第03講絕對值（4種題型）【知識梳理】1.定義：一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.要點詮釋：（1）絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．即對于任何有理數a都有：（2）絕對值的幾何意義：一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小．（3）一個有理數是由符號和絕對值兩個方面來確定的．2.性質：絕對值具有非負性，即任何一個數的絕對值總是正數或0．【考點剖析】題型一、絕對值的概念例1．求下列各數的絕對值．，0.3，0，【思路點撥】，0.3，0，在數軸上位置距原點有多少個單位長度，這個數字就是各數的絕對值．還可以用絕對值法則來求解．【答案與解析】解法一：因為到原點距離是個單位長度，所以．因為0.3到原點距離是0.3個單位長度，所以|0.3|＝0.3．因為0到原點距離為0個單位長度，所以|0|＝0．因為到原點的距離是個單位長度，所以．解法二：因為，所以．因為0.3＜0，所以|0.3|＝(0.3)＝0.3．因為0的絕對值是它本身，所以|0|＝0．因為，所以．【總結升華】求一個數的絕對值有兩種方法：一種是利用絕對值的幾何意義求解(如方法1)，一種是利用絕對值的代數意義求解(如方法2)，后種方法的具體做法：首先判斷這個數是正數、負數還是0．再根據絕對值的意義，確定去掉絕對值符號的結果是它本身，是它的相反數，還是0．從而求出該數的絕對值．【變式1】計算：（1）（2）|4|+|3|+|0|（3）|+(8)|【答案與解析】運用絕對值意義先求出各個絕對值再計算結果.解：(1)，(2)|4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，(3)|+(8)|＝[(8)]＝8．【總結升華】求一個數的絕對值有兩種方法：一種是利用絕對值的幾何意義求解，一種是利用絕對值的代數意義求解，后種方法的具體做法：首先判斷這個數是正數、負數還是0．再根據絕對值的代數意義，確定去掉絕對值符號的結果是它本身，是它的相反數，還是0．從而求出該數的絕對值．例2．下列說法正確的是（）A.一個數的絕對值一定比0大B.一個數的相反數一定比它本身小C.絕對值等于它本身的數一定是正數D.最小的正整數是1【答案】D．【解析】A、一個數的絕對值一定比0大，有可能等于0，故此選項錯誤；B、一個數的相反數一定比它本身小，負數的相反數，比它本身大，故此選項錯誤；C、絕對值等于它本身的數一定是正數，0的絕對值也等于其本身，故此選項錯誤；D、最小的正整數是1，正確．【總結升華】此題主要考查了絕對值以及有理數和相反數的定義，正確掌握它們的區別是解題關鍵．【變式1】求絕對值不大于3的所有整數．【答案】絕對值不大于3的所有整數有3、2、1、0、1、2、3．【變式2】已知一個數的絕對值是4，則這個數是．【答案】±4.【變式3】數軸上的點A到原點的距離是6，則點A表示的數為．【答案】6或6例3．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．試求x、y的值．【思路點撥】6和6的絕對值都等于6，4和4的絕對值都等于4，所以要注意分類討論．【答案與解析】解：因為|x|＝6，所以x＝6或x＝6；因為|y|＝4，所以y＝4或y＝4；由于x＜y，故x只能是6，因此x＝6，y＝±4．【總結升華】已知絕對值求原數的方法：(1)利用概念；(2)利用數形結合法在數軸上表示出來．無論哪種方法但要注意若一個數的絕對值是正數，則此數有兩個，且互為相反數.此外，此題x＝6，y＝±4，就是x＝6，y＝4或x＝6，y＝4.【變式1】(1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，則x、y的值各是多少?【答案】x＝6，y＝±4【變式2】如果數軸上的點A到原點的距離是6，則點A表示的數為．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范圍是．【答案】6或6；1或3；或【變式3】已知|a|＝3，|b|＝4，若a，b同號，則|a+b|＝_________；若a，b異號，則|a+b|＝________．據此討論|a+b|與|a|+|b|的大小關系．