《等差數列前n項和》教案（高一年級第一冊·第三章第三節）一、教材分析●教學內容《等差數列前n項和》人教版高中教材第三章第三節“等差數列前n項和”的第一課時，主要內容是等差數列前n項和的推導過程和簡單應用●地位與作用高中數列研究的主要對象是等差、等比兩個基本數列。本節課的教學內容是等差數列前n項和公式的推導及其簡單應用。在推導等差數列前n項和公式的過程中，采用了：1.從特殊到一般的研究方法；2.逆序相加求和。不僅得出了等差數列前n項和公式，而且對以后推導等比數列前n項和公式有一定的啟發，也是一種常用的數學思想方法。等差數列前n項和是學習極限、微積分的基礎，與數學課程的其它內容（函數、三角、不等式等）有著密切的聯系。二、學情分析●知識基礎：高一年級學生已掌握了函數，數列等有關基礎知識，并且在初中已了解特殊的數列求和。●認知水平與能力：高一學生已初步具有抽象邏輯思維能力，能在教師的引導下獨立地解決問題。●任教班級學生特點：我所任教的班級是普通班級，學生基礎知識不是很扎實，處理抽象問題的能力還有待進一步提高.三、目標分析1、教學目標依據教學大綱的教學要求，滲透新課標理念，并結合以上學情分析，我制定了如下教學目標．●知識與技能目標掌握等差數列前n項和公式，能較熟練應用等差數列前n項和公式求和。●過程與方法目標經歷公式的推導過程，體會數形結合的數學思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思。●情感、態度與價值觀目標獲得發現的成就感，逐步養成科學嚴謹的學習態度，提高代數推理的能力。2、教學重點、難點根據教學內容和本校學生特點，我確定本節課的教學重點為：●重點等差數列前n項和公式的推導和應用.●難點等差數列前n項和公式的推導過程中滲透倒序相加的思想方法。●重、難點解決的方法策略本課在設計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學策略．利用數形結合、類比歸納的思想，層層深入，通過學生自主探究，分析、整理出推導公式的不同思路，同時，借助多媒體的直觀演示，幫助學生理解，并通過范例后的變式訓練和教師的點撥引導，師生互動、講練結合，從而突出重點、突破教學難點．四、過程設計結合教材知識內容和教學目標，本課的教學環節及時間分配如下：公式應用與議練活動（1）（5公式應用與議練活動（1）（5分鐘）探究等差數列前n項和公式（18分鐘）創設情景提出問題（2分鐘）公式應用與議練活動（2）公式應用與議練活動（2）（9分鐘）歸納總結（2分鐘）歸納總結（2分鐘）公式的認識與理解（4分鐘）五、教學過程教學環節教師活動教師活動學生活動學生活動活動說明新課引入新課引入創設情境：首先讓學生欣賞一幅美麗的圖片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景點，傳說中陵寢中有一個三角形的圖案嵌有大小相同的寶石，共有100層，同時提出第一個問題：你能計算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計算1+2+3+…..+100=？現實模型：圖片欣賞②生活實例模型直觀用實際生活引入新課。探索公式探索公式探索公式探索公式議練活動議練活動課堂總結首先認識一位偉大的數學家——高斯，然后提出問題：高斯是如何快速計算1+2+3+4+…..+100？分析高斯求法得出的式子，發現Sn=1＋2＋3＋…＋98+99+100（1）Sn=100＋99＋98＋…＋3+2+1（2）（1）+（2）得：設等差數列{}前n項和為,則問題1老師：利用高斯算法如何求等差數列的前n項和公式？老師：但是否剛好配對成功呢？但是對n討論麻煩了，能否有更好的方法求前n項和公式呢？接下來給出實際問題：伐木工人是如何快速計算堆放在木場的木頭根數呢？問題2：如何用倒置的思想求等差數列前n項和呢？方法一：兩式相加得：方法二同樣利用倒序相加求和法，教材做了如下處理：兩式相加得：引導學生帶入等差數列的通項公式，換掉整理得到公式2。能否給求和公式一個幾何解釋呢？