試卷第=page22頁，共=sectionpages3535頁第二十五章概率初步知識歸納與題型突破（9題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、事件類型①必然事件：有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件.②不可能事件：有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件.③不確定事件：許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件.

二、概率1.用直接列舉法求概率直接獲得所有可能的試驗(yàn)結(jié)果數(shù),以及事件所包含的可能的結(jié)果數(shù),運(yùn)用古典概型的求法求概率.2.用列表法列舉法求概率用列表法:用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫列表法.當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時,為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用列表法.3.畫樹形圖法求概率樹形圖法:就是用畫樹形圖的方法列出某事件的所有可能的結(jié)果,求出出現(xiàn)某種結(jié)果的概率的方法.當(dāng)一次試驗(yàn)涉及三個或更多的因素時,為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用“樹形圖”法來求概率.三、用頻率估計(jì)概率1．在重復(fù)試驗(yàn)中，某個事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)（m），頻數(shù)（m）與試驗(yàn)總次數(shù)（n）的比，叫這個事件出現(xiàn)的頻率.一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A發(fā)生的概率，記作P(A)＝p.也就是說，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時，頻率≈概率.2．實(shí)際問題中的試驗(yàn)一般不屬于各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等的類型，所以先用頻率去估計(jì)概率，然后根據(jù)估計(jì)的概率解決相關(guān)問題．用頻率估計(jì)概率是重要的統(tǒng)計(jì)思想.在實(shí)際問題中往往根據(jù)概率與頻率的關(guān)系進(jìn)行簡單的估算或預(yù)測.0303題型歸納題型一事件分類例：下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？(1)張兵買來的電影票的座位號是偶數(shù)；(2)拋出去的鉛球會落在地上；(3)嬰兒會騎摩托車．2．下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．明天太陽從東方升起 B．拋擲硬幣時，正面朝上C．經(jīng)過紅綠燈路口，遇到紅燈 D．?dāng)S一次骰子，向上的一面是6點(diǎn)3．射擊運(yùn)動員隨機(jī)射擊一次，命中靶心，這個事件是（

）A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機(jī)事件 D．確定性事件4．下列事件中、屬于不可能事件的是（）A．打開電視機(jī)、正在直接足球比賽 B．在只裝有2個玻璃球球的袋中摸出一個球是黑球C．?dāng)S一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于7 D．當(dāng)室外溫度低于時，一碗清水在室外會結(jié)冰5．下列成語描述的事件是隨機(jī)事件的是（

）A．水中撈月 B．日出東方 C．守株待兔 D．畫餅充饑6．拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，擲一次骰子，下列事件中是不可能事件的為（）A．點(diǎn)數(shù)為1 B．點(diǎn)數(shù)為3 C．點(diǎn)數(shù)為5 D．點(diǎn)數(shù)為77．下列成語描述的事件為隨機(jī)事件的是（）A．守株待兔 B．種豆得豆 C．水中撈月 D．水漲船高8．在一個不透明的抽獎盒里裝有除顏色外無其他差別的個紅球、個黃球和個藍(lán)球，從中隨機(jī)抽出個球，下列事件屬于隨機(jī)事件的是（

）A．至少摸出一個藍(lán)球 B．至少摸出兩個黃球C．至少摸出一個紅球 D．至少摸出兩個藍(lán)球題型二判斷事件的可能性例：有一個轉(zhuǎn)盤（如圖所示），被分成6個相等的扇形，顏色分為紅、綠、黃三種，指針的位置固定．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后任其自由停止，其中的某個扇形會恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€扇形的交線時，重新轉(zhuǎn)動）．下列事件：①指針指向紅色；②指針指向綠色；③指針指向黃色；④指針不指向黃色；⑤指針不指向綠色．思考各事件的可能性大小，然后回答下列問題：

(1)可能性最大和最小的事件分別是哪個？（用序號表示）(2)將這些事件的序號按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列．10．一個布袋里裝有2個紅球，4個黑球，3個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則下列事件中，發(fā)生可能性最大的是（

）A．摸出的是綠球 B．摸出的是黑球C．摸出的是紅球 D．摸出的是白球11．如圖是一個游戲轉(zhuǎn)盤．自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，指針落在數(shù)字1，2，3，4所示區(qū)域內(nèi)可能性最大的是（）A．1號 B．2號 C．3號 D．4號12．一只不透明的袋子中裝有1個白球、2個黃球和3個紅球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，①該球是白球；②該球是黃球；③該球是紅球．將這些事件的序號按發(fā)生的可能性從小到大排列為．13．在一副撲克牌中，任意抽取一張，則下列事件：①抽到“紅桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“紅色的”，則事件發(fā)生的可能性最大的是．（填序號）【答案】④題型三概率公式例：骰子各面上的點(diǎn)數(shù)分別是1，2，…，6，拋擲一枚骰子，點(diǎn)數(shù)是2倍數(shù)的概率是（）A． B． C． D．115．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)在，，，0，1，2六個數(shù)中任取一個數(shù)作為m的取值，代入方程，求使得方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的概率．16．身份證是每一個公民的重要證件，身份證號碼由位數(shù)碼組成，其中第位表示性別（奇數(shù)分給男性，偶數(shù)分給女性）．例如：某同學(xué)的身份證號碼是，那么這位同學(xué)是男生．臨近中考，為了核對大家的報(bào)考信息，需收集學(xué)生的身份證．某班有個男生，個女生，從收齊的身份證中隨機(jī)抽取一張，第位數(shù)碼是奇數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．17．有5個除顏色以外大小觸感完全相同的小球裝在一個不透明的口袋中，其中2個紅球，3個白球．隨機(jī)摸出一個小球，摸出紅球的概率是.18．勞動委員統(tǒng)計(jì)了某周全班同學(xué)的家庭勞動次數(shù)（單位：次），按勞動次數(shù)分為組：，，，，繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖．從中任選一名同學(xué)，則該同學(xué)這周家庭勞動次數(shù)不足次的概率是．題型四幾何概率例：一房屋內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖所示，小李在房屋內(nèi)自由走動，求他停留在臥室或客廳的概率是多少？20．如圖，過矩形對角線的交點(diǎn)，且分別交、于、，矩形內(nèi)的一個動點(diǎn)落在陰影部分的概率是（

）A． B． C． D．21．如圖，隨機(jī)地投放一粒米，米粒落在陰影部分（邊界忽略不計(jì)）的概率是．22．如圖，地上畫了兩個半徑分別為和的同心圓．假設(shè)用小石子投中圓形區(qū)域上的每一點(diǎn)是等可能的（若投中圓的邊界或沒有投中圓形區(qū)域，則重投1次），任意投擲小石子一次，則投中白色小圓的概率為．

23．向如圖所示的正三角形區(qū)域內(nèi)扔沙包，（區(qū)域中每個小正三角形陳顏色外完全相同）沙包隨機(jī)落在某個正三角形內(nèi)．(1)扔沙包一次，落在圖中陰影區(qū)域的概率是．(2)要使沙包落在圖中陰影區(qū)域和空白區(qū)域的概率均為，還要涂黑幾個小正三角形？請?jiān)趫D中畫出．題型五列舉法求概率例：2024年“甲骨文杯”安陽馬拉松賽于4月21日開賽，共設(shè)全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑項(xiàng)目．現(xiàn)從這三個項(xiàng)目中隨機(jī)選擇兩項(xiàng)進(jìn)行推廣，則選到歡樂跑項(xiàng)目的概率是（

