專題15.2等腰三角形的判定與性質【十大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1根據等邊對等角求角度】 1【題型2根據等邊對等角證明】 6【題型3根據三線合一求解】 11【題型4根據三線合一證明】 16【題型5根據等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】 23【題型7根據等角對等邊證明邊相等】 35【題型8根據等角對等邊求邊長】 41【題型9求與圖形中任意兩點構成等腰三角形的個數】 45【題型10等腰三角形的判定與性質的綜合運用】 50【知識點等腰三角形】（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.【題型1根據等邊對等角求角度】【例1】（2023春·江蘇無錫·八年級校聯考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，以點B為旋轉中心把△ABC按順時針方向旋轉40°得到△A'BC'，點A'恰好落在

A．110° B．105° C．100° D．95°【答案】A【分析】由旋轉知∠ABA'=∠CBC'=40°，BA=BA'，【詳解】解：由旋轉知，∠ABA'=∠CB∴∠BAA'∴∠BAA'∵△ABC中，∴∠CAB∴∠ACB∴∠AC故選：A．【點睛】本題考查等腰三角形等邊對等角，三角形內角和定理，由定理得到角之間數量關系是解題的關鍵．【變式11】（2023春·廣東梅州·八年級校考期末）在△ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的高，∠ABD=50°【答案】70°或20°【分析】①如圖，當頂角為銳角三角形時：∠BAC=90°-∠ABD=40°，【詳解】解：①如圖，當頂角為銳角三角形時：∠BAC

∵AB=∴∠ABC②如圖，當頂角為鈍角三角形時：∵∠ABD=50°，∴∠BAC

∵AB=∴∠C故答案為：70°或20°．【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，等腰三角形的性質，注意分類討論是解本題的關鍵．【變式12】（2023春·四川達州·八年級校考期中）如圖，在第1個△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個△A

A．12n75° B．12n-【答案】C【分析】先根據等腰三角形的性質求出∠BA1C的度數，再根據三角形外角的性質及等腰三角形的性質分別求出∠DA2A1【詳解】解：∵在△CBA1中，∠∴∠B∵A1A2=A∴∠D同理可得∠EA3∴第n個三角形中以An為頂點的底角度數是(故選：C．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，三角形外角的性質，根據題意得出∠DA2A1【變式13】（2023春·海南海口·八年級校考期中）如圖，△ABC中，∠ABC=∠ACB，點D在BC所在的直線上，點E在射線AC上，且(1)如圖①，∠B=∠C=36°，(2)如圖②，若∠ABC=∠ACB=65°，(3)當點D在直線BC上運動時（不與點B、C重合），試探究∠BAD與∠【答案】(1)36°(2)40°(3)2∠【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠BAC（2）根據三角形的外角的性質得到∠E（3）設∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如圖1，當點D在點B的左側時，∠ADC【詳解】（1）解：∵∠B∴∠BAC∵∠BAD∴∠DAE∴∠ADE∴∠CDE（2）∵∠ACB=65°，∴∠E∴∠ADE∴∠ADC∵∠ABC∴∠BAD（3）設∠ABC=∠ACB=y°①如圖1，當點D在點B的左側時，∠ADC∴y°=解得，2α∴2α②如圖2，當點D在線段BC上時，∠ADC∴x°+∴2α∴2α③如圖3，當點D在點C右側時，∠ADC∴x°-解得，2α∴2α綜上所述，∠BAD與∠CDE的數量關系是【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的外角的性質，三角形的內角和，正確的識別圖形是解題的關鍵．【題型2根據等邊對等角證明】【例2】（2023春·湖南·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠A=45°，點D在AB邊上，BC=CD，DE⊥AC(1)求證△DCE(2)若AB=AC，求證【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）先證明∠FBC=∠DCE，再根據（2）過點C作CH⊥BD于點H，根據等腰三角形的性質可得∠BCH=∠DCH，BH【詳解】（1）證明：∵DE⊥AC∴∠DEC=∠CFB∵∠A∴∠ABF∵BC∴∠DBC∵∠DBC=∠ABF∴∠FBC在△DCE和△∠DEC∴△DCE（2）證明：過點C作CH⊥BD于點∵BC∴∠BCH=∠DCH∵AB∴∠ABC∵∠FBC∴∠BCD∴∠DCH=22.5°，∴∠ACD∴∠ACD∵DE⊥AC∴DE∴DE【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質等，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．【變式21】（2023春·甘肅張掖·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延長線于點D，作AE∥BD，CE⊥AC【答案】見解析【分析】根據等邊對等角可得∠ABC=∠ACB，根據平行線的性質可得∠【詳解】證明：∵AB=∴∠ABC∵AE∥∴∠EAC∴∠ABC∵AD⊥AB，∴∠BAD在△ABD和△∠ABC∴△ABD∴AD=【點睛】本題考查了等邊對等角，平行線的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵，屬于中考常考題型．【變式22】（2023春·湖北荊州·八年級統考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點E在BD上，連接CE，若∠1=∠2，AB=【答案】見解析【分析】由平行線的性質可得出∠ABD=∠BDC，結合題意可由“AAS”證明△ABD≌△【詳解】解：∵AB∴∠ABD在△ABD和△DEC中，∴△ABD∴BD∴∠DBC【點睛】本題考查平行線的性質，三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質．掌握三角形全等的判定定理和性質定理是解題關鍵．【變式23】（2023春·遼寧大連·八年級統考期末）如圖，已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，D為線段CB延長線上一點，連接AD，DE平分∠ADC交AC、AB于點(1)猜想∠DAC與∠(2)求證AD=【答案】(1)∠ACD(2)見解析【分析】（1）由等邊對等角得∠ABC（2）延長DC至點K，使CK=CE，易得【詳解】（1）∠ACD證明如下：∵AB∴∠ABC∵∠ADC∴∠ADC又∵∠ADC∴180°-∠ACD化簡，得：∠ACD（2）證明：延長DC至點K，使CK=∵CK∴∠K∴∠ACD又∵∠ACD∴∠DAC又∵DE平分∠∴∠ADE在△ADE與△∠ADE∴△ADE∴DA又∵DK∴AD=【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，全等三角形的判定和性質，正確構造輔助線使三角形全等是解題的關鍵．【題型3根據三線合一求解】【例3】（2023春·廣東深圳·八年級統考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，點D為CA延長線上一點，DH⊥BC于點H，點F為AB延長線上一點，連接DF交CB的延長線于點E，點E是DF的中點，若BH=2

