2025屆浙江省余姚市余姚中學數學高一上期末教學質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列關于函數，的單調性敘述正確的是（）A.在上單調遞增，在上單調遞減B.在上單調遞增，在上單調遞減C.在及上單調遞增，在上單調遞減D.在上單調遞增，在及上單調遞減2．下列函數中，在區間上是增函數是A. B.C. D.3．若，則下列關系式一定成立的是（）A. B.C. D.4．如圖是三個對數函數的圖象，則a、b、c的大小關系是（）A.a＞b＞c B.c＞b＞aC.c＞a＞b D.a＞c＞b5．設函數,A.3 B.6C.9 D.126．某數學興趣小組設計了一種螺線，作法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，并作等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，BA為半徑逆時針畫圓弧，交線段CB的延長線于點D；再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧，交線段AC的延長線于點E，以此類推，得到的螺線如圖所示．當螺線與直線有6個交點（不含A點）時，則螺線長度最小值為（）A. B.C. D.7．下列命題正確的是A.在空間中兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行B.一條直線與一個平面可能有無數個公共點C.經過空間任意三點可以確定一個平面D.若一個平面上有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行8．下列命題中正確的是（）A. B.C. D.9．已知,則的值是A.0 B.–1C.1 D.210．函數y＝sin（2x）的單調增區間是（）A.，]（k∈Z） B.，]（k∈Z）C.，]（k∈Z） D.，]（k∈Z）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若函數滿足：對任意實數，有且，當[0,1]時，,則[2017,2018]時,______________________________12．已知點，點P是圓上任意一點，則面積的最大值是______.13．已知函數在區間上恰有個最大值，則的取值范圍是_____14．將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，再將圖象向右平移個單位后，所得圖象關于原點對稱，則的值為______15．已知冪函數f(x)的圖象過點(4，2)，則f＝________.16．已知，則滿足f(x)＝的x的值為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓的圓心在直線上，半徑為，且圓經過點和點①求圓的方程②過點的直線截圖所得弦長為，求直線的方程18．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點（1）求的值；（2）已知，求19．函數f（x）=Asin（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示（1）求A，ω，φ的值；（2）求圖中a，b的值及函數f（x）的遞增區間；（3）若α∈[0，π]，且f（α）=，求α的值20．如圖，四面體中，平面，，，，.（Ⅰ）求四面體的四個面的面積中，最大的面積是多少？（Ⅱ）證明：在線段上存在點，使得，并求的值21．如圖，三棱柱中，，，，為的中點，且.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大小.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】先求出函數的一般性單調區間，再結合選項判斷即可.【詳解】的單調增區間滿足：，即，所以其單調增區間為：，同理可得其單調減區間為：.由于，令中的，有，，所以在上的增區間為及.令中的，有，所以在上的減區間為.故選：C2、A【解析】由題意得函數在上為增函數，函數在上都為減函數．選A3、A【解析】判斷函數的奇偶性以及單調性，由此可判斷函數值的大小，即得答案.【詳解】由可知：，為偶函數，又,知在上單調遞減，在上單調遞增，故，故選：A.4、D【解析】根據對數函數的圖象與單調性確定大小【詳解】y＝logax的圖象在（0，＋∞）上是上升的，所以底數a＞1，函數y＝logbx，y＝logcx的圖象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.故選：D5、C【解析】.故選C.6、A【解析】根據題意，找到螺線畫法的規律，由此對選項逐一分析，從而得到答案【詳解】第1次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為；第2次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為，交累計1次；第3次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為3，交累計2次；第4次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為；第5次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為，交累計3次；前5次累計畫線；第6次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為，交累計4次，累計畫線；第7次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為；第8次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為，交累計5次；第9次畫線：以點為圓心，，旋轉，劃過的圓弧長為，交累計6次，累計畫線，故選項A正確故選：A另解：由前三次規律可發現，每畫三次，與l產生兩個交點，故要產生6個交點，需要畫9次；每一次畫的圓弧長度是以為首項，為公差的等差數列，所以前9項之和為：﹒故選：A﹒7、B【解析】根據平面的基本性質和空間中兩直線的位置關系，逐一判定，即可得到答案【詳解】由題意，對于A中，在空間中兩條直線沒有公共點，則這兩條直線平行或異面，所以不正確；對于B中，當一條直線在平面內時，此時直線與平面可能有無數個公共點，所以是正確的；對于C中，經過空間不共線的三點可以確定一個平面，所以是錯誤的；對于D中，若一個平面上有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行或相交，所以不正確，故選B【點睛】本題主要考查了平面的基本性質和空間中兩直線的位置關系，其中解答中熟記平面的基本性質和空間中兩直線的位置關系是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題8、A【解析】利用平面向量的加法、加法法則可判斷ABD選項的正誤，利用平面向量數量積可判斷C選項的正誤.