第二十四章圓專題18直線與圓的位置關系重難點題型專訓（十二大題型）【題型目錄】題型一判斷直線與圓的位置關系題型二已知直線與圓的位置關系求半徑的取值題型三已知直線與圓的位置關系求圓心角到直線的距離題型四求直線平移到與圓相切時運動的距離題型五切線的判定定理題型六切線的性質定理題型七切線的性質與判定定理題型八切線長定理的應用題型九三角形內心的有關應用題型十直角三角形周長、面積與內切圓半徑的關系題型十一一般三角形周長、面積與內切圓半徑的關系題型十二圓的綜合問題【知識梳理】知識點一、直線和圓的位置關系1.設的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關系如下表：位置關系圖形定義性質及判定相離直線與圓沒有公共點直線與相離相切直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，公共點叫做切點直線與相切相交直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線直線與相交從另一個角度，直線和圓的位置關系還可以如下表示：直線和圓的位置關系相交相切相離公共點個數圓心到直線的距離與半徑的關系公共點名稱交點切點—直線名稱割線切線—2.切線的判定與性質（1）判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。點撥：切線必須滿足兩個條件：（1）經過半徑的外端；（2）垂直于這條半徑，兩個條件缺一不可。（2）性質定理：圓的切線垂直于過點的半徑。拓展推論：①經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點；②經過切點且垂直到切線的直線必經過圓心。圓的切線性質定理與它的兩個推論涉及一條直線滿足的三個條件：（1）垂直于切線；（2）過切點；（3）過圓心，如果一條直線滿足于以上三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足另外一個條件，也可理解為“二推一”。3.三角形的內切圓（1）有關概念：與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫作三角形的內心。（2）三角形內心的性質：三角形的內心到三條邊的距離相等。點撥：（1）設直角三角形的兩條直角邊長為斜邊長為c，則它的內切圓半徑；（2）三角形的頂點到其所在兩邊上的內切圓切點的距離相等；（3）三角形的周長與內切圓半徑乘積的一半等于這個三角形的面積，即其中為的內切圓半徑，分別為的三邊長。（3）切線長（1）定義：經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫作這點到圓的切線長。（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。點撥：切線長定理包括線段相等和角相等的兩個結論及垂直關系等。多邊形內切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓，該多邊形叫做圓的外切多邊形．總結：4．圓和圓的位置關系的定義、性質及判定設的半徑分別為（其中），兩圓圓心距為，則兩圓位置關系如下表：位置關系圖形定義性質及判定外離兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部．兩圓外離外切兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，每個圓上的點都在另一個圓的外部．兩圓外切相交兩個圓有兩個公共點．兩圓相交內切兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，一個圓上的點都在另一個圓的內部．兩圓內切內含兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部，兩圓同心是兩圓內含的一種特例．兩圓內含說明：圓和圓的位置關系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點，它包括外離與內含兩種情況；相切兩圓只有一個公共點，它包括內切與外切兩種情況．【經典例題一判斷直線與圓的位置關系】1．（2023春·廣東梅州·九年級校考開學考試）中，，，，以為圓心，以長為半徑作，則與的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定2．（2023春·九年級單元測試）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，以頂點C為圓心，BC為半徑作圓，則AD邊所在直線與的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種都有可能3．（2023春·河北秦皇島·九年級統考開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，以為半徑的圓的圓心P的坐標為，將沿y軸負方向平移個單位長度，則x軸與的位置關系是．

4．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，以為直徑作，延長到點，使，點是上的動點，線段的中點為，點為上一動點．（1）直線與的位置關系為；（2）的最小值為．5．（2023秋·九年級課時練習）如圖所示，正方形的邊長為2，和相交于點，過作，交于，交于，則以點為圓心，為半徑的圓與直線，的位置關系分別是什么？

6．（2023秋·九年級課時練習）如圖，在中，，為邊上一點（不與點重合）．若的半徑為，當在什么范圍內取值時，直線與相離、相切、相交？【經典例題二已知直線與圓的位置關系求半徑的取值】1．（2023春·山東東營·九年級統考開學考試）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以點C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，則r可能為（）A．3 B．4 C．4.8 D．52．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長的最小值是A． B．3 C． D．3．（2023·廣東東莞·校考一模）在中，，，．那么以為圓心，為半徑的與相切．4．（2023秋·九年級課時練習）如圖，在中，，以為圓心，為半徑作圓．若該圓與線段只有一個交點，則的取值范圍為．5．（2023春·廣東河源·九年級校考開學考試）圓心O到直線l的距離為d，半徑為r，若d、r是方程的兩個根，且直線l與相切，求m的值．6．（2023秋·九年級課時練習）如圖，為正比例函數圖象上的一個動點，的半徑為，設點的坐標為．

(1)求與直線相切時點的坐標．(2)請直接寫出與直線相交、相離時的取值范圍．【經典例題三已知直線與圓的位置關系求圓心到直線的距離】1．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，已知是以數軸原點為圓心，半徑為1的圓，，點在數軸上運動，若過點且與平行的直線與有公共點，設，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，半徑的⊙M在軸上平移，且圓心M在x軸上，當⊙M與直線相切時，圓心M的坐標為（

）A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）3．（2023秋·九年級課時練習）以點為圓心，為半徑畫圓，與坐標軸恰好有三個公共點，則的值為．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，半圓的圓心與坐標原點重合，半圓的半徑為2，直線l的解析式為y＝x+t．若直線l與半圓只有一個交點，則t的取值范圍是．5．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知的半徑為，點到直線的距離為，且直線與相切，若，分別是方程的兩個根，求的值．6．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知直線y＝x﹣6與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點P是以C（0，3）為圓心，3為半徑的圓上一動點，連結PA、PB．（1）求圓心C到直線AB的距離；（2）求△PAB面積的最大值．【經典例題四求直線平移到與圓相切時運動的距離】1．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，直線，與和分別相切于點和點．點和點分別是和上的動點，沿和平移．的半徑為，．下列結論錯誤的是（

）．A． B．若與相切，則C．若，則與相切 D．和的距離為2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的半徑是1，直線AB與x軸交于點P(x，0)，且與x軸的正半軸夾角為45°，若直線AB與⊙O有公共點，則x值的范圍是()A． B． C． D．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，已知正方形ABCD中，兩動點M和N分別從頂點B、C同時出發，以相同的速度沿BC、CD向終點C、D運動，連接AM、BN，交于點P，再連接PC，若，則PC長的最小值為．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，直線、相交于點，，半徑為的圓的圓心P在直線上，且與點的距離為，若點以的速度由A向B的方向運動，當運動時間為時，與直線相切．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為（-3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，求平移的距離．6．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，直線y=x+b（b>0）與x軸、y軸交于點A、B，在直線AB上取一點C，過點C作x軸的垂線，垂足為E，若點E（4，0）．（1）若EC=BC，求b的值；（2）在（1）的條件下，有一動點P從點B出發，延著射線BC方向以每秒1個單位的速度運動，以點P為圓心，作半徑為的圓，動點Q從點O出發，在線段OE上以每秒1個單位的速度作來回運動，過點Q作直線l垂直x軸，點P與點Q同時從點B、點O開始運動，問經過多少秒后，直線l和⊙P相切．【經典例題五切線的判定定理】1．（2023·河南濮陽·統考一模）如圖1和圖2，已知點P是上一點，用直尺和圓規過點P作一條直線，使它與相切于點P．以下是甲、乙兩人的作法：甲：如圖1，連接，以點P為圓心，長為半徑畫弧交于點A，連接并延長，再在上截取，直線即為所求；乙：如圖2，作直徑，在上取一點B（異于點P，A），連接和，過點P作，則直線即為所求．對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）

