1.3探索三角形全等的條件（七~八）【推本溯源】1.角平分線的畫法：如圖，是任意一個角，在，邊上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與，重合，過角尺頂點的射線便是平分線，此作法用的判定三角形全等的方法是什么？那除了用刻度尺的畫法，我們還可以用圓規和直尺作角平分線嗎？作法：以點O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點C、D；分別以C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內部交于點M；作射線OM。OM是∠ABC的角平分線。 2.如圖，PC=PD，QC=QD，PQ與CD相交與點E，證：PQ⊥CD由此，你能發現用直尺和圓規過已知直線外一點作這條直線的垂線的方法嗎？作法：（1）以點P為圓心，適當的長為半徑作弧，使它與AB交于點C、D；（2）分別以C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧交于點Q；（3）作直線PQ。直線PQ是經過直線AB外一點P的AB的垂線。3.按下列做法，用直尺和圓規作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。作法：（1）作∠PCQ=90°；（2）在射線CP上截取CB=a；（3）以點B為圓心，c的長為半徑作弧交射線CQ與點A；（4）連接AB。Rt▲ABC就是所求作的三角形。看一下自己作的三角形和其他同學完全重合嗎？4.已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′求證：△ABC≌△A′B′C′證：把兩個直角三角形拼在一起，可證∠B=∠B′；然后運用AAS證全等即可。通過自己實踐后發現：（簡寫成“”或“”）幾何語言：在Rt▲ABC與Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL）【解惑】例1：王師傅用角尺平分一個角，如圖①，學生小顧用三角尺平分一個角，如圖②，他們都在兩邊上分別取，前者使角尺兩邊相同刻度分別與，重合，角尺頂點為；后者分別過，作，的垂線，交點為，則射線平分，均可由得知，其依據分別是（）A．； B．； C．； D．；例2：如圖，是的角平分線，于點，點，分別是邊，上的點，且，則______度．例3：下面是小芳同學設計的“過直線外一點作這條直線垂線”的尺規作圖過程．已知：如圖1，直線l及直線l外一點P．求作：直線l的垂線，使它經過點P．作法：如圖2，①以P為圓心，大于P到直線l的距離為半徑作弧，交直線l于A、B兩點；②連接PA和PB；③作∠APB的角平分線PQ，交直線l于點Q．④作直線PQ．∴直線PQ就是所求的直線．根據小芳設計的尺規作圖過程，解答下列問題：（1）使用直尺和圓規，補全圖2（保留作圖痕跡）；（2）補全下面證明過程：證明：∵PQ平分∠APB，∴∠APQ=∠QPB．又∵PA=，PQ=PQ，∴△APQ≌△BPQ（

）（填推理依據）．∴∠PQA=∠PQB（

）（填推理依據）．又∵∠PQA＋∠PQB＝180°，∴∠PQA=∠PQB＝90°．∴PQ⊥l．例4：如圖，在8×6的方格紙中有線段AD，其中A，D在格點上，請分別按下列要求作△ABC（所作△ABC不是等腰三角形，作出一個即可．）（1）在圖1中，作△ABC，使AD為△ABC的中線，點B，C在格點上．（2）在圖2中，作△ABC，使AD為△ABC的高線，點B，C在格點上．例5：如圖，四邊形中，，，，，與相交于點F．(1)求證：(2)判斷線段與的位置關系，并說明理由．【摩拳擦掌】1．（2022·四川廣元·統考一模）已知∠AOB＝20°和射線MN．如圖，以點O為圓心，任意長度為半徑畫弧分別交∠AOB的兩邊于點P、Q，接著在射線MN上以點M為圓心，OP長為半徑畫弧l交射線MN于點N；以N為圓心，PQ長為半徑畫兩段弧，分別交l于C、D兩點，連MC，MD并延長．則∠CMD的度數為（

）A．20° B．50° C．60° D．40°2．（2022秋·天津·八年級天津市第五十五中學校考期末）如圖，下面是利用尺規作∠AOB的平分線OC的作法：（1）以O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點D，E；（2）分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內交于點C；（3）畫射線OC，射線OC就是∠AOB的平分線．在用尺規作角平分線過程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS3．（2022秋·湖北宜昌·八年級統考期中）如圖所示，利用尺規作∠AOB的平分線，做法如下：①在OA、OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE；②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內交于一點C；③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的角平分線．在用尺規作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是（

）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS4．（2022秋·湖南·八年級期中）如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現進行如下操作以點B為圓心，適當長為半徑作圓弧，分別交BA，BC于點G，H；再分別以點G，H為圓心，大于GH的長為半徑作圓弧，兩弧在∠ABC內部相交于點O，畫射線BO，交AD于點E．連結OG、OH．若∠A＝124°，則∠AEB的大小是___度．5．（2022秋·八年級課時練習）如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點；②作直線交于點，連接．若，則________（填“”、“”或“”）．6．（2023秋·八年級課時練習）如圖，中，，是上一點，連接，過點作，垂足為，，若，則的值為____________.

