學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7（)，\s\do5(整體設計)）教學分析冪函數作為一類重要的函數模型,是學生在系統地學習了指數函數、對數函數之后研究的又一類基本的初等函數．學生已經有了學習指數函數和對數函數的圖象和性質的學習經歷，冪函數概念的引入以及圖象和性質的研究便水到渠成．因此，學習過程中，引入冪函數的概念之后,嘗試放手讓學生自己進行合作探究學習．本節通過實例，讓學生認識到冪函數同樣也是一種重要的函數模型，通過研究y＝x，y＝x2,y＝x3,y＝x－1,y＝等函數的性質和圖象，讓學生認識到冪指數大于零和小于零兩種情形下，冪函數的共性：當冪指數α＞0時，冪函數的圖象都經過點（0，0）和（1,1)，且在第一象限內函數單調遞增；當冪指數α＜0時，冪函數的圖象都經過點（1，1)，且在第一象限內函數單調遞減且以兩坐標軸為漸近線．在方法上，我們應注意從特殊到一般地去進行類比研究冪函數的性質,并注意與指數函數進行對比學習．將冪函數限定為五個具體函數,通過研究它們來了解冪函數的性質．其中，學生在初中已經學習了y＝x，y＝x2,y＝x－1等三個簡單的冪函數，對它們的圖象和性質已經有了一定的感性認識．現在明確提出冪函數的概念，有助于學生形成完整的知識結構．學生已經了解了函數的基本概念、性質和圖象，研究了兩個特殊函數：指數函數和對數函數，對研究函數已經有了基本思路和方法．因此,教材安排學習冪函數，除內容本身外,掌握研究函數的一般思想方法是另一目的，另外，應讓學生了解利用信息技術來探索函數圖象及性質是一個重要途徑．學習中學生容易將冪函數和指數函數混淆，因此在引出冪函數的概念之后，可以組織學生對兩類不同函數的表達式進行辨析．三維目標1．通過生活實例引出冪函數的概念，會畫冪函數的圖象．2．通過觀察圖象，了解冪函數圖象的變化情況和性質，加深學生對研究函數性質的基本方法和流程的經驗，培養學生概括抽象和識圖能力，使學生體會到生活中處處有數學，激發學生的學習興趣．3．了解幾個常見的冪函數的性質，通過這幾個冪函數的性質，總結冪函數的性質．4．通過畫圖比較，使學生進一步體會數形結合的思想,利用計算機等工具，了解冪函數和指數函數的本質差別,使學生充分認識到現代技術在人們認識世界的過程中的作用，從而激發學生的學習欲望．5．應用冪函數的圖象和性質解決有關簡單問題，培養學生觀察分析歸納能力．6．了解類比法在研究問題中的作用，滲透辯證唯物主義觀點和方法論，培養學生運用具體問題具體分析的方法去分析和解決問題的能力．重點難點教學重點：從五個具體的冪函數中認識冪函數的概念和性質．教學難點:根據冪函數的單調性比較兩個同指數的指數式的大小．課時安排1課時eq\o(\s\up7（）,\s\do5（教學過程）)導入新課思路1。(1）如果張紅購買了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的錢數p(元)和購買的水果量w（千克）之間有何關系？根據函數的定義可知,這里p是w的函數．（2）如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S＝a2，這里S是a的函數．(3）如果正方體的邊長為a，那么正方體的體積V＝a3，這里V是a的函數．（4)如果正方形場地面積為S，那么正方形的邊長a＝,這里a是S的函數．(5）如果某人ts內騎車行進了1km，那么他騎車的速度v＝t－1km/s，這里v是t的函數．以上是我們生活中經常遇到的幾個數學模型，你能發現以上幾個函數解析式有什么共同點嗎？（右邊指數式，且底數都是變量)．(適當引導：從自變量所處的位置這個角度)(引入新課，書寫課題：冪函數)．思路2.我們前面學習了三類具體的初等函數：二次函數、指數函數和對數函數,這一節課我們再學習一種新的函數——冪函數，教師板書課題：冪函數．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題))問題①：給出下列函數：y＝x，y＝xeq\f(1,2)，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察這些解析式的特點，總結出來，是否為指數函數？