A．甲、乙兩人的作法都正確 B．甲、乙兩人的作法都錯誤C．甲的作法正確，乙的作法錯誤 D．甲的作法錯誤，乙的作法正確2．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，O為的外心，四邊形為正方形．以下結論：①O是的外心；②O是的外心；③直線與的外接圓相切．其中所有正確結論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2023秋·九年級課時練習）如圖，以的邊為直徑的恰好過的中點，過點作于點，連接，，有下列結論：①；②；③；④是的切線；⑤．其中正確結論的序號是．

4．（2023春·九年級單元測試）已知，如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），AB＝2．（1）點C坐標為．（2）若y軸上存在點M，使得∠AMB＝∠BCA，則這樣的點有個．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，是⊙的直徑，、都是⊙上的點，平分，過點作的垂線交的延長線于點，交的延長線于點．

(1)求證：是⊙的切線；(2)若，，求的值．6．（2023秋·九年級課時練習）如圖，是的弦，交于，，．

(1)求的長；(2)若是的中點，求證：是的切線．【經典例題六切線的性質定理】1．（2023春·重慶南岸·九年級重慶市珊瑚初級中學校校考期中）如圖，是的直徑，，是的弦，是的切線，為切點，與交于點．若點為的中點，，則的度數為（

）

A． B． C． D．2．（2022·安徽·合肥38中校考模擬預測）如圖，是的直徑，點是延長線上的一點，且.點是上的一點，點和點關于直線對稱，設，則下列是真命題的是（

）A．當是的切線時，四邊形是正方形B．當時，可能為等邊三角形C．當線段與只有一個公共點點時，的范圍是D．當線段與有兩個交點、時，若于點，則3．（2023秋·九年級課時練習）如圖是的弦，交于點，過點的切線交的延長線于點．若的半徑為，則的長為．4．（2023秋·九年級課時練習）如圖，是的直徑，點在上，是的中點，過點作的切線，交的延長線于點，連接．若，則的度數為．5．（2021秋·甘肅定西·九年級校聯考階段練習）如圖，為的直徑，切于點E，于點C．

(1)求證：平分(2)若，，求的半徑．6．（2023·陜西咸陽·校考二模）如圖，為的直徑，點為上一點，連接、，過點作的切線，連接交于點，．

(1)求證：；(2)若，求的直徑的長．【經典例題七切線的性質與判定定理結合】1．（2023·廣東深圳·校考三模）矩形ABCD的對角線BD=4，DE⊥AC于點E，則當∠DBE最大時，BE的長度為（）A． B． C． D．22．（2023春·九年級單元測試）如圖，在矩形中，，是邊上一點，且．已知經過點，與邊所在直線相切于點（為銳角），與邊所在直線交于另一點，且，當邊或所在的直線與相切時，的長是（

）A．9 B．4 C．12或4 D．12或93．（2023秋·江西新余·九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，半徑為的的圓心從點（點在直線上）出發以每秒個單位長度的速度沿射線運動，設點運動的時間為秒，則當時，與坐標軸相切．4．（2023春·江蘇鹽城·八年級景山中學校考期末）【觀察思考】某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊在平直滑道上可以左右滑動，在滑動的過程中，連桿也隨之運動，并且帶動連桿繞固定點擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點在以為半徑的上運動．數學興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數學知識，過點作于點，并測得分米，分米，分米．【解決問題】(1)點在上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是_________分米．(2)如圖3，小明同學說：“當點滑動到點的位置時，與是相切的．”你認為他的判斷對嗎？為什么？(3)①小麗同學發現：“當點運動到上時，點到的距離最小．”事實上，還存在著點到距離最大的位置，此時，點到的距離是_________分米；②當繞點左右擺動時，所掃過的區域為扇形，求這個扇形面積的最大值．【經典例題八切線長定理的應用】1．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，為的直徑，，分別與⊙O相切于點B，C，過點C作的垂線，垂足為E，交于點D．若，則長為（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋·九年級單元測試）如圖，是的內切圓，、、為切點，，，，切交于，交于，則的周長為（

）

A． B． C． D．3．（2022秋·九年級單元測試）如圖所示，點為外一點，過點作的切線，，點，為切點，連接并延長，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點已知，，則的長為．

4．（2023·江蘇·統考二模）【感知】（1）如圖1，是的兩條切線，切點分別為點B、C，連接交于點D，點E在優弧上，且，則線段的長為_____，的度數為_____，的度數為_____．【應用】請用無刻度的直尺與圓規完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）如圖2，點A是外一點，請作出一條經過點A的的切線，切點為點B；（3）圖3，點P、Q分別在直線的兩側，請在直線上確定一個點T，使得與的角平分線在同一條直線上．請作出符合條件的的角平分線．

【經典例題九三角形內心的有關應用】1．（2023·陜西寶雞·統考一模）如圖所示，內接于，點M為的內心，若，則的度數是（

）

A． B． C． D．2．（2023·福建寧德·校考二模）如圖，點是的內心，的延長線交于，點、關于所在的直線對稱，若，則的度數是（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北·統考中考真題）如圖，在中，的內切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則．

4．（2023·山西大同·校聯考模擬預測）如圖，已知內接于，且是的直徑，

(1)實踐與操作：請用尺規作圖法作出的內心I；（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)推理與計算：連接并延長，與交于另一點D．若，，求的長．【經典例題十直角三角形周長、面積與內切圓半徑的關系】1．（2023·甘肅隴南·校考一模）如圖，與的的三邊分別相切于點D、E、F，若，則的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2023秋·四川綿陽·九年級統考期末）如圖，為的內切圓，切點分別為M，N，Q，已知，，，則的半徑為（

）A． B． C．1 D．23．（2023·江蘇南京·統考二模）如圖，正方形的邊長是，是邊的中點．將該正方形沿折疊，點落在點處．分別與，，相切，切點分別為，，，則的半徑為．

4．（2023秋·河北滄州·九年級校考期末）閱讀材料：如圖，的周長為，面積為，內切圓☉的半徑為，探究與，之間的關系．解：連接、、．∵，，，∴，∴解決問題：(1)利用探究的結論，計算邊長分別為5，12，13的三角形內切圓半徑．(2)如圖，若四邊形ABCD存在內切圓(與各邊都相切的圓)，且面積為，各邊長分別為，，，，試推導四邊形的內切圓半徑公式．(3)若一個邊形(為不小于3的整數)存在內切圓，且面積為，各邊長分別為，，，，…，，合理猜想其內切圓半徑公式(不需說明理由)．【經典例題十一一般三角形周長、面積與內切圓半徑的關系】1．（2023·湖南長沙·長沙市湘郡培粹實驗中學校考三模）如圖，是的內切圓，若的周長為18，面積為9，則的半徑是（）

A．1 B． C．1.5 D．22．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，在一張紙片中，，，，是它的內切圓．小明用剪刀沿著的切線剪下一塊三角形，則的周長為（

