專題1.6直角三角形（分層練習）單選題1．（2023下·寧夏固原·八年級統考期末）明明在玩擺木棒游戲，幫他看一看哪一組長度的木棒可以構成直角三角形（

）A．2，3，4 B．3，4，6 C．6，7，11 D．5，12，132．（2023下·河北保定·八年級統考期末）兩個同樣大小的直角三角板按如圖所示擺放，其中兩條一樣長的直角邊交于點，另一直角邊，分別落在的邊和上，且，連接，則在說明為的平分線的過程中，理由正確的是（

）

A． B． C． D．3．（2023上·福建廈門·八年級統考期末）如圖是，根據下列尺規作圖痕跡作出的，能夠用于說明“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”的是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2023下·河南焦作·九年級校考期中）如圖，小明從文具店買了一把直尺，他突發奇想，想驗證一下這把尺子的對邊是否平行，于是他把直尺與一塊三角板如圖放置，用量角器測量和的度數，請問下列哪個關系可以說明直尺的對邊平行（）

A． B． C． D．5．（2023·北京海淀·統考一模）小明制作簡易工具來測量物體表面的傾斜程度，方法如下：將刻度重新設計的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度線與三角板的底邊平行．將用細線和鉛錘做成的重錘線頂端固定在量角器中心點O處，現將三角板底邊緊貼被測物體表面，如圖所示，此時重錘線在量角器上對應的刻度為，那么被測物體表面的傾斜角為（

）A． B． C． D．6．（2023上·浙江杭州·八年級統考期末）如圖，已知，，平分交于點E，點P為線段上一點，與度數之比為k、若為直角三角形，且，則k的值為（

）A．1 B． C．或1 D．1或7．（2022上·河北邢臺·八年級統考期末）如圖，已知，，若用判定和全等，則需要添加的條件是（）

A． B． C． D．8．（2023上·山東煙臺·七年級統考期中）在中，、、的對應邊分別是a、b、c，則不能確定是直角三角形的是（

）A． B．，C． D．9．（2023上·江蘇·八年級專題練習）如圖，在中，于R，于S，則三個結論①；②；③中（）A．全部正確 B．僅①和②正確C．僅①正確 D．僅①和③正確10．（2022上·北京西城·八年級北京八中校考期中）如圖，若點A在y軸上，點B在x軸上，的平分線交外角的平分線于點C，則的度數是（

）A． B． C． D．11．（2023下·廣東深圳·七年級深圳市高級中學校考期末）如圖，在等腰中，，，O是外一點，O到三邊的垂線段分別為，，，且，則的長度為（

）

A．7 B．5 C． D．12．（2023下·安徽合肥·八年級中國科技大學附屬中學校考期中）如圖，在中，，，P為AC邊上的一個動點（不與A、C重合），則的最小值是（

）A． B．3 C．1 D．13．（2022上·河北邯鄲·八年級校考階段練習）如圖，中，，，．則為（

）

A． B． C． D．14．（2022·安徽·一模）如圖，P是等邊三角形內的一點，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結論中不正確的是（

）A． B． C． D．15．（2022下·江蘇鹽城·八年級校聯考開學考試）如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結論中正確的有（）①△BPQ是等邊三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④解答題16．（2021上·湖北恩施·八年級統考期中）如圖，在中，，，D是上一點，E在的延長線上，且，的延長線與交于點F．試通過觀察、測量、猜想等方法來探索與有何特殊的位置關系，并證明你的猜想．

