8.3正態分布學習目標1.了解正態分布在實際生活中的意義和作用；2.掌握正態分布的特點及正態分布曲線所表示的意義、性質；3.掌握正態分布3-σ原則及實際應用．情景創設問題：上述數據的分布有怎樣的特點？通過頻率分布直方圖來分析數據：區間號區間頻數頻率累積頻率頻率／組距1153.5~157.550.05950.05950.0152157.5~161.580.09520.15470.0243161.5~165.5100.11900.27380.0304165.5~169.5150.17860.45340.0455169.5~173.5180.21430.66670.054網]6173.5~1775180.17860.84520.0457177.5~181.580.09520.94050.0248181.5~185.550.059510.015通過頻率分布表來分析數據：組數、組距xy

數學建構數據無限增多

組距無限縮小中間高

兩頭低

左右對稱”頻率分布直方圖的頂邊縮小乃至形成一條光滑的曲線這條鐘形曲線的函數表達式是(或近似地是)Oxyx(-∞,+∞).其中實數m

和s(s>0)為參數.我們稱jm,s(x)的圖象為正態分布密度曲線,簡稱正態曲線.數學建構這條曲線的函數表達式是(或近似地是)Oxyx(-∞,+∞)其中實數m

和s(s>0)為參數.我們稱jm,s(x)的圖象為正態分布密度曲線,簡稱正態曲線.

m是平均值

，s(s>0)是標準差數學探究探究：由正態曲線及解析式分析正態曲線的特點:Oxym(1)

位置:曲線在x

軸上方.(2)

對稱性:計算得jm,s(m-x)=jm,s(m+x),曲線關于直線x=m

對稱.(3)

最大值:當x=m

時,最大,此時jm,s(m)最大=(5)

曲線與x

軸之間的面積:它是概率和,即等于1.數學應用例1.

設兩個正態分布N(m1,s12)(s1>0)和N(m2,s22)(s2>0)的密度函數圖象如圖所示,則有()(A)m1<m2,s1<s2(B)m1<m2,s1>s2(C)m1>m2,s1<s2(D)m1>m2,s1>s2xyO0.51.0-0.5-1.00.20.40.60.81.01.21.4N(m1,s12)N(m2,s22)分析:∵x=m

是對稱軸,∴m1<m2.s

確定峰值,當x=m

時,s

越大,峰值越小.∴s1<s2.A數學建構Oxyab數學應用例2.

已知隨機變量x

服從正態分布N(0,s2).若P(x>2)=0.023,則P(-2≤x≤2)等于()(A)0.477(B)0.628(C)0.954(D)0.977xyO2-2分析:由N(0,s2)知x=m=0是對稱軸(如圖).∵P(x>2)=0.023,∴P(x<-2)=0.023.則P(-2≤x≤2)=1-20.023=0.954.C數學建構特別地P(m-s<X≤m+s)=0.6826,P(m-2s<X≤m+2s)=0.9544,P(m-3s<X≤m+3s)=0.9974.X

在(m-3s,m+3s]以外,概率非常小,在這種情況下,一次試驗中事件幾乎不可能發生.mm-sm+smm-2sm+2smm-3sm+3s數學應用例3.

某地區數學考試的成績X

服從正態分布,其密度曲線如圖所示,成績X

位于區間(52,68]的概率是多少?Oxy60204080100解:由圖知m=60,s=8,52=m-s,68=m+s,∴P(52<X≤68)=0.6826.數學建構數學應用例4.

若X~N(5,1),求P(6<X<7).解:由X~N(5,1)知m=5,s=1.∴P(5-1<X<5+1)=0.6826,則P(5<X<6)=0.3413.同理,P(5-2<X<5+2)=0.9544,∴

P(5<X<7)=0.4772.于是得P(6<X<7)=P(5<X<7)-P(5<X<6)=0.4772-0.3413=0.1359.課堂小結x(-∞,+∞).正態分布密度曲線通過頻率分布直方圖xyOxyOxyab正態分布課堂小結課堂達標1.

若X~N(m,s2),則X

位于區域(m,m+s]內的概率是多少?解:若X~N(m,s2),則P(m-s<X≤m+s)=0.6826,因為正態曲線關于直線x=m

對稱,所以

P(m<X≤m+s)=0.3413.2.

標準正態分布密度函數為(1)

證明f(x)是偶函數;(2)

求f(x)的最大值;(3)

利用指數函數的性質說明f(x)的增減性.(1)證明:=f(x),∴f(x)是偶函數