問題②:根據①，如果讓我們起一個名字的話,你將會給他們起個什么名字呢？請給出一個一般性的結論．問題③：我們前面學習指對數函數的性質時，用了什么樣的思路？研究冪函數的性質呢?問題④：畫出y＝x，y＝xeq\f(1,2），y＝x2，y＝x－1，y＝x3五個函數圖象，完成下列表格．問題⑤：通過對以上五個函數圖象的觀察，哪個象限一定有冪函數的圖象？哪個象限一定沒有冪函數的圖象？哪個象限可能有冪函數的圖象，這時可以通過什么途徑來判斷?問題⑥：通過對以上五個函數圖象的觀察和填表，你能類比出一般的冪函數的性質嗎？活動：考慮到學生已經學習了指數函數與對數函數，對函數的學習、研究有了一定的經驗和基本方法,所以教學流程又分兩條線,一條以內容為明線，另一條以研究函數的基本內容和方法為暗線,教學過程中同時展開，學生相互討論，必要時,教師將解析式寫成指數冪形式，以啟發學生歸納，學生作圖，教師巡視，學生小組討論,得到結論，必要時，教師利用幾何畫板演示．討論結果：①通過觀察發現這些函數的變量在底數位置，解析式右邊都是冪，因為它們的變量都在底數位置上，不符合指數函數的定義，所以都不是指數函數．②由于函數的指數是一個常數，底數是變量，類似于我們學過的冪的形式，因此我們稱這種類型的函數為冪函數，如果我們用字母α來表示函數的指數，就能得到一般的式子，即冪函數的定義：一般地，形如y＝xα(x∈R)的函數稱為冪函數,其中x是自變量，α為常數．如y＝x2，y＝,y＝x3等都是冪函數,冪函數與指數函數、對數函數一樣，都是基本初等函數．③我們研究指對數函數時，根據圖象研究函數的性質,由具體到一般；一般要考慮函數的定義域、值域、單調性、奇偶性；有時也通過畫函數圖象，從圖象的變化情況來看函數的定義域、值域、單調性、奇偶性等性質，研究冪函數的性質也應如此．④學生用描點法，也可應用函數的性質，如奇偶性、定義域等，畫出函數圖象．利用描點法,在同一坐標系中畫出函數y＝x,y＝，y＝x2,y＝x3，y＝x－1的圖象．列表：x…－3－2－10123…y＝x…－3－2－10123…y＝…011.411。73…y＝x2…9410149…y＝x3…－27－8－101827…y＝x－1…－eq\f(1，3)－eq\f（1,2）－11eq\f(1,2)eq\f（1，3）…描點、連線．畫出以上五個函數的圖象，如下圖．讓學生通過觀察圖象，分組討論，探究冪函數的性質和圖象的變化規律,教師注意引導學生用類比研究指數函數、對數函數的方法研究冪函數的性質．通過觀察圖象，完成表格．⑤第一象限一定有冪函數的圖象；第四象限一定沒有冪函數的圖象；而第二、三象限可能有，也可能沒有圖象，這時可以通過冪函數和定義域和奇偶性來判斷．⑥冪函數y＝xα的性質．（1)所有的冪函數在（0，＋∞）都有定義,并且圖象都過點（1,1）（原因：1x＝1)．(2）當α＞0時，冪函數的圖象都通過原點，并且在[0，＋∞）上是增函數(從左往右看,函數圖象逐漸上升)．特別地，當α＞1時，x∈（0，1），y＝x2的圖象都在y＝x圖象的下方，形狀向下凸，α越大，下凸的程度越大．當0＜α＜1時,x∈（0,1），y＝x2的圖象都在y＝x的圖象上方，形狀向上凸，α越小,上凸的程度越大．（3)當α＜0時，冪函數的圖象在區間（0，＋∞)上是減函數．在第一象限內，當x向原點靠近時，圖象在y軸的右方無限逼近y軸正半軸,當x慢慢地變大時，圖象在x軸上方并無限逼近x軸的正半軸．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應用示例）)思路1例1比較下列兩個代數式值的大小:(1）(a＋1）1。5，a1。5；(2)(2＋a2）－eq\f（2,3)，2－eq\f（2，3)。解：（1)考察冪函數y＝x1.5，在區間[0,＋∞）上是單調增函數．因為a＋1＞a，所以(a＋1)1。5＞a1。5。(2）考察冪函數y＝，在區間[0，＋∞)上是單調減函數．