教師提示將求和公式與梯形建立聯系。例1：某長跑運動員７天里每天的訓練量（單位：m）是：750080008500900095001000010500這位長跑運動員７天共跑了多少米？本例提供了許多數據信息，學生可以從首項、末項、項數出發，使用公式1，也可以從首項、公差、項數出發，使用公式2求和。剖析公式：教師提示，從方程中量的關系入手。例2等差數列-10，-6，-2，2，…前多少項的和為54？本例已知首項，前n項和、并且可以求出公差，利用公式2求項數。事實上，在兩個求和公式中各包含四個元素，從方程的角度，知三必能求余一。例3．在等差數列中，已知，求。 本小題主要考察了對公式一的整體應用。根據課堂剩余時間，本題作為機動練習，（2）小問留給學生課后完成1、教師引導學生歸納總結本節課所學習的主要內容．動手體驗，反饋信息（2個練習題）中，若，求2.課后作業：A必做題教材118頁：練習１、２、３；習題第２題（３、４）B選做題：在等差數列中，學生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050學生:通過等式變形，可把一組數求和看作先求得兩組完全相同的數組的和再除以2即可學生：將首末兩項配對，第二項與倒數第二項配對，以此類推，每一對的和都相等，并且都等于。學生：不一定，需要對n取值的奇偶進行討論。當n為偶數時剛好配對成功。當n奇數時，中間的一項落單了。學生觀察動畫演示，不難發現用倒置的思想來解決此問題。（由上一問題的解決，學生容易想到倒序相加求和法。）學生：利用倒序相加求和法。將中的每一項用等差數列的通項公式進行巧妙的改寫，在倒序相加求和時，每一組中的d都被正負抵消了。學生類比方法一與方法二的聯系與區別。學生：將求和公式與梯形面積公式建立聯系。學生自己閱讀教材，體會教材的解法是如何運用求和公式。觀察多媒體課件演示。學生討論：公式中一共含有五個量，根據三個公式之間的聯系，由方程的思想，知三可求二。學生討論分析題目所含的已知量，選取了公式2進行運算，利用了方程的思想。需要注意的是學生可能會把公差認為是-4以及解得n的值后未把n=-3舍去。本例是使用等差數列的求和公式和通項公式求未知元。可以使用公式2，先求出首項，再使用通項公式求末項。也可以使用公式1和通項公式，聯列方程組求解。本環節由學生自主歸納、總結本節課所學習的主要內容，教師加以補充說明．（1）回顧從特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）體會等差數列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及數形結合的數學思想.（3）掌握等差數列的兩個求和公式及簡單應用。高斯求和眾所周知，學生能快速解答。這里用到了等差數列腳標和性質從高斯算法出發，對n進行討論尋找求和公式思路自然，學生容易想到。倒序相加求和法是重要的數學思想，為以后數列求和的學習做好了鋪墊。在等差數列前n項和公式的推導過程中，通過問題獲得知識，讓學生經歷“發現問題——提出問題——解決問題”的過程利用數形結合的思想，使學生對兩個公式有直觀的認識，體會數學的圖形語言。通過對實際問題的解決讓學生認識到數學來源于生活，同時又服務于生活例2在解決了例1的基礎上，由淺入深，深化了對公式的理解，體現了方程的思想。緊扣教材，讓學生體會整體應用公式，類比化歸的思想方法，同時，為以后綜合問題的解答設下伏筆。《等式的性質》典型例題例1回答下列問題；（1）從，能否得到，為什么？（2）從，能否得到，為什么？（3）從，能否得到，為什么？（4）從，能否得到，為什么？（5）從，能否得到，為什么？（6）從，能否得到，為什么？例2用適當的數或整式填空，使所得結果仍是等式，并說明是根據哪條性質以及怎樣變形的：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么；（4）如果，那么；（5）如果，那么；（6）如果，那么；（7）如果，那么；（8）如果，那么．