）A．4 B．5 C．6 D．83．（2021秋·貴州黔西·九年級校考期中）如圖，的內切圓與兩直角邊、分別相切于點D、E，過劣弧（不包括端點D、E）上任一點P作的切線，與、分別交于點M、N，，，則的周長為．4．（2021秋·九年級單元測試）如圖，在中，，，圓內切于，切點分別為、、．（1）求的周長；（2）求內切圓的面積．【經典例題十二圓的綜合問題】1．（2023春·湖北鄂州·九年級統考期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點D為線段BC上一動點．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點E，則BE的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．122．（2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，由5個邊長為1的小正方形組成的“L”形，圓O經過其頂點A、B、C，則圓O的半徑為（

）A．5 B． C． D．3．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學校考二模）如圖，已知是的直徑，弦于點，．點是劣弧上任意一點（不與點，重合），交于點，與的延長線相交于點，設．

①則（用含的代數式表示）；②當時，則．4．（2023·吉林長春·統考中考真題）【感知】如圖①，點A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A、C重合），連結、、．求證：．小明發現，延長至點E，使，連結，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長至點E，使，連結，四邊形是的內接四邊形，．，．是等邊三角形．，請你補全余下的證明過程．【應用】如圖③，是的外接圓，，點P在上，且點P與點B在的兩側，連結、、．若，則的值為__________．

第二十四章圓專題18直線與圓的位置關系重難點題型專訓（十二大題型）【題型目錄】題型一判斷直線與圓的位置關系題型二已知直線與圓的位置關系求半徑的取值題型三已知直線與圓的位置關系求圓心角到直線的距離題型四求直線平移到與圓相切時運動的距離題型五切線的判定定理題型六切線的性質定理題型七切線的性質與判定定理題型八切線長定理的應用題型九三角形內心的有關應用題型十直角三角形周長、面積與內切圓半徑的關系題型十一一般三角形周長、面積與內切圓半徑的關系題型十二圓的綜合問題【知識梳理】知識點一、直線和圓的位置關系1.設的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關系如下表：位置關系圖形定義性質及判定相離直線與圓沒有公共點直線與相離相切直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，公共點叫做切點直線與相切相交直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線直線與相交從另一個角度，直線和圓的位置關系還可以如下表示：直線和圓的位置關系相交相切相離公共點個數圓心到直線的距離與半徑的關系公共點名稱交點切點—直線名稱割線切線—2.切線的判定與性質（1）判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。點撥：切線必須滿足兩個條件：（1）經過半徑的外端；（2）垂直于這條半徑，兩個條件缺一不可。（2）性質定理：圓的切線垂直于過點的半徑。拓展推論：①經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點；②經過切點且垂直到切線的直線必經過圓心。圓的切線性質定理與它的兩個推論涉及一條直線滿足的三個條件：（1）垂直于切線；（2）過切點；（3）過圓心，如果一條直線滿足于以上三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足另外一個條件，也可理解為“二推一”。3.三角形的內切圓（1）有關概念：與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫作三角形的內心。（2）三角形內心的性質：三角形的內心到三條邊的距離相等。點撥：（1）設直角三角形的兩條直角邊長為斜邊長為c，則它的內切圓半徑；（2）三角形的頂點到其所在兩邊上的內切圓切點的距離相等；（3）三角形的周長與內切圓半徑乘積的一半等于這個三角形的面積，即其中為的內切圓半徑，分別為的三邊長。（3）切線長（1）定義：經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫作這點到圓的切線長。（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。點撥：切線長定理包括線段相等和角相等的兩個結論及垂直關系等。多邊形內切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓，該多邊形叫做圓的外切多邊形．總結：4．圓和圓的位置關系的定義、性質及判定設的半徑分別為（其中），兩圓圓心距為，則兩圓位置關系如下表：位置關系圖形定義性質及判定外離兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部．兩圓外離外切兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，每個圓上的點都在另一個圓的外部．兩圓外切相交兩個圓有兩個公共點．兩圓相交內切兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，一個圓上的點都在另一個圓的內部．兩圓內切內含兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內部，兩圓同心是兩圓內含的一種特例．兩圓內含說明：圓和圓的位置關系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點，它包括外離與內含兩種情況；相切兩圓只有一個公共點，它包括內切與外切兩種情況．【經典例題一判斷直線與圓的位置關系】1．（2023春·廣東梅州·九年級校考開學考試）中，，，，以為圓心，以長為半徑作，則與的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【分析】此題首先應求得圓心到直線的距離，根據直角三角形的面積公式即可求得；再進一步根據這些和圓的位置關系與數量之間的聯系進行判斷．【詳解】解：根據勾股定理求得．，，，，上的高為：，即圓心到直線的距離是2.4．，直線和圓相交．故選：C．【點睛】此題主要考查了直線與圓的位置關系，關鍵是根據三角形的面積求出斜邊上的高的長度．注意：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．2．（2023春·九年級單元測試）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，以頂點C為圓心，BC為半徑作圓，則AD邊所在直線與的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種都有可能【答案】A【分析】根據面積公式計算點C到AD的距離d，比較d與半徑BC的大小判斷即可．【詳解】∵在平行四邊形ABCD中，，，∴點C到AD的距離d=，∴直線與圓C相交，故選A．【點睛】本題考查了平行四邊形的面積，直線與圓的位置關系d、r法則，熟練掌握法則是解題的關鍵．3．（2023春·河北秦皇島·九年級統考開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，以為半徑的圓的圓心P的坐標為，將沿y軸負方向平移個單位長度，則x軸與的位置關系是．

【答案】相交【分析】根據點P的坐標得出，進而得出平移后，再將點O到圓心的距離與半徑比較，即可x軸和圓的位置關系．【詳解】解：∵，∴，將沿y軸負方向平移個單位長度后，，∵，∴平移后x軸與的位置關系是相交，故答案為：相交．【點睛】本題主要考查了直線和圓的位置關系，解題的關鍵是掌握直線與圓的位置關系有相交，相切，相離；若圓到直線的距離為d，時，圓與直線相交；時，圓與直線相切；時，圓與直線相離．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，以為直徑作，延長到點，使，點是上的動點，線段的中點為，點為上一動點．（1）直線與的位置關系為；（2）的最小值為．【答案】相離17【分析】（1）根據矩形的性質得出點到距離為，根據圓心到直線大于半徑即可得出結論；（2）根據題意得出在以為圓心，為半徑的圓上運動，根據軸對稱的性質連接，交于點，則此時取得最小值，勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）∵在矩形中，，，∴,點到距離為，∵，∴直線與的位置關系為相離，故答案為：相離．（2）如圖所示，連接，∵，，∴為的中點，∵線段的中點為，∴，即在以為圓心，為半徑的圓上運動，作點關于的對稱軸點，則連接，交于點，則此時取得最小值，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，中位線的性質，軸對稱的性質，直線與圓的位置關系，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．5．（2023秋·九年級課時練習）如圖所示，正方形的邊長為2，和相交于點，過作，交于，交于，則以點為圓心，為半徑的圓與直線，的位置關系分別是什么？

【答案】見解析【分析】求點B到的距離，即，可知與的半徑相等，故圓與直線相切；點B到的距離，小于的半徑，故圓與直線相交.【詳解】由題中已知條件，得，，即點到的距離為，與的半徑相等，∴直線與相切．∵，，∴，垂足為，且，∴直線與相交．【點睛】本題考查正方形的性質，直線與圓的位置關系判定，根據點到直線的距離與半徑的大小關系判定直線與圓的位置關系是解題的關鍵．6．（2023秋·九年級課時練習）如圖，在中，，為邊上一點（不與點重合）．若的半徑為，當在什么范圍內取值時，直線與相離、相切、相交？【答案】當時，直線與相離；當時，直線與相切；當時，直線與相交【分析】作于點D，根據直角三角形的性質得出，根據直線和圓的位置關系進行解答即可．【詳解】解：作于點D，如圖所示：

