專題5.2二次函數的幾何變換【典例1】已知拋物線C1：y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）（1）當a＝1時，①拋物線C1的頂點坐標為．②將拋物線C1沿x軸翻折得到拋物線C2，則拋物線C2的解析式為．（2）無論a為何值，直線y＝m與拋物線C1相交所得的線段EF（點E在點F左側）的長度都不變，求m的值和EF的長；（3）在（2）的條件下，將拋物線C1沿直線y＝m翻折，得到拋物線C3，拋物線C1，C3的頂點分別記為P，Q，是否存在實數a，使得以點E，F，P，Q為頂點的四邊形為正方形？若存在，請求出a的值：若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）①由題意可得拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即可求解；②設拋物線C2上任意一點（x，y），則點（x，y）關于x軸對稱的點為（x，﹣y），將點（x，﹣y）代入y＝x2﹣2x﹣3即可求解；（2）由拋物線經過定點（2，﹣3），可得當m＝﹣3時，EF的長度不變；（3）設拋物線拋物線C3上任意一點（x，y），點（x，y）關于y＝﹣3的對稱點為（x，﹣6﹣y），將點（x，﹣6﹣y）代入y＝ax2﹣2ax﹣3，可求拋物線C3的解析式為y＝﹣ax2+2ax﹣3，分別求出Q（1，a﹣3），P（1，﹣a﹣3），再由EF⊥PQ，EP＝PF，可得EF＝2＝PQ，求出a的值即可．【解題過程】解：（1）①∵a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點為（1，﹣4），故答案為：（1，﹣4）；②設拋物線C2上任意一點（x，y），則點（x，y）關于x軸對稱的點為（x，﹣y），∴﹣y＝x2﹣2x﹣3，∴拋物線C2的解析式為y＝﹣x2+2x+3，故答案為：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3＝ax（x﹣2）﹣3，∴拋物線經過定點（2，﹣3），∴當m＝﹣3時，EF的長度不變，當y＝﹣3時，ax2﹣2ax﹣3＝﹣3，解得x＝0或x＝2，∴E（0，﹣3），F（2，﹣3），∴EF＝2；（3）存在實數a，使得以點E，F，P，Q為頂點的四邊形為正方形，理由如下：設拋物線拋物線C3上任意一點（x，y），∴點（x，y）關于y＝﹣3的對稱點為（x，﹣6﹣y），∴﹣6﹣y＝ax2﹣2ax﹣3，∴拋物線C3的解析式為y＝﹣ax2+2ax﹣3，∴Q（1，a﹣3），∵y＝ax2﹣2ax﹣3，∴P（1，﹣a﹣3），∵EF⊥PQ，∴EF與PQ為正方形的對角線，∵E、F關于x＝1對稱，∴EP＝PF，∴EF＝2＝PQ，∴2＝|2a|，∴a＝±1．1．（2021秋?武昌區校級期末）將拋物線y＝x2向右平移a個單位，再向上平移b個單位得到解析式y＝x2﹣4x+2，則a、b的值是（）A．﹣2，﹣2 B．﹣2，2 C．2，﹣2 D．2，2【思路點撥】根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【解題過程】解：將拋物線y＝x2向右平移a個單位，再向上平移b個單位得到解析式：y＝（x﹣a）2+b，即y＝x2﹣2ax+a2+b．∴y＝x2﹣4x+2＝x2﹣2ax+a2+b，∴2a＝4，a2+b＝2．∴a＝2，b＝﹣2．故選：C．2．（2022?嶗山區一模）二次函數y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸方程為x＝﹣1，圖象與x軸相交于點（1，0），則方程cx2+bx+a＝0的根為（）A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2=?13 D．x1＝﹣1，x【思路點撥】根據拋物線的對稱性由拋物線與x軸的一個交點為（1，0）且對稱軸為直線x＝﹣1，得拋物線與x軸的另一個交點為（﹣3，0），從得出答案．【解題過程】解：∵拋物線與x軸的一個交點為（1，0），且對稱軸為直線x＝﹣1，則拋物線與x軸的另一個交點為（﹣3，0），∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解為x1＝1，x2＝﹣3，可得a+b（1x）+c（1x）設1x=t，可得ct2+bt+∴t1＝1，t2=?1由上可得，方程cx2+bx+a＝0的兩個根為x1＝1，x2=?1故選：C．3．（2022?萊蕪區一模）將拋物線y＝﹣（x+1）2的圖象位于直線y＝﹣4以下的部分向上翻折，得到如圖所示的圖象，若直線y＝x+m與圖象只有四個交點，則m的取值范圍是（）A．﹣1＜m＜1 B．1＜m＜54 C．﹣1＜m＜54【思路點撥】根據函數圖象，可發現，若直線與新函數有3個交點，可以有兩種情況：①直線經過點A（即左邊的對折點），可將A點坐標代入直線的解析式中，即可求出m的值；②若直線與新函數圖象有三個交點，那么當直線與該二次函數只有一個交點時，恰好滿足這一條件，那么聯立直線與該二次函數的解析式，可化為一個關于x的一元二次方程，那么該方程的判別式Δ＝0，根據這一條件可確定m的取值．