【答案】7，1；若a，b同號或至少有一個為零，則|a+b|=|a|+|b|；若a，b異號，則|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b|.題型二、含有字母的絕對值的化簡例4.把下列各式去掉絕對值的符號．(1)|a4|(a≥4)；(2)|5b|(b＞5)．【答案與解析】(1)∵a≥4，∴a4≥0，∴|a4|＝a4．(2)∵b＞5，∴5b＜0，∴|5b|＝(5b)＝b5．【總結升華】由字母的取值范圍來判斷絕對值里面的符號情況，再根據絕對值的意義去掉絕對值的符號.題型三、絕對值非負性的應用例5.已知|2m|+|n3|＝0，試求m2n的值．【思路點撥】由｜a｜≥0即絕對值的非負性可知，｜2m｜≥0，｜n3｜≥0，而它們的和為0．所以｜2m｜＝0，|n3|＝0．因此，2m＝0，n3＝0，所以m＝2，n＝3．【答案與解析】因為|2m|+|n3|＝0且|2m|≥0，|n3|≥0所以|2m|＝0，|n3|＝0即2m＝0，n3＝0所以m＝2，n＝3故m2n＝22×3＝4．【總結升華】若幾個數的絕對值的和為0，則每個數都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0時，則a＝b＝…＝m＝0．題型四、絕對值的實際應用 例6．正式足球比賽對所用足球的質量有嚴格的規定，下面是6個足球的質量檢測結果，用正數記超過規定質量的克數，用負數記不足規定質量的克數．檢測結果(單位：克)：25，+10，20，+30，+15，40．裁判員應該選擇哪個足球用于這場比賽呢?請說明理由．【答案】因為｜+10｜＜｜+15｜＜｜20｜＜｜25｜＜｜+30｜＜｜40｜，所以檢測結果為+10的足球的質量好一些．所以裁判員應該選第二個足球用于這場比賽．【解析】根據實際問題可知，哪個足球的質量偏離規定質量越小，則足球的質量越好．這個偏差可以用絕對值表示，即絕對值越小偏差也就越小，反之絕對值越大偏差也就越大．【點評】絕對值越小，越接近標準.【變式1】某企業生產瓶裝食用調和油，根據質量要求，凈含量(不含包裝)可以有0.002L的誤差．現抽查6瓶食用調和油，超過規定凈含量的升數記作正數，不足規定凈含量的升數記作負數．檢查結果如下表：+0.00180.0023+0.00250.0015+0.0012+0.0010請用絕對值知識說明：(1)哪幾瓶是合乎要求的(即在誤差范圍內的)?(2)哪一瓶凈含量最接近規定的凈含量？【答案】(1)絕對值不超過0.002的有4瓶，分別是檢查結果為+0.0018，0.0015，+0.0012，+0.0010的這四瓶．(2)第6瓶凈含量與規定的凈含量相差最少，最接近規定的凈含量．【變式2】一只可愛的小蟲從點O出發在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數，向左爬行的路程記為負數，小蟲爬行的各段路程(單位：cm)依次記為：+5，3，+10，8，6，+12，10，在爬行過程中，如果小蟲每爬行1cm就獎勵2粒芝麻，那么小蟲一共可以得到多少粒芝麻?【答案】小蟲爬行的總路程為：|+5|+|3|+|+10|+|8|+|6|+|+12|+|10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)．小蟲得到的芝麻數為54×2＝108(粒)．【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·浙江紹興·七年級校考期中）－2022的絕對值是（

）A． B． C．2022 D．【答案】C【分析】利用絕對值的定義判斷．【詳解】．故選：C．【點睛】本題考查了絕對值，解題的關鍵是掌握絕對值的定義．正數和0的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數．2．（2022秋·浙江杭州·七年級校考期中）一個數的絕對值等于這個數本身，這個數是（

