專題24.16圓章末十大題型總結(jié)（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1切線的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明】 1【題型2圓周角定理有關(guān)的計(jì)算與證明】 9【題型3垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 17【題型4由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求求最值】 22【題型5由圓的對(duì)稱性求最短路線問(wèn)題】 27【題型6三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心】 33【題型7正多邊形與圓】 39【題型8圓錐側(cè)面積的相關(guān)計(jì)算】 44【題型9動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度計(jì)算】 50【題型10動(dòng)態(tài)圖形的掃過(guò)的面積的計(jì)算】 56【題型1切線的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明】【方法點(diǎn)撥】切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。【例1】（2023秋·遼寧撫順·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)O在AC邊上，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與AB邊相切于點(diǎn)E，

(1)求證：AF是⊙O(2)若BC=6，AB=10，求【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）作OH⊥FA，垂足為點(diǎn)H，連接OE，證明AC是∠FAB的平分線，進(jìn)而根據(jù)OH=OE，OE（2）勾股定理得出AC，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OE【詳解】（1）證明：如圖，作OH⊥FA，垂足為點(diǎn)H，連接

∵∠ACB=90°，D是∴CD=∴∠CAD∵∠BDC又∵∠FAC∴∠FAC即AC是∠FAB∵點(diǎn)O在AC上，⊙O與AB相切于點(diǎn)E∴OE⊥AB，且OE是∴OH=OE，OH是∴AF是⊙（2）解：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC∴AC=∵BE，BC是⊙∴BC=BE=6，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC在Rt△OEA中，由勾股定理得：∴16+r∴r=3∴⊙O的半徑長(zhǎng)為3【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023秋·廣東珠海·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，D為弦BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與OD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，連接BE．(1)求證：BE是圓O的切線；(2)當(dāng)AB=10，AC=8時(shí)，求線段【答案】(1)見解析(2)15【分析】（1）根據(jù)D為弦BC的中點(diǎn)，可得OE垂直平分BC，進(jìn)而可得∠EBC=∠ECB，再根據(jù)OB=OC可得∠OBC=∠OCB，根據(jù)CE是⊙O（2）根據(jù)AB為⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，利用勾股定理可得BC=6，進(jìn)而可得【詳解】（1）證明：在⊙O中，∵D為弦BC∴OD⊥∴OE垂直平分BC，∴CE=∴∠EBC又∵OB=∴∠OBC∵CE是⊙O∴∠OCE∴∠OBE又∵AB為⊙O∴BE是⊙O（2）解：∵AB為⊙O∴∠ACB∵AB=10，AC∴BC=∴BD=由（1）得∠OBE在Rt△OBE中，設(shè)∴OE=∵S△∴12解得x=∴線段BE的長(zhǎng)為154【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)和判定，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理等，難度一般，解題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用上述知識(shí)，逐步進(jìn)行推理論證．【變式12】（2023秋·湖北·九年級(jí)期末）AB為⊙O的直徑，PA為⊙O的切線，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半徑．【答案】（1）見詳解；（2）10．