【答案】12【分析】過D作DN∥AF，交CE延長線于N，證明△DEN≌△FEBAAS，得到EN=BE=4，由此求出NH=10，再根據∠【詳解】過D作DN∥AF，交CE延長線于∴∠∵點E是DF的中點，∴DE∴△∴EN=∵BH=2，BE∴EN=∴NH=10∵AB=∴∠C∵DN∥∴∠ABC∴∠C∴DC又∵DH⊥∴CH=∴BC=故答案為：12．

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形三線合一的性質，正確引出輔助線結合各性質進行推理論證是解題的關鍵．【變式31】（2023春·河北邢臺·八年級校聯考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中線，邊AB的垂直平分線交AC于點E，連接BE，交AD于點F．若∠C

A．48° B．62° C．72° D．82°【答案】C【分析】由題意易得∠ABC=∠C=66°，AE=【詳解】解：∵AB=AC，AD是△ABC∴∠ABC=∠C=66°，∴∠BAC∵AB的垂直平分線交AC于點E，∴AE=∴∠ABE∴∠EBC∴∠AFE故選：C．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質及線段垂直平分線的性質定理，熟練掌握等腰三角形的性質及線段垂直平分線的性質定理是解題的關鍵．【變式32】（2023春·山西臨汾·八年級統考期末）如圖，在ΔABC中，AB=BC,SΔABC=3cm2，邊BC的垂直平分線為l，點D是邊AC的中點，點P是l【答案】2或6【分析】連接BD，由于AB=BC，點D是AC邊的中點，故BD⊥AC，再根據三角形的面積公式求出AC×BD=6，再根據直線l是線段BC的垂直平分線可知，點C關于直線l的對稱點為點B【詳解】解：連接BD，∵AB=BC，點D是∴BD⊥∴SΔABC解得AC×∵直線l是線段BC的垂直平分線，∴點C關于直線l的對稱點為點B，∴BD的長為CP+∴.ΔCDP的周長最短=(∴BD=-∴AC×(-解得AC=2或6故答案為：2或6．【點睛】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．【變式33】（2023春·遼寧沈陽·八年級統考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，交AB于點M，點(1)若∠FCM=18°，則∠BGC(2)若點G是BD的中點，判斷CF與DE的數量關系，并說明理由．【答案】(1)108°(2)CF=2DE，理由見解析【分析】（1）根據等腰三角形三線合一的性質得到∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，求出∠BCG=∠CAF=45°，進而求出∠ACF得到∠CBG的度數，根據三角形內角和求出答案；（2）證明△BCG≌△CAF(ASA)，推出BG=CF，再證△ADE≌△CGE(AAS)，推出DE=GE，即DG=2DE，即可得到結論．【詳解】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，∴∠BCG=∠CAF=45°，∵∠FCM∴∠ACF=∠ACM∠FCM=45°18°=27°，∴∠CBG=∠ACF=27°，∴∠BGC=180°∠BCG∠CBG=180°45°27°=108°，故答案為：108°；（2）CF=2DE，理由：連接AG，∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，∠BCG=∠CAF，∴△BCG≌△CAF(ASA)，∴BG=CF，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CM⊥AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE=CE，∴△ADE≌△CGE(AAS)，∴DE=GE，即DG=2DE，又∵點G是BD的中點，∴DG=BG，∴CF=2DE．【點睛】此題考查了等腰直角三角形三線合一的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．【題型4根據三線合一證明】【例4】（2023春·福建莆田·八年級校考期中）如圖，ΔABC中，AB=AC，AD是BC(1)求證：EB=ED．(2)求證：AE=DE．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)根據DE//AC，ED=12AC=12【詳解】（1）∵AB=AC，AD是∴AD平分∠BAC∴∠BAD∴BD=∵DE//∴ED=∴E是AB中點即EB=∴EB=（2）證明：∵AB=AC，AD是B∴AD平分∠BAC∴∠BAD∵DE∴∠BAD∴∠CAD∴AE=【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，正確理解題意是解題的關鍵．【變式41】（2023春·湖南益陽·八年級校考期中）兩組鄰邊分別相等的四邊形我們稱它為箏形．如圖，在箏形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、

