8.3正態(tài)分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解正態(tài)分布在實(shí)際生活中的意義和作用；2.掌握正態(tài)分布的特點(diǎn)及正態(tài)分布曲線所表示的意義、性質(zhì)；3.掌握正態(tài)分布3-σ原則及實(shí)際應(yīng)用．情景創(chuàng)設(shè)問(wèn)題：上述數(shù)據(jù)的分布有怎樣的特點(diǎn)？通過(guò)頻率分布直方圖來(lái)分析數(shù)據(jù)：區(qū)間號(hào)區(qū)間頻數(shù)頻率累積頻率頻率／組距1153.5~157.550.05950.05950.0152157.5~161.580.09520.15470.0243161.5~165.5100.11900.27380.0304165.5~169.5150.17860.45340.0455169.5~173.5180.21430.66670.054網(wǎng)]6173.5~1775180.17860.84520.0457177.5~181.580.09520.94050.0248181.5~185.550.059510.015通過(guò)頻率分布表來(lái)分析數(shù)據(jù)：組數(shù)、組距xy

數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)據(jù)無(wú)限增多

組距無(wú)限縮小中間高

兩頭低

左右對(duì)稱”頻率分布直方圖的頂邊縮小乃至形成一條光滑的曲線這條鐘形曲線的函數(shù)表達(dá)式是(或近似地是)Oxyx(-∞,+∞).其中實(shí)數(shù)m

和s(s>0)為參數(shù).我們稱jm,s(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.數(shù)學(xué)建構(gòu)這條曲線的函數(shù)表達(dá)式是(或近似地是)Oxyx(-∞,+∞)其中實(shí)數(shù)m

和s(s>0)為參數(shù).我們稱jm,s(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.

m是平均值

，s(s>0)是標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)探究探究：由正態(tài)曲線及解析式分析正態(tài)曲線的特點(diǎn):Oxym(1)

位置:曲線在x

軸上方.(2)

對(duì)稱性:計(jì)算得jm,s(m-x)=jm,s(m+x),曲線關(guān)于直線x=m

對(duì)稱.(3)

最大值:當(dāng)x=m

時(shí),最大,此時(shí)jm,s(m)最大=(5)

曲線與x

軸之間的面積:它是概率和,即等于1.數(shù)學(xué)應(yīng)用例1.

設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(m1,s12)(s1>0)和N(m2,s22)(s2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示,則有()(A)m1<m2,s1<s2(B)m1<m2,s1>s2(C)m1>m2,s1<s2(D)m1>m2,s1>s2xyO0.51.0-0.5-1.00.20.40.60.81.01.21.4N(m1,s12)N(m2,s22)分析:∵x=m

是對(duì)稱軸,∴m1<m2.s

確定峰值,當(dāng)x=m

時(shí),s

越大,峰值越小.∴s1<s2.A數(shù)學(xué)建構(gòu)Oxyab數(shù)學(xué)應(yīng)用例2.

已知隨機(jī)變量x

服從正態(tài)分布N(0,s2).若P(x>2)=0.023,則P(-2≤x≤2)等于()(A)0.477(B)0.628(C)0.954(D)0.977xyO2-2分析:由N(0,s2)知x=m=0是對(duì)稱軸(如圖).∵P(x>2)=0.023,∴P(x<-2)=0.023.則P(-2≤x≤2)=1-20.023=0.954.C數(shù)學(xué)建構(gòu)特別地P(m-s<X≤m+s)=0.6826,P(m-2s<X≤m+2s)=0.9544,P(m-3s<X≤m+3s)=0.9974.X

在(m-3s,m+3s]以外,概率非常小,在這種情況下,一次試驗(yàn)中事件幾乎不可能發(fā)生.mm-sm+smm-2sm+2smm-3sm+3s數(shù)學(xué)應(yīng)用例3.

某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X

服從正態(tài)分布,其密度曲線如圖所示,成績(jī)X

位于區(qū)間(52,68]的概率是多少?Oxy60204080100解:由圖知m=60,s=8,52=m-s,68=m+s,∴P(52<X≤68)=0.6826.數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)應(yīng)用例4.

若X~N(5,1),求P(6<X<7).解:由X~N(5,1)知m=5,s=1.∴P(5-1<X<5+1)=0.6826,則P(5<X<6)=0.3413.同理,P(5-2<X<5+2)=0.9544,∴

P(5<X<7)=0.4772.于是得P(6<X<7)=P(5<X<7)-P(5<X<6)=0.4772-0.3413=0.1359.課堂小結(jié)x(-∞,+∞).正態(tài)分布密度曲線通過(guò)頻率分布直方圖xyOxyOxyab正態(tài)分布課堂小結(jié)課堂達(dá)標(biāo)1.

若X~N(m,s2),則X

位于區(qū)域(m,m+s]內(nèi)的概率是多少?解:若X~N(m,s2),則P(m-s<X≤m+s)=0.6826,因?yàn)檎龖B(tài)曲線關(guān)于直線x=m

對(duì)稱,所以

P(m<X≤m+s)=0.3413.2.

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)為(1)

證明f(x)是偶函數(shù);(2)

求f(x)的最大值;(3)

利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明f(x)的增減性.(1)證明:=f(x),∴f(x)是偶函數(shù)