第14章

整式的乘法

與因式分解

八年級數學上冊同步精品課堂（人教版）人教版

數學八年級

上冊14.3.2.1運用平方差公式

因式分解復習引入填空：（1）(x+5)(x-5)=

；（2）(3x+y)(3x-y)=

；（3）(3m+2n)(3m–2n)=

．x2–259x2–y29m2–4n2它們的結果有什么共同特征？(a+b)(a-b)=a2-b2嘗試將它們的結果分別寫成兩個因式的乘積：x2-25=___________;9x2-y2=___________;9m2-4n2=_____________(x+5)(x-5)(3x+y)(3x-y)(3m+2n)(3m–2n)新知探究平方差公式：))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解公式中的a、b無論表示數、單項式、還是多項式，只要被分解的多項式能轉化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.☆2-○2＝(☆+○)(☆-○)□2-△2＝(□+△)(□-△)形象地表示為：兩數的和與差的積兩個數的平方差；只有兩項

①左邊②右邊新知探究辨析：下列多項式能否用平方差公式來分解因式，為什么？√√××√√（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)(y+x)(y-x)（4）-x2+y2（5）x2-36y2(x+6y)(x-6y)（6）m2-1(m+1)(m-1)符合平方差的形式的多項式才能用平方差公式進行因式分解，即能寫成:()2-()2的形式.

兩數是平方，減號在中央．

典例精析例1把下列各式分解因式：(1)16a2-

9b2=_________________；(2)(a+b)2-

(a-

b)2=_______；

(3)9xy3-

36x3y=_________________；(4)

-a4+16=___________________.(4a+3b)(4a-

3b)4ab9xy(y+2x)(y-

2x)(4+a2)(2+a)(2-

a)若將

(2x

)n

-

81

分解成

(4x2

+

9)(2x

+

3)(2x

-

3)，則

n

的值是______.4例2解：∵(4x2

+

9)(2x

+

3)(2x

-

3)=(4x2

+

9)(4x2

-

9)=16x2

-

81∴n=4典例精析例3把

因式分解.解：

把因式分解.解:例4典例精析例5日期：

原題（可粘貼）：來源：重要程度：☆☆☆☆☆原因分析□審題不清□計算錯誤□時間不足□概念不清□其他原因原因及分析：解：-4ax2+16ay2=-4a(x2-4y2)=-4a(x+2y)(x-2y)訂正小明的錯題本.把-4ax2+16ay2因式分解解：-4ax2+16ay2=-4a(x2-4y2)因式分解，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.典例精析日期：

原題（可粘貼）：來源：重要程度：☆☆☆☆☆原因分析□審題不清□計算錯誤□時間不足□概念不清□其他原因原因及分析：解：x3y2-x5=x3(y2-x2)=x3(y+x)(y-x)因式分解，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.把x3y2-x5因式分解.解：x3y2-x5=x3(y2-x2)例5訂正小明的錯題本.典例精析日期：

原題（可粘貼）：來源：重要程度：☆☆☆☆☆原因分析□審題不清□計算錯誤□時間不足□概念不清□其他原因原因及分析：解：x4-y4＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y);＝(x2)2-(y2)2分解因式：x4-y4

因式分解，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.解：x4-y4＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2)2-(y2)2例5訂正小明的錯題本.典例精析方法總結分解因式的步驟：(1)優先考慮提取公因式法;(2)看是否能用公式法;(3)務必檢查是否分解到底了;多項式具有如下特征時，可以運用平方差公式因式分解：1.多項式是二項式或可以看成二項式；2.兩項符號相反；3.每項都可以寫成某數或某式的平方的形式.提公因式后不要漏掉“1”或“-1”這一項.(4)答案要寫成最簡形式.典例精析例6已知

4m

+

n

=

40，2m

-

3n

=

5，求

(m

+

2n)2

-

(3m

-

n)2

的值．原式

=

-40×5

=

-200．解：原式

=

(m

+

2n

+

3m

-

n)(m

+

2n

-

3m

+

n)=

(4m

+

n)(3n

-

2m)=

-(4m

+

n)(2m

-

3n)，當

4m

+

n

=

40，2m

-

3n

=

5

時，方法總結典例精析例7計算：50×1252-50×252解：

原式

=

50×(1252-252)=50×(125+25)×(125-25)=50×150×100=750000

較為復雜的有理數運算，可以運用因式分解對其進行變形，使運算得以簡化.典例精析例8解：根據題意，得6.82－4×1.62＝6.82－(2×1.6)2＝6.82－3.22＝(6.8＋3.2)(6.8－3.2)＝10×3.6＝36(cm2)答：剩余部分的面積為36cm2.

如圖，在邊長為6.8cm正方形鋼板上，挖去4個邊長為1.6cm的小正方形，求剩余部分的面積．典例精析例9你知道992-1能否被100整除嗎？解：因為992-1=(99+1)(99-1)=100×98，

所以992-1能被100整除.n為整數,(2n+1)2-25能否被4整除？解:原式＝(2n+1+5)(2n+1-5)=(2n+6)(2n-4)=2(n+3)×2(n-2)=4(n+3)(n-2).所以(2n+1)2-25能被4整除.變式歸納總結運用平方差公式因式分解依據

兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積。a2-b2=(a+b)(a-b)與提公因式法綜合運用①提取公因式；②運用平方差公式；③檢查多項式的因式分解是否完全，有沒有分解到不能再分解為止.當堂檢測1.多項式x2-4因式分解的結果是(

)

A.(x+2)(x-2)

B.(x-2)2

C.(x+4)(x-4)

D.x(x-4)A2.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(

)

A.-a2-b2

B.-a2+81

C.p2-(-q2)

D.a2-b3B3.下列因式分解中,結果正確的是(

)

A.x2-25=(x+5)(x-5) B.1-(x+2)2=(x+1)(x+3)

C.4m2-n2=(2m+n)(m-n) D.x2-4=(x-2)2A當堂檢測4.計算下列各題：(1)1012－992；(2)53.52×4-46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)原式＝4×(53.52－46.52)=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)＝4×100×7=2800.當堂檢測（4）a3-ab2a(a+b)(a-b)（3）9x4-36y29(x2+2y)(x2-2y)（5）25x4y2-x25.把下列各式因式分解:（6）2a(x2+1)2-2ax2x2(5