∵，，∴，.∵，∴，若與直線相離，則有，即，解得，∴；若與直線相切，則有，即，解得；若與直線相交，則有，即，解得，∴；綜上可知：當時，直線與相離；當時，直線與相切；當時，直線與相交．【點睛】本題主要考查了直線和圓的位置關系，直角三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握直角三角形的性質得出．【經典例題二已知直線與圓的位置關系求半徑的取值】1．（2023春·山東東營·九年級統考開學考試）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以點C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，則r可能為（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【答案】D【分析】根據題意畫出圖形，利用勾股定理求出BC=8，再利用面積法求出CD的長，即可得到答案．【詳解】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC=8，∵，∴CD=，∴當時，以點C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，故選：D．．【點睛】此題考查勾股定理，三角形的面積法求斜邊上的高線，直線與圓相交的交點個數，理解以點C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交先求出最短距離進行判斷是解題的關鍵．2．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將沿EF所在直線翻折，得到，則的長的最小值是A． B．3 C． D．【答案】D【分析】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當點在線段CE上時，的長取最小值，根據折疊的性質可知，在中利用勾股定理可求出CE的長度，用即可求出結論．【詳解】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當點在線段CE上時，的長取最小值，如圖所示，根據折疊可知：．在中，，，，，的最小值．故選D．【點睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質以及勾股定理，利用作圓，找出取最小值時點的位置是解題的關鍵．3．（2023·廣東東莞·校考一模）在中，，，．那么以為圓心，為半徑的與相切．【答案】/2.4/【分析】設點到的距離為，由，，，根據勾股定理求得，則，所以，則當的半徑為時，與相切，于是得到問題的答案．【詳解】解：設點到的距離為，，，，，，，解得，當的半徑為時，與相切，故答案為：．【點睛】此題重點考查勾股定理、切線的判定、根據面積等式求線段的長度等知識與方法，求出斜邊上的高是解題的關鍵．4．（2023秋·九年級課時練習）如圖，在中，，以為圓心，為半徑作圓．若該圓與線段只有一個交點，則的取值范圍為．【答案】或【分析】先根據題意畫出符合的兩種情況，根據勾股定理求出BC，即可得出答案．【詳解】解：過C作CD⊥AB于D，在Rt△BCA中，∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，∴AB=4，∴，根據三角形的面積公式得：AB?CD=AC?BC，∴，當圓與時AB相切時，r=，當點A在圓內，點B在圓外或圓上時，r的范圍是2＜r≤2，綜上所述：r的取值范圍是r=或2＜r≤2，故答案為：r=或2＜r≤2．【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系，切線的性質，勾股定理的應用，能求出符合題意的所有情況是解此題的關鍵，用了分類討論思想．5．（2023春·廣東河源·九年級校考開學考試）圓心O到直線l的距離為d，半徑為r，若d、r是方程的兩個根，且直線l與相切，求m的值．【答案】9【分析】先根據切線的性質得出方程有兩個相等的實根，再根據即可求出m的值．【詳解】∵d、r是方程的兩個根，且直線L與相切，∴，∴方程有兩個相等的實根，∴，解得，．【點睛】此題考查了直線和圓的位置關系，一元二次方程的判別式，解題的關鍵是根據題意得到方程有兩個相等的實根．6．（2023秋·九年級課時練習）如圖，為正比例函數圖象上的一個動點，的半徑為，設點的坐標為．

(1)求與直線相切時點的坐標．(2)請直接寫出與直線相交、相離時的取值范圍．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根據直線和圓相切應滿足圓心到直線的距離等于半徑，首先求得點的橫坐標，再根據直線的解析式求得點的縱坐標．（2）根據（1）的結論，即可分析出相離和相交時的取值范圍．【詳解】（1）解：過作直線的垂線，垂足為；當點在直線右側時，，解得；∴；當點在直線左側時，，得，∴，

∴當與直線相切時，點的坐標為或．（2）解：由（1）可知當時，與直線相交當或時，與直線相離．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，掌握直線和圓的不同位置關系應滿足的數量關系，根據數量關系正確求解是解題的關鍵．【經典例題三已知直線與圓的位置關系求圓心到直線的距離】1．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，已知是以數軸原點為圓心，半徑為1的圓，，點在數軸上運動，若過點且與平行的直線與有公共點，設，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意，知直線和圓有公共點，則相切或相交，相切時，設切點為C，連接，根據等腰直角三角形的直角邊是圓的半徑1，求得斜邊是，所以x的取值范圍是．【詳解】解：設切點為，連接，則圓的半徑，，∵，，∴，∴，∴，同理，原點左側的距離也是，且線段是正數所以x的取值范圍是故選：B．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，以及直徑所對的圓周角是直角等知識，解題關鍵是求出相切的時候的x值，即可分析出x的取值范圍．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，半徑的⊙M在軸上平移，且圓心M在x軸上，當⊙M與直線相切時，圓心M的坐標為（

