專題2.3冪函數與二次函數【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1冪函數的定義】 2【題型2比較冪值的大小】 3【題型3冪函數的圖象與性質的綜合應用】 3【題型4求二次函數的解析式】 4【題型5二次函數的圖象問題】 4【題型6二次函數的最值問題】 6【題型7二次函數的恒成立問題】 61、冪函數與二次函數考點要求真題統計考情分析(1)了解冪函數的定義，掌握冪函數的圖象與性質(2)熟練掌握二次函數的圖象與性質（單調性、對稱性與最值等）2020年江蘇卷：第7題，5分2024年天津卷：第2題，5分冪函數與二次函數是常見的重要函數，在歷年的高考中都占據著重要的地位，是高考常考的熱點內容，從近幾年的高考形勢來看，冪函數較少單獨考查，常與指、對數函數結合考查，包括比較指對冪的大小、解不等式等考法，主要出現在選擇題、填空題中，難度較易；二次函數常與其他知識相結合，考查二次函數的圖象與性質.【知識點1冪函數的解題技巧】1.冪函數的解析式冪函數的形式是(∈R)，其中只有一個參數，因此只需一個條件即可確定其解析式.2.冪函數的圖象與性質在區間(0,1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”),在區間(1,+)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸.3.比較冪值的大小在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵.【知識點2求二次函數解析式的方法】1．二次函數解析式的求法(1)一般式法：已知三點坐標，選用一般式.(2)頂點式法：已知頂點坐標、對稱軸或最大（小）值，選用頂點式.(3)零點式法：已知與x軸兩交點坐標，選用零點式.【知識點3二次函數的圖象與性質】1．二次函數的圖象問題(1)研究二次函數圖象應從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是圖象上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.(2)求解與二次函數有關的不等式問題，可借助二次函數的圖象特征，分析不等關系成立的條件.2．二次函數的單調性與最值閉區間上二次函數最值問題的解法：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合圖象，根據函數的單調性及分類討論的思想求解.3．二次函數的恒成立問題不等式恒成立求參數范圍，一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數，直接借助于函數圖象求最值.這兩個思路，最后都是轉化為求函數的最值問題.【題型1冪函數的定義】【例1】（23-24高一下·湖北·階段練習）下列函數是冪函數的是（

）A．y=1x3 B．y=2x 【變式1-1】（23-24高一上·云南西雙版納·期中）下列結論正確的是（

）A．冪函數的圖象一定過原點B．α=1,3,12時，冪函數C．冪函數的圖象會出現在第四象限D．y=2x【變式1-2】（23-24高一上·山東濟寧·期中）下列函數是冪函數且在?∞,0是增函數的是（A．y=1x B．y=x3+1 【變式1-3】（23-24高一上·陜西咸陽·期中）現有下列函數：①y=x3；②y=4x2；③y=x5+1A．4 B．3 C．2 D．1【題型2比較冪值的大小】【例2】（2023·上海青浦·一模）已知a，b∈R，則“a>b”是“a3>A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知a=log510，b=log48，c=4b?7A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【變式2-2】（2024·江西宜春·模擬預測）已知冪函數f(x)=(m?1)xn的圖象過點(m,8)．設a=f20.3，b=f0.32，c=flog20.3A．b<c<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a【變式2-3】（2023·湖北孝感·模擬預測）已知f(x)為奇函數，當0≤x≤2時，f(x)=2x?x2，當x>2時，f(x)=x?3A．?f?26>fC．?f?26>f【題型3冪函數的圖象與性質的綜合應用】【例3】（2024·湖南岳陽·模擬預測）探究冪函數fx=xα當α=2,3,12,?1A．2 B．3 C．12 【變式3-1】（2023·四川南充·模擬預測）已知冪函數fx=xmnm,n∈ZA．m=?3,n=1 B．m=1,n=2C．m=2,n=3 D．m=1,n=3【變式3-2】（23-24高三上·上海浦東新·階段練習）如圖所示是函數y=xmn（m,n均為正整數且m,nA．m,n是奇數且mB．m是偶數，n是奇數，且mC．m是偶數，n是奇數，且mD．m,n是奇數，且m【變式3-3】（2023·山東菏澤·三模）已知函數fx=x3+a?2xA．?2,4 B．?3,5 C．?52,2【題型4求二次函數的解析式】【例4】（23-24高一上·河北保定·期末）寫出一個同時具有下列四個性質中的三個性質的二次函數：f(x)=．①f(x)的最小值為?1；②f(x)的一次項系數為?4；③f(0)=3；④f(x)=f(?x+2)．【變式4-1】（2023高三·全國·專題練習）已知二次函數fx的兩個零點分別是0和5，圖象開口向上，且fx在區間?1,4上的最大值為12，則函數fx【變式4-2】（23-24高一上·新疆克拉瑪依·期中）已知二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0,a,b,c∈R)，f(1)=1，對任意x∈R，f(x?2)=f(?x)，且【變式4-3】（23-24高一上·浙江金華·開學考試）已知二次函數fx=ax2+bx+c的對稱軸是x=1，且不等式fx≤2x的解集為【題型5二次函數的圖象問題】【例5】（2020·山東·高考真題）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則不等式aA．?2,1 B．?∞,?2∪1,+∞ C．?2,1 【變式5-1】（23-24高一上·湖南株洲·階段練習）不等式cx2+ax+b>0的解集為x∣?1<x<12A．

