1）AU3={X|-2<X<2}

【分析】（1）根據分式不等式化簡集合，即可根據并集的運算求解，

（2）根據包含關系即可列不等式求解.

【詳解】（1）由Jwo解得

x+1

所以A={九|-1vx<2},

當m=—2時，3={%]—2<尤<0},

所以=-2<x<2}.

(2)因為加〈根+2,所以5W0,

因為AB=B,所以BgA,

m<m+2

所以〈相〉-1,解得—1<根40,

m+2<2

所以實數，”的取值范圍為{刈-1<m<0}.

3.(2024上?福建寧德■高一統考期末)已知/(x)=x2+(3-a)x-3a(aeR).

⑴若〃x)=/(2—x),求。的值；

(2)求關于x的不等式/(x)<0的解集.

【答案】(1)。=5

⑵詳見解析.

【分析】(1)根據函數的對稱性求參數。的值；

(2)分解因式，對。的值進行分類討論即可求解.

【詳解】(1)由〃力=/(2-x)得函數對稱軸為:x=l,

,3—a<_

由-----=1=>〃=5.

2

(2)由/(%)<0nx2+(3-a)x-3av0n(x+3)(x-a)<0.

當av-3時，可得：a<x<-3',

當。=一3時，可得：XG0；

當。>一3時，可得：-3<x<a

綜上，當a<-3時，原不等式的解集為：(心-3)；

當。=-3時，原不等式的解集為：0

當。>-3時，原不等式的解集為：(Ta)

高頻考點三：一元二次不等式與相應的二次函數(方程)的關系

典型例題

例題L(多選)(2024上,湖南婁底,高一統考期末)已知關于x的不等式(24+3加)》2-(6-37〃)犬-1>0(a>0,

b>0)的解集為(-8,T)u\,+e),則下列結論正確的是()

B.他的最大值為J

A.2a-st-b=l

O

12

C.±+：的最小值為4D.：的最小值為3+20

abab

【答案】ABD

【分析】利用二次不等式的解集得方程（2。+3m）f-e-3m）x-1=0的兩根為-1和9結合韋達定理得

2a+b=l,從而判斷A,再利用基本不等式計算判斷BCD.

【詳解】由題意，不等式（2。+3間/_e_3間x-l>0的解集為（-應-1］口

可得2°+3根>0,且方程（2a+3Mx2-修一3加卜一1=0的兩根為-1和J,

b—3m

-1+-=

22a+3m

所以