）A． B． C． D．25．從，，這三個數(shù)中隨機(jī)抽取兩個數(shù)分別記為x，y，把點(diǎn)的坐標(biāo)記為，若點(diǎn)為，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線經(jīng)過第二象限的概率為．26．如圖，隨機(jī)地閉合開關(guān)中的三個，能夠使燈泡同時發(fā)光的概率是．27．小瑩在做手抄報(bào)時，用到了紅色、黃色、藍(lán)色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽和筆芯顏色分別一致．完成手抄報(bào)后，她隨機(jī)地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是．題型六列表法求概率例：某中學(xué)學(xué)生會要從初三（2）班4名同學(xué)（2男2女）中選出周一晨會的升旗手，選人的方法是從這4人中隨機(jī)選出2人．(1)請你用列表或畫樹狀圖的方法求出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（兩名男生分別用，表示，兩名女生分別用，表示）；(2)求這2名同學(xué)性別相同的概率．29．十二生肖是我國歷史悠久的民俗文化符號，是十二地支的形象化代表；根據(jù)文獻(xiàn)資料記載，最早并廣為流傳的完整十二生肖循環(huán)，是由東漢王充在公元1世紀(jì)期間所著《論衡》中提出的；下列四副十二生肖圖片，大小、形狀、質(zhì)地完全相同，小樂從中隨機(jī)抽取一張（不放回），再從中隨機(jī)抽取一張，兩張圖片恰好是“?！焙汀巴谩钡母怕适牵?/p>

）

A． B． C． D．30．在深圳中考體育科目中，分為必考項(xiàng)目和選考項(xiàng)目，其中男生的必考項(xiàng)目為在200米和1000米項(xiàng)目中二選一；女生的必考項(xiàng)目為在200米、800米項(xiàng)目中二選一，小明（男生）、小花（女生）（兩人選擇每個項(xiàng)目的可能性一樣）所選的必考項(xiàng)目不同的概率是31．如圖所示，方案1和方案2都是由2個電子元件和組成的電路系統(tǒng)，其中每個元件正常工作的概率均為，且每個元件能否正常工作互相不影響．當(dāng)?shù)降碾娐窞橥窢顟B(tài)時，系統(tǒng)正常工作，當(dāng)?shù)降碾娐窞閿嗦窢顟B(tài)，系統(tǒng)不能正常工作．（1）方案1中電路為通路的概率為；（2）根據(jù)電路系統(tǒng)正常工作的概率，連接方案更穩(wěn)定可靠的電路是（選填“方案1”或“方案2”）．32．某市為創(chuàng)評“全國文明城市”稱號，周末組織志愿者進(jìn)行宣傳活動．班主任張老師決定從4名女生（小悅、小惠、小艷和小倩）中通過抽簽的方式選擇2名女生去參加．抽簽規(guī)則：將4名女生的姓名分別寫在4張完全相同的卡片正面，把4張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，梁老師從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下姓名，再從剩下的3張卡片中隨機(jī)抽取第二張，記下姓名．(1)該班男生“小剛被抽中”是事件，“小悅被抽中”是事件（填“不可能”“必然”或“隨機(jī)”）；第一次抽取卡片“小悅被抽中”的概率為．(2)試用畫樹狀圖法或列表法求出小惠被抽中的概率．題型七樹狀圖法求概率例：2023年6月4日，我省“神十五”航天員張陸和他的兩位戰(zhàn)友安全回到地球家園，“神十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守，空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙，現(xiàn)在要從這三名航天員中選2人各進(jìn)入一個實(shí)驗(yàn)艙開展科學(xué)實(shí)驗(yàn)，假設(shè)“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進(jìn)入問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙開展實(shí)驗(yàn)的機(jī)會均等，則甲、乙兩人同時被選中的概率為（

）A． B． C． D．34．成都有古堰流碧、祠堂柏森、青城疊翠、草堂喜雨等美景．現(xiàn)將分別印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城疊翠”“草堂喜雨”圖案的卡片卡片除圖案外都相同各1張放入不透明的甲盒中，再將與甲盒中完全一樣的4張卡片放入不透明的乙盒中．小蘭從甲、乙兩個盒中各隨機(jī)抽取1張卡片，則抽到的卡片恰好是1張“古堰流碧”和1張“青城疊翠”的概率是（

）A． B． C． D．35．小宇與小琳用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做配數(shù)游戲，甲盤平均分成四個面積相等的扇形，乙盤平均分成三個面積相等的扇形．兩位同學(xué)分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤一次．甲盤指針指向的數(shù)作為個位上的數(shù)，乙盤指針指向的數(shù)作為十位上的數(shù)，組成一個兩位數(shù)．這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率為．

36．西安是中華文明的重要發(fā)祥地，其飲食文化也十分豐富多彩．某校要舉行“我為家鄉(xiāng)美食代言”的宣講活動，主要介紹西安的特色美食，已知學(xué)校給定了4個極具特色的主題：A．羊肉泡饃；B．面；C．肉夾饃；D．涼皮．參加的選手從這四個主題中隨機(jī)抽取一個進(jìn)行宣講，小樂和小陽都參加了這項(xiàng)活動．(1)小樂抽中“C．肉夾饃”主題的概率是；(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，求小樂和小陽抽中不同主題的概率．37．春節(jié)是我國的傳統(tǒng)佳節(jié)，深圳是一個很年輕包容的城市，市民來自全國各地．春節(jié)期間，小深調(diào)查了本年級學(xué)生的去向．其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示廣東省內(nèi)深圳市外．并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖．請根據(jù)以上信息回答：(1)本次參加抽樣調(diào)查的學(xué)生有人；(2)將兩幅不完整的圖補(bǔ)充完整；(3)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中C所對圓心角的度數(shù)；(4)若有來自A、B、C、D的四位同學(xué)，從中抽取兩位同學(xué)在開學(xué)典禮中分享春節(jié)見聞，請用樹狀圖或列表法求恰好抽到的同學(xué)都來自廣東省的概率．（1）用條形統(tǒng)計(jì)圖中D的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計(jì)圖中D的百分比可得答案．（2）分別求出C類的人數(shù)、扇形統(tǒng)計(jì)圖中A，C的百分比，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖即可．（3）用乘以C的百分比，即可得出答案．題型八游戲公平性例：在學(xué)校開展的數(shù)學(xué)活動課上，小明、小紅和小剛制作了一個正三棱錐(質(zhì)量均勻，4個面完全相同)，并在各個面上分別標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4，游戲規(guī)則如下：小明和小剛投擲三棱錐各1次，并記錄底面的數(shù)字，如果兩次投擲所得底面數(shù)字相等，那么重新投擲；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和小于5，那么小明贏；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和等于5，那么小紅贏；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和大于5，那么小剛贏．(1)投擲1次，底面數(shù)字出現(xiàn)3是事件(填“不可能”“必然”或“隨機(jī)”)；投擲兩次，底面數(shù)字和為5的概率為．(2)請用列表或畫樹狀圖的方法表示上述游戲中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分別求出小明、小紅和小剛贏的概率，并判斷此游戲?qū)θ耸欠窆剑?9．某運(yùn)動會服務(wù)中心要在某校選拔一名志愿者，經(jīng)筆試、面試，結(jié)果小明和小穎并列第一．評委會決定通過抓球來確定人選，抓球規(guī)則如下：在不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的2個紅球和1個綠球，小明先取出一個球，記下顏色后放回，小穎再取出一個球，若取出的球都是紅球，則小明獲勝；若取出的球是一紅一綠，則小穎獲勝，你認(rèn)為這個規(guī)則（