【分析】（1）連OC，由BC∥OP，得到∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，則∠AOP=∠POC，可得△POA≌△POC，得到∠PAO=∠PC0，而PA為⊙O的切線，得∠OAP=90°，所以∠PC0=90°，根據(jù)切線的判定即可得到PC為⊙O的切線；（2）連AD，由AB為⊙O的直徑，得∠ADB=90°，而DE⊥AB，則∠ADE=∠ABD，所以∠ADE=∠ABD，從而易得到∠DAG=∠ADF，有AF=DF=FG=5，AC=5+5+6=16，得到AH=12AC=8．易證Rt△AOH≌Rt△DOE，得DE=AH=8，則EF=DEDF=85=3，在Rt△AEF中，利用勾股定理可求得AE=4，在Rt△DOE中，利用勾股定理即可得到⊙O【詳解】證明：（1）連OC，如圖，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，而OB=OC，即∠OCB=∠OBC，∴∠AOP=∠POC，又∵OA=OC，OP公共，∴△POA≌△POC，∴∠PAO=∠PCO，而PA為⊙O的切線，∴∠OAP=90°，∴∠PCO=90°，∴PC為⊙O的切線；（2）連AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，而DE⊥AB，∴∠ADE=∠ABD，由（1）得∠AOP=∠COP，∴∠ABD=∠DAF，∴∠DAG=∠ADF，∴AF=DF=FG=5，∴AC=5+5+6=16．∴AH=12AC=8又∵OA=OD，∴Rt△AOH≌Rt△DOE，∴DE=AH=8．∴EF=DE-DF=8-5=3，在Rt△AEF中，AE=AF設(shè)⊙O半徑為r，在Rt△DOE中，有r2=82+（r-4）2∴r=10．所以⊙O的半徑為10．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了切線的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理．【變式13】（2023秋·浙江·九年級(jí)期末）如圖1，在⊙O中，點(diǎn)H是直徑AB上的一點(diǎn)，過(guò)H點(diǎn)作弦CD⊥AB，點(diǎn)E是BAD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作BD的平行線交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BE，交CD（1）求證：EF是⊙O（2）求證：BD+（3）如圖2，連接DE，若BDBG=k，則當(dāng)k【答案】（1）見解析（2）見解析（3）當(dāng)k=1+52【分析】（1）連接EO并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)M，根據(jù)垂徑定理得到EM⊥BD，再結(jié)合EF//BD得到OE⊥EF，故可求解；（2）連接ED，先根據(jù)角度關(guān)系得到∠BGD=∠BDE=∠GBD，從而得到BD=GD，再根據(jù)EF//BD得到∠FEG=∠DBG=∠FGE，求得FE=FG，由線段間的關(guān)系即可證明；（3）先證明△BGD∽△BDE，得到BDBG=BEBD=k，可設(shè)BG=a，求出BD=ka，BE=k2a，再根據(jù)DE=EF證明得到EG=DG，再表示出BE=(k+1)a，得到k2a=(【詳解】（1）如圖，連接EO并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)M∵點(diǎn)E是BAD的中點(diǎn)，EM過(guò)圓心O，∴EM⊥BD，又EF//BD∴OE⊥EF∴EF是⊙O（2）如圖，連接ED∵CD⊥AB∴BC∴∠BDC=∠BED，又∵∠GBD=∠DBE∴∠BGD=∠BDE=∠GBD∴BD=GD∵EF//BD∴∠FEG=∠DBG=∠FGE∴FE=FG∴BD+EF=DG+GF=DF；（3）∵∠BDC=∠BED，∠GBD=∠DBE，∴△BGD∽△BDE∴BD設(shè)BG=a，則BD=ka，BE=k2a∵DE=EF∴∠F=∠EDF∵EF//BD∴∠F=∠BDC又∵∠BED=∠BDC∴∠EDF=∠BED∴EG=DG又∵DG=BD=ka∴EG=ka，BE=BG+EG=(k+1)a∴k2a=(k+1)a解得k=1+52（∴當(dāng)k=1+52時(shí)，【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理、圓周角定理、切線的判定定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的求法等知識(shí)．【題型2圓周角定理有關(guān)的計(jì)算與證明】【方法點(diǎn)撥】圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。【例2】（2023秋·北京西城·九年級(jí)北京八中校考期中）如圖，已知：過(guò)⊙O上一點(diǎn)A作兩條弦AB、AC，且∠BAC=45°，(AB，AC都不經(jīng)過(guò)O)過(guò)A作AC的垂線AF交⊙O于D，直線BD，AC交于點(diǎn)E，直線

(1)證明：BE=(2)探索線段AB、AE、AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)AE=【分析】（1）連接CD，證明△BCD為等腰直角三角形，再證明△（2）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AB交AE于H，先證明△BCD為等腰直角三角形，得出AH=2AB，再證明△EBH【詳解】（1）證明：如圖1，連接CD，