）A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0)或（-6，0）【答案】D【分析】根據題意，進行分情況討論，分別為圓位于直線右側并與直線相切和位于直線左側并于直線相切兩種情況，進而根據相切的性質及等腰直角三角形的相關性質進行求解即可得解．【詳解】①當圓位于直線右側并與直線相切時，連接MA，如下圖所示：∵∴，，是等腰直角三角形，∴∵∴是等腰直角三角形，∴⊙M與直線AB相切于點A∵∴∴圓心M的坐標為；②當圓位于直線左側并與直線相切時，過點M作于點C，如下圖所示：∵⊙M與直線AB相切，∴根據直線AB的解析式：可知∴是等腰直角三角形∴∵∴圓心M的坐標為，綜上所述：圓心M的坐標為或，故選：D．【點睛】本題主要考查了切線的性質，等腰直角三角形的性質及動圓問題，熟練掌握相關幾何求解方法并進行分類討論是解決本題的關鍵．3．（2023秋·九年級課時練習）以點為圓心，為半徑畫圓，與坐標軸恰好有三個公共點，則的值為．【答案】或【分析】作軸，連結，根據勾股定理計算出，然后根據直線與圓的位置關系即可得到滿足條件的的取值為且．【詳解】作軸，連結，如圖，∵點的坐標為，∴，，∴，∵以點為圓心，為半徑的圓與坐標軸恰好有三個公共點，∴過點或者與軸相切，∴或．故答案為或．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系：設的半徑為，圓心到直線的距離為：①直線和相交?；②直線和相切?；③直線和相離?．也考查了坐標與圖形性質．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，半圓的圓心與坐標原點重合，半圓的半徑為2，直線l的解析式為y＝x+t．若直線l與半圓只有一個交點，則t的取值范圍是．【答案】或【分析】若直線l與半圓只有一個交點，則有兩種情況：直線l和半圓相切于點或從直線l過點開始到直線過點結束（不包括直線l過點．當直線l和半圓相切于點時，根據直線l的解析式知直線l與軸所形成的銳角是，從而求得，即可求出點的坐標，進一步求得的值；當直線l過點A或點時，直接根據待定系數法求得的值即可．【詳解】解：根據題意可得：若直線l與半圓只有一個交點，則有兩種情況：直線l和半圓相切于點或從直線l過點開始到直線l過點結束（不包括直線l過點，∵直線l的解析式為y＝x+t，∴直線l與軸所形成的銳角是，過點C作CD⊥x軸于點D，則．當直線l和半圓相切于點時，則垂直于直線l，，∴為等腰直角三角形．又∵，∴，∴，解得：（舍負），∴，即點，，把點的坐標代入直線解析式，得，當直線l過點時，把點代入直線解析式，得；當直線l過點時，把點代入直線解析式，得．即當或時，直線l和半圓只有一個公共點，故答案為：或．【點睛】此題綜合考查了直線和圓的位置關系以及用待定系數法求解直線的解析式等知識，根據題意得到直線l與半圓只有一個交點的兩種不同情況是解決本題的關鍵．5．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）已知的半徑為，點到直線的距離為，且直線與相切，若，分別是方程的兩個根，求的值．【答案】【分析】根據直線與圓相切的條件得，再根據一元二次方程根的判別式列出方程即得．【詳解】∵由題意可知．∴方程的兩根相等∴解得：．【點睛】本題考查了直線與圓相切的條件及一元二次方程根的判別式，解題關鍵是熟知直線與圓相切的條件是圓心到直線的距離等于圓的半徑，判別式時，一元二次方程有兩個相等實數根．6．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知直線y＝x﹣6與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點P是以C（0，3）為圓心，3為半徑的圓上一動點，連結PA、PB．（1）求圓心C到直線AB的距離；（2）求△PAB面積的最大值．【答案】（1）；（2）51．【分析】（1）求出A、B的坐標，根據勾股定理求出AB．過C作CM⊥AB于M，連接AC，MC的延長線交⊙C于N，則由三角形面積面積法求高，可知圓心C到直線AB的距離；（2）由（1）中的數據即可求出圓C上點到AB的最大距離，根據面積公式求出即可．【詳解】解：解：（1）如圖1，過C作于M，連接AC，MC的延長線交于N，由題意：，，，，．，則由三角形面積公式得，，，，圓心C到直線AB的距離是；（2）由（1）知，圓心C到直線AB的距離是．則圓C上點到直線的最大距離是，故面積的最大值是：．【點睛】本題綜合考查了一次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，三角形的面積，直線與圓的位置關系，解此題的關鍵是由三角形面積法求高得出圓心C到直線AB的距離，難度不是很大．【經典例題四求直線平移到與圓相切時運動的距離】1．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，直線，與和分別相切于點和點．點和點分別是和上的動點，沿和平移．的半徑為，．下列結論錯誤的是（

）．A． B．若與相切，則C．若，則與相切 D．和的距離為【答案】B【分析】根據直線與圓的相關知識，逐一判斷．【詳解】解：A、平移使點與重合，，，解直角三角形得，正確；B、當與圓相切時，，在左側以及，在，右側時，或，錯誤；C、若，連接并延長交于點，則，故，，故上的高為，即到的距離等于半徑．正確；D、，兩平行線之間的距離為線段的長，即直徑，正確．故選：B．【點睛】本題考查了直線與圓相切的判斷方法和性質，全等三角形的判定及性質，平行線間的距離，熟練掌握直線與圓相切的判斷方法和性質是解題的關鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，⊙O的半徑是1，直線AB與x軸交于點P(x，0)，且與x軸的正半軸夾角為45°，若直線AB與⊙O有公共點，則x值的范圍是()A． B． C． D．【答案】B【分析】設直線AB的解析式為y=x+b，當直線與圓相切時切點為C，連接OC，則OC=1，由于直線AB與x軸正方向夾角為45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根據勾股定理求出OA的長即可．【詳解】∵直線AB與x軸正方向夾角為45°，∴設直線AB的解析式為y=x+b，切點為C，連接OC，∴，∵⊙O的半徑為1，∴△AOC是等腰直角三角形，∴OC=PC=1，∴OA==，∴P（，0），同理可得，當直線與x軸負半軸相交時，P（，0），∴．故選：B．【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關系，熟知直線和圓的三種位置關系是解答此題的關鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，已知正方形ABCD中，兩動點M和N分別從頂點B、C同時出發，以相同的速度沿BC、CD向終點C、D運動，連接AM、BN，交于點P，再連接PC，若，則PC長的最小值為．【答案】【分析】先證明，得出，證出，得出點P在以AB為直徑的圓上運動，運動路徑一條弧，連接OC交圓O于P，此時PC最小，，由勾股定理求出，得出即可．【詳解】解：由題意得：，∵四邊形ABCD是正方形，，在和中，，，，，，，∴點P在以AB為直徑的圓上運動，設圓心為O，運動路徑一條弧，是這個圓的，如圖所示：連接OC交圓O于P，此時PC最小，，，由勾股定理得：，；故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質，證出點P在以AB為直徑的圓上運動是解題關鍵．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，直線、相交于點，，半徑為的圓的圓心P在直線上，且與點的距離為，若點以的速度由A向B的方向運動，當運動時間為時，與直線相切．【答案】或【分析】在射線上或在射線上，設對應的圓的圓心分別在M，根據切線的性質，在中，根據30度的角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得的長，進而求得的長，從而求得由P到M移動的時間；根據，即可求得，也可以求得由P到M移動的時間．【詳解】解：當在射線上，設與相切于點E，P移動到M時，連接．∵與直線相切，∴，∵在中，，，∴，則，∵以的速度沿由A向B的方向移動，∴移動時與直線相切．當在射線上時，同理可求移動時與直線相切．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了切線的性質和直角三角形的性質，注意已知圓的切線時，常用的輔助線是連接圓心與切點，本題中注意到分兩種情況討論是解題的關鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為（-3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，求平移的距離．【答案】1或5．【分析】平移分在y軸的左側和y軸的右側兩種情況寫出答案即可．【詳解】當⊙P位于y軸的左側且與y軸相切時，平移的距離為1；當⊙P位于y軸的右側且與y軸相切時，平移的距離為5．故答案為：1或5．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是了解當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑．6．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，直線y=x+b（b>0）與x軸、y軸交于點A、B，在直線AB上取一點C，過點C作x軸的垂線，垂足為E，若點E（4，0）．（1）若EC=BC，求b的值；（2）在（1）的條件下，有一動點P從點B出發，延著射線BC方向以每秒1個單位的速度運動，以點P為圓心，作半徑為的圓，動點Q從點O出發，在線段OE上以每秒1個單位的速度作來回運動，過點Q作直線l垂直x軸，點P與點Q同時從點B、點O開始運動，問經過多少秒后，直線l和⊙P相切．【答案】（1）b=2；（2）t=或或.【分析】（1）作出輔助線,求出點B、C坐標代入解析式即可求解,（2）分類討論,利用圓心到切線的距離等于半徑即可解題.【詳解】作BH⊥CE.∵E（4,0）,∴OE=BH=4,把x=4代入y=x+b=3+b,∴CE=3+b.∵B(0,b),∴EH=OB=b,CH=3.在Rt△BCH中,BC=5=CE,∴C（4,5）代入y=x+b,得b=2（2）設點P到直線l的距離為d.作PH⊥y軸于點H,則PH=t.①當0<t≤4時,OQ=t,d=t－t=t,由t=,得t=；②當4<t≤8時,OQ=8－t,d=8－t－t=或t－（8－t）=,解得t=或；③當8<t<12時,OQ=t－8,d=t－（t－8）=,解得t=,由于t－4>,舍去.（第3種情況酌情給分,舍去的理由合情描述即可）綜上所述,t=或或.【點睛】本題考查求解一次函數參數,直線與圓的位置關系,分類討論是解題關鍵.【經典例題五切線的判定定理】1．（2023·河南濮陽·統考一模）如圖1和圖2，已知點P是上一點，用直尺和圓規過點P作一條直線，使它與相切于點P．以下是甲、乙兩人的作法：甲：如圖1，連接，以點P為圓心，長為半徑畫弧交于點A，連接并延長，再在上截取，直線即為所求；乙：如圖2，作直徑，在上取一點B（異于點P，A），連接和，過點P作，則直線即為所求．對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）