【解題過程】解：令y＝﹣4，則﹣4＝﹣（x+1）2，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，﹣4），平移直線y＝x+m知：直線位于l1和l2時，它與新圖象有三個不同的公共點．①當直線位于l1時，此時l1過點A（﹣3，﹣4），∴﹣4＝﹣3+m，即m＝﹣1．②當直線位于l2時，此時l2與函數y＝﹣（x+1）2的圖象有一個公共點，∴方程x+m＝﹣x2﹣2x﹣1，即x2+3x+1+m＝0有兩個相等實根，∴△＝9﹣4（1+m）＝0，即m=5由①②知若直線y＝﹣x+m與新圖象只有四個交點，m的取值范圍為﹣1＜m＜5故選：C．4．（2022?福州模擬）將拋物線y＝x2沿直線y＝3x方向移動10個單位長度，若移動后拋物線的頂點在第一象限，則移動后拋物線的解析式是y＝（x﹣1）2+3．【思路點撥】設移動后的拋物線解析式為y＝（x﹣h）2+k，再根據移動的距離和勾股定理列出方程可得答案．【解題過程】解：設移動后的拋物線解析式為y＝（x﹣h）2+k，∵移動距離是10，移動后拋物線的頂點在第一象限，∴k＝3h，∴h2+（3h）2＝（10）2，解得h＝1，k＝3h＝3，∴移動后的拋物線解析式為y＝（x﹣1）2+3，故答案為：y＝（x﹣1）2+3．5．（2021秋?余姚市期末）平移二次函數的圖象，如果有一個點既在平移前的函數圖象上，又在平移后的函數圖象上，我們把這個點叫做“關聯點”．現將二次函數y＝x2+2x+c（c為常數）的圖象向右平移得到新的拋物線，若“關聯點”為（1，2），則新拋物線的函數表達式為y＝（x﹣3）2﹣2．【思路點撥】將（1，2）代入y＝x2+2x+c，解得c＝﹣1，設將拋物線y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，向右平移m個單位，則平移后的拋物線解析式是y＝（x+1﹣m）2﹣2，然后將（1，2）代入得到關于m的方程，通過解方程求得m的值即可．【解題過程】解：將（1，2）代入y＝x2+2x+c，得12+2×1+c＝2，解得c＝﹣1．設將拋物線y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，向右平移m個單位，則平移后的拋物線解析式是y＝（x+1﹣m）2﹣2，將（1，2）代入，得（1+1﹣m）2﹣2＝2．整理，得2﹣m＝±2．解得m1＝0（舍去），m2＝4．故新拋物線的表達式為y＝（x﹣3）2﹣2．故答案是：y＝（x﹣3）2﹣2．6．（2022?建鄴區一模）如圖，“愛心”圖案是由函數y＝﹣x2+6的部分圖象與其關于直線y＝x的對稱圖形組成．點A是直線y＝x上方“愛心”圖案上的任意一點，點B是其對稱點．若AB=42，則點A的坐標是（﹣2，2）或（1，5）【思路點撥】根據對稱性，表示A、B兩點的坐標，利用平面內兩點間的距離公式，代入求值即可．【解題過程】解：因為A、B關于直線y＝x對稱，所以設A（a，b），則B（b，a），∵AB=(∴42（42）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2，32＝2（b﹣a）2，（b﹣a）2＝16，b﹣a＝4或b﹣a＝﹣4（舍去），∴b＝a+4，又∵A（a，b）在y＝﹣x2+6上，∴b＝﹣a2+6，即a+4＝﹣a2+6，整理得，a2+a﹣2＝0，解得，a1＝﹣2，a2＝1，∴當a1＝﹣2時，b＝a+4＝﹣2+4＝2，點A的坐標為（﹣2，2）；當a2＝1時，b＝a+4＝1+4＝5，點A的坐標為（1，5）．故答案為：（﹣2，2）或（1，5）．7．（2022?安徽模擬）已知二次函數y＝x2+bx﹣c的圖象經過點（3，0），且對稱軸為直線x＝1．（1）求b+c的值．（2）當﹣4≤x≤3時，求y的最大值．（3）平移拋物線y＝x2+bx﹣c，使其頂點始終在二次函數y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標的最小值．【思路點撥】（1）由對稱軸?b2=1，求出b的值，再將點（3，0）代入y＝x2+bx（2）由題意可得拋物線的對稱軸為直線x＝1，結合函數圖像可知當x＝﹣4時，y有最大值21；（3）設頂點坐標為（h，2h2﹣h﹣1），可求平移后的解析式為y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，設平移后所得拋物線與y軸交點的縱坐標為w，則w＝3h2﹣h﹣1＝3（h?16）2【解題過程】解：（1）∵二次函數y＝x2+bx﹣c的對稱軸為直線x＝1，∴?b∴b＝﹣2，∵二次函數y＝x2+bx﹣c的圖象經過點（3，0），∴9﹣6﹣c＝0，∴c＝3，∴b+c＝1；（2）由（1）可得y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∵﹣4≤x≤3，∴當x＝﹣4時，y有最大值21；（3）平移拋物線y＝x2﹣2x﹣3，其頂點始終在二次函數y＝2x2﹣x﹣1上，∴．