1.2.2直角三角形全等的判定逆命題與互逆定理一、單選題1．如圖，PD⊥AM，PE⊥AN，D，E是垂足，若PD＝PE，則有△PAD≌△PAE，根據(jù)是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．HL【答案】D【分析】根據(jù)題中的條件可得△ADP和△AEP是直角三角形，再根據(jù)條件DP＝EP，AP＝AP可根據(jù)HL定理判定△APD≌△APE．【解析】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP＝∠AEP＝90°，在Rt△ADP和Rt△AEP中∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．結(jié)合已知條件在圖形上的位置選擇判定方法．2．在下列各原命題中，其逆命題為假命題的是（）A．直角三角形的兩個(gè)銳角互余B．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方C．等腰三角形兩個(gè)底角相等D．同角的余角相等【答案】D【分析】首先寫出各個(gè)命題的逆命題，然后進(jìn)行判斷即可．【解析】A、逆命題是：兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；B、逆命題是：如果一個(gè)三角形有兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；C、逆命題是：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；D、逆命題是：如果兩個(gè)角相等，那么它們是同一個(gè)角的余角，是假命題，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．也考查了逆命題．3．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB＝6cm，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A．4 B．8 C．6 D．12【答案】C【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CD＝DE，利用“HL”證明△ACD和△AED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AC＝AE，然后求出△DEB的周長(zhǎng)＝AB即可．【解析】解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（HL），∴AC＝AE，∴△DEB的周長(zhǎng)＝BD+DE+BE，＝BD+CD+BE，＝BC+BE，＝AC+BE，＝AE+BE，＝AB，∵AB＝6cm，∴△DEB的周長(zhǎng)為6cm．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．4．如圖，∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，則判定ABC≌BAD全等的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【答案】D【分析】HL指的是：斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，由此可得出答案．【解析】解：∵∠C=∠D=90°，∴△ABC和△BAD均為直角三角形在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．5．下列說法中，正確的是（）A．所有的命題都有逆命題B．所有的定理都有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題D．假命題的逆命題一定是假命題【答案】A【分析】命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，所以所有的命題都有逆命題，但是所有的定理不一定有逆定理，真命題的逆命題不一定是真命題，假命題的逆命題不一定是假命題．【解析】解：A、每個(gè)命題都有逆命題，所以A選項(xiàng)正確；B、每個(gè)定理不一定有逆定理，如對(duì)頂角相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、真命題的逆命題不一定是真命題，如對(duì)頂角相等，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、假命題的逆命題不一定是假命題，如相等的角是對(duì)頂角，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查命題的概念，以及逆命題，逆定理的概念和真假命題的概念等．熟練掌握基本概念是解題關(guān)鍵．6．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們探討利用不同畫圖工具畫角的平分線的方法．小旭說：我用兩塊含30°的直角三角板就可以畫角平分線．如圖，取OM＝ON，把直角三角板按如圖所示的位置放置，兩直角邊交于點(diǎn)P，則射線OP是∠AOB的平分線，小旭這樣畫的理論依據(jù)是（）A．SSA B．HL C．ASA D．SSS【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，，，根據(jù)全等三角形的判定方法，即可求解．【解析】解：根據(jù)題意可得，，，根據(jù)全等三角形的判定方法可得故選B【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到相等的量，再根據(jù)全等三角形的判定方法求解．7．如圖，是的角平分線，，垂足為，，和的面積分別為29和16，則的面積為（）A．13 B．6.5 C．11 D．5.5【答案】B【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DF=DH，再利用“HL”證明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△DEF=S△DGH，然后列式求解即可．【解析】如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，∴DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中,∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)，∴∵△ADG和△AED的面積分別為為29和16，∴△EDF的面積故選:B．