2025屆福建省福州市長樂區長樂高級中學高二數學第一學期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為3，則輸出的的值為（）A.3 B.6C.9 D.122．已知實數a，b滿足，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.3．若的解集是，則等于（）A.-14 B.-6C.6 D.144．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的A. B.C. D.5．已知，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.6．如圖，空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B.C. D.7．已知命題,命題,，則下列命題中為真命題的是A. B.C. D.8．橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則離心率（）A. B.C. D.9．在棱長均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.610．已知，則（）A. B.1C. D.11．已知點，，直線：與線段相交，則實數的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.12．已知雙曲線的左右焦點分別為、，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的面積為，則的漸近線方程為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓柱軸截面是邊長為4的正方形，則圓柱的側面積為______________

.14．已知函數集合，若A中有且僅有4個元素，則滿足條件的整數a的個數為______15．已知圓錐的側面積為，若其過軸的截面為正三角形，則該圓錐的母線的長為___________.16．已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立①數列是等差數列：②數列是等差數列；③注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線經過點且斜率為（1）求直線的一般式方程（2）求與直線平行，且過點的直線的一般式方程（3）求與直線垂直，且過點的直線的一般式方程18．（12分）已知為直角梯形，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19．（12分）已知定義域為的函數是奇函數，其中為指數函數且的圖象過點（1）求的表達式；（2）若對任意的．不等式恒成立，求實數的取值范圍；20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知點、，點M滿足，記點M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）若直線l過圓圓心D且與圓交于A，B兩點，點P為C上一個動點，求的最小值21．（12分）已知數列滿足，.（1）求證數列是等差數列，并求通項公式；（2）已知數列的前項和為，求.22．（10分）如圖，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若點P為棱的中點，點Q在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】模擬執行程序框圖，根據輸入數據，即可求得輸出數據.【詳解】當時，不滿足，故，即輸出的的值為.故選：.2、D【解析】利用特殊值排除錯誤選項，利用函數單調性證明正確選項.【詳解】時，，但，所以A選項錯誤.時，，但，所以B選項錯誤.時，，但，所以C選項錯誤.在上遞增，所以，即D選項正確.故選：D3、A【解析】由一元二次不等式的解集，結合根與系數關系求參數a、b，即可得.【詳解】∵的解集為，∴-5和2為方程的兩根，∴有，解得，∴.故選：A.4、B【解析】根據輸入的條件執行循環，并且每一次都要判斷結論是或否，直至退出循環.【詳解】，，，；，【點睛】本題考查程序框圖，執行循環，屬于基礎題.5、A【解析】根據給定條件構造函數，再探討其單調性并借助單調性判斷作答.【詳解】令函數，求導得，當時，，于是得在上單調遞減，而，則，即，所以，故選：A6、C【解析】根據空間向量的線性運算即可求解.【詳解】因為，又因為，，所以.故選：C7、D【解析】命題是假命題，命題是真命題，根據復合命題的真值表可判斷真假.【詳解】因為，故命題是假命題，又命題是真命題，故為假，為假，為假，為真命題，故選D.【點睛】復合命題的真假判斷有如下規律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.8、D【解析】根據長軸長是短軸長的2倍，得到，利用離心率公式即可求得答案.【詳解】∵，∴，故，故選：D9、C【解析】設，，，利用結合數量積的運算即可得到答案.【詳解】設，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C10、B【解析】先根據共軛復數的定義可得，再根據復數的運算法則即可求出【詳解】因為，所以故選：B11、A【解析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數形結合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實數的取值范圍是或，故選：A.12、D【解析】求得，根據的面積列方程，由此求得，進而求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題意，雙曲線的一條漸近線為，則，所以，所以，所以.所以雙曲線漸近線方程為.故選：D【點睛】本小題主要考查雙曲線漸近線的有關計算，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由圓柱軸截面的性質知：圓柱體的高為，底面半徑為，根據圓柱體的側面積公式，即可求其側面積.【詳解】由圓柱的軸截面是邊長為4的正方形，∴圓柱體的高為，底面半徑為，∴圓柱的側面積為.故答案為：.14、32【解析】作出的圖像，由時，不等式成立，所以，判斷出符合條件的非零整數根只有三個，即等價于時，；時，；利用數形結合，進行求解.