2024學年第一學期臺州十校聯盟期中聯考高二年級數學學科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據直線方程可得其斜率，結合斜率與傾斜角的關系，即可得到結果.【詳解】因為直線，即所以，且

所以故選:D.2.已知直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，若，則（）A. B.3 C.6 D.9【答案】A【解析】【分析】首先根據兩條直線平行轉化為其方向向量平行，進而根據向量平行的條件求解參數即可【詳解】設直線的方向向量，直線的方向向量，由于，所以，因此可得：，解得：.故選：A3.若點在圓的內部，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用點與圓的位置關系可得關于的不等式，求解即可.【詳解】因為點在圓的內部，所以，即，解得，實數取值范圍是，故選：A.4.空間四邊形中，，，，點在上，且為中點，為中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據空間向量的線性運算法則和運算律進行計算即可.【詳解】根據題意畫出如圖所示的空間四邊形由圖可知故選：B.5.已知圓經過，兩點，且圓心在直線，則圓的標準方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設出圓心，根據得到方程，求出，得到圓心和半徑，得到圓的方程.【詳解】設圓心為，由題意得，即，解得，故圓心，半徑為，故圓的標準方程為.故選：C6.方程表示橢圓的充要條件是（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的方程特征列出不等式求解即得.【詳解】方程表示橢圓，則，解得，且，反之，當，且時，方程表示橢圓，所以方程表示橢圓的充要條件是或.故選：D7.如圖所示，正方體的棱長為1，點，，分別為，，的中點，則下列說法正確的是（）A.直線與直線垂直 B.三棱錐的體積為C.直線與平面平行 D.直線與平面所成的角為【答案】C【解析】【分析】對于A、C、D選項，可以通過建立空間直角坐標系，借助空間向量解決立體幾何中平行與垂直的判定及直線與平面夾角的求解；對于B選項，利用三棱錐的體積公式直接求解即可.【詳解】在棱長為的正方體中，建立為原點，以，，所在的直線為軸，軸，軸的空間直角坐標系，如圖所示：因為，，分別為、、的中點，則A1,0,0，，，，，；對于A選項，，，由于，因此直線與直線不垂直，故A選項錯誤；對于C選項，，，設平面的法向量為，則，令，則，因為，所以，所以，因為直線在平面外，所以直線與平面平行，故C選項正確；對于D選項，，設直線與平面所成角為，，故D選項錯誤；對于B選項，，又因為在正方體中，底面，所以，故B選項錯誤.故選：C8.已知是橢圓的兩個焦點，是橢圓上任意一點，過引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點的最近距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可知，又已知OQ是△F1F2M的中位線，點Q與y軸重合時，Q與短軸端點距離最近.【詳解】解：設F1Q的延長線交F2P的延長線于點M，則由題意知∵∴由題意知OQ是△F1F2M的中位線∴∴Q點的軌跡是以O為圓心，以6為半徑的圓∴當點Q與y軸重合時，Q與短軸端點取最近距離故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在空間直角坐標系中，點O0,0,0，，，下列結論正確的有（）A.B.向量與的夾角的余弦值為C.點關于軸的對稱點坐標為D.直線的一個方向向量【答案】BCD【解析】【分析】對于A選項，根據空間兩點距離公式可判斷A選項正誤；對于B選項，根據空間向量的夾角坐標公式可判斷B選項正誤；對于C選項，根據點的對稱性可判斷C選項的正誤；對于D選項，根據直線方向向量的概念可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，由于，，根據空間兩點距離公式可得：.故A選項錯誤；對于B選項，，，設向量與向量的夾角為，則，故B選項正確；對于C選項，點關于軸的對稱點坐標為，故C選項正確；對于D選項，易知，由于，得：，因此是直線的一個方向向量，故D選項正確.故選：BCD10.已知直線的傾斜角等于，且經過點，則下列結論中正確的是（）A.的一個方向向量為 B.在軸上的截距等于C.與直線垂直 D.點到直線上的點的最短距離是1【答案】BCD【解析】【分析】由題意求出直線的斜率和方程，即可判斷B和C，對于A，可求出直線的一個方向向量，再判斷與選項中的向量是否平行即可，對于D，求出點到直線的距離即可判斷.【詳解】由題意得直線的斜率，又直線經過點，所以直線方程為，化簡得；對于A，直線的一個方向向量為，則與不平行，所以不是直線的方向向量，故A不正確；對于B，令，則，解得，所以直線在軸上的截距等于，故B正確；對于C，直線的斜率為，因為，所以直線與直線垂直，故C正確；對于D，點到直線的距離，所以點到直線上的點的最短距離是1，故D正確；故選：BCD.11.已知直線與圓相交于、兩點，下列說法正確的是（）A.若圓關于直線對稱，則B.的最小值為C.若、、、（為坐標原點）四點共圓，則D.當時，對任意，曲線恒過直線與圓的交點【答案】AD【解析】【分析】根據對稱性判斷直線過圓心，即可判斷A；將直線的方程整理為，即可說明直線所過定點，且當，此時弦長最短，根據弦長公式判斷B；根據幾何關系，設出過四點、、、的圓的方程，再求過圓和圓的交點的直線的方程，代入定點，即可判斷C；根據圓系方程，可判斷D.【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，對于A選項，若圓關于直線對稱，則直線過圓心，則，解得，A對；對于B選項，直線的方程可化為，由得，所以，直線過定點，則，當時，圓心到直線距離取最大值，且最大值為，因為，則，則，B錯；對于C選項，若、、、四點共圓，設此圓為圓，圓的圓心，的中點為，所以的垂直平分線方程為，所以，圓的方程為，整理為，直線是圓與圓的交線，圓與圓的方程相減得所以直線的方程是，將直線所過的定點坐標代入上式得，得，所以直線，即直線的斜率為，即，則，C錯；對于D選項，當時，直線，曲線，即，所以曲線為過直線與圓交點的曲線方程，D對.