設頂點坐標為（h，2h2﹣h﹣1），故平移后的解析式為y＝（x﹣h）2+2h2﹣h﹣1，∴y＝x2﹣2hx+h2+2h2﹣h﹣1＝x2﹣2hx+3h2﹣h﹣1，設平移后所得拋物線與y軸交點的縱坐標為w，則w＝3h2﹣h﹣1＝3（h?16）2∴當h=16時，平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標的最小值為8．（2021?渭南模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的頂點M（0，﹣8），與x軸交于A、B（4，0）兩點．（1）求拋物線的函數表達式；（2）若將該拋物線的圖象沿著x軸向左平移4個單位，新拋物線頂點為點D，與x軸交于A1，B1兩點（點B1在A1的左邊）若點Q是y軸上一動點，當點Q，D，A1構成等腰三角形時，請求出點Q的坐標．【思路點撥】（1）由頂點和B的坐標利用二次函數的頂點式即可得出答案；（2）先求出平移后的圖象的頂點D的坐標，再求出A1的坐標，設出點Q的坐標，利用等腰三角形的性質即可得出答案．【解題過程】解：（1）∵該二次函數的頂點為（0，﹣8），∴可設y＝ax2﹣8，代入B（4，0），得0＝16a﹣8，解得a=1∴y=1（2）將該拋物線的圖象沿著x軸向左平移4個單位后，頂點坐標為D（﹣4，﹣8），由（1）知A（﹣4，0），∴A1（﹣8，0），∴A1設Q（0，m），則A1Q=8若A1D＝QD，則45=42+(m+8此時點Q的坐標為（0，﹣16）或（0，0），若A1D＝A1Q，則45=82+此時點Q的坐標為（0，﹣4）或（0，4），若QD＝A1D，則82+m此時點Q的坐標為（0，﹣1），∴點Q的坐標為：（0，﹣16）或（0，0）或（0，﹣4）或（0，4）或（0，﹣1）．9．（2021秋?梅河口市期末）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝x2+2x與x軸的另一個交點為A，把該拋物線在x軸及其下方的部分記作C1，將C1繞著點O旋轉180°，得到C2，C2與x軸交于另一點B．（1）求拋物線C2的頂點E的坐標；（2）將C2繞著點B旋轉180°得到C3，連結C1與C3的最低點，則陰影部分圖形的面積為4．【思路點撥】（1）利用配方法求得拋物線y＝x2+2x的頂點坐標，再利用中心對稱的性質解答即可；（2）過點G作GH⊥OA于點H，過點F作FK⊥BD于點K，過點E作EM⊥OB于點M，由于旋轉不變性可知：拋物線C2的x軸上方部分與矩形GHKG的兩個空白部分的面積，由面積割補法可得：S陰影部分＝S矩形GHKF，計算矩形的面積即可得出結論．【解題過程】解：（1）設拋物線y＝x2+2x的頂點為G，∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴G（﹣1，﹣1）．∵將C1繞著點O旋轉180°，得到C2，∴點G與點E關于原點O對稱，∴E（1，1）．（2）設C3的最低點為F，令y＝0，則x2+2x＝0，解得：x＝0或x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．由題意：點A與點B關于原點O對稱，∴B（2，0）．∵將C2繞著點B旋轉180°得到C3，∴點E與點F關于原點O對稱，∴F（3，﹣1）．過點G作GH⊥OA于點H，過點F作FK⊥BD于點K，過點E作EM⊥OB于點M，如圖，∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），∴GF∥HK，GH＝FK＝1．∵GH⊥OA，FK⊥BD，∴四邊形GHKF為矩形．∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），∴HO＝1，OK＝3，∴HK＝OH+OK＝4．根據旋轉不變性可得：S陰影部分＝S矩形GHKF．∴S陰影部分＝HK?HG＝4×1＝4．故答案為：4．10．（2021秋?西崗區期末）已知二次函數y＝（a+1）x2+2（a+2）x+32，當x＝0和（1）則二次函數的解析式為：y=?12x2+x+（2）若一次函數y＝kx+6的圖象與二次函數的圖象都經過點A（﹣3，m），求m和k的值；（3）設二次函數的圖象與x軸交于點B，C（點B在點C的左側），將二次函數的圖象在點B、C間的部分（含點B和點C）向左平移n（n＞0）個單位后得到的圖象記為G，同時將（2）中得到的直線y＝kx+6向上平移n個單位長度，當平移后的直線與圖象G有公共點時，n的取值范圍是多少？【思路點撥】（1）由題意可知拋物線的對稱軸為直線x＝1，再由對稱軸的解析式即可求a的值；（2）先將點A代入拋物線解析式求出m的值，再將確定的A點坐標代入直線解析式求k的值即可；（3）求出平移后的A、B點的坐標，分別求出直線經過A、B點時n的值，此時是直線與圖象G有交點的臨界值，由此可確定n的取值范圍．