）A．公平 B．對小明有利C．對小穎有利 D．無法確定對誰有利40．小明和小亮是一對雙胞胎，他們的爸爸買了兩套不同品牌的運(yùn)動服送給他們，小明和小亮都想先挑選．于是小明設(shè)計(jì)了如下游戲來決定誰先挑選．游戲規(guī)則是：在一個不透明的袋子里裝有除數(shù)字以外其它均相同的4個小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．一人先從袋中隨機(jī)摸出一個小球，另一人再從袋中隨機(jī)摸出一個小球．若摸出的兩個小球上的數(shù)字之積為3的倍數(shù)，則小明先挑選；否則小亮先挑選．這個游戲?qū)絾幔空堈f明理由．41．小明、小亮做一個“配色”的游戲．下圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形，并涂上圖中所示的顏色，同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)盤A轉(zhuǎn)出了紅色，轉(zhuǎn)盤B轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，或者轉(zhuǎn)盤A轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，轉(zhuǎn)盤B轉(zhuǎn)出了紅色，則紅色和藍(lán)色在一起配成紫色，這種情況下小亮贏；同樣，藍(lán)色和黃色在一起配成綠色，這種情況下小明贏；在其它情況下，則小明、小亮不分勝，這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由．42．如圖，一個均勻的轉(zhuǎn)盤被等分成份，分別標(biāo)有,這個數(shù)字．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，兩人參與游戲：一人轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，另一人猜數(shù)，若所猜數(shù)字與轉(zhuǎn)出的數(shù)字相符，則猜數(shù)的人獲勝，否則轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的人獲勝．猜數(shù)的方法從下面三種中選擇一種：(1)“猜是奇數(shù)”或“猜偶數(shù)”的概率；(2)猜“是的倍數(shù)”或“不是的倍數(shù)”的概率；(3)猜“是大于等于的數(shù)”或“小于等于的數(shù)”的概率；如果輪到你猜數(shù)，那么盡可能的獲勝，你將選擇哪一種猜數(shù)方法？說明理由．43．2024貴陽馬拉松比賽于6月16日上午7點(diǎn)30分在貴陽國際會展中心北廣場正式鳴槍起跑，本屆馬拉松賽共設(shè)置四個項(xiàng)目，分別是馬拉松、半程馬拉松、迷你馬拉松以及線上馬拉松．經(jīng)過大家積極的參與，報(bào)名人數(shù)共計(jì)93902人，由于場地人數(shù)限制，需要抽簽決定是否能夠參與比賽．小紅和小星類比該方式進(jìn)行抽簽決定是否參加某場活動，在一個不透明的袋子中放入4個完全一樣的小球，分別標(biāo)有1、2、3、4四個數(shù)字，小紅和小星輪流從袋中摸出一球，記下號碼，然后放回．(1)計(jì)算摸到小球數(shù)字為2的概率；(2)如果摸到的球號碼大于2，則小紅參加活動，否則小星參加活動，你認(rèn)為這個抽簽方式公平嗎？請說明理由．題型九用頻率估計(jì)概率例：甲、乙兩名同學(xué)在一次用頻率去估計(jì)概率的試驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)可能是（

）A．?dāng)S一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率B．從一個裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到紅球的概率C．拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率D．任意寫一個整數(shù)，它能被2整除的概率45．從一個不透明的口袋中隨機(jī)摸出一球，再放回袋中，不斷重復(fù)上述過程，一共摸了200次，其中有50次攬到黑球，已知口袋中僅有黑球10個和白球若干個，這些球除顏色外，其他都一樣，由此估計(jì)口袋中有個白球．46．某數(shù)學(xué)興趣小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時，記錄了試驗(yàn)過程并把結(jié)果繪制成如下表格，則符合表格數(shù)據(jù)的試驗(yàn)可能是．試驗(yàn)總次數(shù)100200300500800100020003000頻率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.3330.333①擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)反面朝上；②擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲得朝上的點(diǎn)數(shù)是3的整數(shù)倍；③在“石頭、剪刀、布”游戲中，小明出的是“石頭”；④將一副去掉大、小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張撲克牌的花色是紅桃．47．某水果銷售網(wǎng)絡(luò)平臺以元/kg的成本價(jià)購進(jìn)20000kg沃柑．如表是平臺銷售部通過隨機(jī)取樣，得到的“沃柑損壞率”統(tǒng)計(jì)表的一部分，從而可大約估計(jì)每千克沃柑的實(shí)際售價(jià)定為元時（精確到元），可獲得13000元利潤．（銷售總金額-損耗總金額-銷售部分成本＝銷售總利潤）沃柑總質(zhì)量…100200300400500損壞沃柑質(zhì)量…沃柑損壞的頻率（精確到0.001）…48．電影公司隨機(jī)收集了2000部電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.2m0.250.20.1注：好評率是指一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值(1)已知第三類電影獲得好評的有45部，則．(2)如果電影公司從收集的電影中隨機(jī)選取1部，求抽到的這部電影是獲得好評的第四類電影的概率．(3)在（1）的條件下電影公司為了增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化，假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，可使改變投資策略后總的好評率達(dá)到最大？(4)設(shè)一到六類電影的票價(jià)依次為60元，50元，40元，30元，20元，10元，未獲好評的電影的上座率均相同．獲好評的六類電影的上座率依次會加，，，，，，在（3）的條件下，試說明總票房是否增加？49．一個不透明的袋子中裝有4個質(zhì)地大小均相同的小球，這些小球分別標(biāo)有數(shù)字4、5、6、，甲、乙兩人每次同時從袋中各隨機(jī)摸出1個小球，并計(jì)算摸出的這2個小球上的數(shù)字之和，記錄后都將小球放回袋中攪勻，進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)．試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：摸球總次數(shù)102060120180240330450“和為10”出現(xiàn)的頻數(shù)21024375882110150“和為10”出現(xiàn)的頻率0.200.500.400.310.320.340.330.33解答下列問題：(1)如果試驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“和為10”的頻率趨于穩(wěn)定．請估計(jì)出現(xiàn)“和為10”的概率是______；(2)如果摸出的這兩個小球上數(shù)字之和為11的概率是，那么的值可以取8嗎？請用列表法或畫樹狀圖法說明理由；如果的值不可以取8，請寫出一個符合要求的值．50．如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，它被分成了6個面積相等的扇形區(qū)域．?dāng)?shù)學(xué)小組的學(xué)生做轉(zhuǎn)盤試驗(yàn)：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄下指針?biāo)竻^(qū)域的顏色，不斷重復(fù)這個過程，獲得數(shù)據(jù)如下：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)200300400100016002000轉(zhuǎn)到黃色區(qū)域的頻數(shù)7293130334532667轉(zhuǎn)到黃色區(qū)域的頻率

(1)下列說法錯誤的是______（填寫序號）．①轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤8次，指針都指向綠色區(qū)域，所以第9次轉(zhuǎn)動時指針一定指向綠色區(qū)域；②轉(zhuǎn)動15次，指針指向綠色區(qū)域的次數(shù)不一定大于指向黃色區(qū)域的次數(shù)；③轉(zhuǎn)動60次，指針指向藍(lán)色區(qū)域的次數(shù)一定為10．(2)求表中，的值，并估計(jì)隨機(jī)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤“指針指向黃色區(qū)域”的概率（精確到0.1）；(3)修改轉(zhuǎn)盤的顏色分布情況，使指針指向每種顏色的可能性相同，寫出一種方案即可．

第二十五章概率初步知識歸納與題型突破（9題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、事件類型①必然事件：有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件.②不可能事件：有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件.③不確定事件：許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件.

二、概率1.用直接列舉法求概率直接獲得所有可能的試驗(yàn)結(jié)果數(shù),以及事件所包含的可能的結(jié)果數(shù),運(yùn)用古典概型的求法求概率.2.用列表法列舉法求概率用列表法:用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫列表法.當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個因素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時,為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用列表法.3.畫樹形圖法求概率樹形圖法:就是用畫樹形圖的方法列出某事件的所有可能的結(jié)果,求出出現(xiàn)某種結(jié)果的概率的方法.當(dāng)一次試驗(yàn)涉及三個或更多的因素時,為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用“樹形圖”法來求概率.三、用頻率估計(jì)概率1．在重復(fù)試驗(yàn)中，某個事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)（m），頻數(shù)（m）與試驗(yàn)總次數(shù)（n）的比，叫這個事件出現(xiàn)的頻率.一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A發(fā)生的概率，記作P(A)＝p.也就是說，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時，頻率≈概率.2．實(shí)際問題中的試驗(yàn)一般不屬于各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等的類型，所以先用頻率去估計(jì)概率，然后根據(jù)估計(jì)的概率解決相關(guān)問題．用頻率估計(jì)概率是重要的統(tǒng)計(jì)思想.在實(shí)際問題中往往根據(jù)概率與頻率的關(guān)系進(jìn)行簡單的估算或預(yù)測.0303題型歸納題型一事件分類例：下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？(1)張兵買來的電影票的座位號是偶數(shù)；(2)拋出去的鉛球會落在地上；(3)嬰兒會騎摩托車．【答案】(1)是隨機(jī)事件(2)是必然事件(3)是不可能事件【分析】本題考查事件的分類，掌握隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)相關(guān)定義判斷即可；（2）根據(jù)相關(guān)定義判斷即可；（3）根據(jù)相關(guān)定義判斷即可．【詳解】（1）解：張兵買來的電影票的座位號是偶數(shù)，也可能是奇數(shù)，是隨機(jī)事件；（2）解：拋出去的鉛球一定會落在地上，是必然事件；（3）解：嬰兒會騎摩托車，是不可能事件．2．下列事件中，屬于必然事件的是（