【點(diǎn)睛】考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在三角形ABC中，，，于點(diǎn)R，于點(diǎn)S，則下列結(jié)論：①；②；③．其中結(jié)論正確的是（）．A．①②③ B．①② C．① D．①③【答案】B【分析】易證Rt△APR≌Rt△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠1，再根據(jù)AQ=PQ，可得∠1=∠2，即可求得QP∥AB，即可解題．【解析】解：如圖，在Rt△APR和Rt△APS中，，∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），∴AR=AS，①正確；∠BAP=∠1，∵AQ=PQ，∴∠1=∠2，∴∠BAP=∠2，∴QP∥AB，②正確，∵△BRP和△QSP中，只有PR=PS，再?zèng)]有其余條件可以證明△BRP≌△QSP，故③錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題涉及到全等三角形的判定和角平分線的判定，需要結(jié)合已知條件，求出全等三角形或角平分線，從而判定三個(gè)選項(xiàng)的正確與否．9．如圖，的外角平分線和內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)P，若，則（）A．45° B．50° C．55° D．65°【答案】D【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．【解析】解：如圖，延長(zhǎng)，作于點(diǎn)N，于點(diǎn)F，于點(diǎn)M，設(shè)，∵平分，∴，，∵平分，∴，，∴，∵∴∴，∴，在和中，，∴∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等．根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM＝PN＝PF是解決問題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DEAB，DFAC，E、F為垂足，則下列五個(gè)結(jié)論：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD與△ACD的面積相等．其中，正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=DF，然后證明△ADE與△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AF，再根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上可以證明AD垂直平分EF，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得△ABD與△ACD的面積相等不正確．【解析】解：平分，，，、為垂足，，，故①正確；在與中，，，，故②正確；，，垂直平分，故③正確；與，與不一定相等，不一定垂直平分，故④錯(cuò)誤，根據(jù)圖形，，平分時(shí)，，與等高不等底，面積不相等，故⑤錯(cuò)誤．綜上所述，①②③共3個(gè)正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)以及到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的面積，是小綜合題，但難度不大，仔細(xì)分析圖形是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．已知：如圖，中，AB＝AC，AD是高，則________≌．依據(jù)是________，并且BD＝________，∠BAD=________．【答案】【分析】由可得結(jié)合利用斜邊直角邊判定兩個(gè)三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解析】解：故答案為：，，【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．命題“等腰三角形兩底角相等”的逆命題是_______【答案】有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形【分析】根據(jù)逆命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件寫出即可.【解析】∵原命題的題設(shè)是：“一個(gè)三角形是等腰三角形”，結(jié)論是“這個(gè)三角形兩底角相等”，∴命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是“有兩個(gè)角相等三角形是等腰三角形”．故答案為：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.【點(diǎn)睛】本題考查命題與逆命題，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的逆命題．13．如圖，在中，于點(diǎn)D，要使，若直接根據(jù)“”判定，還需要再添加的一個(gè)條件是__________．【答案】【分析】根據(jù)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（“”），可得需要添加的條件是．【解析】解：還需要添加的條件是，∵于D，∴，在和中，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是正確理解：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．14．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝3cm，則BF＝____________cm．【答案】6【分析】先利用證明，得出，又，將代入即可求出．【解析】解：在與中，，，，，，，，．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用面積公式得出等式．15．如圖，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．若°，則=_________．【答案】55°【分析】根據(jù)HL可證得Rt△BDE≌△Rt△CFD，從而得到∠BDE=∠CFD=35°，即可求解．【解析】解：∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°．