【解題過程】解：（1）∵二次函數y＝（a+1）x2+2（a+2）x+32，當x＝0和∴函數的對稱軸為直線x＝1，∴?2(a+2)∴a=?3∴y=?12x2+x故答案為：y=?12x2+x（2）∵點A（﹣3，m）在函數圖象y=?12x2+x∴m=?12×∴A（﹣3，﹣6），將A（﹣3，﹣6）代入y＝kx+6，∴﹣6＝﹣3k+6，∴k＝4；（3）∵令y＝0，則?12x2+x∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），由題意可知平移后A點坐標為（﹣1﹣n，0），B點坐標為（3﹣n，0），直線y＝4x+6向上平移n個單位長度后的解析式為y＝4x+6+n，平移后直線與x軸的交點為（?6+n當直線y＝4x+6+n經過點A時，?6+n4=?解得n=2當直線y＝4x+6+n經過點B時，?6+n4=解得n＝6；∴當23≤n≤6時，直線y＝4x+6+n與圖象11．（2022?西峽縣一模）如圖，直線y＝﹣2x﹣4與x軸交于點A，拋物線y＝ax2+4x+2a+1經過點（1，8），與x軸的一個交點為B（B在A的左側），過點B作BC垂直x軸交直線于C．（1）求a的值及點B的坐標；（2）將△ABC繞點A順時針旋轉90°，點B、C的對應點分別為點E、F．將拋物線y＝ax2+4x+2a+1沿x軸向右平移使它過點F，求平移后所得拋物線的解析式．【思路點撥】（1）利用待定系數法即可求得a值，令y＝0，解一元二次方程即可求得點B的橫坐標；（2）利用旋轉不變性，求得點E，F的坐標，利用待定系數法即可求得結論．【解題過程】解：（1）令y＝0，則﹣2x﹣4＝0．解得：x＝﹣2．∴A（﹣2，0）．∵拋物線y＝ax2+4x+2a+1經過點（1，8），∴a+4+2a+1＝8．∴a＝1．∴拋物線的解析式為y＝x2+4x+3．令y＝0，則x2+4x+3＝0．解得：x＝﹣1或﹣3．∵B在A的左側，∴B（﹣3，0）．（2）當x＝﹣2時，y＝﹣2×（﹣3）﹣4＝2，∴C（﹣3，2）．∵A（﹣2，0），B（﹣3，0），∴AB＝1．∵將△ABC繞點A順時針旋轉90°，點B、C的對應點分別為點E、F，∴AE＝AB＝1，EF＝BC＝2．∴E（﹣2，1），F（0，1）．∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴設沿x軸向右平移過點F的拋物線的解析式為y＝（x+2﹣m）2﹣1，∴（2﹣m）2﹣1＝1．∴m＝2±2．∴平移后所得拋物線的解析式為y=(x?2)2?即y＝x2﹣22x+1或y＝x2+22x+1．12．（2021?永城市二模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點B和點C，與y軸交于點A（0，﹣3），且OA＝3OC．點P是對稱軸左側的拋物線上一點，過點P作PQ∥x軸，交拋物線于點Q．（1）若PQ＝5，求拋物線的解析式以及點Q的坐標；（2）若點P沿拋物線向上移動，使得對應的9≤PQ≤10，求移動過程中點P的縱坐標yp的取值范圍．【思路點撥】（1）利用已知條件求出點C坐標，用待定系數法即可求得拋物線的解析式；設點P（x1，n），Q（x2，n），利用點P是對稱軸左側的拋物線上一點，PQ＝5，得到x2﹣x1＝5，利用拋物線的對稱軸為直線x＝1，得到x1+x22=1，聯立即可求得（2）設點P（x1，yP），Q（x2，yP），利用點P是對稱軸左側的拋物線上一點，得到PQ＝x2﹣x1，利用拋物線的對稱軸為直線x＝1，得到x1+x22=1，則x2＝2﹣x1，可得PQ＝2﹣2【解題過程】解：（1）∵A（0，﹣3），∴OA＝3．∵OA＝3OC，∴OC＝1．∴C（﹣1，0）．∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點C，與y軸交于點A（0，﹣3），∴c=?31?b+c=0解得：b=?2c=?3∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．∵PQ∥x軸，∴設點P（x1，n），Q（x2，n），∵點P是對稱軸左側的拋物線上一點，PQ＝5，∴x2﹣x1＝5．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1．∴x1∴x2解得：x1當x=72時，n=(72)∴Q（72，9（2）∵PQ∥x軸，∴設點P（x1，yP），Q（x2，yP），∵點P是對稱軸左側的拋物線上一點，∴PQ＝x2﹣x1．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1．∴x1∴x2＝2﹣x1．∴PQ＝2﹣2x1．∵9≤PQ≤10，∴9≤2﹣2x1≤10．解得：﹣4≤x1≤?7當x1＝﹣4時，yP＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣3＝21，當x1=?72時，yP=(?72)∴移動過程中點P的縱坐標yp的取值范圍為：654≤y13．（2022?