）A．明天太陽從東方升起 B．拋擲硬幣時，正面朝上C．經(jīng)過紅綠燈路口，遇到紅燈 D．?dāng)S一次骰子，向上的一面是6點(diǎn)【答案】A【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)隨機(jī)事件、不可能事件、必然事件的概念即可作答．【詳解】解：A、太陽從東方升起是固定的自然規(guī)律，是不變的，故此事件是必然事件，符合題意；B、拋硬幣時，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是隨機(jī)事件，不符合題意；C、經(jīng)過路口，有可能出現(xiàn)紅燈，也有可能出現(xiàn)綠燈、黃燈，故遇到紅燈是隨機(jī)事件，不符合題意；D、擲一次骰子，向上的一面是可能是1，2，3，4，5，6點(diǎn)，故向上的一面是6點(diǎn)是隨機(jī)事件，不符合題意；故選：A．3．射擊運(yùn)動員隨機(jī)射擊一次，命中靶心，這個事件是（

）A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機(jī)事件 D．確定性事件【答案】C【分析】本題主要考查了事件的分類，在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為不確定事件，又稱隨機(jī)事件；一定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件，一定會發(fā)生的事件叫做必然事件，據(jù)此可得答案．【詳解】解：射擊運(yùn)動員隨機(jī)射擊一次，可能命中靶心，也可能不命中靶心，故該事件是隨機(jī)事件，故選：C．4．下列事件中、屬于不可能事件的是（）A．打開電視機(jī)、正在直接足球比賽 B．在只裝有2個玻璃球球的袋中摸出一個球是黑球C．?dāng)S一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于7 D．當(dāng)室外溫度低于時，一碗清水在室外會結(jié)冰【答案】C【分析】本題主要考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．熟知這三類事件的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．根據(jù)這三類事件的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A．打開電視機(jī)，正在直播足球比賽是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意；B．在只裝有2個玻球的袋中摸出一個球是黑球是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)不符合題意；C．?dāng)S一次骰子，向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于7是不可能事件，故本選項(xiàng)符合題意；D．當(dāng)室外溫度低于時，一碗清水在室外會結(jié)冰是必然事件，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．5．下列成語描述的事件是隨機(jī)事件的是（

）A．水中撈月 B．日出東方 C．守株待兔 D．畫餅充饑【答案】C【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A．水中撈月，是不可能事件，故該選項(xiàng)不符合題意；B．日出東方，是必然事件，故該選項(xiàng)不符合題意；C．守株待兔，是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)符合題意；D．畫餅充饑，是不可能事件，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．6．拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，擲一次骰子，下列事件中是不可能事件的為（）A．點(diǎn)數(shù)為1 B．點(diǎn)數(shù)為3 C．點(diǎn)數(shù)為5 D．點(diǎn)數(shù)為7【答案】D【分析】本題考查事件的分類，事件根據(jù)其發(fā)生的可能性大小分為必然事件、隨機(jī)事件、不可能事件三類，不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．拋一枚正方體骰子，可能出現(xiàn)的數(shù)字為：1，2，3，4，5，6．【詳解】解：A、點(diǎn)數(shù)為1是隨機(jī)事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故不合題意；B、點(diǎn)數(shù)為3是隨機(jī)事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故不合題意；C、點(diǎn)數(shù)為5是隨機(jī)事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故不合題意；D、點(diǎn)數(shù)為7是不可能事件，故符合題意，故選：D．7．下列成語描述的事件為隨機(jī)事件的是（）A．守株待兔 B．種豆得豆 C．水中撈月 D．水漲船高【答案】A【分析】本題考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件，必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件.不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，據(jù)此即可判斷求解，掌握必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、守株待兔是隨機(jī)事件，故符合題意；、種豆得豆是必然事件，故不符合題意；、水中撈月是不可能事件，故不符合題意；、水漲船高是必然事件，故不符合題意；故選：．8．在一個不透明的抽獎盒里裝有除顏色外無其他差別的個紅球、個黃球和個藍(lán)球，從中隨機(jī)抽出個球，下列事件屬于隨機(jī)事件的是（

）A．至少摸出一個藍(lán)球 B．至少摸出兩個黃球C．至少摸出一個紅球 D．至少摸出兩個藍(lán)球【答案】A【分析】本題考查了隨機(jī)事件、不可能事件和必然事件，根據(jù)隨機(jī)事件、不可能事件和必然事件的定義即可判斷求解，掌握隨機(jī)事件、不可能事件和必然事件的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、從中隨機(jī)抽出個球，至少摸出一個藍(lán)球是隨機(jī)事件，該選項(xiàng)符合題意；、從中隨機(jī)抽出個球，至少摸出兩個黃球是不可能事件，該選項(xiàng)不合題意；、從中隨機(jī)抽出個球，至少摸出一個紅球是必然事件，該選項(xiàng)不合題意；、從中隨機(jī)抽出個球，至少摸出兩個藍(lán)球是不可能事件，該選項(xiàng)不合題意；故選：．題型二判斷事件的可能性例：有一個轉(zhuǎn)盤（如圖所示），被分成6個相等的扇形，顏色分為紅、綠、黃三種，指針的位置固定．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤后任其自由停止，其中的某個扇形會恰好停在指針?biāo)傅奈恢茫ㄖ羔樦赶騼蓚€扇形的交線時，重新轉(zhuǎn)動）．下列事件：①指針指向紅色；②指針指向綠色；③指針指向黃色；④指針不指向黃色；⑤指針不指向綠色．思考各事件的可能性大小，然后回答下列問題：

(1)可能性最大和最小的事件分別是哪個？（用序號表示）(2)將這些事件的序號按發(fā)生的可能性從小到大的順序排列．【答案】(1)⑤；②(2)【分析】（1）分別求出各個事件的概率，即可比較出對應(yīng)事件可能性大小關(guān)系；（2）根據(jù)所求的概率，即可得出答案．【詳解】（1）∵共3紅2黃1綠相等的六部分，∴①指針指向紅色的概率為；②指針指向綠色的概率為；③指針指向黃色的概率為；④指針不指向黃色的概率為，⑤指針不指向綠色的概率為，∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②；（2）解：由（1）得：．【點(diǎn)睛】本題考查的是可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對待．用到的知識點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．10．一個布袋里裝有2個紅球，4個黑球，3個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則下列事件中，發(fā)生可能性最大的是（