）A．0 B．正數 C．非正數 D．非負數【答案】D【分析】正數和0的絕對值等于本身，由此可解．【詳解】解：根據正數和0的絕對值等于本身，可知一個數的絕對值等于這個數本身，這個數是非負數，故選D．【點睛】本題考查絕對值，解題的關鍵是掌握正數和0的絕對值等于本身，負數的絕對值等于它的相反數．3．（2023秋·浙江寧波·七年級統考期末）、、、四個點在數軸上的位置如圖所示，則這四個點表示的四個數中絕對值最大的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】絕對值的幾何意義是指數軸上表示這個數的點與原點的距離，由圖可知，點與原點的距離最大，則表示的數的絕對值最大．【詳解】由圖可知表示數的點到原點的距離最遠，∴這四個點表示的四個數中絕對值最大的是故選：A【點睛】本題主要考查絕對值的幾何意義，理解絕對值的幾何意義是解題的關鍵．4．（2023春·浙江·七年級期末）方程的整數解共有（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．2022【答案】C【詳解】根據絕對值的意義，方程表示整數到與的距離和等于到與的距離的和，進而得出為與2022之間的整數，據此即可求解．【分析】解：方程的整數解是1011至2022之間的所有整數，共有1012個．故選：C．【點睛】本題考查了絕對值的意義，數軸上兩點的距離，理解絕對值的意義是解題的關鍵．5．（2022秋·浙江金華·七年級校考期中）如果一個有理數的絕對值是3，那么這個數是（

）A．3 B． C．3或 D．或【答案】C【分析】根據絕對值的性質，即可求出這個數．【詳解】解：根據絕對值的定義，得．故選：C．【點睛】本題考查了絕對值的知識，注意絕對值的性質：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．6．（2022秋·浙江寧波·七年級校聯考期中）若時，化簡（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用絕對值的性質化簡求出答案．【詳解】解：，，，．故答案為：B．【點睛】此題主要考查了絕對值的性質，正確利用a的取值范圍化簡是解題關鍵．二、填空題7．（2022秋·浙江·七年級專題練習）（1）若，則__；（2）若，則__；（3）若，則__，__；（4）若，則__，__；（5）若，則__，__；（6）若，則__，__．【答案】01001003【分析】根據絕對值的非負性分別計算即可．【詳解】（1）若，則；故答案為：0；（2）若，則，解得；故答案為：1；（3）若，則，；故答案為：0，0；（4）若，則，，解得，；故答案為：1，0；（5）若，則，，解得，；故答案為：0，；（6）若，則，，解得，．故答案為：3，．【點睛】本題考查了絕對值的非負性，熟練掌握絕對值的非負性是解題的關鍵．8．（2022秋·浙江金華·七年級統考期中）寫出一個負數，使這個數的絕對值小于2.5：___________．【答案】2.3（答案不唯一）【分析】根據絕對值的意義寫出一個小于2.5，且小于的數即可求解．【點睛】本題考查了絕對值的意義，負數的定義，理解題意是解題的關鍵．9．（2022秋·浙江紹興·七年級校考期中）若，化簡______.【答案】【分析】正數的絕對值等于它本身，負數的絕對值等于它的相反數，0的絕對值是0．【詳解】解：∵，∴，∴原式故答案為：．【點睛】本題考查了絕對值的性質，掌握絕對值的性質是解題的關鍵．10．（2021秋·浙江湖州·七年級統考期末）如果一個數的絕對值等于4，那么這個數是___________．【答案】【分析】根據一個正數的絕對值等于它的本身，一個負數的絕對值等于它的相反數計算即可．【詳解】解：由題意可得，故答案為：．【點睛】本題考查了絕對值的意義，絕對值等于一個正數的數有兩個，這兩個數是互為相反數的關系，解題關鍵是掌握絕對值的定義．11．（2022秋·浙江·七年級專題練習）若，則__，__，__．【答案】/1【分析】直接根據絕對值的非負性求解即可.【詳解】解：∵，∴，，，∴，，，∴，，，故答案為：，1，．【點睛】本題考查了絕對值的非負性，熟練掌握若a為有理數，則有是解答本題的關鍵．12．（2022秋·浙江·七年級專題練習）若，則__，__，__．【答案】20【分析】先根據絕對值的非負性求出，，，再計算即可．【詳解】∵，∴，，，解得，，．故答案為：，2，0．【點睛】本題考查了絕對值的非負性，熟練掌握絕對值的非負性是解題的關鍵．13．（2022秋·浙江臺州·七年級校考期中）在檢測排球質量過程中，規定超過標準的克數為正數，不足的克數記為負數，根據下表提供的檢測結果，你認為質量最接近標準的是______號排球．排球編號一號二號三號四號五號檢測結果【答案】五【分析】使用誤差的絕對值作為評價標準，誤差的絕對值越小數據越接近標準，即可判斷．