∵AF∴∠CAD∴CD為⊙∴∠CBD∴∠EBC∵∠BAC∴∠BDC∴∠BCD∴BC∵四邊形ACBD內(nèi)接于⊙O∴∠ECB在△EBC與△FBD中，∴△EBC∴BE（2）解：AE=證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AB交AE于

∵∠BAH∴△ABH∴AH∵△∴∠E=∠F∵∠EBF∴∠EBH∴∠EBH在△EBH和△∠E∴△EBH∴EH∴AE【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形的全等是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023秋·湖北·九年級(jí)期末）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接(1)如圖①，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AB，AC，AD之間滿足的等量關(guān)系式：(2)如圖②，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，試探究線段AB，AC，【答案】(1)AB(2)AB+【分析】（1）在線段AD上截取AE=AB，連接BE，根據(jù)圓周角定理的推論證明△ABE和△BCD是等邊三角形，再利用SAS證明△BED（2）延長(zhǎng)AB到點(diǎn)M，使BM=AC，連接DM，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠MBD=∠ACD，再利用SAS證明△MBD≌△ACD，推出MD=【詳解】（1）解：如圖①在線段AD上截取AE=AB，連接∵∠BAC=120°，AD平分∴∠BAD∵CD=∴∠DBC同理：∠DCB∴BC=∵AE=AB，∴AB=∴∠ABE∴∠DBE在△BED和△BE=∴△BED∴DE=∴AD=故答案為：AB+（2）解：AB+如圖②，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)M，使BM=AC，連接∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O∴∠MBD∵∠BAD∴BD=在△MBD和△MB=∴△MBD∴MD=∴∠M∴∠MDA∴MD⊥∴AM=2AD∴AB+【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形．【變式22】（2023秋·山西朔州·九年級(jí)校考期中）如圖，BD是⊙O的直徑，弦BC與OA相交于點(diǎn)E，AF與⊙O相切于點(diǎn)A，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠F=30°，

(1)求∠ADB(2)求AC的長(zhǎng)度；(3)判定四邊形AFBC的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)8(2)30°(3)四邊形AFBC是平行四邊形，證明見解析【分析】（1）由切線的性質(zhì)得出AF⊥OA，求出∠F=30°，得出（2）證出OA⊥BC，由垂徑定理得出BE=CE=12BC=4，證明△AOB是等邊三角形，得出（3）根據(jù)（1）（2）得到的相關(guān)結(jié)論證明AF∥BC、【詳解】（1）解：∵AF與⊙O相切于點(diǎn)A∴AF⊥∵∠F∴∠AOF∴∠ADB（2）解：∵∠ACB=∠ADB∴∠ABC∴∠ABC∴AB=∴AB=∴OA∴BE∵∠AOB=60°，∴△AOB∴AB=∵∠OBE∴OE=12∴OE=∴AC=（3）解：四邊形AFBC是平行四邊形，證明如下：∵OA⊥BC，∴AF∵△AOB∴∠ABO=60°,即∵∠BAC∴∠ABF∴BF∥∴四邊形AFBC是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理和等邊三角形的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，DB=DC，∠(1)若∠DAE=75°，則∠DAC(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，判斷(3)若AB=6、AE【答案】(1)75(2)AC=2(3)60【分析】（1）四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，則∠BCD+∠BAD=180°，∠DAE是四邊形ABCD的一個(gè)外角得到∠DAE=∠（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，先證明△BDE≌△CDFAAS（3）在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，在【詳解】（1）∵四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD∵∠DAE是四邊形ABCD∴∠DAE∵BD=∴∠CBD∴∠DAE∵弧CD所對(duì)的圓周角分別為∠CAD∴∠CBD∵∠DAE∴∠DCB故答案為；75（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)∵DE⊥∴∠∵∠ABD∴△BDE∴DE=∴∠ADE又∵∠E∴△ADE∴AE=∴AC=即AC=2（3）在Rt△BDE中，在Rt△AED中，∵AB=6∴BE=8∴BD2=64+∴BD【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理及其推論，全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí).【題型3垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；弦的垂直平分線過(guò)圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧．【例3】（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為5厘米，AB=8厘米．若從日前太陽(yáng)所處位置到太陽(yáng)完全跳出海平面的時(shí)間為8分鐘，則①現(xiàn)在“圖上”太陽(yáng)與海平線的位置關(guān)系是；②“圖上”太陽(yáng)升起的平均速度為厘米/【答案】相交1【分析】首先根據(jù)海平面與圓有兩個(gè)交點(diǎn)可判斷出直線與圓的位置關(guān)系，然后連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，由垂徑定理求出AD的長(zhǎng)，再由勾股定理求出【詳解】解：∵海平面與圓有兩個(gè)交點(diǎn)∴現(xiàn)在“圖上”太陽(yáng)與海平線的位置關(guān)系是相交；設(shè)“圖上”圓的圓心為O，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于∵AB=8∴AD=∵OA=5∴OD=∴海平線以下部分的高度=OA∵太陽(yáng)從所處位置到完全跳出海平面的時(shí)間為8分鐘，∴“圖上”太陽(yáng)升起的速度=8÷8=1（厘米/分），故答案為：相交，1．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的運(yùn)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．【變式31】（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校考期中）我市在創(chuàng)建全國(guó)文明城市檢查中，發(fā)現(xiàn)一些破舊的公交車候車亭有礙觀瞻，現(xiàn)已更換新的公交候車亭(圖1)，圖2所示的是側(cè)面示意圖，F(xiàn)G為水平線段，PQ⊥FG，點(diǎn)H為垂足，F(xiàn)G=4m，F(xiàn)H=2.4m，點(diǎn)P在弧FG上，且弧FG所在的圓的圓心O到FG，PQ的距離之比為5：2，則PH的長(zhǎng)約為多少米？