）A．摸出的是綠球 B．摸出的是黑球C．摸出的是紅球 D．摸出的是白球【答案】B【分析】本題考查等可能事件發(fā)生的概率，如果一件事有n種可能，而這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)了m種情況，則事件A發(fā)生的概率為：．【詳解】解：解：任意摸出一個球，為紅球的概率是：，任意摸出一個球，為黑球的概率是：，任意摸出一個球，為白球的概率是：，故可能性最大的為：摸出的是黑球，故答案為：B．11．如圖是一個游戲轉(zhuǎn)盤．自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，指針落在數(shù)字1，2，3，4所示區(qū)域內(nèi)可能性最大的是（）A．1號 B．2號 C．3號 D．4號【答案】D【分析】比較圓心角度數(shù)大小即可．【詳解】解：由圖形知，數(shù)字4對應(yīng)扇形圓心角度數(shù)最大，所以指針落在數(shù)字所示區(qū)域內(nèi)可能性最大的是4號，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查可能性的大小，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的計(jì)算方法．12．一只不透明的袋子中裝有1個白球、2個黃球和3個紅球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，①該球是白球；②該球是黃球；③該球是紅球．將這些事件的序號按發(fā)生的可能性從小到大排列為．【答案】【分析】根據(jù)概率公式，求出各個事件發(fā)生的概率，再進(jìn)行比較即可．【詳解】解：∵袋子中裝有1個白球、2個黃球和3個紅球，∴摸出白球概率，摸出黃球概率，摸出紅球概率，∴將這些事件的序號按發(fā)生的可能性從小到大排列為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用概率公式求事件發(fā)生的概率，解題的關(guān)鍵是掌握事件發(fā)生的概率等于符合條件的情況數(shù)和總情況數(shù)之比．13．在一副撲克牌中，任意抽取一張，則下列事件：①抽到“紅桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“紅色的”，則事件發(fā)生的可能性最大的是．（填序號）【答案】④【分析】根據(jù)題意逐項(xiàng)分析判段即可求解．【詳解】解：在一副撲克牌中，有54張紙牌，有4種花色，2種顏色，“黑桃”有1個，“”有4個，則①抽到“紅桃”的概率為；②抽到“黑桃”的概率為；③抽到“”的概率是；④抽到“紅色的”概率為，則事件發(fā)生的可能性最大的是④，故答案為：④．【點(diǎn)睛】本題考查了判斷事件發(fā)生的可能性大小，理解題意是解題的關(guān)鍵．題型三概率公式例：骰子各面上的點(diǎn)數(shù)分別是1，2，…，6，拋擲一枚骰子，點(diǎn)數(shù)是2倍數(shù)的概率是（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】本題主要考查隨機(jī)事件的概率，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)概率公式直接求解即可．【詳解】解：∵拋擲一枚骰子，共有6種等可能的結(jié)果，偶數(shù)有3種，∴點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率．故選A．15．已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)在，，，0，1，2六個數(shù)中任取一個數(shù)作為m的取值，代入方程，求使得方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查一元二次方程根與判別式的關(guān)系，根據(jù)概率公式求概率，熟練掌握兩者間的判定條件即可，注意不要遺漏二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個要素．（1）若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍，再將給出的數(shù)代入判別式，求出即可；（2）列舉出所有情況，讓使得方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】（1）∵原方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根，∴，解得，，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：．（2）在六個數(shù)中任取一個數(shù)作為m共有6個等可能結(jié)果：，，，0，1，2；由（1）可知，當(dāng)時原方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根，∴使得方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的結(jié)果有3個：0，1，2，∴使得方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的概率為．16．身份證是每一個公民的重要證件，身份證號碼由位數(shù)碼組成，其中第位表示性別（奇數(shù)分給男性，偶數(shù)分給女性）．例如：某同學(xué)的身份證號碼是，那么這位同學(xué)是男生．臨近中考，為了核對大家的報(bào)考信息，需收集學(xué)生的身份證．某班有個男生，個女生，從收齊的身份證中隨機(jī)抽取一張，第位數(shù)碼是奇數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了概率，用男生人數(shù)除以全班總?cè)藬?shù)即可求解，掌握概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，從收齊的身份證中隨機(jī)抽取一張，第位數(shù)碼是奇數(shù)的概率是，故選：．17．有5個除顏色以外大小觸感完全相同的小球裝在一個不透明的口袋中，其中2個紅球，3個白球．隨機(jī)摸出一個小球，摸出紅球的概率是.【答案】【分析】利用紅球的個數(shù)球的總個數(shù)可得紅球的概率.此題主要考查了概率公式，關(guān)鍵是掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.【詳解】解：∵一個口袋里有5個除顏色外完全相同的小球，其中2個紅球，3個白球，∴摸到紅球的概率是.故答案為：.18．勞動委員統(tǒng)計(jì)了某周全班同學(xué)的家庭勞動次數(shù)（單位：次），按勞動次數(shù)分為組：，，，，繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖．從中任選一名同學(xué)，則該同學(xué)這周家庭勞動次數(shù)不足次的概率是．【答案】/【分析】本題考查直方圖，求概率，利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，從直方圖中獲取信息．【詳解】由題意，得：，故答案為：．題型四幾何概率例：一房屋內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖所示，小李在房屋內(nèi)自由走動，求他停留在臥室或客廳的概率是多少？【答案】【分析】本題考查了幾何概率，整式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是求得房屋的總面積．分別表示出房屋總面積以及臥室和客廳的面積和，相除即可求得概率．【詳解】解：由圖形可知，房屋總面積為：，臥室和客廳的面積和為：，他停留在臥室或客廳的概率是．20．如圖，過矩形對角線的交點(diǎn)，且分別交、于、，矩形內(nèi)的一個動點(diǎn)落在陰影部分的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了幾何概率，矩形的性質(zhì)．根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，再由與同底等高，與同底且的高是高的得出結(jié)論．【詳解】解：四邊形為矩形，，在與中，，，陰影部分的面積，與同底且的高是高的，．矩形內(nèi)的一個動點(diǎn)落在陰影部分的概率是，故選：B．21．如圖，隨機(jī)地投放一粒米，米粒落在陰影部分（邊界忽略不計(jì)）的概率是．【答案】【分析】此題主要考查了幾何概率，正確掌握概率公式是解題關(guān)鍵．直接表示出圖中陰影部分的面積所占分率，進(jìn)而得出落在陰影部分的概率．【詳解】解：由軸對稱的性質(zhì)可得：故米粒落在圖中陰影部分的概率是，故答案為：．22．如圖，地上畫了兩個半徑分別為和的同心圓．假設(shè)用小石子投中圓形區(qū)域上的每一點(diǎn)是等可能的（若投中圓的邊界或沒有投中圓形區(qū)域，則重投1次），任意投擲小石子一次，則投中白色小圓的概率為．