沙坪壩區校級開學）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點，交y軸于點C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，點P為直線AC上方且拋物線對稱軸左側的拋物線上一點，過點P作x軸的平行線交拋物線于點D，過點P作y軸的平行線交AC于點H，求PD+PH的最大值及此時點P的坐標；（3）把拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移32個單位，再向上平移516個單位得新拋物線，在新拋物線對稱軸上找一點M，在新拋物線上找一點N，直接寫出所有使得以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標，并把求其中一個點【思路點撥】（1）先設二次函數的交點式為y＝a（x+4）（x﹣1），然后將點C代入函數解析式求得a的值，即可得到函數的解析式；（2）先求得直線AC的解析式，再設點P的坐標，得到點D和點H的坐標，進而得到PD和PH的長，然后利用二次函數的性質求得PD+PH的最大值，即可得到對應的點P的坐標；（3）先求得平移后的拋物線解析式，然后得到新的對稱軸，設M和N的坐標，進而利用平行四邊形的中心對稱性分情況列出方程，求得點M的坐標．【解題過程】解：（1）由題意可設二次函數的交點式為y＝a（x+4）（x﹣1），將點C（0，3）代入函數解析式，得﹣4a＝3，∴a=?3∴二次函數的解析式為y=?34（x+4）（x﹣1）=?34x（2）設直線AC的解析式為y＝kx+b，則?4k+b=0b=3，解得：k=∴直線AC的解析式為y=34設點P的坐標為（x，?34x2?94x+3），則點D的坐標為（﹣3﹣x，?34x2?94x∴PD＝﹣3﹣x﹣x＝﹣3﹣2x，PH=?34x2?94x+3﹣（34x+3）=?∴PD+PH＝﹣3﹣2x+（?34x2﹣3x）=?34x2﹣5x﹣3=?34（∴當x=?103時，PD+PH有最大值此時，點P的坐標為（?103，（3）∵拋物線向右平移32個單位，再向上平移5∴平移后的拋物線解析式為y=?34（x?32）2?94（x∴新的對稱軸為直線x＝0，設M（0，y），N（m，?34m以AC為對角線時，m=?4y+(?34∴點M的坐標為（0，10）；以AM為對角線時，m=?4y=3+(?34∴點M的坐標為（0，﹣4）；以AN為對角線時，m?4=0y+3=?34∴點M的坐標為（0，﹣10）；綜上所述，點M的坐標為（0，10）或（0，﹣4）或（0，﹣10）．14．（2022?德城區一模）已知：拋物線C1：y1＝﹣x2+4x﹣3與x軸交于A、B兩點，點A在點B左側，將C1繞點A旋轉180°得到C2：y2＝ax2+bx+c交x軸于點N．（1）求C2的解析式；（2）求證：無論x取何值恒y1≤y2；（3）當﹣x2+4x﹣3≤mx+n≤ax2+bx+c時，求m和n的值．（4）直線l：y＝kx﹣2經過點N，D是拋物線C2上第二象限內的一點，設D的橫坐標為q，作直線AD交拋物線C1于點M，交直線l于點E，若DM＝2ED，求q值．【思路點撥】（1）先求得點A，B的坐標，以及C的頂點坐標，進而根據中心對稱的性質求得點N的坐標和C2頂點坐標，然后待定系數法求解析式即可：（2）作差法證明即可；（3）設y＝mx+n，根據中心對稱的性質，y，y1，y2關于點A中心對稱，結合函數圖象可知，y＝mx+n經過A點，且與y1，y2相切于點A，即y1，y2有唯一交點A，據此代入點A的坐標，聯立y，y1或（y，y2）根據一元二次方程根的判別式求解即可；（4）先求得直線l的解析式為：y＝﹣2x﹣2，直線AD的解析式為：y＝（q+1）x﹣（q+1），進而可表達點E的坐標，根據y1，y2關于點A中心對稱，可得AD＝AM，由DM＝2ED，根據中點坐標公式求解即可．【解題過程】（1）解：∵拋物線C1：y1＝﹣x2+4x﹣3與x軸交于A、B兩點，點A在點B左側，∴令y1＝0，即x2+4x﹣3＝0，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0）．∵y1＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，設C1的頂點為P，∴P（2，1）．將C1繞點A旋轉180°得到C2：y2＝ax2+bx+c交x軸于點N，則N（﹣1，0）．設C2的頂點為P′，∴P′（0，﹣1）．∴C2的解析式為y2＝ax2﹣1，將N（﹣1，0）代入得a＝1，∴y2＝x2﹣1；（2）證明：∵y1＝﹣x2+4x﹣3，y2＝x2﹣1，∴y1﹣y2＝﹣x2+4x﹣3﹣（x2﹣1）＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2≤0，∴無論x取何值恒y1≤y2；（3）解：設y＝mx+n，當﹣x2+4x﹣3≤mx+n≤ax2+bx+c時，即y1≤y≤y2，∴y＝mx+n過點A（1，0），則m+n＝0，∴n＝﹣m，令mx﹣m＝x2﹣1，得x2﹣mx+m﹣1＝0，∴Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2＝0，解得m＝2，∴n＝﹣2．（4）∵直線l：y＝kx﹣2經過點N，D，將N（﹣1，0）代入y＝kx﹣2，∴﹣k﹣2＝0，解得k＝﹣2．∴l：y＝﹣2x﹣2．