例3請利用等式性質解方程：①例4利用等式的性質解下列方程并檢驗：（1）（2）（3）例5學校每年都要組織部分學生到游樂園游玩，并有一名帶隊去師．游樂園的門票成人8元，學生5元，此次購買門票共花183元，問共有多少學生參加了此次活動？例6利用等式性質解下列一元一次方程（1）；（2）；（3）；（4）．例7甲隊有32人，乙隊有28人，如果要使甲隊人數是乙隊人數的2倍，那么需從乙隊抽調多少人到甲隊？例8A足球隊進行足球聯賽，聯賽規定每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，A隊一共比賽了10場，并保持不敗記錄，一共得了22分．A隊勝了多少場？平了多少場？例9一商店把某商品按標價的九折出售仍可獲知得20％的利潤率，若該商品的進價是每件30元，則標價是每件_________元．例10某藥店經營的抗病毒藥品，在市場緊缺的情況下提價100％，物價部門查處后，限定其提價的幅度只能是原價的10％，則該藥品現在的降價的幅度是（）A．45％B．50％C．90％D．95％

參考答案例1解：（1）從能得到，根據等式性質1，在等式兩邊同時減去就得到；（2）從不能得到．因為是是否為0不確定，因此不能根據等式的性質2，在等式的兩邊同除以；（3）從能得到．根據等式性質2，等式兩邊都乘以；（4）從能得到．根據等式性質1，在等式兩邊都加上；（5）從能得到．由隱含著．因此根據等式的性質2．在等式兩邊都除以；（6）從不能得到．因為是否為零不能確定，因此不能在兩邊同除以．說明：在使用等式的性質2時，一定要注意除數不為0的條件，還要注意題目中的隱含條件，比如隱含著．例2分析：本題是等式性質的應用也是本節的難點，解答這類題目的關鍵是看第二個等式中不需要填空的一邊是怎樣由第一個等式的相應一邊變化而來的．比如本題的第（1）題，第二個等式的左邊是3不需填空，3是由第一個等式的左邊減去5得到的，所以第二個等式的右邊也應減5，即，因此填空為5，其它題目可進行類似地分析．解：（1）；根據等式性質1．等式兩邊都減去5．（2）；根據等式性質1．等式兩邊都加上3．（3）；根據等式性質1．等式兩邊都加上．（4）；根據等式性質2．等式兩邊都乘以2．（5）；根據等式的性質1．等式兩邊都加上．（6）；根據等式的性質2．等式兩邊都除以4．（7）；根據等式性質1．等式兩邊都加上2．（8）；根據等式性質2，等式兩邊都乘以6．例3分析：第一步，想辦法去掉等式右邊的，可以利用等式性質1，兩邊同減去，得②第二步，想辦法去掉左邊的－10，可利用等式性質1，兩邊同加上10，得③第三步，想辦法把x項的系數3變成1，可以利用等式性質2，兩邊同乘以，得④于是我們求出了方程①的解解：兩邊同減去，得兩邊同加上10，得兩邊同乘以，得．說明：上述等式①、②、③、④都是方程，其中等式④具有雙重性：既可以看成是方程，也可以看成是方程的解．例4解：（1）兩邊減9，得化簡，得兩邊同除以2，得檢驗：將代入方程的左邊，得方程的左右兩邊相等，所以是方程的解．（2）兩邊加6，得化簡，得兩邊同除以0.5，得檢驗：將代入方程的左邊，得方程的左右兩邊相等，所以是方程的解．（3）兩邊減4，得化簡，得兩邊同除以－3，得檢驗：將代入方程的左邊，得方程的左右兩邊相等，所以是方程的解．說明：（1）解方程是運用等式的性質將方程轉化為的形式，解方程的過程也可以看作是等式變形的過程．在解方程的過程中，要注意嚴格按照等式的性質．（2）檢驗是檢查所求未知數的值是否為方程的解的必要過程，將所得到的未知數的值代人方程中，經計算后觀察等式左右兩邊是否相等．（3）無論是解方程還是檢驗都應注意計算的準確性，養成正確計算的習慣．例5解：設共有學生x人參加，購買門票共花5x元．則：兩邊減8，得兩邊同時除以5，得答：共有35個學生參加了此次活動．說明：列方程解應用問題關鍵是找準題目中的相等關系，此題可以以總錢數作為相等關系，也可以以學生購票所花錢數作為相等關系，求出方程的解后還應觀察其是否符合實際意義，以及時發現錯誤．例6分析：（1）（2）利用性質1，（3）利用性質2，（4）利用性質1和性質2．解：（1）兩邊同時減去2得于是．（2）兩邊同時加上5得于是，習