17．（2022上·江蘇南通·八年級統考期末）如圖，中，，于D，平分分別與交于點E，F．

（1）求證：是等邊三角形；（2）若，求的長．18．（2022上·安徽馬鞍山·八年級校考期中）如圖，在中，是高，且．（1）試判斷的形狀，并說明理由；（2）若是的角平分線，相交于點F．試說明：．19．（2019上·江西南昌·八年級校聯考期中）如圖，為等邊三角形內一點，分別連接，．以為邊作等邊三角形，連接．（1）求證：；（2）求的度數．20．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學校考期中）如圖，中，于點于點與交于點，連接．（1）請寫出線段與之間的數量關系，并給出證明；（2）若，則的周長為________．（3）若點為平面內一點，且在直線的上方，，當為等腰直角三角形時，連接，請直接寫線段的長．21．（2023上·山東濰坊·八年級統考期中）中，，，點在射線上（不與，重合），連接，過點作，垂足為．（1）如圖1，點在線段上，若恰好平分，探究、、之間的數量關系，并說明理由．（2）如圖2，點在線段上，點是直線上的一點，且平分，探究、、之問的數量關系，并說明理由．（3）若點在線段的延長線上，點是直線上的一點，且平分，請在圖3中畫出圖形，判斷（2）中的結論是否仍然成立？如果成立，說明理由；如果不成立，直接寫出正確的結論．填空題22．（2022下·八年級單元測試）若，，之間滿足的等量關系是，則邊長為，，的三角形是．23．（2023上·江西贛州·八年級校聯考期中）如圖，幼兒園的滑梯中有兩個長度相等的梯子，且，已知，，則．24．（2023下·湖北襄陽·八年級統考期末）學校操場邊有一塊三角形的空地，三邊長分別是，，，為了美化校園環境，學校決定對這塊空地進行綠化，綠化費用為50元/，綠化這塊空地需要元．25．（2023上·廣東梅州·九年級校考階段練習）已知：如圖，在方格圖中．

26．（2022上·湖北武漢·八年級校考期末）如圖，為測量一斜坡的坡角的大小，將一塊等腰直角三角板的斜邊置于斜坡上，把下端掛有鉛錘的細繩的上端拴在直角頂點C處，量得，則坡角．27．（2023下·云南·七年級統考期末）在直角三角形中，有一個銳角是另外一個銳角的5倍，則這個銳角的度數為度．28．（2023上·河南南陽·八年級統考期中）如圖，中，，，，線段，點、分別在線段和與垂直的射線上移動，當時，和全等．

29．（2020·八年級單元測試）已知點的坐標為，點在軸上，且，那么點的坐標為.30．（2023上·江蘇淮安·八年級統考期中）如圖，在的網格中，．31．（2020下·山東濟寧·八年級統考期末）如圖，已知∠C=90°，AB=12，BC=3，CD=4，AD=13，則∠ABD=．32．（2023上·江蘇南通·九年級校考期末）如圖，在等腰梯形中，，，，，直角三角板含角的頂點放在邊上移動，直角邊始終經過點，斜邊與交于點，若為等腰三角形，則的長為．

33．（2023上·山東日照·八年級校考階段練習）在等腰中，，是的中點，于，交于．則．34．（2023上·四川成都·八年級樹德中學校考期中）如圖，在長方形中，點E是的中點，將沿翻折得到，交于點H，延長相交于點，若，，則．

35．（2023上·江蘇常州·八年級校考階段練習）如圖，在和中，，，，過A作，垂足為F，交的延長線于點G，連接．四邊形的面積為12，，則的長是．

36．（2023上·湖北武漢·八年級校聯考階段練習）如圖，中，，，為的中點，，且，與的交于點，則．參考答案：1．D【分析】根據勾股定理的逆定理進行計算，逐一判斷即可解答．解：A、∵，∴，∴不能組成直角三角形，故A不符合題意；B、∵，∴，∴不能組成直角三角形，故B不符合題意；C、∵，，∴，∴不能組成直角三角形，故C不符合題意；D、∵，，∴，∴能組成直角三角形，故D符合題意；故選：D．【點撥】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．2．C【分析】根據全等三角形的判定和性質定理以及角平分線的定義即可得結論，從而作出判斷．解：根據題意可得：，∴和都是直角三角形，在和中，∴，∴，∴為的平分線，故選：C．【點撥】本題考查角平分線的判定和全等三角形的判定和性質的應用，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法．3．B【分析】根據證明即可得解．解：選項B滿足題意；由作圖知，斜邊，，，∴，故選：B．【點撥】本題考查了尺規作圖，全等三角形的判定，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．4．C【分析】如圖，根據直角三角形的性質可得，根據鄰補角即可得到，根據同位角相等，兩直線平行，即可判斷．解：如圖，

