二次型在代數學的分析、解析幾何方面的應用摘要在代數學研究不斷發展的歷史進程中，關于二次型的研究起著至關重要的主導作用。一般來說我們為了更為簡便地快速解決二次型問題，往往會將二次型轉化為標準形，因此本文主要總結了幾種常見的化二次型為標準形的方法及它們的解題步驟。這些方法分別應用了二次型不同的性質。在求解這類問題時，我們可以根據題目特點選擇最適合的方法。二次型理論應用領域非常廣泛，不單單在代數學領域，在其他學科的分支如管理、經濟、社會科學中也有涉及。本文介紹了二次型在代數學的分析、解析幾何方面的應用，如應用二次型的正定性求解多元函數極值問題，利用正定、半正定矩陣的充要條件證明不等式成立，通過將二次曲面的一般方程化為標準方程來判斷該二次曲面的類型。關鍵詞：二次型；標準形；線性變換；二次曲面；應用目錄第1章引言 [14]階實對稱矩陣是正定矩陣的充分必要條件是它的順序主子式均大于0。例9求證（其中為不全為零的實數）。證明：設二次型，則的矩陣為，此時矩陣的一階主子式為：；二階主子式為：；三階順序主子式為：。所以為正定矩陣，根據定理，二次型為正定二次型。即（其中為不全為零的實數）。結論得證。例10設為三角形的三個內角，求證對任意的實數，下式成立。證明：記，其中，并且根據題目已知，此時矩陣進行初等行變換：，則的特征值為，是半正定的。即對于任意實數，結論得證。例11設都是實數，證明成立。證明：設，則，是半正定二次型。根據定理，則所有主子式均。該二次型的矩陣為，所以，則題目中不等式成立，結論得證。4.3二次曲面中的應用二次曲面的一般方程為，（均為實數）。令。所以一般方程又可記為。其中為的特征值，為對應的單位正交向量，為對應的單位特征向量。如果想要通過二次曲面的方程確定它的類型，需要將一般方程轉換為標準方程，步驟如下。首先，利用正交變換將方程化為的形式。此處，，，。其次，用配方的方法作平移變換，下面根據的值進行分類討論。（一）.時，配方得。可簡化為，其中。（）均與同號，方程可得，令，故有，該二次曲面為橢球面。（）中有一個與異號，方程可得，該二次曲面為單葉雙曲面。（）中有兩個與異號，方程可得，該二次曲面為雙葉雙曲面。（二）.中有一個為0，設。配方得。可簡化為，其中，下面對（2）中方程進行討論。（）同號，該二次曲面為橢圓拋物面。（）異號，該二次曲面為雙曲拋物面。（三）.中有兩個為0，設。配方得，作變換變為的形式（），為拋物柱面。（），此時為的形式。異號則為一組平行平面，同號則為虛平行平面，為0則是重合的平面。例12判斷的二次曲面類型解：設，矩陣，，解得特征值為，，根據上述步驟，符合中有一個與異號的條件，且標準方程為，故為單葉雙曲面。例13判斷的二次曲面類型。解：設，矩陣，，解得特征值為，對應的特征向量矩陣，作正交變換，原方程化為，配方后，替換后得標準形為，所以是橢圓拋物面。

第5章總結本文總結了五種化二次型為標準形的方法，這些方法的解題原理來源于二次型不同的定義及相關性質，本質是通過線性變換完成化為標準形的過程。如今，我們已經在探索二次型的應用問題中取得了不少的進步，二次型的性質可以應用到多元函數求解極值的問題，不等式證明成立問題和判斷二次曲面的類別。相信以后二次型問題能夠應用到更多的實際場景，幫助我們更快的發展。參考文獻丘維聲.高等代數[M].北京:高等教育出版社,2002.陳惠汝,劉紅超.淺談二次型化標準形的兩種方法[J].長春師范學院學報,2004(05):13-15.孫秀花.二次型的應用[J].宜賓學院學報,2010,10(06):28-29.李五明,張永金,張棟春.實二次型化成標準形的幾種方法[J].和田師范專科學校學報,2007(05):165-167.胡明瓊.把二次型化為標準形的方法[J].工科數學,1998(01):162-164.郭佑鎮.實二次型的化簡及應用[J].渭南師專學報,2000(02):3-6.黃健.化二次型為標準形幾種方法的比較及技巧[J].科教導刊(下旬),2019(36):25-26.王國蘭,賈慶菊.二次型正定性在多元隱函數極值中的應用[J].唐山師范學院學報,2019,41(06):37-39.孫學波.基于正定二次型的一個不等式及其證明[J].鞍山科技大學學報,2004(04):256-259.李玉山.一類二次型條件最值問題的兩種解法[J].電子測試,2016(12):44+34.潘偉云.探討正定二次型的應用[J].呂梁學院學報,2014,4(02):16-17.LeeH.Dicker,MuratA.Erdogdu.Flexibleresultsforquadraticformswithapplicationstovariancecomponentsestimation[J].TheAnnalsofStatistics,2017,45(1).P.Yaskov.Varianceinequalitiesforquadraticformswithapplications[J].MathematicalMethodsofStatistics,2015,24(4).北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數[M].第三版.北京:高等教育出版社,2003.張禾瑞,郝鈵新.高等代數[M].第三版.北京:高等教育出版社,2007.6.同濟大學數學系.線性代數[M].第六版.北京:高等教育出版社,2014.6.蔣艷,李玻.二次型的標準形及其在幾何中的應用[J].數學學習與研究,2017(21):11+13.王琳.用正交變換化實二次型為標準形方