故選：AD【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數方法：運用根與系數的關系及弦長公式.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的標準方程為，則橢圓的離心率是________.【答案】##0.5【解析】【分析】根據橢圓的標準方程可算出和的值，再代入離心率公式即可.【詳解】由橢圓的標準方程可知，，所以，因為，，所以，，所以離心率，故答案為：.13.直線關于直線對稱的直線的方程為________.【答案】【解析】【分析】先解出兩直線的交點，然后在直線上取一點，再求出點關于直線的對稱點，直線即為所求.【詳解】聯立，解得，所以是直線和直線的交點，取直線上一點，設點關于直線的對稱點為，則，解得，所以，所以直線的方程為，即直線關于直線對稱的直線的方程為；故答案為：.14.已知實數、滿足，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】令，分析可知，直線與圓有公共點，利用直線與圓的位置關系可得出關于實數的不等式，解之即可.【詳解】等式可化為，令，整理可得，所以，直線與圓有公共點，且圓心為，半徑為，則，整理可得，解得或，因此，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或測算步驟.15.求經過直線與直線的交點，且分別滿足下列條件的直線方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先聯立直線方程，解方程組求得交點坐標，依據題意可設所求直線為：，代入交點坐標即可求解直線方程；（2）根據第一問所求交點坐標，依據題意可設直線方程為，代入交點坐標即可求解直線方程；【小問1詳解】由，解得，即點，由于所求直線與直線平行，所以設所求直線方程為，代入，得：，解得，所以所求直線方程為.【小問2詳解】由（1）知，點，由于所求直線與直線垂直，設所求直線方程為，代入，得：，解得，所以所求方程為.16.如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長為的正方形，，底面，、分別為、的中點，.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證得平面；（2）利用空間向量法可求得點到平面的距離.【小問1詳解】證明：因為四邊形為正方形，底面，所以、、兩兩相互垂直，如圖，以為原點，分別以、、方向分別為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標系，由題意可得A0,0,0、、、、、，、、，則，，，設平面的一個法向量為n1=x1即，則，令，則，，所以為平面a的一個法向量，所以，所以，又平面，所以平面.【小問2詳解】解：由平面的一個法向量為，.設點到平面的距離為，則，所以點到平面的距離為.17.已知直線及圓.（1）求證：直線過定點，并求出圓心到直線距離最大時的值；（2）若直線與圓相交于、兩點，且弦的長為，求的值.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）將直線的方程化為，由可得出直線所過定點的坐標，分析可知，定點在圓上，且當圓心到直線距離最大時直線與圓相切，利用直線與圓相切可求得實數的值；（2）利用勾股定理可求出圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式可求得實數的值.【小問1詳解】證明：因為直線，得，由，可得，所以直線過定點.圓，所以定點在圓上，圓心，半徑為.當圓心到直線距離最大時直線與圓相切，此時有：，所以.【小問2詳解】解：設點到直線的距離為，利用勾股定理得：.同時利用圓心到直線的距離：，解得.18.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且，點在棱上（不與點，重合）.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）直線能與平面垂直嗎？若能，求出的值；若不能，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）建立合適空間直角坐標系，利用向量先證明平面，然后可證明平面平面；（2）分別求出平面與平面的一個法向量，然后計算出法向量夾角的余弦值，結合圖形可求二面角的平面角的余弦值；（3）由表示出點坐標即可表示出，再根據位置關系確定出與法向量的關系，確定方程解的情況可作出判斷.【小問1詳解】因為平面，所以，，又，則以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A0,0,0，B1,0,0，，D0,1,0，，，所以，，，所以，，所以，，且，，平面，所以平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知是平面的一個法向量，，，設平面的一個法向量為，所以，即，令，則，，所以，所以，又由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為.【小問3詳解】由（1）得，，，，設，則，可得，所以，由（2）知是平面的一個法向量，若平面，可得，則，該方程無解，所以直線不能與平面垂直.19.已知橢圓的左、右頂點為，，焦距為.為坐標原點，過點、的圓交直線于、兩點，直線、分別交橢圓于、.（1）求橢圓的方程；（2）記直線，的斜率分別為、，求的值；（3）證明：直線過定點，并求該定點坐標.【答案】（1）（2）（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）由題意求出，即可得答案；（2）法一：設，寫出圓的方程為：，利用圓過，代入圓的方程得，化簡，即得答案；法二：設，圓半徑為r，寫出圓方程，圓過，可得，由此化簡，，即得答案.（3）設直線，聯立橢圓方程，可得根與系數的關系式，結合，化簡可得參數之間的關系式，結合直線的點斜式，即可確定定點坐標.【小問1詳解】由已知得，，則，故橢圓的標準方程為；【小問2詳解】法一：設，則圓的方程為：，圓過，代入圓的方程得，故；法二：設，圓半徑為r，則圓方程為：，圓過，，由題意可設，則；【小問3詳解】由題意知，