∵D是拋物線C2上第二象限內的一點，設D的橫坐標為q，∴D（q，q2﹣1）且q＜0，設直線AD為y＝k1x+b，∵A（1，0），∴k1+b=0q∴直線AD的解析式為：y＝（q+1）x﹣q﹣1，令﹣2x﹣2＝（q+1）x﹣q﹣1，解得x=q?1∴E（q?1q+3，?4q?4∵y1，y2關于點A中心對稱，∴AD＝AM=12∵DM＝2ED，∴AD＝ED，即點D為AE的中點，∵A（1，0），D（q，q2﹣1），E（q?1q+3，?4q?4∴q?1q+3解得q＝﹣1+2（舍）或q＝﹣1?2或∴q＝﹣1?215．（2022?碑林區校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線W1與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣6），頂點為D（﹣2，2）．（1）求拋物線W1的表達式；（2）將拋物線W1繞原點O旋轉180°得到拋物線W2，拋物線W2的頂點為D′，在拋物線W2上是否存在點M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）利用待定系數法解得即可；（2）由題意求得拋物線W2的頂點坐標和解析式，在坐標系中畫出拋物線W2的圖象，利用S△DAD′＝S△ADO+S△AOD′求出三角形DD′A的面積；過點D′作x軸的平行線EF，過點D作DE⊥EF于點E，交x軸于點G，過點M作MF⊥EF于點F，交x軸于點H，利用D，D′的坐標表示出線段DG，OG，DE，D′E的長度，設點M（m，2m2﹣8m+6），則MH＝2m2﹣8m+6，OH＝m，MF＝MH+HF＝2m2﹣8m+6+2＝2m2﹣8m+8，D′F＝m﹣2，EF＝OG+OH＝m+2，利用S△DD′M＝S梯形DEFM﹣S△DED′﹣S△MD′F，用m的代數式表示出S△DD′M，利用已知條件列出m的方程，解方程即可求得結論．【解題過程】解：（1）設拋物線W1的解析式為：y＝ax2+bx+c，拋物線W1經過點C（0，﹣6），頂點坐標D（﹣2，2），∴c=?6?解得：a=?2b=?8∴拋物線W1的表達式為：y＝﹣2x2﹣8x﹣6；（2）在拋物線W2上存在點M，使S△DAD′＝S△DD′M．理由：∵將拋物線W1繞原點O旋轉180°得到拋物線W2，拋物線W2的頂點為D′，∴D′（2，﹣2）．∴拋物線W2的解析式為y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6．如圖，在坐標系中畫出拋物線W2的圖象，由題意得：DD′經過點O，則S△DAD′＝S△ADO+S△AOD′．過點D′作x軸的平行線EF，過點D作DE⊥EF于點E，交x軸于點G，過點M作MF⊥EF于點F，交x軸于點H，∵D（﹣2，2），D′（2，﹣2），∴DG＝OG＝2，DE＝4，D′E＝4，FH＝2．令y＝0，則﹣2x2﹣8x﹣6＝0．解得：x＝﹣1或﹣3．∴A（﹣3，0），B（﹣1，0）．∴OA＝3．∴S△DAD′＝S△ADO+S△AOD′=12×設點M（m，2m2﹣8m+6），則MH＝2m2﹣8m+6，OH＝m．∴MF＝MH+HF＝2m2﹣8m+6+2＝2m2﹣8m+8，D′F＝m﹣2，EF＝OG+OH＝m+2．∵S△DD′M＝S梯形DEFM﹣S△DD′E﹣S△MD′F，∴S△DD′M=12（DE+MF）?EF?12DE?D′E?1=12（4+2m2﹣8m+8）（m+2）?12×4×4?12（2＝4m2﹣14m+12．∵S△DD′M＝S△DD′A，∴4m2﹣14m+12＝6．解得：m＝3或12當m＝3時，2m2﹣8m+6＝0，當m=12時，2m2﹣8m+6∴M（3，0）或（12，5∴在拋物線W2上存在點M，使S△D′AD＝S△D′DM.點M的坐標為（3，0）或（12，516．（2022?吳興區一模）如圖已知二次函數y＝x2+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點A（3，﹣1），點C（0，﹣4），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸于點D，交二次函數y＝x2+bx+c的圖象于點B，連接BC．（1）求該二次函數的表達式及點M的坐標：（2）若將該二次函數圖象向上平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數圖象的頂點落在△ABC的內部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）若E為y軸上且位于點C下方的一點，P為直線AC上一點，在第四象限的拋物線上是否存在一點Q，使以C、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點Q的橫坐標：若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）將點A（3，﹣1），點C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）求出平移后的拋物線的頂點（1，m﹣5），再求出直線AC的解析式y＝x﹣4，當頂點在直線AC上時，m＝2，當M點在AB上時，m＝4，則2＜m＜4；（3）設E（0，t），P（p，p﹣4），Q（q，q2﹣2q﹣4），分三種情況討論：當CE為菱形對角線時，CP＝