【詳解】對于A選項，，A選項正確；對于B選項，，B選項錯誤；對于C選項，，C選項錯誤；對于D選項，，D選項錯誤.故選：A.9、A【解析】利用函數解析式，直接求出的值.【詳解】依題意.故選A.【點睛】本小題主要考查函數值的計算，考查函數的對應法則，屬于基礎題.10、D【解析】先將自變量的系數變為正數，再由三角函數的單調性得出自變量所滿足的不等式，求解即可得出所要的單調遞增區間【詳解】y＝sin（2x）＝﹣sin（2x）令，k∈Z解得，k∈Z函數的遞增區間是，]（k∈Z）故選D【點睛】本題考查正弦函數的單調性，求解本題的關鍵有二，一是將自變量的系數為為正，二是根據正弦函數的單調性得出相位滿足的取值范圍，解題時不要忘記引入的參數的取值范圍即k∈Z二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由題意可得：，則，據此有，即函數的周期為，設，則，據此可得：，若，則，此時.12、【解析】由點可得直線AB的方程及的值，可得圓心到直線AB的距離d及P到直線AB的最大距離，可得面積的最大值是.【詳解】解：直線AB的方程為，圓心到直線AB的距離，點P到直線AB的最大距離為.故面積的最大值是.【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式及兩點間距離公式等，需綜合運用所學知識求解.13、【解析】將代入函數解析式，求出的取值范圍，根據正弦取8次最大值，求出的取值范圍【詳解】因為，，所以，又函數在區間上恰有個最大值，所以，得【點睛】三角函數最值問題要注意整體代換思想的體現，由的取值范圍推斷的取值范圍14、【解析】將函數的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變得到，再將圖象向右平移個單位，得到，即，其圖象關于原點對稱.∴，，又∴故答案為15、【解析】根據圖象過點的坐標，求得冪函數解析式，再代值求得函數值即可.【詳解】設冪函數為y＝xα(α為常數).∵函數f(x)的圖象過點(4，2)，∴2＝4α，∴α＝，∴f(x)＝，∴f＝.故答案為：.【點睛】本題考查冪函數解析式的求解，以及冪函數函數值的求解，屬綜合簡單題.16、3【解析】分和兩種情況并結合分段函數的解析式求出x的值【詳解】由題意得(1)或(2)，由(1)得x＝2，與x≤1矛盾，故舍去由(2)得x＝3，符合x>1∴x＝3故答案為3【點睛】已知分段函數的函數值求自變量的取值時，一般要進行分類討論，根據自變量所在的范圍選用相應的解析式進行求解，求解后要注意進行驗證．本題同時還考查對數、指數的計算，屬于基礎題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、①.②.或【解析】①.由題意設出圓心坐標，結合圓經過的點得到方程組，求解方程組計算可得圓的方程為②.分類討論直線的斜率存在和斜率不存在兩種情況可得直線的方程為或試題解析：①由題意可知，設圓心為則圓為：，∵圓過點和點，∴，則即圓的方程為②設直線的方程為即，∵過點的直線截圖所得弦長為，∴，則當直線的斜率不存在時，直線為，此時弦長為符合題意，即直線的方程為或18、（1）（2）【解析】（1）利用三角函數的定義求得，利用和差角公式展開代入求解；（2）利用三角函數的定義求得利用和差角公式展開代入求解.【小問1詳解】由角的終邊過點，得【小問2詳解】（2）由角的終邊過點，得且19、（1）；（2），遞增區間為；（3）或.【解析】（1）利用函數圖像可直接得出周期T和A，再利用，求出，然后利用待定系數法直接得出的值（2）通過第一問求得的值可得到的函數解析式，令，再根據a的位置確定出a的值；令得到的函數值即為b的值；利用正弦函數單調增區間即可求出函數的單調增區間（3）令結合即可求得的取值【詳解】解：（1）由圖象知A=2，=-（-）=，得T=π，即=2，得ω=1，又f（-）=2sin[2×（-）+φ]=-2，得sin（-+φ）=-1，即-+φ=-+2kπ，即ω=+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴當k=0時，φ=，即A=2，ω=1，φ=；（2）a=--=--=-，b=f（0）=2sin=2×=1，∵f（x）=2sin（2x+），∴由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，即函數f（x）的遞增區間為[kπ-，kπ+]，k∈Z；（3）∵f（α）=2sin（2α+）=，即sin（2α+）=，∵α∈[0，π]，∴2α+∈[，]，∴2α+=或，∴α=或α=【點睛】關于三角函數圖像需記住：兩對稱軸之間的距離為半個周期；相鄰對稱軸心之間的距離為半個周期；相鄰對稱軸和對稱中心之間的距離為個周期關于正弦函數單調區間要掌握：當時，函數單調遞增；當時，函數單調遞減20、(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.【解析】（1）易得，,,均為直角三角形，且的面積最大，進而求解即可；（2）在平面ABC內，過點B作BN⊥AC，垂足為N．在平面PAC內，過點N作MN∥PA交PC于點M，連接BM，可證得AC⊥平面MBN，從而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.試題解析：（1）由題設AB＝1，AC＝2，BC＝，可得,所以,由PA⊥平面ABC，BC、AB?平面ABC,所以，,所以,又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,PB?平面PAB,所以,所以，,,均為直角三角形，且的面積最大，.（2）證明：在平面ABC內，過點B作BN⊥AC，垂足為N．在平面PAC內，過點N作MN∥PA交PC于點M，連接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.因為與相似，，從而NC＝AC－AN＝.由MN∥PA，得＝＝.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連結與交于點，連結，由中位線定理可得，再根據線面平行的判定定理即可證明結果；（2）方法一：根據線面垂直的判定定理，可證明平面；取的中點，易證平面，所以即所求角，再根據直棱柱的有關性質求即可得到結果；方法二:根據線面垂直的判定定理，可證明平面；取的中點，易證平面；所以即與平面所成的角，再根據直