，，，，當時，有，此時，即，∴當時，．故選：C．【點撥】本題考查了平行線的判定和直角三角形的性質，熟練運用平行線的判定方法是解題的關鍵．5．C【分析】如解析圖所示，中，，，由此利用直角三角形兩銳角互余即可求出答案．解：如圖所示，在中，，，∴，∴，∴被測物體表面的傾斜角為，故選C．【點撥】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余，正確理解題意是解題的關鍵．6．B【分析】本題綜合考查了平行線的性質、角平分線的定義、直角三角形的性質以及三角形外角的性質，解題的關鍵是由判斷出的取值范圍，得到為直角．設，則，根據題意求得，根據，結合等腰三角形等角對等邊及三角形外角的性質易知，推出，求出x的值，即可得出結果．解：解析：設，則．∵平分．∴．∵．∴，∵，結合等腰三角形等角對等邊及三角形外角的性質易知．即，∴．∵為直角三角形，∴，∴，即，解得，∴，故選：B．7．A【分析】由圖示可知為公共邊，若想用判定證明和全等，必須添加．解：∵，，∴，.，符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項符合題意；.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，故該選項不符合題意；.，不符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項不符合題意；.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，故該選項不符合題意；故選：．【點撥】此題考查了對全等三角形判定定理的理解和掌握，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．8．D【分析】本題考查了直角三角形的性質、分別根據勾股定理的逆定理，三角形的內角和定理可以判斷出結果，熟練運用三角形的性質是解題的關鍵．解：A、設，則，，，∵，∴是直角三角形，能確定，該選項不符合題意；B、∵，，，∴是直角三角形，能確定，該選項不符合題意；C、設，則，，∵，即，解得，則，∴是直角三角形，能確定，該選項不符合題意；D、∵，，∴即，此時不能確定或是否為，∴不確定是直角三角形，該選項符合題意；故選：D．9．B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的判定，等邊對等角．熟練掌握了全等三角形的判定與性質，平行線的判定，等邊對等角是解題的關鍵．證明，則，可判斷①的正誤；等邊對等角，可得，則，進而可判斷②的正誤；題干條件無法判斷，進而可判斷③的正誤．解：由題意知，∵，，∴，∴，①正確，故符合要求；∵，∴，∴，②正確，故符合要求；由題意無法判斷，③錯誤，故不符合要求；故選：B．10．B【分析】如下圖所示，根據三角形角平分線定義，三角形外角的性質，直角三角形兩銳角互余，得出，然后再根據三角形的外角性質得出．解：如圖所示，的平分線交外角的平分線于點C，，，，，，，；故選：B．【點撥】此題考查了三角形的角平分線的定義、三角形的外角性質、直角三角形的性質等知識，熟練掌握直角三角形兩銳角互余與三角形外角的性質是解此題的關鍵．11．D【分析】連接，，，由，設，，，證明，得到為的角平分線，再根據，得到，根據三線合一及勾股定理求出，再根據，得到方程求解即可．解：連接，，，如圖，

