河北省石家莊市行唐縣第三中學2025屆高二數學第一學期期末學業水平測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是定義在上的奇函數，對任意兩個不相等的正數、都有，記，，，則（）A. B.C. D.2．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個向量兩兩共面，則共面D.已知A，B，C三點不共線，若，則A，B，C，D四點共面3．下列結論正確的個數為（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A.4 B.3C.2 D.14．“”是“方程是圓的方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．在三棱柱中，，，，則這個三棱柱的高（）A1 B.C. D.6．已知兩定點和，動點在直線上移動，橢圓C以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的短軸的最小值為（）A. B.C. D.7．已知橢圓，則它的短軸長為（）A.2 B.4C.6 D.88．已知函數，當時，函數在，上均為增函數，則的取值范圍是A. B.C. D.9．已知直線過點，，則直線的方程為（）A. B.C. D.10．下列雙曲線中，以為一個焦點，以為一個頂點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.11．直線分別與曲線，交于，兩點，則的最小值為（）A. B.1C. D.212．已知，則條件“”是條件“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則與向量同方向的單位向量的坐標為____________.14．如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.15．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果________16．已知，滿足約束條件則的最小值為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，已知菱形的頂點和所在直線的方程為.（1）求對角線所在直線的一般方程；（2）求所在直線的一般方程.18．（12分）已知首項為1的等比數列，滿足（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和19．（12分）已知橢圓，其上頂點與左右焦點圍成的是面積為的正三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點的直線(的斜率存在)交橢圓于兩點，弦的垂直平分線交軸于點，問：是否是定值？若是，求出定值：若不是，說明理由.20．（12分）已知O為坐標原點，點P在拋物線C：上，點F為拋物線C的焦點，記P到直線的距離為d，且.（1）求拋物線C的標準方程；（2）若過點的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程.21．（12分）如圖，已知四邊形中，，，，且，求四邊形的面積22．（10分）已知（1）若函數在上有極值，求實數a的取值范圍；（2）已知方程有兩個不等實根，證明：（注：是自然對數的底數）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題，可得是定義在上的偶函數，且在上單調遞減，在上單調遞增，根據函數的單調性，即可判斷出的大小關系.【詳解】設，由題，得，即，所以函數在上單調遞減，因為是定義在R上的奇函數，所以是定義在上的偶函數，因此，，，即.故選：A【點睛】本題主要考查利用函數的單調性判斷大小的問題，其中涉及到構造函數的運用.2、D【解析】對于A，利用空間向量基本定理判斷，對于B，利用向量的定義判斷，對于C，舉例判斷，對于D，共面向量定理判斷【詳解】對于A，若三個向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯誤，對于B，因為向量是自由向量，是可以自由平移，所以當所在的直線是異面直線時，有可能共面，所以B錯誤，對于C，當三個向量兩兩共面時，如空間直角坐標系中的3個基向量兩兩共面，但這3個向量不共面，所以C錯誤，對于D，因為A，B，C三點不共線，，且，所以A，B，C，D四點共面，所以D正確，故選：D3、D【解析】根據常數函數的導數為0，可判斷①；根據冪函數的求導公式，可判斷②；根據指數函數以及對數函數的求導公式，可判斷③④.【詳解】由得：，故①錯誤；對于，，故，故②正確；對于，則，故③錯誤；對于，則，故④錯誤，故選：D4、A【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】若方程表示圓，則，即，解得或，故“”是“方程是圓的方程”的充分不必要條件，故選：A5、D【解析】先求出平面ABC的法向量，然后將高看作為向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對值，則答案可求.【詳解】設平面ABC的法向量為，而，，則,即有,不妨令,則,故,設三棱柱的高為h，則,故選：D.6、B【解析】根據題意，點關于直線對稱點的性質，以及橢圓的定義，即可求解.