絕密★考試結束前2023學年第二學期期中杭州地區（含周邊）重點中學高二年級數學學科試題命題：蕭山中學王建國、沈建剛審校：臨平中學（余高）盛立忠縉云中學潛艷蕾考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字；3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效4.考試結束后，只需上交答題卷.第I卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在中，三個內角成等差數列，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】由條件可知，結合求得，從而代入得解.【詳解】因為成等差數列，所以；又，所以，即，所以，所以.故選：C.2.已知，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據條件概率公式計算即可．【詳解】因為，，所以，即，故選：B．3.與直線關于軸對稱的直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】把方程中的換成即可得到所求直線方程.【詳解】直線關于軸對稱的直線為：，即.故選：B.4.降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經蒸發、滲透、流失而在水平面上積聚的水層深度，一般以毫米為單位，它可以直觀地表示降雨的多少，目前，測定降雨量常用的儀器有雨量筒和量杯.測量時，將雨量筒中的雨水倒在量杯中，根據杯上的刻度就可知道當天的降雨量.某興趣小組同學為測量降水量，自制了一種圓臺形的雨量器（如圖）.某次降水，這種容器收集到的雨水高度為150mm，則該次降水的降雨量最接近（）A.60mm B.65mm C.70mm D.75mm【答案】B【解析】【分析】如圖，根據相似三角形的性質求得mm，由圓臺的體積公式求出收集到的雨水量，利用等體積法，結合圓柱的體積公式建立關于h的方程，解之即可求解.【詳解】如圖，分別為上底面、下底面的半徑，且，，則，當mm時，在中，，即，解得mm，所以mm，所以圓的面積為，又圓的面積為，所以收集到的雨水量為，設此時量杯的刻度為，則，解得.故選：B5.展開式中常數項為（）A.28 B. C.7 D.【答案】C【解析】【分析】利用二項式的展開式的通項即得.【詳解】由題意得展開式通項為：,令，得，所以常數項為.故選：C.6.若函數有兩個零點，則（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】由直線與有兩個交點，利用導數求出的極值，作出圖象，數形結合求出即可.【詳解】令，則，令，則由題意可得直線與有兩個交點，因為，令，解得或1，所以當和時，單調遞減；當時，單調遞增；所以極小值為，極大值為，作出圖象：所以或，故選：D.7.將雙曲線繞原點逆時針旋轉45°后，能得到反比例函數的圖象（其漸近線分別為軸和軸），所以我們也稱反比例函數的圖象為雙曲線.同樣“對勾函數”也能由雙曲線的圖象繞原點旋轉得到，則此“對勾函數”所對應的雙曲線的實軸長為（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】求出旋轉后實軸所在直線方程，求出雙曲線的兩個頂點坐標，再由兩點間的距離公式可得解.【詳解】旋轉后兩條漸近線分別為和，夾角為，旋轉前后兩條漸近線的夾角不變，實軸所在直線是兩條漸近線所夾角的平分線，所以旋轉后，雙曲線的實軸所在直線的傾斜角為，斜率為，方程為，聯立，解得或，所以旋轉后的雙曲線的兩個頂點為或，所以實軸長為.故選：D.8.記由0，1，2，3，4五個數字組成的五位數為.則滿足“對任意，必存在，使”的五位數的個數為（）A.120 B.160 C.164 D.172【答案】C【解析】【分析】滿足條件的五位數分為兩類：一類是只由一個數字組成，另一類是由兩個數字組成，其中由兩個數字組成又分為入選與不入選，入選時可以是包含2個或3個，結合不能放在萬位求解即可.【詳解】由題意知，滿足條件的五位數分為兩類：一類是只由一個數字組成，另一類是由兩個數字組成.①只由一個數字組成，如、等共4個；②由兩個數字組成，可分為入選與不入選，不入選，則從1,2,3,4中選擇兩個數組成滿足條件的五位數，如、、等，共有個，入選，則從1,2,3,4中選擇一個數組成滿足條件的五位數，且不能放在萬位，如、、等，共有個，所以滿足條件的五位數共有個.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.下列命題是真命題的是（）A.對向量，，若，則或B.對復數，，若，則或C.對向量，，若，則D.對復數，，若，則【答案】BC【解析】【分析】由平面向量數量積公式計算可判斷A項，設出、，結合計算即可判斷B項，由平面向量數量積公式可知計算可判斷C項，舉反例，可判斷D項.【詳解】對于A項，因，所以或或，故A項錯誤；對于B項，設（），（），則，所以，解得或，即或，故B項正確；對于C項，因為，所以，所以，故C項正確；對于D項，若，，則滿足，但此時，故D項錯誤.故選：BC.10.設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，若，且，，下列結論正確的是（）A. B.C.數列無最大值 D.是數列中的最大值【答案】ABD【解析】【分析】根據題中，分析出公比，得出等比數列為正項的遞減數列，再根據等比數列的性質逐項判斷即可.【詳解】根據題意，等比數列的公比為，，所以.又因為，所以，所以等比數列的各項均為正數.由可知，，則必有，所以等比數列為正項的遞減數列.依次分析選項：對于A，，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，D，根據，可知是數列中的最大值，故C錯誤，D正確.故選：ABD.11.已知拋物線上有兩點?，焦點為F，下列選項中是“直線AB經過焦點F”的必要不充分條件的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據題意設過拋物線的焦點的直線為，代入拋物線的方程得關于的方程，利用根與系數的關系以及平面向量的運算法則，判斷題目中的命題是否正確即可．【詳解】設直線的方程為，則直線交軸于點，且拋物線的焦點的坐標為，，將直線的方程與拋物線的方程聯立，得，則，，對于，，即，解得或，∴“”是“直線經過焦點”的必要不充分條件；對于，得，此時直線過拋物線的焦點，∴“”是“直線經過焦點”的充要條件；對于，解得，∴“”是“直線經過焦點”的必要不充分條件；對于，化簡得，得，∴““是“直線經過焦點”的必要不充分條件．故選：．第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數在區間上的最大值為____________.