【詳解】作出的圖像如圖所示：因為時，不等式成立，所以，符合條件的非零整數根只有三個.由可得：時，；時，；所以在y軸左側，的圖像都在的下方；在y軸右側，的圖像都在的上方；而，，，，.平移直線，由圖像可知：當時，集合A中除了0只含有1，2，3，符合題意，此時整數a可以取：-23，-22，-21……-9.一共15個；當時，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合題意.當時，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合題意，此時整數a可以取：5，6，7……20一共16個.所以整數a的值一共有15+1+16=32（個）.故答案為：32【點睛】分離參數法求零點個數的問題是轉化為，分別做出和的圖像，觀察交點的個數即為零點的個數．用數形結合法解決零點問題常有以下幾種類型：(1)零點個數：幾個零點；(2)幾個零點的和；(3)幾個零點的積.15、【解析】利用圓錐的結構特征及側面積公式即得.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線為l,又圓錐過軸的截面為正三角形，圓錐的側面積為，∴，∴.故答案為：.16、證明過程見解析【解析】選①②作條件證明③時，可設出，結合的關系求出，利用是等差數列可證；也可分別設出公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關系，對照系數，得到等量關系，進行證明.選①③作條件證明②時，根據等差數列的求和公式表示出，結合等差數列定義可證；選②③作條件證明①時，設出，結合的關系求出，根據可求，然后可證是等差數列；也可利用前兩項的差求出公差，然后求出通項公式，進而證明出結論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：設，則，當時，；當時，；因為也是等差數列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：設等差數列的公差為d，等差數列的公差為，則，將代入，化簡得對于恒成立則有，解得．所以選①③作條件證明②：因為，是等差數列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數列.選②③作條件證明①：[方法一]：設，則，當時，；當時，；因為，所以，解得或；當時，，當時，滿足等差數列的定義，此時為等差數列；當時，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數列.[方法二]【最優解】：因為，所以，，因為也為等差數列，所以公差，所以，故，當時，，當時，滿足上式，故的通項公式為，所以，，符合題意.【整體點評】這類題型在解答題后可證是等差數列；法二：利用是等差數列即前兩項的差求出公差，然后求出的通項公式，利用，求出的通項公式，進而證明出結論.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）先寫點斜式方程，再化一般式，（2）根據平行設一般式，再代點坐標得結果，（3）根據垂直設一般式，再代點坐標得結果.【詳解】(1)(2)設所求方程為因為過點，所以(3)設所求方程為因為過點，所以【點睛】本題考查直線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】建立空間直角坐標系.（1）方法一，利用向量的方法，通過計算，，證得，，由此證得平面.方法二，利用幾何法，通過平面證得，結合證得，由此證得平面.（2）通過平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，可得，，，.（1）證明法一：因為，，，所以，，所以，，，平面，平面，所以平面.證明法二：因為平面，平面，所以，又因為，即，，平面，平面，所以平面.（2）由（1）知平面的一個法向量，設平面的法向量，又，，且所以所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】（1）設（且），因為的圖象過點，求得a的值，再根據函數f(x)是奇函數，利用f(0)=0即可求得n的值，得到f(x)的解析式，檢驗是奇函數即可；（2）將分式分離常數后，利用指數函數的性質可以判定f(x)在R上單調遞減，進而結合奇函數的性質將不等式轉化為二次不等式，根據二次函數的圖象和性質，求得對于對任意的恒成立時a的取值范圍即可.【詳解】解：（1）由題意，設（且），因為的圖象過點，可得，解得，即，所以，又因為為上的奇函數，可得，即，解得，經檢驗，符合，所以（2）由函數，可得在上單調遞減，又因為為奇函數，所以，所以，即，又因為對任意的，不等式恒成立，令，即對任意的恒成立，可得，即，解得，所以實數的取值范圍為【點睛】本題考查函數的奇偶性，指數函數及其性質和函數不等式恒成立問題，關鍵是利用函數的單調性和奇偶性將不等式轉化為二次不等式在閉區間上恒成立問題，然后利用二次函數的圖象轉化為二次函數的端點值滿足的條件.另外注意，第一問中，利用特值f(0)=0求得解析式后，要注意檢驗對于任意的實數x，f(x)=-f(-x)恒成立.20、（1）（2）23【解析】（1）根據雙曲線的定義判斷軌跡，直接寫出軌跡方程即可；（2）設，利用向量坐標運算計算，再由二次函數求最值即可.【小問1詳解】由，則軌跡C是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設軌跡C的方程為，則，可得，，所以C的方程為；【小問2詳解】設，則，且，圓心，則因為，則當時，取最小值23.21、（1）證明見詳解，（2）【解析】（1）由題意將原式化簡變形得到，可證明數列是等差數列，由等差數列的通項公式則可得，進而得到的通項公式；（2）由（1）把的通項公式代入，得到，利用乘公比錯位相減法求和即可.【小問1詳解】若，則，這與矛盾，，由已知得，，故數列是以為首項，2為公差的等差數列，，即.【小問2詳解】設，則由（1）知，所以，，兩式相減，則，所以.22、（1），（2）【解析】（1）推導出，以A為原點，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦值；（2）設，則，求出平面的法向量，利用空間向量求出的長【詳解】解（1）在直四棱柱中，因為平面，平面，平面，所以因為，所以以A為原點，分別以，