【詳解】根據題意，設點關于直線的對稱點，則，解得，即.根據橢圓的定義可知，，當、、三點共線時，長軸長取最小值，即，由且，得，因此橢圓C的短軸的最小值為.故選：B.7、B【解析】根據橢圓短軸長的定義進行求解即可.【詳解】由橢圓的標準方程可知：，所以該橢圓的短軸長為，故選：B8、A【解析】由，函數在上均為增函數，恒成立，,設，則，又設，則滿足線性約束條件，畫出可行域如圖所示，由圖象可知在點取最大值為，在點取最小值.則的取值范圍是，故答案選A考點：利用導數研究函數的性質，簡單的線性規劃9、C【解析】根據兩點的坐標和直線的兩點式方程計算化簡即可.【詳解】由直線的兩點式方程可得，直線l的方程為，即故選：C10、C【解析】設出雙曲線方程，根據題意，求得，即可選擇.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，故可設雙曲線方程為，且；又為一個頂點，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.11、B【解析】設，，，，得到，用導數法求解.【詳解】解：設，，，，則，，，令，則，函數在上單調遞減，在上單調遞增，時，函數的最小值為1，故選：B12、A【解析】若命題，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件【詳解】因為，所以，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由空間向量的模的計算求得向量的模，再由單位向量的定義求得答案.【詳解】解：因為，所以，所以與向量同方向的單位向量的坐標為，故答案為：.14、【解析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.15、132【解析】根據程序框圖模擬程序運行，確定變量值的變化可得結論【詳解】程序運行時，變量值變化如下：，判斷循環條件，滿足，，；判斷循環條件，滿足，，；判斷循環條件，不滿足，輸出故答案為：13216、2【解析】由題意，根據約束條件作出可行域圖，如圖所示，將目標函數轉化為，作出其平行直線，并將其在可行域內平行上下移動，當移到頂點時，在軸上的截距最小，即.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）首先求的中點，再利用垂直關系求直線的斜率，即可求解；（2）首先求點的坐標，再求直線的斜率，求得直線的斜率，利用點斜式直線方程，即可求解.【小問1詳解】由和得：中點四邊形為菱形，，且中點，對角線所在直線方程為：，即：.【小問2詳解】由，解得：，，，，直線的方程為：，即：.18、（1）（2）【解析】（1）根據已知條件求得數列的公比，由此求得.（2）利用錯位相減求和法求得.【小問1詳解】設等比數列的公比為，由，可得.故數列是以1為首項，3為公比的等比數列，所以【小問2詳解】由（1）得，，①，②①②，得所以19、（1）；（2）是定值，定值為4【解析】（1）根據正三角形性質與面積可求得即可求得方程；（2）當直線斜率不為0時，設其方程代入橢圓方程利用韋達定理求得兩根關系式，進而求得的表達式，最后求比值即可；當直線斜率為0時直接求解即可【詳解】（1）為正三角形，，可得，且，∴橢圓的方程為.（2）分以下兩種情況討論：①當直線斜率不為0時，設其方程為，且，聯立，消去得，則，且，∴弦的中點的坐標為，則弦的垂直平分線為，令，得，，又，；②當直線斜率為0時，則，，則.綜合①②得是定值且為4【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值20、（1）；（2）或.【解析】（1）根據拋物線的定義進行求解即可；（2）根據直線l是否存在斜率分類討論，結合一元二次方程根的判別式進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以P到直線的距離等于，所以拋物線C的準線為，所以，，所以拋物線C的標準方程為；【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，方程為，此時直線l恰與拋物線C相切當直線l的斜率存在時，設其方程為，聯立方程，得若，顯然不合題意；若，則，解得此時直線l的方程為綜上，直線l與拋物線C相切時，l的方程為或.21、.【解析】在中由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，再利用四邊形的面積，結合三角形面積公式可得答案.【詳解】在中，由，，，可得在中，由，，，可得又，故．所以四邊形的面積=【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查了三角形面積公式的應用，屬于中檔題.22、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）利用導數判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實數a的取值范圍；（2）記函數，把證明，轉化為只需證明，用分析法證明即可.【小問1詳解】，定義域為，.令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數在上有極值，只需，解得：，即實數a的取值范圍為.【小問2詳解】記函數.則函數有兩個不等實根.因為，，兩式相減得，，兩式相加得