7.（2021秋·北京·八年級北京四中校考期中）如圖，已知．按照以下步驟作圖：①以點O為圓心，以適當的長為半徑作弧，分別交、于M、N兩點；②分別以點M，N為圓心，以大于線段的長為半徑作弧，兩弧在內部交于點C．則射線是的角平分線．根據上面的作法，完成以下問題：（1）使用直尺和圓規，作出射線（請保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明過程．（注：括號里填寫推理的依據）．連接，．在和中，∵∴（

），∴________（

），即平分．8．（2020秋·江蘇揚州·八年級校聯考階段練習）如圖,在△ABC中,∠BAC是鈍角,按要求完成下列畫圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）①用尺規作∠BAC的角平分線AE．②用三角板作BC邊上的高AD．③用尺規作AB邊上的垂直平分線．【知不足】1．（2021·河北·九年級專題練習）圖1～圖4是四個基本作圖的痕跡，關于四條弧①、②、③、④有四種說法：（1）弧①是以O為圓心，任意長為半徑所畫的弧；（2）弧②是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧；（3）弧③是以A為圓心，任意長為半徑所畫的弧；（4）弧④是以P為圓心，任意長為半徑所畫的弧；其中正確說法的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023·湖南永州·統考二模）判定三角形全等的方法有（

）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤3．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過點M，N作，OB的垂線，交點為P，畫射線，則平分的依據是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·遼寧鐵嶺·八年級校考期末）如圖，在中，，P、Q兩點分別在和過點A且垂直于的射線上運動，要使和全等，則______．5．（2023秋·福建莆田·八年級期末）如圖，在中，，，，P，Q兩點分別在和過點A且垂直于的射線上運動，，要使與全等，則_____．6．（2022秋·遼寧大連·八年級統考期中）如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯的水平長度相等，那么判定與全等的依據是________________．7．（2023春·八年級課時練習）如圖，在與中，，，，，則______．8．（2021秋·江蘇無錫·八年級校考階段練習）如圖①，點P是∠AOB的平分線OC上的一點，我們可以分別OA、OB在截取點M、N，使OM=ON，連結PM、PN，就可得到.（1）請你在圖①中,根據題意，畫出上面敘述的全等三角形和，并加以證明．（2）請你參考（1）中的作全等三角形的方法，解答下列問題：（Ⅰ）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角,∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系.（Ⅱ）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（Ⅰ）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【一覽眾山小】1．（2023春·七年級課時練習）如圖，在中，，于點D，，若cm，則的值為（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm2．（2022秋·河南南陽·八年級統考期中）用三角尺可以畫角平分線：如圖所示，在已知的兩邊上分別取點，，使，再過點畫的垂線，過點畫的垂線，兩垂線交于點，畫射線．可以得到，所以．那么射線就是的平分線．的依據是（

）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS3．（2023春·全國·七年級專題練習）閱讀下面材料：已知線段a，b．求作：，使得斜邊，一條直角邊．作法：（1）作射線、，且．（2）以A為圓心，線段b長為半徑作弧，交射線于點C．（3）以C為圓心，線段a長為半徑作弧，交射線于點B．（4）連接．則就是所求作的三角形．上述尺規作圖過程中，用到的判定三角形全等的依據是（

）A． B． C． D．4．（2023春·全國·八年級專題練習）在課堂上，老師發給每人一張印有（如圖所示）的卡片，然后，要同學們嘗試畫一個，使得.小趙和小劉同學先畫出了之后，后續畫圖的主要過程分別如圖所示老師評價：他倆的做法都正確.請你選擇一位同學的做法，并說出其作圖依據.我選______的做法（填“小趙”或“小劉”），他作圖判定的依據是______5．（2022秋·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學校考期末）數學活動課上，同學們探究了角平分線的作法．下面給出三個同學的作法：小紅的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再過點O作MN的垂線，垂足為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．小明的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點C的射線OC便是∠AOB的平分線．小剛的作法如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，再分別過點M，N作OA，OB的垂線，交點為P，則射線OP便是∠AOB的平分線．請根據以上情境，解決下列問題(1)小紅的作法依據是．(2)為說明小明作法是正確的，請幫助他完成證明過程．證明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依據)(3)小剛的作法正確嗎?請說明理由6．（2021·吉林·九年級專題練習）在數學課上，老師提出如下問題老師說：“小華的作法正確”請回答：小華第二步作圖的依據是______．7．（2023秋·山西臨汾·八年級統考期末）按要求完成尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，并完成計算．已知：在中，，．(1)作邊上的高，作的平分線，與相交于點．(2)求所作圖形中的度數．8．（2022秋·江蘇徐州·八年級校考階段練習）如圖，，點A、B分別在射線OM、ON上，點C在內部.(1)若，①如圖1，若，求證：.②如圖2，若，求證：OC平分.(2)如圖3，點A、B分別在射線OM、ON上運動，點C隨之運動，且，P為OM上定點，當點C運動到何處時，PC的長度最短？請用尺規作圖作出PC最短時C點的位置（保留作圖痕跡，不要寫作法）9．（2023春·全國·七年級期末）已知ABC．(1)如圖1，按如下要求用尺規作圖：①作出ABC的中線CD；②延長CD至E，使DE＝CD，連接AE；（不要求寫出作法，但要保留作圖痕跡．）(2)在（1）中，直線AE與直線BC的關系是；(3)如圖2，若∠ACB＝，CD是中線．試探究CD與AB之間的數量關系，并說明理由；(4)如圖3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中線，過點B作BE⊥AC于E，交CD于點F，連接DE．若CF＝4，則DE的長是．10．（2020·廣西·九年級統考學業考試）如圖，已知，直線及上兩點，．尺規作圖：作，使點在直線的上方，，．（保留作圖痕跡，且用黑色筆將作圖痕跡描黑，不寫作法和證明）11．（2019秋·江蘇無錫·七年級校考期末）作