學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精皰丁巧解牛知識·巧學1。平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1、λ2使a=λ1e1+λ2e2。我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.對于平面向量基本定理應注意以下幾點：（1)基底不唯一，關鍵是不共線；（2）由定理可將任一向量a在給出基底e1、e2的條件下進行分解;（3)基底給定時，分解形式唯一,λ1,λ2是被a,e1，e2唯一確定的數量。由平面向量基本定理知，平面內任意一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量的和,并且這種分解是唯一的.一個平面向量用一組基底e1、e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式，我們稱它為向量的分解。特別地，當e1、e2互相垂直時，就稱為向量的正交分解。深化升華對于一個平面內所有向量的基底必須是不共線的,對于一個平面向量,可以選擇不同的基底，基底的選擇不同，則對于同一個非零向量的表示也不同。由這個定理還可以看出，平面內任意一個向量都可以沿兩個不共線的方向分解為兩個向量的和.學法一得當沿兩個不共線的方向分解一個向量時，可對比于物理中力的分解.λ1e1+λ2e2叫做e1、e2的一個線性組合.由平面向量的基本定理知,若e1、e2不共線,那么由e1、e2的所有線性組合構成的集合｛λ1e1+λ2e2，λ1、λ2∈R｝就是平面內的全體向量，所以我們把e1、e2叫做這一平面內所有向量的一組基底。平面向量基本定理雖然沒有指出λ1、λ2的計算方法，但它卻和平行向量、基本向量一起，深刻地揭示了平面向量的基本結構，是繼續深入研究向量的基礎。同時這個定理體現了化歸的數學思想方法，在用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當的基底化歸，從而導致問題的解決。2。平面向量的坐標運算（1）平面向量的坐標表示在平面直角坐標系內，任意一點M可以用坐標來表示，當一個點M確定之后，也可以確定一個以原點為起點而以M為終點的向量.由于平移不改變向量的方向和大小,所以，所有向量都可以通過平移，把它的起點移到原點，此時向量的終點就對應一個坐標,我們把該點坐標稱為該向量的坐標。深化升華由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，平面內任一向量所對應的坐標是指把該向量的起點移至原點，終點所對應的坐標.如圖2—3-2，在直角坐標平面內，以原點O為起點作=a圖2-3-2則向量的坐標（x,y)就是點A的坐標；反過來，點A的坐標(x，y）也就是向量的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一對實數唯一表示.聯想發散前面用有向線段來表示向量的幾何特征,現在又用坐標將向量代數化，這樣就達到了數與形的結合，為利用數形結合的思想方法解題奠定了基礎.一般地，對于向量a,當它的起點移至原點時,其終點坐標(x,y)稱為向量a的坐標。誤區警示一個向量對應唯一一個坐標,但是反過來，一個坐標可以對應無數個向量,這些向量是相等的.所以平面上的向量與它們坐標之間并非是一一對應的,例如，若點A不與原點重合，點B的坐標為（x,y），則向量的坐標不是（x，y）。只有以原點為起點的向量和坐標之間具有一一對應的關系.當我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底時，任作一個向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數x、y，使得a=xi+yj,特別地，i=(1，0),j=(0，1），0=(0,0）。辨析比較有了平面向量的坐標之后,要將點的坐標與向量的坐標區別開來，相等的向量的坐標是相同的,但起點、終點的坐標可以不同，如A（0,1），B(2,3)，則=（2，2)；若C（1,2）,D(3,4）,則=（2,2)，顯然和是相等的向量,但A、B、C、D四點坐標各不相同。