(1)△ABC(2)AC⊥【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）分別利用SSS證△ABC（2）由△ABC≌△ADC得∠【詳解】（1）證明：在△ABC和△AB=∴△ABC≌△ADC

（2）證明：由（1）得△ABC∴∠ACB∵BC=∴AC⊥【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質，解題關鍵在于掌握全等三角形的判定定理．【變式42】（2023春·山東泰安·八年級統考期中）如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D為BC的中點，點E、F(1)如圖①，若點E、F分別在線段AB、AC上，DE與DF相等且(2)如圖②，若點E、F分別在線段AB、【答案】(1)DE=DF且(2)成立，見解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性質得到∠BAD=∠DAC=∠B（2）利用等腰直角三角形的性質得到∠BAD=∠DAC=∠B【詳解】（1）DE=DF且如圖①，連接AD，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BAD∴AD=在△AED和△CFD∴△AED∴DE=DF，又∵∠CDF∴∠ADE∴∠EDF∴DE⊥（2）若點E、F分別在線段AB，CA的延長線上，（1）中的結論依然成立，如圖②，連接∵AB=AC，∠BAC=90°，點∴∠BAD∴AD=在△AED和△CFD∴△AED∴DE=又∵∠CDF∴∠ADE∴∠EDF∴DE⊥【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定與性質，解題關鍵是正確作出輔助線構造全等三角形．【變式43】（2023春·河北廊坊·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，AC=BC,∠A=∠ABC=45°,D為AB中點，點E是AB邊上一動點（不含端點A、B），連接CE，點F

(1)點E在線段AD上運動（如圖1），當CG=AE時，求證：(2)若點E運動到線段BD上（如圖2），當CG=AE時，試猜想(3)過點A作AH⊥CE，垂足為點H，并交CD的延長線于點M（如圖3），求證：【答案】(1)見解析(2)不變，見解析(3)見解析【分析】（1）根據等腰三角形性質得出∠BCG=45°，再證明△ACE（2）用和（1）同樣的方法證明△ACE（3）根據等腰三角形性質得出CD⊥AB，則∠2+∠3=90°，根據AH⊥CE，則∠3+∠M=90°，即可得出∠2=∠M【詳解】（1）證明：∵AC=∴∠ACB∵點D為AB中點，∴∠BCG在△ACE和△AC=∴△ACE∴BG=（2）解：BG、證明：∵AC=∴∠ACB∵點D為AB中點，∴∠BCG在△ACE和△AC=∴△ACE∴BG=（3）解：∵AC=∴∠ACB∵點D為AB中點，∴CD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∵AH⊥∴∠3+∠M∴∠2=∠M∵∠1+∠M∴∠1=∠3，∴∠3+∠BCG=∠1+∠BAC在△BCE和△∠2=∠M∴△BCE

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形那個的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形是判定方法，以及等腰三角形“三線合一”．【題型5根據等腰三角形判定找出圖中的等腰三角形】【例5】（2023春·上海浦東新·八年級校聯考期末）已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E分別在CA，BA的延長線上，且BE＝CD，連BD，CE．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，則圖中共有個等腰三角形．【答案】（1）見解析；（2）5【分析】（1）證明△EBC≌△DCB（SAS），可得結論．（2）根據等腰三角形的定義，判斷即可．【詳解】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△EBC和△DCB中，BE=∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BE＝CD．（2）圖中共有5個等腰三角形．∵∠BAC＝108°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝36°，∵∠D＝∠E＝36°，∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，∴∠DAB＝∠EAC＝72°，∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，∴DB＝DA，EA＝EC，∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．故答案為：5．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定、等腰三角形的判定，等腰三角形不要漏找．【變式51】（2023春·廣西欽州·八年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90度，BC=4，AC=3，在直線AC上取一點P，使得A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據等腰三角形的判定定理，分情況討論，正確作圖，即可得到結論．