A．甲、乙兩人的作法都正確 B．甲、乙兩人的作法都錯誤C．甲的作法正確，乙的作法錯誤 D．甲的作法錯誤，乙的作法正確【答案】A【分析】對于甲先證明是等邊三角形，得到，再由，得到，即可利用三角形外角的性質得到，則，即可證明是的切線；對于乙由直徑所對的圓周角是直角得到，則，進而得到，則，即可證明是的切線．【詳解】解：甲正確．理由：如圖1中，連接．∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線，乙正確．理由：∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的切線，故選：A．

【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，等邊三角形的性質與判定，三角形外角的性質等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．2．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，O為的外心，四邊形為正方形．以下結論：①O是的外心；②O是的外心；③直線與的外接圓相切．其中所有正確結論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根據三角形外形的性質可得，根據正方形的性質可得，即可判斷①；求出正方形對角線，即可判斷②；根據切線的判定，即可判斷③．【詳解】解：連接，∵O為的外心，∴，①∵四邊形為正方形．∴，∴，∴O是的外心；故①正確；②連接，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴O不是的外心；故②不正確；③由①可得：，∴點E在上，∵四邊形為正方形，∴，∴直線與的外接圓相切．故③正確；綜上：正確的有①③．故選：B．【點睛】本題主要考查了外心的定義，正方形的性質，切線的判定，解題的關鍵是掌握三角形的外心到三個頂點距離相等，正方形四條邊都相等，四個角都是直角．3．（2023秋·九年級課時練習）如圖，以的邊為直徑的恰好過的中點，過點作于點，連接，，有下列結論：①；②；③；④是的切線；⑤．其中正確結論的序號是．

【答案】①②③④⑤【分析】三角形的中位線定理，判斷①；圓周角定理和中點，得到是的中垂線，得到，判斷②③；根據，得到，判斷④；等角的余角相等，判斷⑤．【詳解】解：∵為的中點，為的中點，∴為的中位線，∴，故①正確；∵為的直徑，∴，∵為的中點，∴為線段的中垂線，∴∴，故②③正確；∵，∴，又為的半徑，∴是的切線；故④正確；∵，∴，∵，，∴，∴，故⑤正確；綜上：正確的是①②③④⑤；故答案為：①②③④⑤．【點睛】本題考查三角形的中位線定理，中垂線的判定和性質，圓周角定理，切線的判定和性質．熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．4．（2023春·九年級單元測試）已知，如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，A（1，0），AB＝2．（1）點C坐標為．（2）若y軸上存在點M，使得∠AMB＝∠BCA，則這樣的點有個．【答案】（3，）2【分析】（1）先根據含30度直角三角形的性質得到AC的長，進而求出BC的長即可得到點C的坐標；（2）如圖所示，取AC中點E，過點E作EF⊥AB于F，EG⊥y軸于G，則四邊形EFOG是矩形，證明圓E與y軸相切，即圓E與y軸只有一個交點，再由圓周角定理得到∠AGB=∠ACB，即當點M與點G重合時滿足題意，據此即可得到答案．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠C=30°，∴，∴，又∵OA=1，∴OB=OA+AB=3，∴點C的坐標為（3，），故答案為：（3，）（2）如圖所示，取AC中點E，過點E作EF⊥AB于F，EG⊥y軸于G，則四邊形EFOG是矩形，∴EG=OF，∵E是AC的中點，∴，同理可得∠AEF=30°，∴，∴GE=OF=OA+AF=2，又∵EG⊥y軸，∴圓E與y軸相切，即圓E與y軸只有一個交點，∵當以E為圓心，2為半徑畫圓時，點A、B、C、G都在圓E上，∴∠AGB=∠ACB，即當點M與點G重合時滿足題意，∴此情形下只有一個點滿足題意，由對稱性可知當M在y軸下方時也有一個點滿足題意，∴一共有2個點滿足題意，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，圓切線的判定，圓周角定理，含30度角的直角三角形的性質，矩形的性質與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，是⊙的直徑，、都是⊙上的點，平分，過點作的垂線交的延長線于點，交的延長線于點．

(1)求證：是⊙的切線；(2)若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據平分，則，根據，等量代換，得，根據平行線的判定和性質，得，推出，即可；（2）連接，交于點；根據直徑所對的圓周角是直角，則，根據勾股定理求出，根據等腰三角形三線合一，則，；根據矩形的判定，得四邊形是矩形，則，即可．【詳解】（1）證明如下：連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是⊙的切線．

（2）連接，交于點，∵是⊙的直徑，∴，∴，∵，，

∴，∵，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴．

【點睛】本題考查圓的切線，等腰三角形，矩形的知識，解題的關鍵是掌握圓的基本性質，切線判定，等腰三角形的判定和性質，矩形的判定和性質．6．（2023秋·九年級課時練習）如圖，是的弦，交于，，．

(1)求的長；(2)若是的中點，求證：是的切線．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，可求出的度數，進而根據含度角的直角三角形的性質，勾股定理求得的長，最后由垂徑定理可得的長．（2）由于點在圓上，可根據“連半徑，證垂直”可證得是的切線．【詳解】（1）連接，，如圖，

∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）由（1），而，∴為等邊三角形，∴，，∴是的中點，∴，∴，而，∴，∴，∴，∴是的切線．【點睛】本題主要考查了圓的性質，其中熟知圓的垂徑定理以及圓的切線常用證明方法是解決本題的關鍵．【經典例題六切線的性質定理】1．（2023春·重慶南岸·九年級重慶市珊瑚初級中學校校考期中）如圖，是的直徑，，是的弦，是的切線，為切點，與交于點．若點為的中點，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖：連接，根據切線的性質得到，根據直角三角形的性質求出，由點為的中點可得,最后等腰三角形的性質及三角形內角和定理即可解答．【詳解】解：如圖：連接，

∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∵點為的中點，∴，∵，∴,故選：C．【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質、圓周角定理、等腰三角形的性質等知識點，靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．2．（2022·安徽·合肥38中校考模擬預測）如圖，是的直徑，點是延長線上的一點，且.點是上的一點，點和點關于直線對稱，設，則下列是真命題的是（