【答案】【分析】本題考查幾何概率，先求得整個圖形的總面積和白色小圓的面積，再由白色小圓面積除以總面積求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，總面積為，白色小圓面積為，∴任意投擲小石子一次，則投中白色小圓的概率為，故答案為：．23．向如圖所示的正三角形區(qū)域內(nèi)扔沙包，（區(qū)域中每個小正三角形陳顏色外完全相同）沙包隨機(jī)落在某個正三角形內(nèi)．(1)扔沙包一次，落在圖中陰影區(qū)域的概率是．(2)要使沙包落在圖中陰影區(qū)域和空白區(qū)域的概率均為，還要涂黑幾個小正三角形？請?jiān)趫D中畫出．【答案】(1)(2)還要涂黑2個小正三角形，圖見解析【分析】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件發(fā)生的概率．（1）求出陰影部分的面積與三角形的面積的比值即可解答；（2）利用（1）中求法得出答案即可．【詳解】（1）解：因?yàn)殛幱安糠值拿娣e與三角形的面積的比值是，所以扔沙包1次擊中陰影區(qū)域的概率等于．故答案為：．（2）解：要使沙包落在圖中陰影區(qū)域和空白區(qū)域的概率均為，則陰影區(qū)域的小正三角形的數(shù)量為個，即還要涂黑2個小正三角形，如圖所示（答案不唯一）：題型五列舉法求概率例：2024年“甲骨文杯”安陽馬拉松賽于4月21日開賽，共設(shè)全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑項(xiàng)目．現(xiàn)從這三個項(xiàng)目中隨機(jī)選擇兩項(xiàng)進(jìn)行推廣，則選到歡樂跑項(xiàng)目的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了用列舉法求概率，通過列舉找出共有的選擇數(shù)量，然后再選出選到歡樂跑項(xiàng)目的數(shù)量，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：從這三個項(xiàng)目中隨機(jī)選擇兩項(xiàng)進(jìn)行推廣，則有①全程馬拉松、半程馬拉松；②全程馬拉松，歡樂跑項(xiàng)目；③半程馬拉松，歡樂跑項(xiàng)目一共3種選擇，其中選到歡樂跑項(xiàng)目有2種選項(xiàng)，故選到歡樂跑項(xiàng)目的概率是：故選：B．25．從，，這三個數(shù)中隨機(jī)抽取兩個數(shù)分別記為x，y，把點(diǎn)的坐標(biāo)記為，若點(diǎn)為，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線經(jīng)過第二象限的概率為．【答案】【分析】本題考查了求概率、一次函數(shù)的圖像，正確找出當(dāng)直線經(jīng)過第二象限時，點(diǎn)的所有符合條件的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：點(diǎn)的坐標(biāo)共有種：，，，，，2,3，點(diǎn)為，直線經(jīng)過第二象限，點(diǎn)的坐標(biāo)有，，，2,3，共四種情況；在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線經(jīng)過第二象限的概率為，故答案為：．26．如圖，隨機(jī)地閉合開關(guān)中的三個，能夠使燈泡同時發(fā)光的概率是．【答案】【分析】本題考查了列舉法求隨機(jī)事件的概率，根據(jù)圖示，把所有等可能結(jié)果表示出來，再運(yùn)用概率計(jì)算公式即可求解，掌握列舉法求隨機(jī)事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，把所有等可能結(jié)果表示出來如下，共有10種等可能結(jié)果，能讓同時發(fā)光得結(jié)果有兩種，∴你能夠使燈泡同時發(fā)光得概率是，故答案為：．27．小瑩在做手抄報(bào)時，用到了紅色、黃色、藍(lán)色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽和筆芯顏色分別一致．完成手抄報(bào)后，她隨機(jī)地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是．【答案】1【分析】本題考查了用列舉法求概率，列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再找出每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的結(jié)果，利用概率公式計(jì)算即可求解，正確列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，共有種結(jié)果：紅紅，黃黃，藍(lán)藍(lán)；紅紅，藍(lán)黃，黃藍(lán)；黃紅，紅黃，藍(lán)藍(lán)；黃紅，藍(lán)黃，紅藍(lán)；藍(lán)紅，紅黃，黃藍(lán)；藍(lán)紅，黃黃，紅藍(lán)；其中每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的有種結(jié)果，∴每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是，故答案為：13題型六列表法求概率例：某中學(xué)學(xué)生會要從初三（2）班4名同學(xué)（2男2女）中選出周一晨會的升旗手，選人的方法是從這4人中隨機(jī)選出2人．(1)請你用列表或畫樹狀圖的方法求出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（兩名男生分別用，表示，兩名女生分別用，表示）；(2)求這2名同學(xué)性別相同的概率．【答案】(1)共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果(2)【分析】本題考查了列表或畫樹狀圖的方法求概率，準(zhǔn)確畫出列表或樹狀圖是解題關(guān)鍵．（1）列表即可得出共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）由列表可知，共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中這2名同學(xué)性別相同的情況有4種，由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：列表如下：由列表可知，共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）根據(jù)列表可知：共有12中等可能結(jié)果，其中這2名同學(xué)性別相同的情況有4種，則這2名同學(xué)性別相同的概率為．29．十二生肖是我國歷史悠久的民俗文化符號，是十二地支的形象化代表；根據(jù)文獻(xiàn)資料記載，最早并廣為流傳的完整十二生肖循環(huán)，是由東漢王充在公元1世紀(jì)期間所著《論衡》中提出的；下列四副十二生肖圖片，大小、形狀、質(zhì)地完全相同，小樂從中隨機(jī)抽取一張（不放回），再從中隨機(jī)抽取一張，兩張圖片恰好是“?！焙汀巴谩钡母怕适牵?/p>

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩張圖片恰好是“牛”“兔”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：列表如下：鼠?；⑼檬螅ㄊ?，牛）（鼠，虎）（鼠，兔）牛（牛，鼠）（牛，虎）（牛，兔）虎（虎，鼠）（虎，牛）（虎，兔）兔（兔，鼠）（兔，牛）（兔，虎）共有12可能的結(jié)果，其中兩張圖片恰好是“?！薄巴谩钡慕Y(jié)果有2種，兩張圖片恰好是“牛”“兔”的概率為．故選：C．30．在深圳中考體育科目中，分為必考項(xiàng)目和選考項(xiàng)目，其中男生的必考項(xiàng)目為在200米和1000米項(xiàng)目中二選一；女生的必考項(xiàng)目為在200米、800米項(xiàng)目中二選一，小明（男生）、小花（女生）（兩人選擇每個項(xiàng)目的可能性一樣）所選的必考項(xiàng)目不同的概率是【答案】【分析】本題主要考查了列表法求概率，根據(jù)題意正確列表成為解題的關(guān)鍵．先列表求出所有等可能結(jié)果數(shù)和兩人選擇每個項(xiàng)目一樣的結(jié)果數(shù)，然后運(yùn)用概率公式求解即可．【詳解】解：列表如下：200米800米200米（200米，200米）（200米，800米）1000米（1000米，200米）（1000米，800米）共有4種等可能的結(jié)果，其中小明、小花所選的必考項(xiàng)目不同的結(jié)果有：（200米，800米），（1000米，200米），（1000米，800米），共3種，∴小明、小花所選的必考項(xiàng)目不同的概率為．故答案為：．31．如圖所示，方案1和方案2都是由2個電子元件和組成的電路系統(tǒng)，其中每個元件正常工作的概率均為，且每個元件能否正常工作互相不影響．當(dāng)?shù)降碾娐窞橥窢顟B(tài)時，系統(tǒng)正常工作，當(dāng)?shù)降碾娐窞閿嗦窢顟B(tài)，系統(tǒng)不能正常工作．（1）方案1中電路為通路的概率為；（2）根據(jù)電路系統(tǒng)正常工作的概率，連接方案更穩(wěn)定可靠的電路是（選填“方案1”或“方案2”）．【答案】方案2【分析】本題考查的是畫樹狀圖或列表法求解隨機(jī)事件的概率，熟練的列表是解本題的關(guān)鍵．（1）先列表得到方案1的所有等可能的結(jié)果數(shù)與符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可；（2）先列表得到方案2的所有等可能的結(jié)果數(shù)與符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算概率，再比較兩個概率的大小即可．【詳解】解：（1）方案1所有情況如下表：①②從到的電路共4種等可能結(jié)果，其中該電路為通路的有1種，所以該電路為通路的概率為；故答案為：，（2）方案2更穩(wěn)定可靠，理由如下：由（1）得，方案1中電路系統(tǒng)正常工作的概率為，方案2中從到的電路的所有可能結(jié)果為，，共4種等可能結(jié)果，其中電路系統(tǒng)正常工作有3種，所以方案2中電路系統(tǒng)正常工作的概率為方案2更穩(wěn)定可靠．故答案為：方案2．32．某市為創(chuàng)評“全國文明城市”稱號，周末組織志愿者進(jìn)行宣傳活動．班主任張老師決定從4名女生（小悅、小惠、小艷和小倩）中通過抽簽的方式選擇2名女生去參加．抽簽規(guī)則：將4名女生的姓名分別寫在4張完全相同的卡片正面，把4張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，梁老師從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下姓名，再從剩下的3張卡片中隨機(jī)抽取第二張，記下姓名．(1)該班男生“小剛被抽中”是事件，“小悅被抽中”是事件（填“不可能”“必然”或“隨機(jī)”）；第一次抽取卡片“小悅被抽中”的概率為．(2)試用畫樹狀圖法或列表法求出小惠被抽中的概率．【答案】(1)不可能；隨機(jī)；(2)【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.（1）根據(jù)隨機(jī)事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；（2）列舉出所有情況數(shù)，看所求的情況占總情況的多少即可.【詳解】（1）該班男生“小剛被抽中”是不可能事件，“小悅被抽中”是隨機(jī)事件，第一次抽取卡片“小悅被抽中”的概率為故答案為：不可能；隨機(jī)；（2）記小悅、小惠、小艷和小倩這四位女同學(xué)分別為,列表如下:ABCDA——(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)——(C,B)(D,B)C(A,C)(B,C)——(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)——由表可知，共有種等可能結(jié)果，其中小惠被抽中的有種結(jié)果，所以小惠被抽中的概率為題型七樹狀圖法求概率例：2023年6月4日，我省“神十五”航天員張陸和他的兩位戰(zhàn)友安全回到地球家園，“神十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守，空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙，現(xiàn)在要從這三名航天員中選2人各進(jìn)入一個實(shí)驗(yàn)艙開展科學(xué)實(shí)驗(yàn)，假設(shè)“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進(jìn)入問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙開展實(shí)驗(yàn)的機(jī)會均等，則甲、乙兩人同時被選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫出樹狀圖，運(yùn)用概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：∴一共有6種等可能的情況，其中甲、乙兩人同時被選中的情況有2種，∴甲、乙兩人同時被選中的概率為，故選：B．34．成都有古堰流碧、祠堂柏森、青城疊翠、草堂喜雨等美景．現(xiàn)將分別印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城疊翠”“草堂喜雨”圖案的卡片卡片除圖案外都相同各1張放入不透明的甲盒中，再將與甲盒中完全一樣的4張卡片放入不透明的乙盒中．小蘭從甲、乙兩個盒中各隨機(jī)抽取1張卡片，則抽到的卡片恰好是1張“古堰流碧”和1張“青城疊翠”的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意題目中是放回試驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)試驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫樹狀圖，得到所有等可能的結(jié)果數(shù)，再找出滿足條件的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：設(shè)印有“古堰流碧”“祠堂柏森”“青城疊翠”“草堂喜雨”圖案的卡片分別為A、B、C、D，畫樹狀圖如圖：