又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt△BDE與△Rt△CFD中，∵，∴Rt△BDE≌△Rt△CFD（HL），∴∠BDE=∠CFD=35°，∵∠EDF+∠BDE=90°，∴∠EDF=55°．故答案是：55°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的定義，能根據(jù)HL證得Rt△BDE≌△Rt△CFD是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在中，，于，交于點(diǎn)，若，，，，則的周長(zhǎng)是__________．【答案】【分析】連接BE，利用HL證明Rt△BCE與Rt△BDE全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解析】解：連接BE，∵∠C＝90°，DE⊥AB于D，∴∠C＝∠BDE＝90°，在Rt△BCE與Rt△BDE中，，∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），∴DE＝CE，∵AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，∴△ADE的周長(zhǎng)＝DE＋AE＋AD＝CE＋AE＋AB?BD＝AC＋AB?BC＝6＋10?8＝8（cm），故答案為：8cm．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)HL得出Rt△BCE與Rt△BDE全等解答．17．如圖，AD、分別是銳角三角形和銳角三角形中BC、邊上的高，且，，若使，請(qǐng)你補(bǔ)充條件_________．（填寫一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件即可）【答案】【分析】先證明可得：再結(jié)合補(bǔ)充的條件證明，從而可得答案.【解析】證明：補(bǔ)充：，理由如下：AD、分別是銳角三角形和銳角三角形中BC、邊上的高，且，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握斜邊直角邊與邊角邊公理證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.18．如圖，ABC為等腰三角形，AB=AC，∠A=100°，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，∠BDE=15°，P是等腰ABC腰上的一點(diǎn)，若EDP是以DE為腰的等腰三角形，則∠EDP的大小為_____．【答案】62.5°或70°或80°或150°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理解答即可．【解析】解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠B=(180°﹣∠A)=40°，∵∠BDE=15°，∴∠AED=55°，∵當(dāng)△DEP是以DE為腰的等腰三角形，①當(dāng)點(diǎn)P在AB上，∵DE=DP1，∴∠DP1E=∠AED=55°，∴∠EDP1=180°﹣55°﹣55°=70°；②當(dāng)點(diǎn)P在AC上，∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，∴∠BAD=∠CAD，過D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴DG=DH，在Rt△DEG與Rt△DP2H中，，∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），∴∠AP2D=∠AED=55°，∵∠BAC=100°，∴∠EDP2=150°；③當(dāng)點(diǎn)P在AC上，同理證得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），∴∠EDG=∠P3DH，∴∠EDP3=∠GDH=180°﹣100°=80°；④當(dāng)點(diǎn)P在AB上，EP=ED時(shí)，∠EDP=(180°﹣55°)=62.5°．故答案為：62.5°或70°或80°或150°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，在△ABD和△ABC中，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD求證：BC＝AD．【答案】見解析【分析】根據(jù)，，得到，即可利用HL證明從而得到．【解析】證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．20．已知命題“等腰三角形底邊上的高線與頂角的平分線重合”．（1）請(qǐng)寫出它的逆命題；（2）判斷該逆命題的真假，若為假命題，請(qǐng)說明理由，若為真命題，請(qǐng)證明．【答案】（1）底邊上的高線和頂角的角平分線重合的三角形是等腰三角形；（2）該逆命題是真命題，證明見解析．【分析】（1）兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題；據(jù)此寫出逆命題即可；（2）由（1）中寫出的逆命題判斷其真假，根據(jù)證明的步驟，先寫出已知、求證，再寫出證明過程即可．【解析】（1）原命題的條件是：三角形是等腰三角形；結(jié)論是：底邊上的高線和頂角的角平分線重合，∴逆命題是：底邊上的高線和頂角的角平分線重合的三角形是等腰三角形．（2）該逆命題是真命題，證明如下：如圖，已知：△ABC中，AD是BC邊的高線也是頂角∠BAC的角平分線．求證：AB=AC．∵AD是BC邊的高，∴AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，在△BAD和△CAD中，，∴AB=AC．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題，判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．21．已知，如圖，在三角形中，是邊上的高．尺規(guī)作圖:作的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結(jié)論）﹔在已作圖形中，若與交于點(diǎn)，且，求證:.【答案】（1）見詳解；（2）見詳解．【分析】（1）按照題目要求作圖即可；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，先證明△BDE≌△BHE，再證明△BOE≌△ADC，然后可得DE=