CQ，p=?qt=q2?3q?42q2=q2+q2(q?2)2，Q點橫坐標為1；②當CP為對角線時，CE＝CQ，【解題過程】解：（1）將點A（3，﹣1），點C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，∴c=?49+3b+c=?1解得b=?2c=?4∴y＝x2﹣2x﹣4，∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，∴頂點M（1，﹣5）；（2）由題可得平移后的函數解析式為y＝（x﹣1）2﹣5+m，∴拋物線的頂點為（1，m﹣5），設直線AC的解析式為y＝kx+b，∴b=?43k+b=?1解得k=1b=?4∴y＝x﹣4，當頂點在直線AC上時，m﹣5＝﹣3，∴m＝2，∵AB∥x軸，∴B（﹣1，﹣1），當M點在AB上時，m﹣5＝﹣1，∴m＝4，∴2＜m＜4；（3）存在一點Q，使以C、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形，理由如下：設E（0，t），P（p，p﹣4），Q（q，q2﹣2q﹣4），∵點E在點C下方，∴t＜﹣4，∵Q點在第四象限，∴0＜q＜5①當CE為菱形對角線時，CP＝CQ，∴p=?qt=解得q=3p=?3t=?4（舍）或∴Q點橫坐標為1；②當CP為對角線時，CE＝CQ，∴p=qp?8=t+解得q=2p=2∴Q點橫坐標為2；③當CQ為菱形對角線時，CE＝CP，∴p=qq解得p=3+2q=3+2∴Q點橫坐標為3?2綜上所述：Q點橫坐標為1或2或3?217．（2022?湖口縣二模）在平面直角坐標系xOy中，若點Q的橫坐標和縱坐標互為相反數，則稱點Q為“瀟灑點”，如點（1，﹣1），（﹣5，5）都是“瀟灑點”．已知二次函數y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象上有且只有一個“瀟灑點”（2，﹣2）．（1）小敏認為所有的瀟灑點都在同一條直線l上，請直接寫出直線l的解析式．（2）求a，b的值，及二次函數y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的頂點坐標．（3）將y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象上移m（m＞0）個單位得到拋物線l2，若l2上有兩個“瀟灑點”分別是M（x1，y1），N（x2，y2），且MN＝22，求當x1≤x≤x2時，l2中y的最大值和最小值．【思路點撥】（1）利用待定系數法解答即可；（2）利用待定系數法和一元二次方程根的判別式解答即可求得a，b的值，利用配方法即可求得頂點坐標；（3）利用拋物線平移的性質和待定系數法以及兩點之間的距離公式即可求得m值，進而求M，N坐標，結合函數圖象即可求得結論．【解題過程】解：（1）設直線l的解析式為y＝kx+n，將（1，﹣1），（﹣5，5）代入得：k+n=?1?5k+n=5解得：k=?1n=0∴直線l的解析式為y＝﹣x；（2）∵（2，﹣2）點在拋物線y＝ax2+bx﹣4上，∴4a+2b﹣4＝﹣2，∴2a+b＝1．∵二次函數y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象上有且只有一個“瀟灑點”（2，﹣2），∴方程組y=ax即方程ax2+bx﹣4＝﹣x有兩個相等的實數根．∴Δ＝（b+1）2﹣4a×（﹣4）＝0．∴2a+b=1(b+1解得：a=?1b=3∴二次函數的解析式為：y＝﹣x2+3x﹣4．∵y＝﹣x2+3x﹣4=?(x?3∴二次函數y＝﹣x2+3x﹣4的頂點坐標為（32，?（3）將拋物線上移m（m＞0）個單位得到拋物線l2的解析式為y＝﹣x2+3x﹣4+m，∵l2上有兩個“瀟灑點”分別是M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1，x2是方程﹣x2+3x﹣4+m＝﹣x的兩個實數根，∴x2﹣4x+4﹣m＝0．∴x1+x2＝4，x1?x2＝4﹣m．∵M（x1，y1），N（x2，y2）是兩個“瀟灑點”，∴y1＝﹣x1，y2＝﹣x2．∵MN＝22，∴(x1?∴2(x1?∴2[(x1+∴42﹣4（4﹣m）＝4．解得：m＝1．∴x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或3，∴M（1，﹣1），N（3，﹣3）．∴1≤x≤3．∴平移后的拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x﹣3．∵y＝﹣x2+3x﹣3=?(x?3∴當x=32時，y有最大值為∵1＜3∴l2中y的最大值為?3當x＝1時，y＝﹣1，當x＝3時，y＝﹣3，綜上，當x1≤x≤x2時，l2中y的最大值為?318．（2022?如東縣一模）定義：若兩個函數的圖象關于某一點P中心對稱，則稱這兩個函數關于點P互為“伴隨函數”．例如，函數y＝x2與y＝﹣x2關于原點O互為“伴隨函數”．（1）函數y＝x+1關于原點O的“伴隨函數”的函數解析式為y＝x﹣1，函數y＝（x﹣2）2+1關于原點O的“伴隨函數”的函數解析式為y＝﹣（x+2）2﹣1；（2）已知函數y＝x2﹣2x與函數G關于點P（m，3）互為“伴隨函數”．