由，設，，，∵，，，，∴，即，∴為的角平分線，又∵，∴，∴為的中線，∵，∴、、三點共線，∴，在中，，∴∴，∴，∴，故選：D．【點撥】本題考查了全等三角形的判定及性質，熟知等腰三角形的三線合一、角平分線的判定及三角形的面積公式是解題的關鍵．12．A【分析】以A為頂點，為一邊，在下方作，過B作于D，交于P，由是等腰直角三角形可得，即，故取最小值即是取最小值，此時B、P、D共線，且，的最小值即是的長，根據，，可得，即可得答案．解：以A為頂點，為一邊，在下方作，過B作于D，交于P，如圖：由作圖可知：是等腰直角三角形，∴，∴，∴取最小值即是取最小值，此時B、P、D共線，且，的最小值即是的長，∵，，∴，∴，∴，，∴的最小值是．故選：A．【點撥】本題考查三角形中的最小路徑，解題的關鍵是作輔助線，把的最小值轉化為求的最小值．13．B【分析】可過C作于E，因為，則可得，可過C作于E，依據題意可得，進而得到，得到，再利用等腰三角形的判定可得，即可求得．解：如圖，可過C作于E，可過C作于E．

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，且∴，∴，且∴，且，∴，∴，∴∴故選：B．【點撥】本題主要考查了全等直角三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，能夠熟練運用其性質進行解題是關鍵．14．C【分析】根據△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A；根據勾股定理的逆定理即可判斷B；根據△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷D；求出∠APC=150°∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷C．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正確，不符合題意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正確，不符合題意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正確，不符合題意；∠APC=360°150°60°∠QPC=150°∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正確，符合題意．故選：C．【點撥】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是綜合應用以上知識．15．A【分析】①根據△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷①；②根據勾股定理的逆定理即可判斷得出②；③根據△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷；④求出∠APC=150°∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷④．解：①∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPQ是等邊三角形，所以①正確；∴PQ=PB=4，∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，∴△PCQ是直角三角形，所以②正確；∵△BPQ是等邊三角形，∴∠PQB=∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以③正確；∠APC=360°150°60°∠QPC=150°∠QPC，∵∠PQC=90°，PC≠2QC，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以④錯誤．所以正確的有①②③．故選：A．【點撥】本題考查了全等三角形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是綜合應用以上知識．16．，證明見詳解【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和．先由，得，結合，，則證明，故，結合三角形內角和以及對頂角相等，即可作答．解：∵∴∵，，∴∴∵∴即故17．（1）見分析；（2）4【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，角平分線的性質，等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的性質等知識，掌握數形結合思想是解題的關鍵．（1）由可得，根據平分得，根據，，得，即可得是等邊三角形；（2）可得，則，由（1）知是等邊三角形，得，由此可得的長．解：（1）證明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形；（2）解：∵，∴，∴，由（1）知是等邊三角形，，∴，∴，∴，，，．18．（1）是直角三角形，理由見分析；（2）見分析【分析】（1）根據在中，是高得到，再利用等角的余角相等得到即可解答；（2）根據角平分線的定義得到，再利用等角的余角相等即可解答．（1）解：是直角三角形．理由如下：∵在中，是高，∴，∴，∵，∴，即，∴是直角三角形．（2）證明：∵是的角平分線，∴，∵是高，∴，∴，由（1）知，∴，∴，∵，∴．【點撥】本題考查了等角的余角相等，角平分線的定義，對頂角相等，直角三角形的判定，掌握等角的余角相等是解題的關鍵．19．（1）見分析；（2）．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質以及勾股定理的逆定理．（1）利用可證得，從而證得；（2）根據（1）的結論結合勾股定理的逆定理可證得為直角三角形，從而可求得答案．解：（1）證明：∵、都是等邊三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，而，∵，，∴，∴為直角三角形，且，∴．20．（1），證明見分析；（2）；（3））5或或【分析】（1）證明，由全等三角形的性質得出，證出，則可得出結論；（2）根據得到，根據勾股定理求出，即可進求出的周長；（3）分點為直角頂點、點為直角頂點、當為直角頂點三種情況分類討論，畫出圖形，添加輔助線，由等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質及勾股定理可得出答案．（1）解：．證明：∵，，，∵，，，，在和中，，，，∵，，，即，；（2）解：∵，，在中，，的周長為．故答案為：；（3）解：的長為5或或．如圖1，當點為直角頂點，過點作于點，∵，，，∵，，，，，，；如圖2，當點為直角頂點，過點作于點，同理可得，，，，；如圖2，當為直角頂點，過點作的垂線，過點作的垂線，垂足分別為，，同理可得出，，，，，，，．綜上所述，的長為5或或．【點撥】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理等知識，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵，第（3）步要注意分類討論．21．（1），理由見分析；（2），理由見分析；（3），理由見分析【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、直角三角形的性質等知識；（1）延長，交于點，證明，由全等三角形的性質得出，證明，由全等三角形的性質得出，則可得出結論；（2）延長，交于點，由（1）可知，，由全等三角形的性質得出結論．（3）同（1）可知，，得出，，則可得出結論．正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．（1）解：（1）．理由：延長，交于點，平分，，又，，，，，，，，，，，；（2），理由：延長，交于點，由（1）可知，，，，；（3）如圖，．理由：同（1）可知，，，，．22．直角三角形【分析】根據勾股定理逆定理判斷即可．解：因為，所以邊長為6，8，10的三角形是直角三角形．故答案為：直角三角形．【點撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理，理解勾股定理逆定理是解題的關鍵．23．【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，利用證明得到，則．解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．24．3000【分析】根據勾股定理的逆定理得出這塊空地是直角邊為和的直角三角形，求出這塊空地的面積，然后再計算需要的費用即可．解：∵，∴這塊空地是直角邊為和的直角三角形，∴這塊空地的面積為，∴綠化這塊空地需要的費用為元，故答案為：3000．【點撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形．25．/45度【分析】根據勾股定理的逆定理解答即可．解：連接，