因為2＋a2≥2，所以(2＋a2)－eq\f（2,3）≤2－eq\f(2,3)。點評：指數相同的冪的大小比較可以利用冪函數的單調性；底數相同的冪的大小比較可以利用指數函數的單調性.變式訓練比較下列各組數的大小：（1）1。10.1,1。20。1；（2)0.24－0。2，0。25－0.2；（3)0。20.3,0。30.3,0.30.2.活動：學生先思考或回憶，然后討論交流，教師適時提示點撥．比較數的大小,常借助于函數的單調性．對(1）(2）可直接利用冪函數的單調性．對（3）只利用冪函數的單調性是不夠的,還要利用指數函數的單調性,事實上，這里0.30。3可作為中間量．解：(1）由于要比較的數的指數相同，所以利用冪函數的單調性,考察函數y＝x0.1的單調性，在第一象限內函數單調遞增，又因為1.1＜1。2，所以1.10。1＜1.20.1.(2）由于要比較的數的指數相同，所以利用冪函數的單調性，考察函數y＝x－0.2的單調性，在第一象限內函數單調遞減,又因為0.24＜0.25，所以0.24－0。2＞0.25－0。2.(3）首先比較指數相同的兩個數的大小，考察函數y＝x0.3的單調性，在第一象限內函數單調遞增，又因為0.2＜0。3，所以0.20.3＜0.30。3。再比較同底數的兩個數的大小，考察函數y＝0。3x的單調性，它在定義域內函數單調遞減，又因為0。2＜0.3，所以0.30。3＜0.30.2。所以0.20。3＜0。30.3＜0。30。2。另外,本題還有圖象法,計算結果等方法,留作同學們自己完成。例2討論函數y＝的定義域、奇偶性，作出它的圖象．并根據圖象說明函數的增減性．解:函數y＝＝eq\r（3，x2)，定義域是實數集R。因為f（－x)＝＝[(－x)2］＝(x2）＝,所以函數y＝xeq\f（2,3)是偶函數．因此函數的圖象關于y軸對稱．列出函數在［0，＋∞)上的對應值表:x01234…y011.592.082.52…作這個函數在[0,＋∞）上的圖象，再根據這個函數的圖象關于y軸對稱,作出它在（－∞，0］上的圖象，如下圖所示．由它的圖象可以看出，這個函數在區間（－∞,0］上是減函數,在區間［0，＋∞)上是增函數．變式訓練證明冪函數f（x)＝eq\r(x)在[0,＋∞）上是增函數．活動：學生先思考或討論，再回答，教師根據實際，可以提示引導．證明函數的單調性一般用定義法，有時利用復合函數的單調性．證明：任取x1，x2∈[0,＋∞），且x1＜x2，則f(x1)－f（x2)＝eq\r（x1)－eq\r(x2)＝eq\f(\r(x1）－\r(x2)\r（x1）＋\r（x2),\r（x1)＋\r(x2)）＝eq\f（x1－x2,\r(x1)＋\r(x2））,因為x1－x2＜0,eq\r(x1）＋eq\r（x2）＞0，所以eq\f(x1－x2,\r（x1）＋\r(x2)）＜0。所以f（x1)＜f(x2)，即f（x)＝eq\r（x）在[0,＋∞)上是增函數．點評：證明函數的單調性要嚴格按步驟和格式書寫,利用作商的方法比較大小,f（x1）與f(x2）的符號要一致。思路2例1判斷下列函數哪些是冪函數．①y＝0。2x；②y＝x－3；③y＝x－2；④y＝.活動：學生獨立思考,討論回答，教師巡視引導，及時評價學生的回答．根據冪函數的定義判別，形如y＝xα(x∈R)的函數稱為冪函數，變量x的系數為1,指數α是一個常數，嚴格按這個標準來判斷．解:①y＝0。2x的底數是0.2，因此不是冪函數；②y＝x－3的底數是變量,指數是常數，因此是冪函數；③y＝x－2的底數是變量,指數是常數，因此是冪函數；④y＝的底數是變量，指數是常數，因此是冪函數．點評：判斷函數是否是冪函數要嚴格按定義來判斷。變式訓練判別下列函數中有幾個冪函數?①y＝x；②y＝2x2;③y＝；④y＝x2＋x；⑤y＝－x3.解：①③的底數是變量,指數是常數，因此①③是冪函數；②的變量x2的系數為2，因此不是冪函數；④的變量是和的形式，因此也不是冪函數；⑤的變量x3的系數為－1，因此不是冪函數。例2函數y＝（x2－2x)的定義域是（)A．｛x|x≠0或x≠2｝B．(－∞,0)∪（2，＋∞）C．(－∞，0]∪[2，＋∞）D．