PAGE課時分層作業(yè)(十三)直線與平面垂直的判定(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．假如一條直線l與平面α的一條垂線垂直，那么直線l與平面α的位置關系是()A．l?α B．l⊥αC．l∥α D．l?α或l∥αD[結(jié)合正方體模型，直線l與平面α的位置關系是平行或在平面內(nèi)，故選D.]2．已知直線a與平面α所成的角為50°，直線b∥a，則b與α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°B[依據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等，知b與α所成的角也是50°.]3．直線l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關系是()A.l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直C．l在平面α內(nèi) D．不能確定D[如下圖所示，直線l和平面α相互平行，或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能．故選D.]4．如圖所示，α∩β＝l，點A，C∈α，點B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關系是()A．異面 B．平行C．垂直 D．不確定C[∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l(xiāng)⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC.]5．三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，則頂點在底面的射影為底面三角形的()A．內(nèi)心B．重心C．外心D．垂心C[如圖，設點P在平面ABC內(nèi)的射影為O，連接OA，OB，OC.∵三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，∴PA＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故頂點P在底面的射影為底面三角形的外心．]二、填空題6．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，M為線段BB1上的一動點，則直線AM與直線BCAM⊥BC[∵AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面AA1B1B，又AM?平面AA1B1B，∴AM⊥BC.]7．已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：________．②③?①（答案不唯一）[若②m∥α，過m作平面β∩α＝m′，則m∥m′，又③l⊥α，則l⊥m′，又m，m′同在β內(nèi)，所以①l⊥m，即②③?①.]8．如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥⊙O所在的平面，C是圓上一點，且∠ABC＝30°，PA＝AB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為________．2[因為PA⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2.]三、解答題9．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB＝BC求證：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.[證明](1)因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1所以A1B1∥ED.又因為ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因為AB＝BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC又因為BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC＝所以BE⊥平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.10．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F(xiàn)分別是PA和AB的中點，求PA與平面PBC所成角的正弦值．[解]過A作AH⊥BC于H，連接PH，∵PC⊥平面ABCD，AH?平面ABCD，∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC.∴∠APH為PA與平面PBC所成的角，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，又AH⊥BC，∴H為BC中點，AH＝eq\r(3)，∵PC＝AC＝2，∴PA＝2eq\r(2)，∴sin∠APH＝eq\f(AH,PA)＝eq\f(\r(6),4).故PA與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(6),4).1．(2024·新高考全國卷Ⅰ)日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面．在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為()A．20°B．40°C．50°D．90°B[過球心O、點A以及晷針的軸截面如圖所示，其中CD為晷面，GF為晷針所在直線，EF為點A處的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故選B.]2．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB，BC，CD，DA的長和兩條對角線AC，BD都相等，且E為AD的中點，F(xiàn)為BC的中點，則直線BE和平面ADF所成的角的正弦值為________．eq\f(\r(3),3)[連接EF，依據(jù)