【答案】PH的長(zhǎng)約為1.2米【分析】作出如圖的輔助線，利用垂徑定理結(jié)合矩形性質(zhì)求得FM、OM、HN、ON的長(zhǎng)，分別在直角三角形OFM和直角三角形OPN中，利用勾股定理即可求解．【詳解】過(guò)點(diǎn)O作FG的垂線，垂足為M，過(guò)點(diǎn)O作PQ的垂線，垂足為N，

∵PQ⊥FG，∴四邊形MONH是矩形，則FM=12FG=2∵O到FG，PQ的距離之比為5:2即OMON∴OM=NH連接OF和OP，則在直角三角形OFM中，OF=OP∴直角三角形OPN中，PN=O∴PH=故則PH的長(zhǎng)約為1.2米．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)系．【變式32】（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)臺(tái)州市書生中學(xué)校考期中）如圖這是我市某跨海大橋正側(cè)面的照片，大橋的主橋拱為圓弧型，橋面AB長(zhǎng)為800米，且與水面平行，小王用計(jì)算機(jī)根據(jù)照片對(duì)大橋進(jìn)行了模擬分析，在橋正下方的水面上取一點(diǎn)P，在橋面AB上取點(diǎn)C，作射線PC交弧（主橋拱）于點(diǎn)D，右邊畫出了PC與PD關(guān)于AC長(zhǎng)的函數(shù)圖象，下列對(duì)此橋的判斷不合理的是（）A．橋拱的最高點(diǎn)與橋面AB的實(shí)際距離約為210米B．橋拱正下方的橋面EF的實(shí)際長(zhǎng)度約為500米C．拍攝照片時(shí)，橋面離水面的實(shí)際高度約為110米D．橋面上BF段的實(shí)際長(zhǎng)度約200米【答案】A【分析】由題意知，x從0變化到8，AB=800米，橫坐標(biāo)一個(gè)單位長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度為100米，函數(shù)圖象中PC與PD函數(shù)圖象的交點(diǎn)即為橋拱與橋面的交點(diǎn)E、F，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為1、6，可求EF，進(jìn)而可判斷B的正誤；如圖，過(guò)最高點(diǎn)D作DH⊥AB，交AB于H，由題意知，EF中點(diǎn)對(duì)應(yīng)最高點(diǎn)D，根據(jù)x=1+52=3.5時(shí)，DH<DC，結(jié)合圖象可判斷A的正誤；PC縱坐標(biāo)最小時(shí)，PC⊥AB，由函數(shù)圖象可得【詳解】解：由題意知，x從0變化到8，AB=800∴橫坐標(biāo)一個(gè)單位長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度為100米，函數(shù)圖象中PC與PD函數(shù)圖象的交點(diǎn)即為橋拱與橋面的交點(diǎn)E、F，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為1、6，∴EF=6-1×100=500如圖，過(guò)最高點(diǎn)D作DH⊥AB，交AB于由題意知，EF中點(diǎn)對(duì)應(yīng)最高點(diǎn)D，∴x=1+52=3.5由圖象可知，DC=1.8×100=180∴橋拱的最高點(diǎn)與橋面AB的實(shí)際距離小于180米，A錯(cuò)誤，故符合要求；PC縱坐標(biāo)最小時(shí)，此時(shí)PC⊥AB，由函數(shù)圖象可知，PC=1.1×100=110橋面上BF段的實(shí)際長(zhǎng)度約8-6×100=200米，D故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，垂徑定理．解題的關(guān)鍵在于結(jié)合題意理解圖象信息．【變式33】（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）“筒車”是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具．如圖，“筒車”盛水筒的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O始終在水面上方．且當(dāng)圓被水面截得的弦AB為6米時(shí)，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點(diǎn)距離水面的最大距離）．