由圖知，一共有16種等可能的結(jié)果，其中抽到的卡片恰好是1張“古堰流碧”和1張“青城疊翠”有2種，∴抽到的卡片恰好是1張“古堰流碧”和1張“青城疊翠”的概率為，故選：A．35．小宇與小琳用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做配數(shù)游戲，甲盤平均分成四個面積相等的扇形，乙盤平均分成三個面積相等的扇形．兩位同學(xué)分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤一次．甲盤指針指向的數(shù)作為個位上的數(shù)，乙盤指針指向的數(shù)作為十位上的數(shù)，組成一個兩位數(shù)．這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率為．

【答案】【分析】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意本題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．依據(jù)樹狀圖分析所有等可能的情況數(shù)，組成一個兩位數(shù)．這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意畫圖如下：

共有12種等情況數(shù)，組成一個兩位數(shù)．這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)的情況有：51，72，63，54共4種，則這個兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率為；故答案為：．36．西安是中華文明的重要發(fā)祥地，其飲食文化也十分豐富多彩．某校要舉行“我為家鄉(xiāng)美食代言”的宣講活動，主要介紹西安的特色美食，已知學(xué)校給定了4個極具特色的主題：A．羊肉泡饃；B．面；C．肉夾饃；D．涼皮．參加的選手從這四個主題中隨機(jī)抽取一個進(jìn)行宣講，小樂和小陽都參加了這項(xiàng)活動．(1)小樂抽中“C．肉夾饃”主題的概率是；(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，求小樂和小陽抽中不同主題的概率．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．掌握概率公式：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵．（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中小樂和小陽抽中不同主題的結(jié)果有12種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：∵共有：A．羊肉泡饃；B．面；C．肉夾饃；D．涼皮4個主題，∴小樂抽中“C．肉夾饃”的概率是，故答案為：．（2）解：畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中小樂和小陽抽中不同主題的結(jié)果有12種，∴所求概率為．37．春節(jié)是我國的傳統(tǒng)佳節(jié)，深圳是一個很年輕包容的城市，市民來自全國各地．春節(jié)期間，小深調(diào)查了本年級學(xué)生的去向．其中A表示留在深圳市，B表示北方省市，C表示其他南方省市，D表示廣東省內(nèi)深圳市外．并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖．請根據(jù)以上信息回答：(1)本次參加抽樣調(diào)查的學(xué)生有人；(2)將兩幅不完整的圖補(bǔ)充完整；(3)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中C所對圓心角的度數(shù)；(4)若有來自A、B、C、D的四位同學(xué)，從中抽取兩位同學(xué)在開學(xué)典禮中分享春節(jié)見聞，請用樹狀圖或列表法求恰好抽到的同學(xué)都來自廣東省的概率．【答案】(1)600(2)補(bǔ)全圖見解析(3)(4)【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，能夠讀懂統(tǒng)計(jì)圖，掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關(guān)鍵．（1）用條形統(tǒng)計(jì)圖中D的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計(jì)圖中D的百分比可得答案．（2）分別求出C類的人數(shù)、扇形統(tǒng)計(jì)圖中A，C的百分比，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖即可．（3）用乘以C的百分比，即可得出答案．（4）畫樹狀圖可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及恰好抽到的同學(xué)都來自廣東省的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：本次參加抽樣調(diào)查的學(xué)生有（人）．故答案為：600．（2）C類的人數(shù)為（人）．扇形統(tǒng)計(jì)圖中A的百分比為，C的百分比為．補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中C所對圓心角的度數(shù)為．故答案為：．（4）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到的同學(xué)都來自廣東省的結(jié)果有：，，共2種，∴恰好抽到的同學(xué)都來自廣東省的概率為．題型八游戲公平性例：在學(xué)校開展的數(shù)學(xué)活動課上，小明、小紅和小剛制作了一個正三棱錐(質(zhì)量均勻，4個面完全相同)，并在各個面上分別標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4，游戲規(guī)則如下：小明和小剛投擲三棱錐各1次，并記錄底面的數(shù)字，如果兩次投擲所得底面數(shù)字相等，那么重新投擲；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和小于5，那么小明贏；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和等于5，那么小紅贏；如果兩次投擲所得底面數(shù)字的和大于5，那么小剛贏．(1)投擲1次，底面數(shù)字出現(xiàn)3是事件(填“不可能”“必然”或“隨機(jī)”)；投擲兩次，底面數(shù)字和為5的概率為．(2)請用列表或畫樹狀圖的方法表示上述游戲中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分別求出小明、小紅和小剛贏的概率，并判斷此游戲?qū)θ耸欠窆剑敬鸢浮?1)隨機(jī)，(2)此游戲?qū)θ耸枪降摹痉治觥勘绢}考查了游戲的公平性：判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．也考查了列表法與樹狀圖法．（1）根據(jù)題意在表格內(nèi)列舉出所有情形，找出所有等可能的情況數(shù)，得出投擲兩次，底面數(shù)字和為5的情況即可求解；（2）根據(jù)題意列出表格，分別求出三人獲勝得概率，比較即可得到游戲公平與否．【詳解】（1）解：投擲1次，底面數(shù)字出現(xiàn)3是隨機(jī)事件；列表如下：12341345235634574567從上表可知，共有12種等可能的情況，投擲兩次，底面數(shù)字和為5的情況有4種，故投擲兩次，底面數(shù)字和為5的概率為，故答案為：隨機(jī)，；（2）由（1）可知，兩次投擲所得底面數(shù)字的和小于5的情況有4種，則小明贏的概率為，兩次投擲所得底面數(shù)字的和等于5的情況有4種，則小紅贏的概率為，兩次投擲所得底面數(shù)字的和大于5的情況有4種，則小剛贏的概率為，故此游戲?qū)θ耸枪降模?9．某運(yùn)動會服務(wù)中心要在某校選拔一名志愿者，經(jīng)筆試、面試，結(jié)果小明和小穎并列第一．評委會決定通過抓球來確定人選，抓球規(guī)則如下：在不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的2個紅球和1個綠球，小明先取出一個球，記下顏色后放回，小穎再取出一個球，若取出的球都是紅球，則小明獲勝；若取出的球是一紅一綠，則小穎獲勝，你認(rèn)為這個規(guī)則（