DC，可推出HE=

CD，根據(jù)AD=BD，∠ADB=90°，HE⊥AB，可得∠BAD

=

45°，∠HEA=∠HAE=

45°，可推出HE=

AH

=

CD，即可證明結(jié)論．【解析】（1）∠ABC的角平分線如圖所示：；（2）如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，ED⊥ВC，∴EH⊥АВ，ED⊥BC，∴EH

=

ED，在Rt△BDE和Rt△BHE中，∴△BDE≌△BHE（HL），∵ВH

=

BD，在Rt△BDE和Rt△ADC中，∴△BOE≌△ADC（HL），∴DE=

DC，∴HE=

CD，∵AD=BD，∠ADB=90°，∴∠BAD

=

45°，∵HE⊥AB，∴∠HEA=∠HAE=

45°，∴HE=

AH

=

CD，∴BC

=

BD+CD=

BH

+

AH=

AB．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及尺規(guī)作圖，掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．22．如圖，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，BF＝CE．（1）求證：△ABE≌△DCF；（2）AB，DC有怎樣的位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）AB∥DC；見解析【分析】（1）由BF=CE，得到BE=CF，運(yùn)用HL證明△ABE≌△DCF；（2）根據(jù)△ABE≌△DCF，得∠DCF=∠ABE，從而得到AB∥DC．【解析】（1）∵BF=CE，∴BE+EF=CF+EF，∴BE=CF，∵AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，∴△ABE≌△DCF；（2）AB，DC的位置關(guān)系為：AB∥DC；理由如下：∵△ABE≌△DCF，∴∠DCF=∠ABE，∴AB∥DC．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理和性質(zhì)，平行線的判定定理，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．23．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求證：△ADE≌△ADF；（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）3【分析】（1）先證明：可得再證明即可；（2）由再證明結(jié)合從而可得結(jié)論.【解析】證明：（1）DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD＝CD，BE＝CF,（2）而【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握“斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”是解題的關(guān)鍵.24．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一點(diǎn)，E在BC的延長(zhǎng)線上，且AE＝BD，BD的延長(zhǎng)線與AE交于點(diǎn)F．（1）若CD＝4，則求CE的長(zhǎng)；（2）求證：BF⊥AE．【答案】（1）4；（2）見解析【分析】（1）利用證明Rt△BDC≌Rt△AEC即可得到答案；（2）由Rt△BDC≌Rt△AEC可得∠CBD＝∠CAE，再證明∠EBF+∠E＝90°即可.【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°．在Rt△BDC與Rt△AEC中，，∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．∴CD＝CE＝4；（2）證明：由（1）知，Rt△BDC≌Rt△AEC，∴∠CBD＝∠CAE．又∠CAE+∠E＝90°．∴∠EBF+∠E＝90°．∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用斜邊直角邊公理證明三角形全等，全等三角形的性質(zhì)，垂直的定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練的應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)解決問題是解本題的關(guān)鍵.25．如圖，點(diǎn)D在上，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）55°【分析】（1）由已知條件，根據(jù)HL可證得Rt△BDE≌Rt△CFD；（2）由（1）得∠BDE=∠CFD=35°，又已知∠AFD=145°，即可求解．【解析】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED=∠CDF=90°，在Rt△BDE與Rt△CFD中，，∴Rt△BDE≌Rt△CFD（HL），（2）∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，∴∠CFD=35°，由（1）得：Rt△BDE≌Rt△CFD，∴∠BDE=∠CFD=35°，∴∠EDF=180°∠BDE∠CDF=180°90°35°=55°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，能根據(jù)HL證得Rt△BDE≌Rt△CFD是解題的關(guān)鍵．26．四邊形中，，于，于，CB=CD．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）5【分析】（1）通過“”即可求證；（2）通過“”求證，再根據(jù)線段之間的關(guān)系即可求解．【解析】（1）證明：∵，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠EBC；∵于，于，∴∠E=∠DFC；又∵CB=CD∴（2）解：由（1）得CE=CF，BE=DF=2∵∠E=∠DFC=90°，AC=AC，∴∴AF=AE∴AF=AE=AB+BE=AB+DF=5【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法以及性質(zhì)．27．如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且BE=BF．（1）求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE=30°，求∠CFA的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）∠ACF=60°．【分析】（1）利用“”證明三角形全等即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，求解即可．【解析】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)．28．問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當(dāng)DM＝DN時(shí)，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時(shí)，在NC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用（4）△AMN的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比為．【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，證明見解析；（4）【分析】（1）先證明△MD