此外，向量和坐標之間是用“=”連接的,但點和坐標之間卻無任何符號，比如“=(2,2)"和“A（0,1）"這些表示方法是正確的，但“（2，2）"和“A=(0,1)”這些表示方法卻是錯誤的.聯想發散平面內任一向量所對應的坐標與該向量分別在x軸、y軸上的投影線段的長度有關.根據兩條線段的投影長度,結合終點所在象限的符號,即可確定坐標.（2）平面向量的坐標運算當向量用坐標表示時,向量的和、差及向量的數乘也都可以用相應的坐標來表示.①若a=（x1,y1），b=（x2,y2)，則a+b=(x1+x2,y1+y2），a-b=（x1-x2,y1—y2）。即兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.證明如下：設基底為i、j，則a+b=(x1i+y1j）+(x2i+y2j）=(x1+x2)i+（y1+y2）j,即a+b=(x1+x2，y1+y2），同理可得a—b=(x1—x2，y1-y2).②若a=（x,y)和實數λ，則λa=（λx，λy).即實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標。證明如下：設基底為i、j，則λa=λ（xi+yj）=λxi+λyj，即λa=(λx，λy)。特別地,若A（x1,y1）,B（x2,y2），則=(x2—x1,y2—y1）.一個向量的坐標等于該向量的終點坐標減去始點的坐標。這是因為:=(x2,y2）-（x1，y1)=（x2—x1,y2—y1）。記憶要訣實數與向量積的坐標運算與實數與向量的積的分配律很類似。因此，可對比實數與向量的積的分配律進行記憶.深化升華向量的坐標表示為用“數”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁，向量的坐標表示實際是向量的代數表示,使向量的運算完全代數化,為幾何問題的解決又提供了一種嶄新的方法.這是因為這樣可以使很多幾何問題的證明,轉化為我們熟知的數量運算，這也是中學數學學習向量的重要目的之一。3.向量平行的坐標表示設向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)（a≠0)，如果a∥b，那么x1y2-x2y1=0；反過來，如果x1y2-x2y1=0，那么a∥b.證明：a=（x1,y1)，b=(x2,y2）,因為a≠0,所以x1,y1不全為0，不妨設x1≠0。如果a∥b，則有b=λa，得(x2，y2)=λ(x1，y1)消去λ,即可得x1y2-x2y1=0。但應注意消去λ時不能兩式相除，這是因為y1,y2有可能為0。由于x1≠0，則λ=，代入②即可。反過來，如果x1y2-x2y1=0，由于x1≠0,則有y2=y1，則（x2,y2）=(x2，y1）=(x1,y1)，即有b=λa，所以a∥b。對于向量平行的坐標表示中x1y2-x2y1=0不能寫成=，這是因為x1,x2有可能為0。有了向量平行的坐標表示，向量平行的條件有兩種形式:a∥b(b≠0)誤區警示在定理中沒有說明向量b是否是非零向量，a明確說明是非零向量，這是因為當向量b是零向量時，則存在λ=0使得b=λa成立；而當a是零向量時,即使等式b=λa成立，等式中的實數λ也唯一確定，定理不成立。典題·熱題知識點1平面向量基本定理例1如圖2-3—3,，不共線，=(t∈R），用,表示。圖2思路分析：本題利用平面向量基本定理.解：∵，∴=+t()==(1—t）+.方法歸納利用兩個不共線的向量表示這兩個向量所在平面內的任意一向量時,應把這些向量的起點平移到同一點，構造三角形,利用向量加、減法的三角形法則來處理問題.例2設兩非零向量e1和e2不共線.(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2，=3（e1-e2）,求證：A、B、D三點共線;(2)試確定實數k，使ke1+e2和e1+ke2共線.思路分析：要證明A、B、D三點共線，需證明存在λ,使=λ（e1+e2)即可.而若ke1+e2和e1+ke2共線,則一定存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2).（1)證明：∵=e1+e2,=2e1+8e2+3e1—3e2=5（e1+e2)=，∴、共線.又有公共點B,∴A、B、C三點共線。