【詳解】根據表格檢測結果的絕對值排序：，可知五號排球質量最接近標準，故答案為：五．【點睛】本題考查了絕對值的實際運用，關鍵要掌握絕對值的含義，以及在誤差判斷中運用．14．（2022秋·浙江寧波·七年級校考期中）數軸上一個點到的距離是，那么這個點表示的數是_____．【答案】或【分析】根據數軸上一個點到的距離為，可知這個數與的差的絕對值等于，從而可以解答本題．【詳解】解：∵數軸上一個點到的距離為，∴設這個點表示的數為，依題意得：，解得：或．故答案為：或．【點睛】本題考查數軸上兩點間的距離，絕對值的應用．解題的關鍵是明確數軸上兩點間的距離是這兩個點對應的數的差的絕對值．三、解答題15．（2022秋·浙江溫州·七年級校考期中）把下列各數表示在數軸上，并比較它們的大小（用“＜”連接）．，，0，．【答案】見解析，【分析】在數軸上找出對應的點，根據數軸上右邊的數總比左邊的數大，按從小到大的順序用“”連接即可．【詳解】解：把各數在數軸上表示為：從小到大的順序用“”連接起來為：．【點睛】本題考查了數軸上表示有理數，以及有理數的大小，準確將各數表示在數軸上是解本題的關鍵．16．（2022秋·浙江金華·七年級校聯考期中）把下列各數填在相應的大括號中:，，0，，，0.25，，正數集合{…}；整數集合{…}分數集合{…}．【答案】見解析【分析】根據有理數的分類、絕對值的意義可進行求解．【詳解】解：∵，，∴正數集合{，0.25，…}；整數集合{0，，，…}分數集合{，，，0.25…}．【點睛】本題主要考查有理數的分類，熟練掌握有理數的分類是解題的關鍵．17．（2022秋·浙江臺州·七年級臺州市書生中學校考期中）將下列各數：，表示在數軸上，并用“<”連接各數．【答案】數軸表示見解析，【分析】先化簡絕對值和多重符號，然后在數軸上表示出各數，再根據數軸上右邊的數大于左邊的數用小于號將各數連接起來即可．【詳解】解：，數軸表示如下：∴．【點睛】本題主要考查了化簡多重符號和絕對值，在數軸上表示有理數，利用數軸比較有理數的大小，正確在數軸上表示出各數是解題的關鍵．18．（2022秋·浙江·七年級專題練習）結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)數軸上表示4和1的兩點之間的距離是_____；表示和2兩點之間的距離是_____；一般地，數軸上表示數和數的兩點之間的距離等于．如果表示數和的兩點之間的距離是3，那么_____；(2)若數軸上表示數的點位于與2之間，求的值；(3)當取何值時，的值最小，最小值是多少？請說明理由．【答案】(1)3，5，1或(2)6(3)當時，式子的值最小，最小值是9，理由見解析【分析】（1）根據數軸上兩點間的距離公式求解即可；（2）先確定a+4、a2的正負，然后再化簡絕對值，最后再合并同類項即可；（3）根據表示一點到5，1，4三點的距離的和．即可求解．【詳解】（1）解：數軸上表示4和1的兩點之間的距離是41=3；表示3和2兩點之間的距離是2（3）=5；依題意有|a（2）|=3，∴a（2）=3或a（2）=3解得a=1或5．故答案為：3，5，1或5．（2）解：∵數a的點位于4與2之間，∴a+4＞0，a2＜0∴|a+4|+|a2|=a+4a+2=6．（3）解：∵表示一點到5，1，4三點的距離的和．∴當a=1時，式子的值最小，∴的最小值是9．【點睛】本題主要考查了絕對值的意義、數軸、數軸上兩點之間的距離等知識點，掌握數形結合思想成為解答本題的關鍵．19．（2022秋·浙江·七年級專題練習）探究數軸上兩點之間的距離與這兩點的對應關系：(1)觀察數軸，填空：點A與點B的距離是；點C與點B的距離是；點E與點F的距離是；點D與點G的距離是．我們發現：在數軸上，如果點M對應的數為m，點N對應的數為n，那么點M與點N之間的距離可表示為（用m、n表示）．(2)利用你發現的規律，解決下列問題：數軸上表示x和2的兩點之間的距離是3，則x＝．(3)利用你發現的規律，逆向思維解決下列問題：①，則x＝．②，則x＝．【答案】(1)2；5；1；5；(2)5或﹣1(3)①7或；②或【分析】（1）直接根據數軸上兩點間距離的定義解答即可；（2）根據數軸上兩點間的距離公式求出x的值即可．（3）根據數軸上兩點間的距離公式求出x的值即可．【詳解】（1）解：由數軸可得：點A與點B的距離是2，點C與點B的距離是5，點E與點F的距離是1，點D與點G的距離是5．點M與點N