B．

C．

D．

【變式5-2】（23-24高二下·北京昌平·期末）若不等式ax2?x?c>0的解集為{x|?1<x<12A． B．C． D．【變式5-3】（2024高一·全國·專題練習）不等式ax2?bx+c>0的解集為A． B．C． D．【題型6二次函數的最值問題】【例6】（23-24高二下·天津河西·期末）下面關于函數fx=xA．fx>0恒成立 B．fC．fx與y軸無交點 D．f【變式6-1】（2024高三·全國·專題練習）設二次函數f(x)=(a?2)x2+3ax+2在R上有最大值，最大值為ma，當maA．0 B．1 C．12 D．【變式6-2】（23-24高一上·重慶沙坪壩·階段練習）fx=2017x2?2018x+2019×2020,x∈t,t+2.則當A．2020 B．2019 C．2018 D．2017【變式6-3】（21-22高一上·浙江臺州·期末）已知函數fx=ax2+2x的定義域為區間[m，n]，其中a,m,n∈R，若f（xA．[4，42] B．[22，82] C．[4，82] D．[42，8]【題型7二次函數的恒成立問題】【例7】（2024·遼寧鞍山·二模）已知當x>0時，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實數m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞【變式7-1】（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的x∈(0,+∞),x2?mx+1>0A．(?2,2) B．(2,+∞) C．(?∞【變式7-2】（2023·遼寧大連·模擬預測）命題“?x>0,ax2+x+1<0A．a≥?14 B．a≥0 C．a≥1 【變式7-3】（2024·江西九江·模擬預測）無論x取何值時，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（A．?∞,?2 B．?∞,?4 C．一、單選題1．（2024·廣東廣州·模擬預測）若冪函數fx=m2?m?1x2m?3A．2 B．1 C．?1 D．?22．（2023·湖南岳陽·模擬預測）如圖，已知冪函數y=xa,y=xbA．c<b<a B．a<c<bC．c<a<b D．a<b<c3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函數f(x)，對任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，則f(x)的圖象可能是（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江·模擬預測）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<25．（23-24高一上·浙江·單元測試）設函數f(x)=x2+2(4?a)x+2在區間(?∞,3]A．a≥?7 B．a≥7 C．a≥3 D．a≤?76．（2023·四川瀘州·一模）已知點(2,18)在冪函數f(x)=xα的圖象上，設a=f(log23)，b=f(lnA．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b7．（2023·河南·模擬預測）已知冪函數fx的圖象過12,24，Px1A．x1fxC．fx1x8．（2023·江西南昌·二模）已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c的三個零點分別為1，x1A．[0,1] B．(0,1) C．(0,2) D．[0,2]二、多選題9．（2024·全國·模擬預測）下列函數中既是奇函數，又是定義域上的減函數的是（

）A．fx=?3xC．fx=110．（2023·江蘇連云港·模擬預測）若對于任意實數x，不等式a?1x2?2a?1x?4<0A．?2 B．0 C．?4 D．111．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數f(x)=x+1，設g1(x)=f(x)，gn(x)=fgn?1(x)A．gn(x)=x+nB．y=C．當n≤2時，存在關于x的函數y在區間(?∞,?1]D．當n>2時，存在關于x的函數y在區間(?∞,?1]三、填空題12．（2024·北京延慶·一模）已知函數f(x)=xα(0<α<1)在區間(?1,0)上單調遞減，則α13．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知函數y=a(x?4)+2(a>0，且a≠1)的圖像恒過定點P，且P在冪函數f(x)的圖像上，則f(x)=．14．（2024·河南·模擬預測）已知函數fx=x2?6x+7在1,mm>1上的最大值為A，在m,2m?1上的最大值為B，若四、解答題15．（2024·山東·二模）已知fx是二次函數，且f(1)求fx(2)若x∈?1,5，求函數f16．（2023·山東·一模）已知二次函數fx滿足f(0)=?1，頂點為(1,?2)(1)求函數fx(2)若函數fx在區間[a?1,4]上單調遞增