(2)解：∵ke1+e2和e1+ke2共線，∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2），則（k—λ)e1=（λk—1)e2,由于e1與e2不共線，只能有則k=±1。方法歸納本題是兩個向量共線的充要條件的應用，只需根據以其中某一點為起點,以另外兩點為終點的向量a、b共線，則存在實數λ使得a=λb（b≠0),然后利用待定系數法確定參數值.深化升華由平面向量基本定理可以得到以下兩條常用的性質：(1)設e1、e2是兩個不共線的向量，若me1+ne2=se1+te2(m、n、s、t為實數），則有(2)設e1、e2是兩個不共線的向量，若me1=ne2，則有m=n=0。例3如圖2-3-4,設O為△ABC內一點,PQ∥BC，且=,=a，=b,=c,試求、.圖2思路分析：根據條件,考慮用三角形法則求、，即由，，再利用平面幾何及向量知識求出、便可解決問題.解:由平面幾何知識知△APQ∽△ABC,且對應邊之比為t，故==。又A、P、B與A、Q、C分別共線，即知=，=,∴+=+(）=a+(b-a），即=a+b。+（）=a+(c-a），即=a+c.方法歸納利用三角形法則求某一向量時，選取第三個點時，應注意恰當性，如本題中,若采用，，雖然也可求出、,但計算過程就顯得復雜些.知識點2平面向量的坐標運算例4已知A(1，2）,B(3，2），向量a=（x+3，x2-3x—4)與向量相等，則x的值為__________。思路解析：由于=（3，2)-（1,2）=(2，0)，a=（x+3，x2—3x-4），則有解得x=-1.答案：-1誤區警示兩個向量相等,則它們的橫坐標與縱坐標分別相等。解這類題易出現只利用橫坐標或縱坐標相等來建立方程求解，從而導致錯誤，比如在本題中若只利用縱坐標相等，則可得x2-3x—4=0，解得x=-1或x=4，從而得出錯誤的結論。例5(1)已知三個力F1=(3,4),F2=(2,—5),F3=（x,y）的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐標。(2）若M（3,-2）,N（-5，—1)且=,求P點的坐標。思路分析：本題利用向量的坐標表示及向量的坐標運算.解:（1）由題設F1+F2+F3=0得（3，4)+(2,-5）+（x，y)=(0，0),即∴∴F3=(—5，1）.（2）設P(x,y)，則(x-3,y+2)=(—8，1）=（—4，）。∴∴∴P點坐標為（—1，—）.深化升華定義了向量的坐標后，給向量的運算（加、減、向量的數乘)帶來了方便，也為向量和代數建立起了聯系的紐帶.例6（1)若向量a=(-1,x）與b=（-x,2)共線且方向相同，求x.(2）已知A(-1,-1),B(1,3)，C(1,5），D（2,7)，向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？思路分析:本題利用向量平行條件和運算及應用向量平行條件解決直線平行問題。解：(1）∵a=(-1,x）與b=(—x，2）共線,∴(-1)×2-x·（—x）=0。∴x=±。∵a與b方向相同,∴x=。(2)∵=（1—（—1),3-（—1）)=(2，4），=（2-1，7-5)=（1,2),又∵2×2—4×1=0，∴∥。又∵=（1—(—1),5-(-1）)=(2,6)，=（2，4),2×4-2×6≠0，∴與不平行。∴A、B、C不共線。∴AB與CD不重合。∴AB∥CD.方法歸納當向量用坐標表示時,在解決與向量平行的有關問題時，一般利用坐標表示向量平行的條件。但如果涉及到方向問題時，要進一步進行檢驗.例7已知點A（2，3)、B（5，4）、C（7，10）,若(λ∈R）.(1)試求λ為何值時，點P在第一、三象限角平分線上.(2)試求λ為何值時，點P在第三象限。(3）四邊形ABCP能是平行四邊形嗎？若能,求出相應的λ值；若不能,請說明理由。思路分析：本題利用平面向量的坐標運算以及向量的坐標與點坐標之間的關系.解:設P點坐標為(x,y),則=（x，y)—(2，3）=（x—2，y—3),=(5，4)—(2,3)+λ[（7,10）-（2，3)］=(3，1)+λ(5,7）=(3+5λ，1+7λ）。由于(λ∈R)，所以(x-2，y—3）=(3+5λ，1+7λ）。所以即(1)若點P在第一、三象限角平分線上,則有5+5λ=4+7λ,解得λ=.即當λ=時，點P在第一、三象限角平分線上.（2)若點P在第三象限內，則有解得λ＜—1。