若當m＜x＜7時，函數y＝x2﹣2x與函數G的函數值y都隨自變量x的增大而增大，求m的取值范圍；（3）已知點A（0，1），點B（4，1），點C（2，0），二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數N關于點C互為“伴隨函數”，將二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與函數N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線段AB恰有2個公共點，直接寫出a的取值范圍．【思路點撥】（1）結合新定義利用待定系數法解答即可；（2）利用數形結合的方法結合圖象，利用新定義的規定解得即可；（3）利用分類討論的方法分三種情況解答：①當“伴隨函數”的頂點在AB上時，求得函數N的頂點坐標，利用對稱性求得對稱點的坐標，利用待定系數法即可求解；②當兩個函數的交點在AB上時，利用兩函數與x軸的交點坐標，求函數N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③當“伴隨函數”經過點B時，將坐標代入函數N的解析式即可確定a的取值范圍．【解題過程】解：（1）∵兩個函數是關于原點O的“伴隨函數”，∴兩個函數的點分別關于原點中心對稱，設函數y＝x+1上的任一點為（x，y），則它的對稱點為（﹣x，﹣y），將（﹣x，﹣y）代入函數y＝x+1得：﹣y＝﹣x+1，∴y＝x﹣1．函數y＝x+1關于原點O的“伴隨函數”的函數解析式為y＝x﹣1；同理可得，函數y＝（x﹣2）2+1關于原點O的“伴隨函數”的函數解析式為y＝﹣（x+2）2﹣1，故答案為：y＝x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；（2）如圖，當m＜x＜7時，函數y＝x2﹣2x與函數G的函數值y都隨自變量x的增大而增大，∵“伴隨函數”的開口方向向下，∴在對稱軸的左側y隨自變量x的增大而增大，∴m＜7，同時“伴隨函數”的對稱軸應與直線x＝7重合或在直線x＝7的左側，∴m≥1+7∴m≥4，綜上，函數y＝x2﹣2x與函數G的函數值y都隨自變量x的增大而增大，m的取值范圍為4≤m＜7；（3）a的取值范圍為a=14或a=36①當“伴隨函數”的頂點在AB上時，如圖，∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a的對稱軸為直線x＝1，∵點C（2，0）為對稱中心，∴函數N的對稱軸為直線x＝3，∴函數N的頂點坐標為（3，1），∵（3，1）關于點C（2，0）對稱的點為（1，﹣1），∴將（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：a﹣2a﹣3a＝﹣1，∴a=1②當兩個函數的交點在AB上時，如圖，二次函數y＝ax2﹣2ax﹣3a與x軸的交點為（﹣1，0）和（3，0），∵點C（2，0）為對稱中心，∴函數N與x軸的交點為（5，0）和（1，0），∴函數N的解析式為y＝﹣ax2+6ax﹣5a，當y＝1時，ax解得：a=3③當“伴隨函數”經過點B時，如圖，∵點B（4，1），∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，解得：a=1綜上，圖形W與線段AB恰有2個公共點，a的取值范圍為a=14或a=3619．（2021秋?越秀區期末）已知拋物線y=?12x2+mx+m+12與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點P為拋物線在直線AC上方圖象上一動點．（1）求拋物線的解析式；（2）求△PAC面積的最大值，并求此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，拋物線y=?12x2+mx+m+12在點A、B之間的部分（含點A、B）沿x軸向下翻折，得到圖象G．現將圖象G沿直線AC平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個交點，求圖象【思路點撥】（1）利用待定系數法即可求得答案；（2）令y＝0，可求得：A（﹣5，0），B（﹣1，0），再運用待定系數法求得直線AC的解析式為y=?12x?52，如圖1，設P（t，?12t2﹣3t?52），過點P作PH∥y軸交直線AC于點H，則PH=?12t2?52t，利用S△PAC＝S△PAH（3）運用翻折變換的性質可得圖象G的函數解析式為：y=12（x+3）2﹣2，頂點坐標為（﹣3，﹣2），進而根據平移規律可得：圖象M的函數解析式為：y=12（x﹣n）2?12n?72，頂點坐標為（n，?12n?72），當圖象M經過點C（0，?52）時，可求得：n＝﹣1或n＝2，當圖象M的端點B在PC上時，可求得：n【解題過程】解：（1）∵拋物線y=?12x2+mx+m+12與y軸交于點∴m+1解得：m＝﹣3，∴該拋物線的解析式為：y=?12x2