）A．當是的切線時，四邊形是正方形B．當時，可能為等邊三角形C．當線段與只有一個公共點點時，的范圍是D．當線段與有兩個交點、時，若于點，則【答案】D【分析】根據切線的性質、等邊三角形的性質與判定及三角形中位線可進行求解．【詳解】解：由題意可知，點是四邊形的對角線的中點，故當點與點不重合時，不經過點，則四邊形不可能是特殊四邊形，不可能為等邊三角形；如圖1，在點與只有一個公共點的情況下，當是的切線時，的度數取最大值，且，故，∴的范圍是；如圖2，連接，∵是的直徑，∴，又∵，∴，則是的中位線，是的中位線；∴，∴；故選D．【點睛】本題主要考查切線的性質、正方形的判定及三角形中位線，熟練掌握切線的性質、正方形的判定及三角形中位線是解題的關鍵．3．（2023秋·九年級課時練習）如圖是的弦，交于點，過點的切線交的延長線于點．若的半徑為，則的長為．【答案】2【分析】根據切線的性質可得，從而可得，再根據垂直定義可得，從而可得，然后利用等腰三角形的性質，以及等角的余角相等，對頂角相等可得，從而可得，最后在中，利用勾股定理進行計算即可解答．【詳解】解：與相切于點，，，，，，，，，，，，設，在中，，，，．故答案為：2．【點睛】本題考查了切線的性質，等腰三角形的判定，勾股定理，熟練掌握切線的性質，以及等腰三角形的判定是解題的關鍵．4．（2023秋·九年級課時練習）如圖，是的直徑，點在上，是的中點，過點作的切線，交的延長線于點，連接．若，則的度數為．【答案】/度【分析】先根據垂徑定理得到，根據切線的性質得到，則，再根據平行線的性質得到，然后根據圓周角定理得到，則利用互余可計算出的度數．【詳解】解：是的直徑，是的中點，，為的切線，，，，是的直徑，，．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了垂徑定理和圓周角定理．5．（2021秋·甘肅定西·九年級校聯考階段練習）如圖，為的直徑，切于點E，于點C．

(1)求證：平分(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）連接，根據等邊對等角，得到，根據切線的性質，以及，推出，進而推出，即可得證；（2）連接，利用圓周角定理和含30度角的直角三角形的性質，進行求解即可．【詳解】（1）解：連接，則：，∴，∵切于點E，∴，∵，∴，∴，∴，∴平分；

（2）解：如圖，連接，

則：，∵，平分，∴，在中，，，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，即：的半徑為2．【點睛】本題考查切線的性質，圓周角定理，含30度角的直角三角形的性質．熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．6．（2023·陜西咸陽·校考二模）如圖，為的直徑，點為上一點，連接、，過點作的切線，連接交于點，．

(1)求證：；(2)若，求的直徑的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由為的切線，為切點，可得，即，，由，可得，由，可得，即，進而可得．（2）設，則，在中，，在中，，即，解得，則，即的半徑為，進而可求直徑的長．【詳解】（1）證明：∵為的切線，為切點，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：設，則．在中，，在中，，即，解得，∴，即的半徑為，∴的直徑的長為．【點睛】本題考查了切線的性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【經典例題七切線的性質與判定定理結合】1．（2023·廣東深圳·校考三模）矩形ABCD的對角線BD=4，DE⊥AC于點E，則當∠DBE最大時，BE的長度為（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】設與的交點為點F，由矩形的性質可得，若固定不動，則E隨的位置變動而變化，因，所以點E運動的軌跡是以為直徑的圓，設該圓圓心為O，不難知道，當時，即為⊙O的切線時，最大，利用勾股定理即可求出答案．【詳解】設與的交點為點F，由矩形的性質可得，，點在以為直徑的上，如下圖，∵當是⊙O的切線時，最大，∴當最大時，，∵，∴，∴．故答案為D．【點睛】本題考查了矩形的性質、切線的性質、圓的基本性質，關鍵在于確定E點運動軌跡，有一定難度．2．（2023春·九年級單元測試）如圖，在矩形中，，是邊上一點，且．已知經過點，與邊所在直線相切于點（為銳角），與邊所在直線交于另一點，且，當邊或所在的直線與相切時，的長是（

）A．9 B．4 C．12或4 D．12或9【答案】C【分析】邊BC所在的直線與⊙O相切時，過點G作GN⊥AB，垂足為N，可得EN＝NF，由，得EG：EN＝，依據勾股定理即可求得x的值，然后再次利用勾股定理求出半徑r，根據計算即可；當邊AD所在的直線與⊙O相切時，同理可求AB＝4．【詳解】解：邊BC所在的直線與⊙O相切時，如圖，切點為K，連接OK，過點G作GN⊥AB，垂足為N，∴EN＝NF，又∵，∴EG：EN＝，又∵GN＝AD＝8，∴設EN＝x，則GE＝，根據勾股定理得：，解得：x＝4，∴GE＝，設⊙O的半徑為r，由OE2＝EN2＋ON2，得：r2＝16＋（8?r）2，∴r＝5，∴OK＝NB＝5，∴EB＝9，又，即，∴AB＝12；當邊AD所在的直線與⊙O相切時，切點為H，連接OH，過點G作GN⊥AB，垂足為N，同理，可得OH＝AN＝5，∴AE＝1，又，∴AB＝4，故選：C．【點睛】本題考查了切線的性質、勾股定理和垂徑定理的綜合應用，解答本題的關鍵在于做好輔助線，利用勾股定理求出對應圓的半徑．3．（2023秋·江西新余·九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點、，半徑為的的圓心從點（點在直線上）出發以每秒個單位長度的速度沿射線運動，設點運動的時間為秒，則當時，與坐標軸相切．【答案】或或【分析】設與坐標軸的切點為，根據已知條件得到，，，求得，，，證明出是等腰直角三角形，，然后分三種情況進行討論：①當與軸相切時，②如圖，與軸和軸都相切時，③當只與軸相切時．【詳解】解：設與坐標軸的切點為，∵直線與軸、軸分別交于點、，點，∴時，，時，，時，，∴，，，根據勾股定理：，，，∴是等腰直角三角形，，①如圖，當與軸相切時，∵點是切點，的半徑是，∴軸，，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵點的速度為每秒個單位長度，∴；②如圖，當與軸和軸都相切時，∵，∴，∵點的速度為每秒個單位長度，∴；③當只與軸相切時，∵，∴，∵點的速度為每秒個單位長度，∴．綜上所述，則當或或秒時，與坐標軸相切．故答案為：或或【點睛】本題考查了切線的判定、一次函數與坐標軸的交點、等腰直角三角形的判定和性質、勾股定理，解本題的關鍵在掌握切線的判定及性質，利用分類討論的思想求解．4．（2023春·江蘇鹽城·八年級景山中學校考期末）【觀察思考】某種在同一平面進行傳動的機械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊在平直滑道上可以左右滑動，在滑動的過程中，連桿也隨之運動，并且帶動連桿繞固定點擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點在以為半徑的上運動．數學興趣小組為進一步研究其中所蘊含的數學知識，過點作于點，并測得分米，分米，分米．【解決問題】(1)點在上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是_________分米．(2)如圖3，小明同學說：“當點滑動到點的位置時，與是相切的．”你認為他的判斷對嗎？為什么？(3)①小麗同學發現：“當點運動到上時，點到的距離最小．”事實上，還存在著點到距離最大的位置，此時，點到的距離是_________分米；②當繞點左右擺動時，所掃過的區域為扇形，求這個扇形面積的最大值．【答案】(1)12(2)不對，詳見解析(3)①6，②【分析】（1）當O、P、Q三點共線時，在中，由勾股定理可求得的長度即可解答；（2）顯然不對，當Q、H重合時，，顯然構不成直角三角形，故與不相切；（3）①當P到直線l的距離最長時，這個最大距離為，此時直線l；②當P到直線l的距離最大時，無法再向下擺動，若設點P擺動的兩個極限位置為P、，連接，則四邊形是矩形，設與交于點D，那么，則，在中，，則，，最后根據扇形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：當O、P、Q三點共線時，分米在中，由勾股定理可求得，∴點在上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是分米．故答案為：12；（2）解：不對．理由如下：∵，∵當Q、H重合時，，∵，即，∴與不垂直．∴與不相切．（3）解：①因為的值永遠是6，只有時，點P到直線l的距離最大，此時最大的距離是6分米；②由①知，在上存在點P，到l的距離為6，此時，將不能再向下轉動，如圖．在繞點O左右擺動過程中所掃過的最大扇形就是．連接，交于點D，∵均與l垂直，且，∴四邊形是矩形，∴,．∴，得．∴．∴所求最大圓心角的度數為．∴這個扇形面積的最大值．【點睛】本題主要考查了勾股定理、切線的判定、矩形的判定和性質、垂徑定理等知識點，靈活運用相關知識是解答本題的關鍵．【經典例題八切線長定理的應用】1．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，為的直徑，，分別與⊙O相切于點B，C，過點C作的垂線，垂足為E，交于點D．若，則長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作于H，由垂徑定理得到的長，從而求出的長，由勾股定理求出的長，即可求出的長．【詳解】解：作于H，∵直徑于H，∴，∵，分別切于C，B，∴，直徑，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查切線的性質，切線長定理，矩形的判定與性質，勾股定理，關鍵是通過輔助線構造直角三角形，應用勾股定理求出的長．2．（2022秋·九年級單元測試）如圖，是的內切圓，、、為切點，，，，切交于，交于，則的周長為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用切線長定理得到等邊，再利用給出的三條邊長，設未知數列方程組，計算出邊長，再利用等邊換邊得到的周長．【詳解】是的內切圓,、、是的切線，又切于點K，