【答案】##【解析】【分析】求出函數的導函數，即可得到函數的單調性，從而求出最大值.【詳解】因為，所以，當時，所以在上單調遞減，又，所以在上的最大值為.故答案為：13.在空間直角坐標系中，O為坐標原點，若，，，則點到平面的距離為____________.【答案】【解析】【分析】求出平面的法向量后，再計算到平面的法向量的投影即可得.【詳解】由題意可得，，設平面的法向量為，則有，即，可取，則、，即，則點到平面的距離為.故答案為：.14.已知數列滿足，，則____________，___________.【答案】①.0②.2023【解析】【分析】分別令可求出；由可得，再由累乘法即可求出，代入可求出.【詳解】令可得：，所以，令可得：，所以，由可得：，所以，，……，，以上個式子相加可得：，所以，則.故答案為：0；2023.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.如圖，在平面四邊形中，，，為的平分線，且.（1）求線段的長；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函數的平方關系和二倍角的余弦公式可得，再由余弦定理可求出線段的長；（2）由二倍角余弦公式可得，再由同角三角函數的平方關系和面積公式求解即可.【小問1詳解】在中，由，，則：，，所以，由余弦定理得：，所以.【小問2詳解】因為為的平分線，所以，在直角中，得，因為，所以,所以.16.已知函數.（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助導數的幾何意義計算即可得；（2）要使恒成立，則需成立，借助導數，分、、討論，得其單調性即可得解.小問1詳解】當時，，，所以，，曲線在處的切線方程為；【小問2詳解】要使恒成立，則需成立，，當時，，所以在遞增，而，不合題意；當時，恒成立，符合題意；當時，令得，則在遞減，在遞增，所以，解得.綜上所述，.17.如圖，四棱錐中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面是矩形，且.（1）若點是的中點，（i）求證：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；（2）在線段上是否存在一點，使二面角的大小為.若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）（2）存在，【解析】【小問1詳解】（ⅰ）設矩形的中心為，則是的中點，而是的中點，所以.而是矩形的中心，故也是的中點，所以在平面內，又因為不在平面內，所以平面；（ii）由于平面平面，平面和平面的交線為，，在平面內，故平面.所以直線與平面所成角的正弦值等于.下面證明一個結論：在中，若的長分別為，則邊上的中線長為.證明：設為的中點，，則由余弦定理，結合得.所以，即，故.回到原題.由于平面，而在平面內，故，.從而，這得到，.而，故根據之前證明的結論，我們有，，從而.這表明，所以直線與平面所成角的正弦值等于.【小問2詳解】在平面內過作，交于，在平面內過作，交于.由于平面平面，平面和平面的交線為，，在平面內，故平面.而在平面內，故.又因為，在平面內交于，故平面.由平面，在平面內，知.由，，且在上，知二面角等于.從而條件即為，即，即.設，則，故，.同時，.故條件即為，即.解得，所以.綜上，存在滿足條件的點，.18.已知拋物線：，點為拋物線外一點（如圖），過點D作的兩條切線，切點分別為A，B.（1）求證：直線的方程為；（2）若在直線上，以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的方程.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先利用導數幾何意義分別求出在，兩點處切線方程，再分別代入點即可發現A，B兩點都在直線上，進而得到直線的方程.（2）由（1）得直線的方程，與拋物線聯立，求出線段的中點為，再根據圓的性質所得建立方程進行研究即可.【小問1詳解】設，，由得，所以在處的切線方程為，同理在處的切線方程為，兩條切線都過，所以，，顯然A，B兩點都在直線上，所以直線的方程為.【小問2詳解】若在直線上，則直線的方程為，即直線過定點，不妨設直線的方程，由，可得，于是，，設為線段的中點，則，由于，而，與向量平行，∴，解得或，當時，，所求圓的方程為；當時，，所求圓的方程為.19.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球.設從甲、乙兩個口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋為一次操作，經過次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為.（1）寫出的分布列并計算；（2）某人重復進行了100次操作，記，，求該數列的前100項和的最大值；（3）定性分析當交換次數趨向于無窮時，趨向的值.【答案】（1）分布列見解析，（2）50（3），理由見解析【解析】【分析】（1）第一問就是用相互獨立事件同時發生的乘法公式就可求得的分布列，然后利用期望公式即可計算出結果；（2）第二問關鍵是看懂題意，即甲口袋中黑球個數為0個時，，甲口袋中黑球個數不為0個時，，所以要想數列的前100項和最大，則盡最大可能讓甲口袋中黑球個數為0，從而得到問題的解法及結果；（3）第三問關鍵是找到第次交換球后的概率與第次交換球后的概率關系，有了第次交換球后的概率分布，就可以計算第次甲口袋中黑球期望與第次的期望關系，從而構造成等比數列求出，再用極限思想就可以得到結果.【小問1詳解】甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球.從甲、乙兩個口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋為一次操作，記甲口袋中黑球個數為，則的可能取值有1，2，3，則，，，所以的分布列為：123即；【小問2詳解】根據題設可得不可能同時為1，故，由于，要使得取到最大值，則使得多出現0個，即甲口袋中的黑球要最快被換成白球，即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交換，再第二次還是要從甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交換，這樣經歷次可以得到甲口袋中黑球個數為0，此時，之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交換，此時，則，我們可以再次從甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交換，得到，則，這樣總可以是間隔一次出現甲口袋中沒有黑球，所以的最大值為50；【小問3詳解】設表示第次交換后甲口袋中黑球有