（0,2)解析：函數y＝(x2－2x)化為y＝eq\f（1，\r（x2－2x))，要使函數有意義需x2－2x＞0，即x＞2或x＜0，所以函數的定義域為｛x｜x＞2或x＜0｝．答案：B點評:注意換元法在解題中的應用。變式訓練函數y＝（1－x2）的值域是（)A．［0，＋∞）B．(0，1]C．(0，1）D．［0，1］活動：學生獨立解題，先思考，然后上黑板板演,教師巡視指導．函數的值域要根據函數的定義域來求．函數可化為根式形式,偶次方根號的被開方數大于零,轉化為等式或不等式來解，可得定義域，這是復合函數求值域問題，利用換元法．解析：令t＝1－x2，則y＝eq\r(t），因為函數的定義域是｛x|－1≤x≤1｝，所以0≤t≤1。所以0≤y≤1.答案:Deq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能訓練）)1．下列函數中，是冪函數的是(）A．y＝2xB．y＝2x3C．y＝eq\f(1,x)D．y＝2x2．下列結論正確的是()A．冪函數的圖象一定過原點B．當α＜0時,冪函數y＝xα是減函數C．當α＞0時，冪函數y＝xα是增函數D．函數y＝x2既是二次函數，也是冪函數3．下列函數中，在（－∞，0)上是增函數的是（)A．y＝x3B．y＝x2C．y＝eq\f(1,x)D．y＝4．已知某冪函數的圖象經過點(2，eq\r（2）)，則這個函數的解析式為__________．答案：1。C2.D3。A4.y＝eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（拓展提升））分別在同一坐標系中作出下列函數的圖象,通過圖象說明它們之間的關系．①y＝x－1，y＝x－2，y＝x－3;②y＝x，y＝x；③y＝x，y＝x2，y＝x3；④y＝，y＝x。活動：學生思考或交流，探討作圖的方法，教師及時提示,必要時，利用幾何畫板演示．解:利用描點法，在同一坐標系中畫出上述四組函數的圖象如下圖甲、乙、丙、丁．甲乙丙丁①觀察上圖甲得到：函數y＝x－1、y＝x－2、y＝x－3的圖象都過點(1,1)，且在第一象限隨x的增大而下降,函數在區間（0，＋∞）上是單調減函數，且向右無限接近x軸,向上無限接近y軸，指數越小，向右無限接近x軸的圖象在下方，向上離y軸越遠．②觀察上圖乙得到:函數y＝x、y＝x的圖象都過點（1,1），且在第一象限隨x的增大而下降，函數在區間（0，＋∞）上是單調減函數，且向右無限接近x軸，向上無限接近y軸,指數越小,向右無限接近x軸的圖象在下方，向上離y軸越遠．③觀察上圖丙得到:函數y＝x、y＝x2、y＝x3的圖象過點(1,1）、（0，0)，且在第一象限隨x的增大而上升，函數在區間［0，＋∞）上是單調增函數，指數越大圖象下凸越大，在第一象限來看，圖象向上離y軸近，向下離y軸近．④觀察上圖丁得到：函數y＝、y＝x的圖象過點（1,1）、（0,0），且在第一象限隨x的增大而上升，函數在區間［0，＋∞)上是單調增函數，指數越大圖象上凸越大，在第一象限來看，圖象在點（1,1)的左邊離y軸近，在點（1，1)的右邊離x軸近．根據上述規律可以判斷函數圖象的分布情況．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結））1．冪函數的概念．2．冪函數的性質．3．冪函數的性質的應用．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作業))課本習題3—3A3、4。eq\o(\s\up7（),\s\do5（設計感想）)冪函數作為一類重要的函數模型，是學生在系統地學習了指數函數、對數函數之后研究的又一類基本的初等函數，課本內容較少,但高考內容不少，應適當引申,所以設計了一些課本上沒有的題目類型，以擴展同學們的視野，同時由于作圖的內容較多,建議抓住關鍵點作圖,要會熟練地運用計算機或計算器作圖，強化對知識的理解．eq\o(\s\up7（),\s\do5(備課資料）)歷史上數學計算方面的三大發明你知道數學計算方面的三大發明嗎?這就是阿拉伯數字、十進制和對數．研究自然數遇到的