PAGE第2課時不等式的證明學習任務核心素養1．駕馭綜合法、分析法證明問題的過程和推理特點，能敏捷選用綜合法、分析法證明簡潔問題．(重點、難點)2．了解反證法的定義，駕馭反證法的推理特點，駕馭反證法證明問題的一般步驟，能用反證法證明一些簡潔的命題．(難點、易錯點)1．通過綜合法、分析法的證明，提升邏輯推理實力．2．通過反證法的學習，提升數學抽象、邏輯推理實力.學問點一綜合法從已知條件動身，綜合利用各種結果，經過逐步推導最終得到結論的方法，在數學中通常稱為綜合法．綜合法最重要的推理形式為p?q，其中p是已知或者已得出的結論，所以綜合法的實質就是不斷找尋必定成立的結論．學問點二分析法從要證明的結論動身，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最終，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、公理、定理等)為止．分析法最重要的推理形式為p?q，其中p是須要證明的結論，所以分析法的實質就是不斷找尋結論成立的充分條件．學問點三反證法首先假設結論的否定成立，然后由此進行推理得到沖突，最終得出假設不成立．這種得到數學結論的方法通常稱為反證法．1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)綜合法是從結論向已知的逆推證法． ()(2)綜合法的推理過程事實上是找尋它的必要條件的過程．分析法的推理過程事實上是尋求使結論成立的充分條件的過程． ()(3)用反證法證明結論“a＞b”時，應假設“a≤b”． ()(4)用反證法證明時，推出的沖突不能與假設沖突． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2.將下面用分析法證明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步驟補充完整：要證eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證________，即證________，由于________明顯成立，因此原不等式成立．a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0[用分析法證明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步驟為：要證eq\f(a2＋b2,2)≥ab成立，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證a2＋b2－2ab≥0，即證(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0明顯成立，所以原不等式成立．]類型1綜合法的應用綜合法證明不等式的基本思路是什么？[提示]從已知條件動身，綜合利用各種結果，經逐步推導，最終得出結論．【例1】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).[思路點撥]可結合不等式的基本性質，分析所證不等式的結構，有理有據地導出證明結果．[證明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.兩邊同乘以eq\f(1,a－c2b－d2)，得eq\f(1,a－c2)＜eq\f(1,b－d2).又e＜0，∴eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).本例條件不變的狀況下，求證：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).[證明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d).又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).綜合法證明不等式綜合法證明不等式就是從已知條件動身，利用定義、公理、定理、性質等，經過一系列的推理、論證．而得出命題成立，它是順推的證法或由因導果．eq\o([跟進訓練])1．若bc－ad≥0，bd＞0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).[證明]∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∵bd＞0，∴eq\f(a,b)≤eq\f(c,d)，∴eq\f(a,b)＋1≤eq\f(c,d)＋1，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).類型2分析法的應用【例2】已知a＞0，證明：eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.[證明]要證eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只需證eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－(2－eq\r(2))．因為a＞0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－(2－eq\r(2))＝eq\f(a－12,a)＋eq\r(2)＞0，所以只需證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋\f(1,a2))))eq\s\up12(2)≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))－2－\r(2)))2，即2(2－eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))≥8－4eq\r(2)，只需證a＋eq\f(1,a)≥2.因為a＞0，所以a＋eq\f(1,a)－2＝eq\f(a2－2a＋1,a)＝eq\f(a－12,a)≥0，所以a＋eq\f(1,a)≥2明顯成立(當a＝1時等號成立)，所以要證的不等式成立．分析法證明不等式分析法證明命題時，就是從要證的結論動身，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實，這是一種執果索因的思索和證明方法．eq\o([跟進訓練])2．若a，b∈(1，＋∞)，證明：eq\r(a＋b)＜eq\r(1＋ab).[證明]要證eq\r(a＋b)＜eq\r(1＋ab)，只需證(eq\r(a＋b))2＜(eq\r(1＋ab))2，只需證a＋b－1－ab＜0，即證(a－1)(1－b)＜0.因為a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，即(a－1)(1－b)＜0成立，所以原不等式成立．類型3反證法的應用【例3】已知x∈R，a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，試證明a，b，c至少有一個不小于1．[證明]假設a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，則有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋eq\f(7,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3≥3.這與a＋b＋c＜3沖突，假設不成立，故a，b，c至少有一個不小于1．反證法證明問題的一般步驟eq\o([跟進訓練])3．若x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求證：eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)至少有一個小于2.[證明]假設eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)都不小于2，即eq\f(1＋y,x)≥2，eq\f(1＋x,y)≥2.∵x＞0，y＞0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，兩式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．∴x＋y≤2，這與已知中x＋y＞2沖突．∴假設不成立，原命題成立．故eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)至少有一個小于2.1．用反證法證明某命題時，對結論“自然數a，b，c中恰有一個偶數”正確的反設是()A．自然數a，b，c中至少有兩個偶數B．自然數a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數C．自然數a，b，c都是奇數D．自然數a，b，c都是偶數B[反證法證明命題時，反設是設結論的反面成立，即否定結論，故B正確．]2．求證：eq\r(7)－1＞eq\r(11)－eq\r(5).證明：要證eq\r(7)－1＞eq\r(11)－eq\r(5)，只需證eq\r(7)＋eq\r(5)＞eq\r(11)＋1，即證7＋2eq\r(7×5)＋5＞11＋2eq\r(11)＋1，即證eq\r(35)＞eq\r(11)，∵35＞11，∴原不等式成立．以上證明應用了()A．分析法B．綜合法C．分析法與綜合法協作運用D．反證法A[證明過程用的是分析法．]3．(多選題)應用反證法推出沖突的推導過程中，可以把下列哪些作為條件運用()A．結論的反設 B．已知條件C．定義、公理、定理等 D．原結論ABC[反證法推沖突的過程中，可以把結論的反設，已知條件，定義、定理、公理等作為已知條件運用，故選ABC．]4．(多選題)下列命題中，不正確的是()A．若a＜b＜0，則eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)B．若ac＞bc，則a＞bC．若eq\f(a,c2)＜eq\f(b,c2)，則a＜bD．若a＞b，c＞d，則a－c＞b－dABD[由不等式的性質可知選項