(1)求該圓的半徑；(2)若水面上漲導(dǎo)致圓被水面截得的弦AB從原來(lái)的6米變?yōu)?米時(shí)，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？【答案】(1)5米(2)2米【分析】（1）作OD⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，由垂徑定理可得AE（2）當(dāng)AB=8米時(shí)，AE=12AB=4米．在Rt△【詳解】（1）解：如圖，作OD⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O則AE=12設(shè)圓的半徑為r米，在Rt△AOE中，∴32解得r=5∴該圓的半徑為5米；

（2）解：當(dāng)AB=8米時(shí)，AE=在Rt△AOE中，∴42+∴OE=3∴DE=5-3=2答：水面下盛水筒的最大深度為2米．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理的定義并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【題型4由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求求最值】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d＝r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【例4】（2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B0,2+t，C0,2-t(t>0)，點(diǎn)P在以D6,6【答案】2【分析】根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，可知點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半解得AP的長(zhǎng)，再由勾股定理解得AD的長(zhǎng)，最后由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求解．【詳解】解：連接AP，由題意，得：AB=(2+t)-2=∴AB=∵∠BPC∴AP=t要最小，就是點(diǎn)A到⊙D∴P在AD上，∵A0,2，D∴AD=∴t的最小值是AP=故答案為：213【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，其中涉及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式41】（2023秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最小值為．【答案】212【分析】先證點(diǎn)C在半徑為1的⊙B上，可知，C在BD與圓B的交點(diǎn)時(shí)，OM最小，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．【詳解】解：∵A（2，0），B（0，2），∴OA=OB=2，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1，∴C在⊙B上，且半徑為1，如圖，在x軸上取OD=OA=2，連接CD，∵M(jìn)為線段AC的中點(diǎn)，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM=12CD當(dāng)OM最小時(shí)，即CD最小，而D，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在線段DB上時(shí)，OM最小，∵OB=OD=2，∠BOD=90°，∴BD=2OB=22，∴CD=221，∴OM=12CD=21即OM的最小值為212故答案為：212【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，確定OM為最小值時(shí)點(diǎn)C的位置是關(guān)鍵．【變式42】（2023秋·山東泰安·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)P(3，4)，⊙P半徑為2，A(2.5，0)，BA．32 B．52 C．72【答案】C【分析】如圖，作射線