即當λ＜-1時,點P在第三象限.(3)由于=（7，10)—（5，4）=(2，6）,=（3+5λ，1+7λ)，若四邊形ABCP是平行四邊形，則應有此方程組無解，即不存在λ使，所以四邊形ABCP不能是平行四邊形.方法歸納引進向量的坐標后，向量的基本運算轉化為實數的基本運算，可以解方程，可以解不等式,總之把問題轉化為我們熟知的領域即可。誤區警示一個向量的坐標等于該向量的終點坐標減去起點坐標.而在進行向量的這種坐標運算時，容易混淆，易記成起點坐標減去終點坐標從而導致錯誤，例如本題中在求的坐標時，易出現=（2，3）—(x，y）=（2—x，3-y)的錯誤表示，從而導致本題的錯解.深化升華向量的坐標表示為用“數”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁,向量的坐標表示實際是向量的代數表示,使向量的運算完全代數化，為幾何問題的解決又提供了一種嶄新的方法.例8如果向量=i-2j,=i+mj,其中i、j分別表示x軸、y軸正方向上的單位向量,試確定實數m的值使A、B、C三點共線。思路分析：本題利用向量平行的條件解決三點共線的問題.解法一：由于A、B、C三點共線,即、共線，所以存在實數λ使=λ。即i-2j=λ(i+mj），由此可得所以m=-2.解法二：由于i=（1，0),j=（0,1），則=i-2j=（1，0)—2（0,1）=（1,-2），=i+mj=(1,m)，而、共線，所以有1×m—1×（—2)=0。所以m=-2。故當m=—2時,A、B、C三點共線.方法歸納向量共線的幾何表示和坐標表示形式不同但實質一樣，在解決問題時要注意選擇適當的方法來使用.例9將向量u=（x,y）與向量v=(y,2y-x）的對應關系用v=f(u）表示.（1)證明對于任意向量a、b及常數m、n恒有f（ma+nb)=mf(a）+nf(b)成立.（2）設a=(1，1),b=(1，0）,求向量f(a）及f(b）的坐標.（3)求使f（c)=(p，q)（p,q為常數）的向量c的坐標.思路分析：為應用題設條件,必須將向量用坐標表示,通過坐標進行計算,從而使問題解決。（1）證明:設a=（a1，a2),b=（b1,b2),則ma+nb=（ma1+nb1,ma2+nb2)，∴f（ma+nb)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2—ma1-nb1)，mf（a)+nf（b)=m(a2，2a2-a1）+n(b2，2b2-b1）=（ma2+nb2，2ma2+2nb2—ma1—nb1∴f（ma+nb）=mf（a)+nf(b）成立.(2）解：f（a)=(1，2×1-1）=(1，1）;f(b）=(0，2×0-1）=(0,—1）.(3）解：設c=(x,y),則f(c)=（y,2y—x)=（p，q），∴∴x=2p-q，即向量c=(2p—q,p)。方法歸納證明等式成立,可以從一邊開始證得它等于另一邊，也可證明左右兩邊等于同一式子，還可先證明一個式子成立，再推出要證明的式子成立.例10已知A(-1,-1）,B(1,3），C(1,5),D(2,7）,向量與平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？思路分析：本題利用向量共線的充要條件、共線的坐標表示及向量平行與直線平行的區別.解:∵=（1—(-1)，3-(-1)）=（2,4），=(2-1,7-5)=（1,2），又∵2×2—4×1=0，∴∥。又∵=(1-(—1)，5-（—1)）=(2，6)，=（2，4）,2×4-2×6≠0，∴與不平行.∴A、B、C不共線。∴AB與CD不重合.∴AB∥CD.誤區警示向量平行不同于直線平行，向量平行可以共線也可以不共線，因此若向量與平行時，直線AB與CD可能平行也可能重合.例11已知任意四邊形ABCD中,E、F分別是AD、BC的中點。如圖2-3—5所示，求證:=（圖2-3思路分析：本題的證明方法比較多,可通過兩個封閉圖形得出，相加得出結論;也可以在平面內任選一點O，構成三角形,在三角形中利用向量加、減法的三角形法則找出關系式求解；也可以建立坐標系,利用向量的坐標運算求解。證法一:∵E、F分別是AD、BC的中點,∴=0.又，,兩式相加得,即=()。證法二：如圖2-圖2∵E、F分別是AD、BC的中點，∴=（），=()。∴=[()+()］=（）.∴=（）.證