∵，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，故答案為：．【點撥】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，關鍵是得出是等腰直角三角形．26．/30度【分析】根據等腰直角三角形的性質可得，延長交地面于E，由余角的性質可得答案．解：∵是等腰直角三角形，為斜邊，∴，∵，延長交地面于E，則與地面垂直，∴，∵地面，∴，故答案為：．【點撥】此題考查的是等腰直角三角形，正確作出輔助線是解決此題的關鍵．27．/15度【分析】設較小的銳角是x度，則另一角是度．再根據直角三角形的兩個角互余列方程求解即可．解：設較小的銳角是x度，則另一角是度．則，解得：．故答案為：．【點撥】本題主要考查了直角三角形的性質、一元一次方程的應用等知識點，掌握直角三角形的兩銳角互余是解答本題的關鍵．28．或【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質，根據三角形全等的判定方法可知，分兩種情況：當運動到時，，當運動到與重合時，，分別進行求解即可，熟練掌握三角形全等的判定與性質是解此題的關鍵．解：，根據三角形全等的判定方法可知，當運動到時，，此時，當運動到與重合時，，此時，綜上所述，或時，和全等，故答案為：或．29．或【分析】設點B的橫坐標為t，利用兩點間的距離公式得到，從而可以求出t的值.解：設點B的橫坐標為t，根據題意得，即.所以3t=12或3t=12．∴t=9或t=15.故答案為或.【點撥】本題考查了兩點間的距離公式：設有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），則這兩點間的距離為AB＝．30．45【分析】連接，根據網格判定為等腰直角三角形，得出，根據平行線的性質得出，，根據即可求出結果．解：連接，如圖所示：∵，，，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∵，，∴，，∴．故答案為：45．【點撥】本題主要考查了網格與勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性質，平行線的性質，解題的關鍵是作出輔助線，證明為等腰直角三角形．31．90°/90度【分析】由∠C=90°可知為直角三角形，通過勾股定理求得BD；再通過計算得，證明為直角三角形，從而得到答案．解：∵∠C=90°∴為直角三角形∵BC=3，CD=4∴∵AB=12，AD=13∴∴為直角三角形，故答案為：90°．【點撥】本題考查了三角形勾股定理和勾股定理的逆定理，求解的關鍵是熟練掌握三角形勾股定理和勾股定理的逆定理的性質．32．或或2【分析】本題考查了等腰梯形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識．分三種情況討論：①當時，過點D作于點G，根