、、、、，的周長為：設，，，則、、，解得，的周長為：．故選D．【點睛】本題考查切線長定理及邊長的計算，需要理清目標和條件，正確且有條理的計算是解題的關鍵．3．（2022秋·九年級單元測試）如圖所示，點為外一點，過點作的切線，，點，為切點，連接并延長，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點已知，，則的長為．

【答案】5【分析】連接，根據勾股定理求出的長度，進而得出的長度，設的半徑為，則，，運用勾股定理列出方程，得出半徑，進而得出答案．【詳解】解：如圖所示，連接．

，為的切線，，，．．在中，，．設的半徑為，則，．在中，，即，解得，，，故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質、切線長定理、勾股定理等知識點，靈活運用所學知識點解題是關鍵．4．（2023·江蘇·統考二模）【感知】（1）如圖1，是的兩條切線，切點分別為點B、C，連接交于點D，點E在優弧上，且，則線段的長為_____，的度數為_____，的度數為_____．【應用】請用無刻度的直尺與圓規完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）如圖2，點A是外一點，請作出一條經過點A的的切線，切點為點B；（3）圖3，點P、Q分別在直線的兩側，請在直線上確定一個點T，使得與的角平分線在同一條直線上．請作出符合條件的的角平分線．

【答案】（1）2，，；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）連接，利用圓周角定理求得，再利用切線長定理即可求解；（2）連接，作線段的垂直平分線確定其中點，再作以為直徑的圓，兩圓的交點為B，作直線即可得出答案；（3）以P為圓心，為半徑作弧，交于點R，連接，過點P作的垂線交于點T，連接，則是的角平分線．【詳解】解：（1）連接，

∵，∴，∵是的兩條切線，∴，，∵，∴垂直平分，∴，，，∴，∴，故答案為：2，，；（2）解：如圖所示，直線即為所求．

；（3）解：如圖所示，射線即為所求．

.【點睛】本題主要考查作圖—復雜作圖，解題的關鍵是掌握線段中垂線的尺規作圖和圓周角定理、垂徑定理、切線長定理．【經典例題九三角形內心的有關應用】1．（2023·陜西寶雞·統考一模）如圖所示，內接于，點M為的內心，若，則的度數是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形內角和定理求出根據點M為的內心可得由三角形外角的性質得出根據同弧所對的圓周角相等可得最后根據三角形內角和定理可得出．【詳解】解：∵且，∴∵點M為的內心，∴∴∴∵且∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，三角形內角和定理以及三角形外角的性質，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵．2．（2023·福建寧德·校考二模）如圖，點是的內心，的延長線交于，點、關于所在的直線對稱，若，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據三角形的內心和三角形內角和，可以求得的度數，再根據軸對稱的性質和全等三角形的判定和性質可以得到，然后根據，即可求得的度數．【詳解】解：，，，，，點、關于所在的直線對稱，，，在和中，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查三角形的內切圓和內心、角平分線的定義、全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．3．（2023·湖北·統考中考真題）如圖，在中，的內切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則．

【答案】/度【分析】如圖所示，連接，設交于H，由內切圓的定義結合三角形內角和定理求出，再由切線長定理得到，進而推出是的垂直平分線，即，則．【詳解】解：如圖所示，連接，設交于H，∵是的內切圓，∴分別是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵與分別相切于點，，∴，又∵，∴是的垂直平分線，∴，即，∴，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了三角形內切圓，切線長定理，三角形內角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．4．（2023·山西大同·校聯考模擬預測）如圖，已知內接于，且是的直徑，

(1)實踐與操作：請用尺規作圖法作出的內心I；（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)推理與計算：連接并延長，與交于另一點D．若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）因為的內心I是角平分線的交點，所以作出任意兩個角的平分線即可；（2）根據是的直徑，，，得，然后根據勾股定理求出，再根據角的等量代換得，即可求的長．【詳解】（1）解：如圖1，點I為所求，

（2）解：如圖2，連接，，，

∵是的直徑，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴，在中，，，∴，∵，，，，∴，∴．【點睛】本題主要考查的是的內心I以及圓的基本性質、勾股定理、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質等知識內容，正確掌握的內心I是角平分線的交點以及圓的基本性質是解題的關鍵．【經典例題十直角三角形周長、面積與內切圓半徑的關系】1．（2023·甘肅隴南·校考一模）如圖，與的的三邊分別相切于點D、E、F，若，則的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】連接，首先根據切線長定理得到，，然后證明出四邊形是正方形，然后設，根據勾股定理求解即可．【詳解】如圖，連接，∵與相切，∴，，，，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴矩形是正方形，∴，設，中，，，，由勾股定理得，，∴，∴（舍去），∴，故選：D．【點睛】此題考查了三角形的內切圓，切線長定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．2．（2023秋·四川綿陽·九年級統考期末）如圖，為的內切圓，切點分別為M，N，Q，已知，，，則的半徑為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】連接、、，根據切線長定理可得，、，，可得四邊形為正方形，即，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】連接、、，根據切線長定理可得，、，，又∵，∴四邊形為正方形，即，在中，，∵，，∴，，，∴解得，（舍去）∴的半徑為1，故選：C．【點睛】本題考查了切線長定理及內切圓、勾股定理知識，熟練運用切線長定理是解題的關鍵．3．（2023·江蘇南京·統考二模）如圖，正方形的邊長是，是邊的中點．將該正方形沿折疊，點落在點處．分別與，，相切，切點分別為，，，則的半徑為．

【答案】1【分析】如圖所示，延長交于M，連接，先證明得到，設設，則，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如圖所示