）A．公平 B．對小明有利C．對小穎有利 D．無法確定對誰有利【答案】A【分析】本題主要考查了用樹狀圖或列表法求等可能事件的概率，用樹狀圖或列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，找出符合條件的結(jié)果數(shù)，注意每種情況發(fā)生的可能性相等．進(jìn)而用概率公式求出概率，然后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：畫樹狀圖如圖所示：由樹狀圖可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中取出的球都是紅球與一紅一綠的結(jié)果各有4種，∴P(都是紅球)，P(一紅一綠)，∴這個規(guī)則對雙方是公平的．故選：A．40．小明和小亮是一對雙胞胎，他們的爸爸買了兩套不同品牌的運(yùn)動服送給他們，小明和小亮都想先挑選．于是小明設(shè)計(jì)了如下游戲來決定誰先挑選．游戲規(guī)則是：在一個不透明的袋子里裝有除數(shù)字以外其它均相同的4個小球，上面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．一人先從袋中隨機(jī)摸出一個小球，另一人再從袋中隨機(jī)摸出一個小球．若摸出的兩個小球上的數(shù)字之積為3的倍數(shù)，則小明先挑選；否則小亮先挑選．這個游戲?qū)絾?？請說明理由．【答案】公平，理由見解析【分析】本題考查的是游戲公平性的判斷，列表法或畫樹狀圖法求概率．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．游戲是否公平，關(guān)鍵要看是否游戲雙方各有贏的機(jī)會，本題中即小明先挑選或小亮先挑選的概率是否相等，求出概率比較，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意可列表如下：第一次第二次12341/2/3/4/從表可以看出所有可能結(jié)果共有12種，且每種結(jié)果發(fā)生的可能性相同，符合條件的結(jié)果有6種，∴；則這個游戲公平．41．小明、小亮做一個“配色”的游戲．下圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形，并涂上圖中所示的顏色，同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)盤A轉(zhuǎn)出了紅色，轉(zhuǎn)盤B轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，或者轉(zhuǎn)盤A轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，轉(zhuǎn)盤B轉(zhuǎn)出了紅色，則紅色和藍(lán)色在一起配成紫色，這種情況下小亮贏；同樣，藍(lán)色和黃色在一起配成綠色，這種情況下小明贏；在其它情況下，則小明、小亮不分勝，這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由．【答案】這個游戲?qū)﹄p方不公平，理由見解析【分析】題目主要考查利用列表法或樹狀圖法求概率，熟練掌握列表法或樹狀圖法是解題關(guān)鍵．首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與配成紫色與配成綠色的情況，然后利用概率公式求得其概率，比較概率的大小，即可知游戲?qū)﹄p方是否公平．【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，配成紫色的有3種情況，配成綠色的有2種情況，∴P（小亮），P（小明），∵，∴這個游戲?qū)﹄p方不公平．42．如圖，一個均勻的轉(zhuǎn)盤被等分成份，分別標(biāo)有,這個數(shù)字．轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，兩人參與游戲：一人轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，另一人猜數(shù)，若所猜數(shù)字與轉(zhuǎn)出的數(shù)字相符，則猜數(shù)的人獲勝，否則轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的人獲勝．猜數(shù)的方法從下面三種中選擇一種：(1)“猜是奇數(shù)”或“猜偶數(shù)”的概率；(2)猜“是的倍數(shù)”或“不是的倍數(shù)”的概率；(3)猜“是大于等于的數(shù)”或“小于等于的數(shù)”的概率；如果輪到你猜數(shù)，那么盡可能的獲勝，你將選擇哪一種猜數(shù)方法？說明理由．【答案】(1)“猜是奇數(shù)”或“猜偶數(shù)”的概率都是(2)“是的倍數(shù)”的概率是，“不是的倍數(shù)”的概率是(3)選擇“不是的倍數(shù)”，見解析【分析】（1）根據(jù)題意可知共有種結(jié)果，再利用概率的計(jì)算公式即可解答；（2）根據(jù)題意可知共有種結(jié)果，再利用概率的計(jì)算公式即可解答；（3）根據(jù)題意可知共有種結(jié)果，再利用概率的計(jì)算公式即可解答．本題考查了概率的定義，概率的計(jì)算公式，熟練運(yùn)用概率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，共有8種等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，其中“是奇數(shù)”的有種，“是偶數(shù)”的也有4種，∴“是奇數(shù)”或“猜偶數(shù)”的概率都是，∴“猜是奇數(shù)”或“猜偶數(shù)”的概率都是；（2）解：∵當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，共有8種等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，∴其中“是的倍數(shù)”的有種，“不是的倍數(shù)”的種，∴“是的倍數(shù)”的概率是，“不是的倍數(shù)”的概率是；（3）解：∵當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，共有8種等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，∴其中“是大于等于的數(shù)”的有種，“小于等于的數(shù)”的有種，∴“是大于等于的數(shù)”的概率是，“小于等于的數(shù)”的概率是，∴選擇“不是的倍數(shù)”，這樣獲勝的概率為，獲勝的可能性最大．43．2024貴陽馬拉松比賽于6月16日上午7點(diǎn)30分在貴陽國際會展中心北廣場正式鳴槍起跑，本屆馬拉松賽共設(shè)置四個項(xiàng)目，分別是馬拉松、半程馬拉松、迷你馬拉松以及線上馬拉松．經(jīng)過大家積極的參與，報(bào)名人數(shù)共計(jì)93902人，由于場地人數(shù)限制，需要抽簽決定是否能夠參與比賽．小紅和小星類比該方式進(jìn)行抽簽決定是否參加某場活動，在一個不透明的袋子中放入4個完全一樣的小球，分別標(biāo)有1、2、3、4四個數(shù)字，小紅和小星輪流從袋中摸出一球，記下號碼，然后放回．(1)計(jì)算摸到小球數(shù)字為2的概率；(2)如果摸到的球號碼大于2，則小紅參加活動，否則小星參加活動，你認(rèn)為這個抽簽方式公平嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)公平，理由見解析【分析】本題考查求簡單事件的概率、判斷游戲的公平性，理解題意，正確求得概率是解答的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式求解即可；（2）先分別求得小紅參加活動和小星參加活動的概率，若概率相等，該抽簽方式公平，若概率不相等，該抽簽方式不公平．【詳解】（1）解：所有等可能的結(jié)果有4種，其中摸到2的結(jié)果有1種，∴P（摸到小球數(shù)字為2）；（2）解：公平；理由如下：所有等可能的結(jié)果有4種，其中摸到的球號碼大于2的結(jié)果有2種，不大于2的結(jié)果有2種∴P（小紅參加活動），P（小星參加活動），，∴這個抽簽方式公平．題型九用頻率估計(jì)概率例：甲、乙兩名同學(xué)在一次用頻率去估計(jì)概率的試驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)可能是（

）A．?dāng)S一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率B．從一個裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到紅球的概率C．拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面的概率D．任意寫一個整數(shù)，它能被2整除的概率【答案】B【分析】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在附近波動，即其概率，計(jì)算四個選項(xiàng)的概率，約為者即為正確答案．掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為，故此選項(xiàng)不符合題意；B、從一裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球，取到紅球的概率是：；故此選項(xiàng)符合題意．C、擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為，故此選項(xiàng)不符合題意；D、任意寫出一個整數(shù)，能被2整除的概率為，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．45．從一個不透明的口袋中隨機(jī)摸出一球，再放回袋中，不斷重復(fù)上述過程，一共摸了200次，其中有50次攬到黑球，已知口袋中僅有黑球10個和白球若干個，這些球除顏色外，其他都一樣，由此估計(jì)口袋中有個白球．【答案】30【分析】本題主要考查了運(yùn)用頻率估計(jì)概率，掌握大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率成為解題的關(guān)鍵．先求出摸到黑球的頻率，再由題意列出方程求解即可．【詳解】解：∵摸了200次，其中有50次摸到黑球，∴摸到黑球的頻率是設(shè)口袋中大約有x個白球，則，解得：．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故答案為：30．46．某數(shù)學(xué)興趣小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時，記錄了試驗(yàn)過程并把結(jié)果繪制成如下表格，則符合表格數(shù)據(jù)的試驗(yàn)可能是．試驗(yàn)總次數(shù)100200300500800100020003000頻率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.3330.333①擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)反面朝上；②擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲得朝上的點(diǎn)數(shù)是3的整數(shù)倍；③在“石頭、剪刀、布”游戲中，小明出的是“石頭”；④將一副去掉大、小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張撲克牌的花色是紅桃．【答案】②③/③②【分析】本題考查了概率的知識，熟練應(yīng)用根據(jù)頻率估計(jì)概率是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖中信息得出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果在附近波動，即其概率，判斷各項(xiàng)中的概率即可．【詳解】解：①擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)反面朝上得概